大題專攻(一)

數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用12目錄301[例1]已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}與{bn}的通項公式．[思維建模]判定或證明等差(等比)數(shù)列的方法：定義法，等差(比)中項法，通項公式法，前n項和法，證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列一般使用定義法．

[對點訓(xùn)練]1．已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①a2＝2a1；②數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列；③數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列．證明：若選①②?③，設(shè){lnan}的公差為d，則d＝lna2－lna1＝ln2，所以lnan－lnan－1＝ln2，又S1＋a1＝2a1，所以Sn＋a1＝2a1·2n－1＝a1·2n，所以Sn＝a1·2n－a1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝a1·2n－1，n＝1時，a1＝a1適合上式，故an＝a1·2n－1，lnan＋1－lnan＝ln2，所以數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列．設(shè)為q(q≠0)，所以an＝a1qn－1，因為數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列，則(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)，故[a1(2＋q)]2＝2a1·[a1(2＋q＋q2)]，整理得q2－2q＝0，解得q＝2或q＝0(舍去)，所以a2＝2a1.02[解]

(1)證明：由an＋1＋2an＝2n＋2，得an＋1－2n＋1＝2n＋1－2an＝－2(an－2n)．又a1－21≠0，所以{an－2n}是以－2為公比，1為首項的等比數(shù)列．(2)由(1)，得an－2n＝(－2)n－1，即an＝2n＋(－2)n－1.當(dāng)n為奇數(shù)時，bn＝an＝2n＋(－2)n－1＝3×2n－1；當(dāng)n為偶數(shù)時，bn＝log2an＝log2[2n＋(－2)n－1]＝log22n－1＝n－1.[思維建模]

分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型[提醒]某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．

[對點訓(xùn)練]2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，a3＝5，a8＝15，b1＝a1，b4(a5－a1)＝a1.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；(2)求數(shù)列{an＋bn}的前n項和Tn.[思維建模]裂項相消法求和的原則及規(guī)律裂項原則一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止消項規(guī)律消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．即消項具有對稱性證明：(1)依題意，2Sn＝n(a1＋an)(n∈N*)，當(dāng)n＝1時，2a1＝2a1；當(dāng)n≥2時，由2Sn＝n(a1＋an)得2Sn－1＝(n－1)(a1＋an－1)，兩式相減并化簡得(n－2)an＝(n－1)an－1－a1，則(n－1)an＋1＝nan－a1，兩式相減得(n－1)an＋1－(n－2)an＝nan－(n－1)an－1，即(n－1)an＋1＋(n－1)an－1＝2(n－1)an，由于n≥2，n－1≠0，所以an＋1＋an－1＝2an(n≥2)，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．[解]

(1)當(dāng)n＝1時，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.當(dāng)n≥2時，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，兩式相減得2an＝nan－(n－1)an－1，即(n－1)an－1＝(n－2)an，當(dāng)n＝2時，可得a1＝0，[思維建模]錯位相減法求和的關(guān)鍵(1)錯位相減后得到的和式中共有n＋1項，把第1項和第n＋1項單獨處理；(2)得出結(jié)果后，使用S1＝a1進(jìn)行檢驗，如果該式不成立，要重新核實運算過程，更正錯誤．

解：(1)由2an－Sn＝1，得Sn＝2an－1，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，得an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝2n－1.所以Sn＝2an－1＝2n－1.03解題微“點”切入點(1)由2bn＝an＋1，取對數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列．(2)用錯位相減法求Tn，建立不等關(guān)系障礙點想不到利用函數(shù)思想或作差法解不等式隱藏點不要忽略n∈N*[思維建模]數(shù)列與不