1/86一、高考初感知——集訓(xùn)真題、明考法、驗(yàn)?zāi)芰?，找?zhǔn)二輪努力方向(一)小題考法——三年新課標(biāo)卷考點(diǎn)分布及考情分析考點(diǎn)考題呈現(xiàn)(真題驗(yàn)?zāi)芰Γ罹哒f服力)考法定位古典概型(2022·新課標(biāo)Ⅰ卷，T5)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為(D)A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)基礎(chǔ)考法相互獨(dú)立事件的概率(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷，T12)(多選)在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α(0＜α＜1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β(0＜β＜1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1，則譯碼為1)(ABD)A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的概率為(1－α)(1－β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1,0,1的概率為β(1－β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率綜合考法(2021·新課標(biāo)Ⅰ卷，T8)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(B)A．甲與丙相互獨(dú)立B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立D．丙與丁相互獨(dú)立基礎(chǔ)考法正態(tài)分布(2022·新課標(biāo)Ⅱ卷，T13)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝0.14.基礎(chǔ)考法(2021·新課標(biāo)Ⅱ卷，T6)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是(D)A．σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等應(yīng)用考法用樣本估計(jì)總體(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷，T9)(多選)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則(BD)A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差基礎(chǔ)考法(2021·新課標(biāo)Ⅱ卷，T9)(多選)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是(AC)A．樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差B．樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)C．樣本x1，x2，…，xn的極差D．樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)基礎(chǔ)考法考情分析1.考多少：一般考1～2道小題，小題分值約為5～10分．2.考哪里：主要考查用樣本估計(jì)總體、古典概型、正態(tài)分布、相互獨(dú)立事件的判斷及概率計(jì)算、二項(xiàng)分布等．3.考多深：一般是中低檔難度的題目，有時(shí)與新情境問題結(jié)合出現(xiàn)在壓軸題位置．4.考多寬：大多是統(tǒng)計(jì)與概率知識的結(jié)合，古典概型常與排列、組合相結(jié)合考查，統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征的交匯考查，事件的獨(dú)立性與二項(xiàng)分布結(jié)合等．5.還可能怎么考：重視新增知識(如百分位數(shù)、全概率公式、分層隨機(jī)抽樣中的數(shù)字特征等)，概率與數(shù)列交匯命題是熱點(diǎn).(二)大題考法——由三年新高考把握命題動(dòng)向解答題以考查成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，條件概率，以現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活、科技等真實(shí)情境為背景的離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差等為主.2023年新課標(biāo)Ⅰ卷以學(xué)生熟悉的投籃比賽創(chuàng)設(shè)生活實(shí)踐情境，考查概率、數(shù)列的遞推關(guān)系、分布列及期望等，引導(dǎo)學(xué)生積極參加體育活動(dòng)，全面發(fā)展，加強(qiáng)知識模塊間的相互滲透．[典題熱身](2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率．(2)求第i次投籃的人是甲的概率．(3)已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1,2，…，n，則E(eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))Xi)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))qi.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y，求E(Y)．[解](1)設(shè)“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.(2)設(shè)“第i次投籃的人是甲的概率”為pi，由題意可知p1＝eq\f(1,2)，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝eq\f(2,5)pi＋eq\f(1,5)，所以pi＋1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(pi－\f(1,3))). 又p1－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(pi－\f(1,3)))是以eq\f(1,6)為首項(xiàng)，eq\f(2,5)為公比的等比數(shù)列．所以pi－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))i－1.所以pi＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))i－1.(3)設(shè)第i次投籃時(shí)甲投籃的次數(shù)為Xi，則Xi的可能取值為0,1，當(dāng)Xi＝0時(shí)，表示第i次投籃的人是乙，當(dāng)Xi＝1時(shí)，表示第i次投籃的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi.Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，則E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由(2)知，pi＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))i－1，所以p1＋p2＋p3＋…＋pn＝eq\f(n,3)＋eq\f(1,6)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,5)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))n－1))＝eq\f(n,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))n,1－\f(2,5))＝eq\f(n,3)＋eq\f(5,18)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))n)).二、知識再回首——自主研習(xí)主干知識，為二輪深化學(xué)習(xí)賦能(一)主干知識·以點(diǎn)帶面領(lǐng)域主干知識點(diǎn)統(tǒng)計(jì)兩種抽樣方法簡單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣五個(gè)樣本頻率分布圖表頻率分布表、頻率分布直方圖、條形圖、折線圖、扇形圖五個(gè)數(shù)字特征眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)、方差三種統(tǒng)計(jì)推斷用樣本估計(jì)總體、回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)概率三類事件互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件三種概型古典概率、條件概型、全概率公式四種特殊分布超幾何分布、二項(xiàng)分布、兩點(diǎn)分布、正態(tài)分布(二)常用結(jié)論·記清用活1．兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過定點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xi，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))yi.2．方差與標(biāo)準(zhǔn)差(1)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn，它們的方差為s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋(x3－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2，標(biāo)準(zhǔn)差為σ＝eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2).(2)兩組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn與y1，y2，y3，…，yn，其中yi＝axi＋b，i＝1,2,3，…，n，則eq\x\to(y)＝aeq\x\to(x)＋b，它們的方差滿足seq\o\al(2,y)＝a2seq\o\al(2,x)，標(biāo)準(zhǔn)差滿足σy＝|a|σx.其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xi，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))yi.3．常用的概率公式(已知事件A，事件B)(1)A與B互斥，則P(AB)＝0；(2)A與B對立，則P(A)＝1－P(B)；(3)A與B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)·P(B)；(4)A發(fā)生的條件下，B發(fā)生的概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)；(5)若A1，A2，…，An是兩兩互斥事件且A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0(i＝1,2，…，n)，則對任意事件B?Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)．4．隨機(jī)變量的期望與方差(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；(2)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．5．二項(xiàng)分布X～B(n，p)的期望與方差(1)E(X)＝np；(2)D(X)＝np(1－p)．6．正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線與x軸之間的面積為1；(3)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(4)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(5)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．小題考法(一)統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例eq\f(命題點(diǎn)一,自主練通)用樣本估計(jì)總體1．(多選)已知某地區(qū)某周7天每天的最高氣溫分別為23,25,13,10,13,12,19(單位：℃)．則()A．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(115,7)B．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13C．該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為16D．該組數(shù)據(jù)的極差為15解析：選ABD將23,25,13,10,13,12,19從小到大排列為10,12,13,13,19,23,25.對于A，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,7)×(23＋25＋13＋10＋13＋12＋19)＝eq\f(115,7)，故A正確；該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13，故B正確；由7×70%＝4.9，則該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為從小到大排列的第5個(gè)數(shù)，是19，故C錯(cuò)誤；該組數(shù)據(jù)的極差為25－10＝15，故D正確．2．已知一組正數(shù)x1，x2，x3的方差s2＝eq\f(1,3)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)－12)，則數(shù)據(jù)3x1－1,3x2－1,3x3－1的平均數(shù)為()A．1 B．3C．5 D．7解析：選C正數(shù)x1，x2，x3的方差s2＝eq\f(1,3)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)－12)，又s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)－2neq\x\to(x)2＋neq\x\to(x)2)＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2，所以eq\f(1,3)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)－12)＝eq\f(1,3)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3))－eq\x\to(x)2，所以eq\x\to(x)＝2，所以數(shù)據(jù)3x1－1,3x2－1,3x3－1的平均數(shù)為3eq\x\to(x)－1＝3×2－1＝5.故選C．3．(2023·長沙長郡中學(xué)一模)為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間，釆用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時(shí)間均值為8小時(shí)，方差為0.5，則估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為()A．0.94 B．0.96C．0.75 D．0.78解析：選A該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為eq\f(800,1200＋800)×9＋eq\f(1200,1200＋800)×8＝8.4(小時(shí))，該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為eq\f(800,1200＋800)×[1＋(9－8.4)2]＋eq\f(1200,1200＋800)×[0.5＋(8－8.4)2]＝0.94.故選A．4．(2022·全國甲卷)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則()A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差解析：選B對于A，講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)是eq\f(70%＋75%,2)＝72.5%，所以A錯(cuò)誤；對于B，講座后問卷答題的正確率只有1個(gè)80%,4個(gè)85%，剩下全部大于等于90%，其平均數(shù)顯然大于85%，所以B正確；對于C，由題圖可知，講座前問卷答題的正確率波動(dòng)較大，講座后問卷答題的正確率波動(dòng)較小，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯(cuò)誤；對于D，講座前問卷答題的正確率的極差是95%－60%＝35%，講座后問卷答題的正確率的極差是100%－80%＝20%，所以講座前問卷答題的正確率的極差大于講座后問卷答題的正確率的極差，所以D錯(cuò)誤．故選B．5．(2023·菏澤二模)(多選)在某次數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)中，學(xué)生得分在[35,95]之間，滿分100分，隨機(jī)調(diào)查了200位學(xué)生的成績，得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，則()A．圖中x的值為0.029B．參賽學(xué)生分?jǐn)?shù)位于區(qū)間[45,75)的概率約為0.85C．樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)約為79D．參賽學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)約為69.4解析：選AC對于A，由(0.005＋0.015＋0.016＋x＋0.025＋0.01)×10＝1，解得x＝0.029，A正確；對于B，分?jǐn)?shù)位于區(qū)間[45,75)的頻率為(0.015＋0.016＋0.029)×10＝0.6，估計(jì)概率為0.60，B錯(cuò)誤；對于C，由選項(xiàng)B知，樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)m∈(75,85)，由(m－75)×0.025＝0.75－0.65，解得m＝79，C正確；對于D，由頻率分布直方圖知，各小矩形面積從左到右依次為0.05，0.15，0.16,0.29,0.25,0.1，平均分?jǐn)?shù)eq\x\to(x)＝40×0.05＋50×0.15＋60×0.16＋70×0.29＋80×0.25＋90×0.1＝68.4，D錯(cuò)誤．故選A、C．[思維建模]1．?dāng)?shù)字特征的意義平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對數(shù)據(jù)的一種簡明描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。?．頻率分布直方圖中常見問題及解題策略(1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與總體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可以求出其他數(shù)據(jù)．(2)已知頻率分布直方圖，求某個(gè)范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形與該范圍結(jié)合求解．eq\f(命題點(diǎn)二,深化學(xué)習(xí))成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析[講評提能][例1](2023·衡水模擬)以模型y＝cekx(c>0)去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)z＝lny，將其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程z＝2x－1，則k，c的值分別是()A．－2，e B．2，eq\f(1,e)C．－2，eq\f(1,e) D．2，e[解析]由題意得lny＝ln(cekx)＝lnc＋kx，設(shè)z＝lny，可得z＝lnc＋kx.又經(jīng)驗(yàn)回歸方程為z＝2x－1，所以lnc＝－1，k＝2，故c＝eq\f(1,e)，k＝2.故選B．[答案]B[例2](2023·深圳二模)(多選)為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)(見下表)：x12345y0.50.811.21.5假設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋0.28，則()A．eq\o(b,\s\up6(^))＝0.24B．當(dāng)x＝8時(shí)，y的預(yù)測值為2.2C．樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8D．去掉樣本點(diǎn)(3,1)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不變[解析]經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋0.28必過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝1，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.24，所以A正確；當(dāng)x＝8時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.24x＋0.28可以得出y的預(yù)測值為2.2，所以B正確；從小到大排列共有5個(gè)數(shù)據(jù)，則i＝5×40%＝2是整數(shù)，則第40百分位數(shù)為從小到大排列的第2個(gè)數(shù)據(jù)與第3個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，即第40百分位數(shù)為eq\f(0.8＋1,2)＝0.9，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)闃颖鞠嚓P(guān)系數(shù)為r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))yi－\x\to(y)2))，5組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))yi－\x\to(y)2))＝eq\f(－2×－0.5＋－1×－0.2＋0×0＋1×0.2＋2×0.5,\r(4＋1＋0＋1＋4)×\r(0.52＋0.22＋02＋0.22＋0.52))，去掉樣本中心點(diǎn)(3,1)后樣本相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(4),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(4),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(4),\s\do8(i＝1))yi－\x\to(y)2))＝eq\f(－2×－0.5＋－1×－0.2＋1×0.2＋2×0.5,\r(4＋1＋1＋4)×\r(0.52＋0.22＋0.22＋0.52))，所以相關(guān)系數(shù)r不變，所以D正確．故選A、B、D．[答案]ABD[思維建模](1)求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，應(yīng)充分利用經(jīng)驗(yàn)回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的eq\o(y,\s\up6(^))值，僅是一個(gè)預(yù)測值，不是真實(shí)發(fā)生的值．[過關(guān)訓(xùn)練]1．(2023·常州模擬)下表提供了某廠進(jìn)行技術(shù)改造后生產(chǎn)產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位：t)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位：t標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：x/t3456y/t標(biāo)準(zhǔn)煤2.5344.5已知該廠技術(shù)改造前100t產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90t標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測該廠技術(shù)改造后100t產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了()附：在經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，其中eq\x\to(x)，eq\x\to(y)為樣本平均值．A．19.65t標(biāo)準(zhǔn)煤 B．29.65t標(biāo)準(zhǔn)煤C．70.35t標(biāo)準(zhǔn)煤 D．90t標(biāo)準(zhǔn)煤解析：選Aeq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5－4×4.5×3.5,9＋16＋25＋36－4×4.52)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35，當(dāng)x＝100，eq\o(y,\s\up6(^))＝70.35,90－70.35＝19.65.故選A．2．由樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x7，y7)得到的回歸方程為y＝eq\f(3,7)eq\r(x)＋eq\o(a,\s\up6(^))，已知如下數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do8(i＝1))xi＝19，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do8(i＝1))yi＝35，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do8(i＝1))eq\r(xi)＝eq\f(49,3)，則實(shí)數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))的值為________．解析：令t＝eq\r(x)，則回歸方程y＝eq\f(3,7)t＋eq\o(a,\s\up6(^))過樣本中心點(diǎn)(eq\x\to(t)，eq\x\to(y))，因?yàn)閑q\x\to(t)＝eq\f(49,3)÷7＝eq\f(7,3)，eq\x\to(y)＝35÷7＝5，所以有eq\f(3,7)×eq\f(7,3)＋eq\o(a,\s\up6(^))＝5，即eq\o(a,\s\up6(^))＝4.答案：4eq\f(命題點(diǎn)三,深化學(xué)習(xí))獨(dú)立性檢驗(yàn)[講評提能][例3]通過隨機(jī)詢問某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛好跳繩，得到如下列聯(lián)表：跳繩性別合計(jì)男女愛好402060不愛好203050合計(jì)6050110已知χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(χ2≥10.828)＝0.001，根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，以下結(jié)論正確的為()A．愛好跳繩與性別有關(guān)B．愛好跳繩與性別有關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001C．愛好跳繩與性別無關(guān)D．愛好跳繩與性別無關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001[解析]a＋b＝40＋20＝60，c＋d＝20＋30＝50，a＋c＝40＋20＝60，b＋d＝20＋30＝50，ad－bc＝40×30－20×20＝800，n＝110，χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(110×8002,60×50×60×50)≈7.822<10.828，故愛好跳繩與性別無關(guān)，但是不能得出這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001，故選C．[答案]C[例4](2023·深圳模擬)(多選)某研究機(jī)構(gòu)為了探究吸煙與肺氣腫是否有關(guān)，調(diào)查了200人．統(tǒng)計(jì)過程中發(fā)現(xiàn)隨機(jī)從這200人中抽取一人，此人為肺氣腫患者的概率為0.1.在制定2×2列聯(lián)表時(shí)，由于某些因素缺失了部分?jǐn)?shù)據(jù)，而獲得如圖所示的2×2列聯(lián)表，下列結(jié)論正確的是()患肺氣腫不患肺氣腫合計(jì)吸煙15不吸煙120合計(jì)200臨界值表：α0.1000.0500.0250.0100.001xα2.7063.8415.0246.63510.828A．不吸煙患肺氣腫的人數(shù)為5人B．200人中患肺氣腫的人數(shù)為10人C．χ2＝11.42D．按99.9%的可靠性要求，可以認(rèn)為“吸煙與肺氣腫有關(guān)系”[解析]A選項(xiàng)，200人中抽取一人，此人為肺氣腫患者的概率為0.1，故肺氣腫患者共有200×0.1＝20人，由于吸煙患肺氣腫的人數(shù)為15人，故不吸煙患肺氣腫的人數(shù)為5人，A正確，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，列聯(lián)表如下：患肺氣腫不患肺氣腫合計(jì)吸煙156075不吸煙5120125合計(jì)20180200則χ2＝eq\f(200×15×120－60×52,20×180×75×125)＝eq\f(40,3)≈13.33，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由于13.33>10.828，故按99.9%的可靠性要求，可以認(rèn)為“吸煙與肺氣腫有關(guān)系”，D正確．故選A、D．[答案]AD[思維建模]破解獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的注意點(diǎn)(1)計(jì)算χ2值：利用χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)求出χ2的值．再利用小概率α的值以及對應(yīng)的臨界值來判斷有多大的把握判斷兩個(gè)事件有關(guān)．(2)準(zhǔn)確計(jì)算：解題時(shí)應(yīng)注意準(zhǔn)確計(jì)算，不可錯(cuò)用公式，準(zhǔn)確進(jìn)行比較與判斷．[過關(guān)訓(xùn)練]3．(2023·衡陽模擬)針對時(shí)下的“抖音熱”某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(4,5)，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的eq\f(3,5)，若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有()A．20人 B．40人C．60人 D．80人解析：選C設(shè)男女生人數(shù)共有n人，則男生喜歡抖音的人數(shù)有eq\f(2,5)n，男生不喜歡抖音的人數(shù)有eq\f(1,10)n，女生喜歡抖音的人數(shù)有eq\f(3,10)n，女生不喜歡抖音的人數(shù)有eq\f(1,5)n，所以χ2＝eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n,5)×\f(n,5)－\f(n,10)×\f(3n,10)))2,\f(n,2)×\f(n,2)×\f(7n,10)×\f(3n,10))＝eq\f(n,21).因?yàn)橛?5%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，所以3.841<eq\f(n,21)<6.635，解得80.661<n<139.335，所以40.33<eq\f(n,2)<69.667，所以調(diào)查人數(shù)中男生可能有60人．故選C．4．研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生玩手機(jī)對學(xué)習(xí)的影響，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：玩手機(jī)不玩手機(jī)合計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀4812學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀16218合計(jì)201030經(jīng)計(jì)算χ2的值，則有________%的把握認(rèn)為玩手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響．解析：由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算χ2＝eq\f(30×4×2－8×162,12×18×20×10)＝10，且10>7.879，則有99.5%的把握認(rèn)為玩手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響．答案：99.51．(聚焦綜合交匯)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，其末項(xiàng)為2024，則數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1為()A．－3 B．－4C．－3或－4 D．3或－3解析：選B若這組數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)為(2n－1)個(gè)，則an＝1010，a2n－1＝2024.又a1＋a2n－1＝2an，所以a1＝2×1010－2024＝－4；若這組數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)為2n個(gè)，則an＋an＋1＝2×1010＝2020，a2n＝2024.又a1＋a2n＝an＋an＋1，所以a1＝2020－2024＝－4.2．(聚焦綜合交匯)一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為1,2,3,4,5,8，記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為n，則(2＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))n展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．12 B．－8C．8 D．10解析：選A因?yàn)?×75%＝4.5，故取數(shù)據(jù)從小到大第5個(gè)數(shù)，所以n＝5.則(2＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))5＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))5＋x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))5.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))5中常數(shù)項(xiàng)為1，eq\f(1,x2)的項(xiàng)為Ceq\o\al(2,5)×13×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2＝eq\f(10,x2)，故(2＋x2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為2×1＋x2×eq\f(10,x2)＝12.3．(體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用)現(xiàn)給出一位同學(xué)在7月和8月進(jìn)行的50米短跑測試成績(單位：秒)：7月9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.78月10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5記7月、8月成績的樣本平均數(shù)分別記為eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2).①已知統(tǒng)計(jì)量F＝eq\f(s\o\al(2,1),s\o\al(2,2))可在一定程度上說明兩個(gè)月跑步成績的穩(wěn)定性eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)F>2.050或\f(1,F)>2.050時(shí)，可認(rèn)為成績不穩(wěn)定))；②若滿足eq\x\to(x)－eq\x\to(y)≥2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))，則可說明成績有顯著提高．則這位同學(xué)()A．成績穩(wěn)定，且有顯著提高B．成績穩(wěn)定，且無顯著提高C．成績不穩(wěn)定，且有顯著提高D．成績不穩(wěn)定，且無顯著提高解析：選B由題意可知，eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)(10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5)＝10.3，由方差公式可知，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do8(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝0.036，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do8(i＝1))(yi－eq\x\to(y))2＝0.04，故F＝eq\f(s\o\al(2,1),s\o\al(2,2))＝eq\f(0.036,0.04)＝0.9<2.050，eq\f(1,F)＝eq\f(10,9)<2.050，從而成績穩(wěn)定；而eq\x\to(x)－eq\x\to(y)＝－0.3<2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))，從而成績無顯著提高．4．(體驗(yàn)開放探究)軍訓(xùn)中某人對目標(biāo)靶進(jìn)行8次射擊，已知前7次射擊分別命中7環(huán)、9環(huán)、7環(huán)、10環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、6環(huán)．若第8次射擊結(jié)果不低于這8次射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)且不高于這8次射擊環(huán)數(shù)的75%分位數(shù)，則此人第8次射擊的結(jié)果可能是________環(huán)．(寫出一個(gè)符合題意的值即可)解析：設(shè)第8次射擊的結(jié)果是x環(huán)，依題意，x≥eq\f(7＋9＋7＋10＋8＋9＋6＋x,8)，解得x≥8，當(dāng)8≤x≤9時(shí)，8次射擊的結(jié)果由小到大排列為6,7,7,8，x,9,9,10，由8×75%＝6，得8次射擊環(huán)數(shù)的75%分位數(shù)為9，顯然符合題意，即8≤x≤9，當(dāng)9<x≤10時(shí)，8次射擊的結(jié)果由小到大排列為6,7,7,8,9,9，x,10,8次射擊環(huán)數(shù)的75%分位數(shù)為eq\f(9＋x,2)，由x≤eq\f(9＋x,2)，解得x≤9，無解，所以8≤x≤9，此人第8次射擊的結(jié)果可能是8環(huán)．答案：8(答案不唯一)5．(強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模)新能源汽車的核心部件是動(dòng)力電池，電池占了新能源整車成本的大頭，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分．從2020年底開始，碳酸鋰的價(jià)格一路水漲船高，下表是2022年某企業(yè)的前5個(gè)月碳酸鋰的價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價(jià)格y(萬元/kg)0.50.61m1.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.28x＋a，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出在樣本點(diǎn)(5,1.5)處的殘差為－0.06，則表中m＝______.解析：由題設(shè)，1.5－eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5－(0.28×5＋a)＝－0.06，可得a＝0.16.又eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(0.5＋0.6＋1＋m＋1.5,5)＝eq\f(3.6＋m,5)，所以0.28×3＋0.16＝eq\f(3.6＋m,5)，可得m＝1.4.答案：1.4[專題跟蹤檢測]1．(2023·天津高考)調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示．其中相關(guān)系數(shù)r＝0.8245，下列說法正確的是()A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B．花瓣長度和花萼長度呈負(fù)相關(guān)C．花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245解析：選C因?yàn)闃颖鞠嚓P(guān)系數(shù)r＝0.8245>0.75，所以花瓣長度和花萼長度的相關(guān)性較強(qiáng)，并且呈正相關(guān)，所以A、B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)闃颖鞠嚓P(guān)系數(shù)與樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以當(dāng)樣本發(fā)生變化時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)也會(huì)發(fā)生變化，所以D錯(cuò)誤．故選C．2．(2023·南通模擬)經(jīng)驗(yàn)表明，樹高y與胸徑x具有線性關(guān)系，為了解回歸方程的擬合效果，利用下列數(shù)據(jù)計(jì)算殘差，用來繪制殘差圖.胸徑x/cm18.219.122.324.526.2樹高的觀測值y/m18.919.420.822.824.8樹高的預(yù)測值eq\o(y,\s\up6(^))/m18.619.321.523.024.4則殘差的最大值和最小值分別是()A．0.4，－1.8 B．1.8，－0.4C．0.4，－0.7 D．0.7，－0.4解析：選C由表可得，各組數(shù)據(jù)的殘差為18.9－18.6＝0.3,19.4－19.3＝0.1,20.8－21.5＝－0.7，22.8－23＝－0.2,24.8－24.4＝0.4，故殘差最大值為0.4，最小值為－0.7.故選C．3．為深入推進(jìn)“五育”并舉，促進(jìn)學(xué)生身心全面和諧發(fā)展，某校于上周六舉辦跳繩比賽．現(xiàn)通過簡單隨機(jī)抽樣獲得了22名學(xué)生在1分鐘內(nèi)的跳繩個(gè)數(shù)如下(單位：個(gè))：6977929899100102103115116116122123124127128129134140142143159估計(jì)該校學(xué)生在1分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)的第65百分位數(shù)為()A．124 B．125.5C．127 D．127.5解析：選C因?yàn)?2×0.65＝14.3,22名學(xué)生的跳繩成績從小到大第15個(gè)數(shù)為127，所以該校學(xué)生在1分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)的第65百分位數(shù)為127，故選C．4．下列說法不正確的是()A．回歸分析中，R2的值越大，說明殘差平方和越小B．若一組觀測數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)滿足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒為0，則R2＝1C．回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法D．畫殘差圖時(shí)，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)一定是編號解析：選D對于A，回歸分析中，R2的值越大，說明模型的擬合效果越好，則殘差平方和越小，A正確；對于B，若一組觀測數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)滿足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒為0，則R2＝1，B正確；對于C，回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，C正確；對于D，殘差圖中橫坐標(biāo)可以是樣本編號，也可以是身高數(shù)據(jù)，還可以是體重的估計(jì)值等，D錯(cuò)誤．故選D．5．(2023·濱州二模)某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一四分位數(shù)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是(注：同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替)()A．x3<x1<x2 B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2 D．x1<x2<x3解析：選A由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為eq\f(2＋3,2)＝2.5，即x1＝2.5，平均數(shù)x2＝0.2×1.5＋0.24×2.5＋0.2×3.5＋0.16×4.5＋0.12×5.5＋0.04×6.5＋0.04×7.5＝3.54，顯然第一四分位數(shù)位于[2,3)之間，則0.2＋(x3－2)×0.24＝0.25，解得x3≈2.208，所以x3<x1<x2.故選A．6．(多選)隨著社會(huì)的發(fā)展，人們的環(huán)保意識越來越強(qiáng)了，某市環(huán)保部門對轄區(qū)內(nèi)A，B，C，D四個(gè)地區(qū)的地表水資源進(jìn)行檢測，按照地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，若連續(xù)10天，檢測到地表水糞大腸菌群都不超過200個(gè)/L，則認(rèn)為地表水糞大腸菌群指標(biāo)環(huán)境質(zhì)量穩(wěn)定達(dá)到Ⅰ類標(biāo)準(zhǔn)，否則不能稱穩(wěn)定達(dá)到Ⅰ類標(biāo)準(zhǔn)．已知連續(xù)10天檢測數(shù)據(jù)的部分?jǐn)?shù)字特征為A地區(qū)的極差為20,75%分位數(shù)為180；B地區(qū)的平均數(shù)為170，方差為90；C地區(qū)的中位數(shù)為150，極差為60；D地區(qū)的平均數(shù)為150，眾數(shù)為160.根據(jù)以上數(shù)字特征推斷，地表水糞大腸菌群指標(biāo)環(huán)境質(zhì)量穩(wěn)定達(dá)到Ⅰ類標(biāo)準(zhǔn)的地區(qū)是()A．A地區(qū) B．B地區(qū)C．C地區(qū) D．D地區(qū)解析：選AB根據(jù)題意，設(shè)數(shù)據(jù)的最大值為x，最小值為y，每天的檢測數(shù)據(jù)為xi(i＝1,2，…，10)，對于A地區(qū)，極差為20，x－y＝20，又由75%分位數(shù)為180，則x－180≤20，則x≤200，A地區(qū)一定達(dá)標(biāo)；對于B地區(qū)，由eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do8(i＝1))(xi－170)2＝90，則eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do8(i＝1))(xi－170)2＝900，如果這10個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)大于200，則必有eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do8(i＝1))(xi－170)2>900，矛盾，所以這10個(gè)數(shù)據(jù)均不大于200，B地區(qū)一定達(dá)標(biāo)；對于C地區(qū)，數(shù)據(jù)150,150,150,150,150,150,150,150,150,210，滿足中位數(shù)為150，極差為60，C地區(qū)可能沒有達(dá)標(biāo)；對于D地區(qū)，數(shù)據(jù)100,100,140,150,150,160,160,160,160,220，滿足平均數(shù)為150，眾數(shù)為160，D地區(qū)可能沒有達(dá)標(biāo)．7．(多選)下列命題是真命題的是()A．若X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,20)))，則E(X)＝eq\f(2,5)B．在線性回歸模型擬合中，若相關(guān)系數(shù)r越大，則樣本的線性相關(guān)性越強(qiáng)C．有一組樣本數(shù)據(jù)xi(i＝1,2,3)，xi∈{1,2,3}．若樣本的平均數(shù)eq\x\to(x)＝2，則樣本的中位數(shù)為2D．投擲一枚骰子10次，并記錄骰子向上的點(diǎn)數(shù)，平均數(shù)為2，方差為1.4，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6解析：選ACD對于A，若X～B(n，p)，則E(X)＝np，故A正確；對于B，若|r|越大，則樣本的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故B不正確；對于C，有兩種情況：1,2,3和2,2,2，故C正確；對于D，若出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則s2＝eq\f(1,10)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋…＋(x5－2)2＋(6－2)2]≥eq\f(1,10)×16>1.4，此時(shí)其方差不可能是1.4，所以D正確．故選A、C、D．8．(2023·鹽城模擬)(多選)2023年6月18日，很多商場都在搞促銷活動(dòng)．重慶市物價(jià)局派人對5個(gè)商場某商品同一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：x9095100105110y1110865用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.32x＋eq\o(a,\s\up6(^))，相關(guān)系數(shù)r＝－0.9923，則下列說法正確的有()A．變量x與y負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng)B．eq\o(a,\s\up6(^))＝40C．當(dāng)x＝85時(shí)，y的估計(jì)值為13D．相應(yīng)于點(diǎn)(105,6)的殘差為－0.4解析：選ABD對于A，由回歸直線可得變量x，y線性負(fù)相關(guān)，且由相關(guān)系數(shù)|r|＝0.9923可知相關(guān)性較強(qiáng)，故A正確；對于B，由題可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(90＋95＋100＋105＋110)＝100，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(11＋10＋8＋6＋5)＝8，故回歸直線恒過點(diǎn)(100,8)，故8＝－0.32×100＋eq\o(a,\s\up6(^))，即eq\o(a,\s\up6(^))＝40，故B正確；對于C，當(dāng)x＝85時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.32×85＋40＝12.8，故C錯(cuò)誤；對于D，相應(yīng)于點(diǎn)(105,6)的殘差eq\o(e,\s\up6(^))＝6－(－0.32×105＋40)＝－0.4，故D正確．故選A、B、D．9．(多選)下列說法正確的是()A．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差s2為0，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一B．已知一組數(shù)據(jù)2,3,5,7,8,9,9,11，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為6C．若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)r的值越大D．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高解析：選AD對于A，由方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝0，得x1＝x2＝…＝xn＝eq\x\to(x)，即此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一，故A正確；對于B，數(shù)據(jù)2,3,5,7,8,9,9,11共有8個(gè)，由8×40%＝3.2可知，該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為7，故B錯(cuò)誤；對于C，若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)|r|的值越接近于1，故C錯(cuò)誤；對于D，在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明波動(dòng)越小，即模型的擬合精度越高，故D正確．故選A、D．10．(多選)某漁業(yè)養(yǎng)殖場新進(jìn)1000尾魚苗，測量其體長(單位：毫米)，將所得數(shù)據(jù)分成6組，其分組及頻數(shù)情況如下表：分組(單位：毫米)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100]頻數(shù)100100m350150n已知在按以上6個(gè)分組作出的頻率分布直方圖中，[95,100]分組對應(yīng)小矩形的高為0.01，則下列說法正確的是()A．m＝250B．魚苗體長在[90,100]上的頻率為0.16C．魚苗體長的中位數(shù)一定落在區(qū)間[85,90)內(nèi)D．從這批魚苗中有放回地連續(xù)抽取50次，每次一條，則所抽取魚苗體長落在區(qū)間[80,90)上的次數(shù)的期望為30解析：選ACD因?yàn)閇95,100]分組對應(yīng)小矩形的高為0.01，組距為5，所以[95,100]分組對應(yīng)的頻率為0.01×5＝0.05，n＝1000×0.05＝50，則m＝1000－100－100－350－150－50＝250，A正確；魚苗體長在[90,100]上的頻率為eq\f(150＋50,1000)＝0.2，B錯(cuò)誤；因?yàn)轸~苗的總數(shù)為1000,100＋100＋250＝450,100＋100＋250＋350＝800，所以魚苗體長的中位數(shù)一定落在區(qū)間[85,90)內(nèi)，C正確；由表中數(shù)據(jù)易知，魚苗體長落在區(qū)間[80,90)上的概率P＝eq\f(250＋350,1000)＝0.6，設(shè)所抽取魚苗體長落在區(qū)間[80,90)上的次數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布，即X～B(50，0.6)，則E(X)＝50×0.6＝30，D正確，故選A、C、D．11．某校高三(1)班(45人)和高三(2)班(30人)進(jìn)行比賽，按照分層隨機(jī)抽樣的方法從兩個(gè)班共抽取10名同學(xué)，相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：高三(1)班答對題目的平均數(shù)為1，方差為1；高三(2)班答對題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.35，則這10人答對題目的方差為()A．0.61 B．0.675C．0.74 D．0.8解析：選D由分層隨機(jī)抽樣可得高三(1)班抽取的人數(shù)為eq\f(45,45＋30)×10＝6，高三(2)班抽取的人數(shù)為eq\f(30,45＋30)×10＝4，設(shè)高三(1)班(6人)答對題目數(shù)依次為x1，x2，…，x6，高三(2)班(4人)答對題目數(shù)依次為y1，y2，y3，y4，由題意可得eq\f(1,6)eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do8(i＝1))xi＝1，eq\f(1,6)eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do8(i＝1))(xi－1)2＝eq\f(1,6)(eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－6)＝1，eq\f(1,4)eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do8(i＝1))yi＝1.5，eq\f(1,4)eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do8(i＝1))(yi－1.5)2＝eq\f(1,4)(eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)－4×1.52)＝0.35，可得eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do8(i＝1))xi＝6，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝12，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do8(i＝1))yi＝6，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝10.4，則這10人答對題目的平均數(shù)為eq\f(1,10)(eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do8(i＝1))xi＋eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do8(i＝1))yi)＝1.2，這10人答對題目的方差為eq\f(1,10)(eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)＋eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)－10×1.22)＝0.8.12．(2023·保定模擬)下面對于樣本相關(guān)系數(shù)r的敘述中，正確的是________．①|(zhì)r|∈[0,1]，|r|越大相關(guān)程度越大，反之相關(guān)程度越小；②r∈(－∞，＋∞)，r越大相關(guān)程度越大，反之相關(guān)程度越??；③r＝0.85表示的兩變量的相關(guān)程度大于r＝0.80表示的相關(guān)程度．解析：對于①，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大，|r|越接近于0，相關(guān)程度越小，①正確；對于②，變量間的樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1,1]，②錯(cuò)誤；對于③，|r|越接近于1，相關(guān)程度越大，③正確．答案：①③13．(2023·衡陽模擬)小張、小李參加滿分為50分(只取整數(shù))的崗上技能測試，小張的六次成績從小到大分別為27,32,39，m,46,47；小李的六次成績從小到大分別為30,31,34,41,42,45，只知小張的六次成績的第50百分位數(shù)等于小李的六次成績的第80百分位數(shù)，則m＝________.解析：因?yàn)?×50%＝3，所以小張的六次成績的第50百分位數(shù)為eq\f(39＋m,2).又因?yàn)?×80%＝4.8，小李六次成績的第80百分位數(shù)為42，可得eq\f(39＋m,2)＝42，解得m＝2×42－39＝45.答案：4514．(2023·聊城一模)某班共有50名學(xué)生，在期末考試中，小明因病未參加數(shù)學(xué)考試．參加考試的49名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的方差為2.在評估數(shù)學(xué)成績時(shí)，老師把小明的數(shù)學(xué)成績按這49名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)來算，那么全班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為________．解析：設(shè)參加考試的49名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?yōu)閤i(i＝1,2,3，…，49)，平均成績?yōu)閑q\x\to(x)，由題意得eq\f(\o(∑,\s\up6(49),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2,49)＝2，則全班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(\f(\o(∑,\s\up6(50),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2,50))＝eq\r(\f(\o(∑,\s\up6(49),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2＋x50－\x\to(x)2,50))＝eq\r(\f(\o(∑,\s\up6(49),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2＋0,50))＝eq\r(\f(49×2＋0,50))＝eq\f(7,5).答案：eq\f(7,5)15．某班40名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計(jì)所得平均分為80分，方差為70，后來發(fā)現(xiàn)有兩名同學(xué)的成績有誤，甲實(shí)得80分錯(cuò)記為60分，乙實(shí)得70分錯(cuò)記為90分，則更正后的方差為________．解析：因?yàn)榧讓?shí)得80分，記為60分，少記20分，乙實(shí)得70分，記為90分，多記20分，所以總分沒有變化，因此更正前后的平均分沒有變化，都是80分．設(shè)甲、乙以外的其他同學(xué)的成績分別為a3，a4，…，a40，因?yàn)楦暗姆讲顬?0，所以(60－80)2＋(90－80)2＋(a3－80)2＋…＋(a40－80)2＝70×40，所以(a3－80)2＋…＋(a40－80)2＝2800－400－100＝2300，更正后的方差為s2＝eq\f(1,40)[(80－80)2＋(70－80)2＋(a3－80)2＋…＋(a40－80)2]＝60，所以更正后的方差為60.答案：6016．(2023·南平模擬)2023年4月24日是第八個(gè)“中國航天日”，主題是“格物致知，叩問蒼穹”．某校組織學(xué)生參與航天知識競答活動(dòng)，某班8位同學(xué)成績?nèi)缦拢?,6,8,9,8,7,10，m.若去掉m，該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)m(1≤m≤10)的值可以是________(寫出一個(gè)滿足條件的m的值即可)．解析：7,6,8,9,8,7,10，m，若去掉m，該組數(shù)據(jù)從小到大排列為6,7,7,8,8,9,10，則7×0.25＝1.75，故第25百分位數(shù)為第二個(gè)數(shù)即7，所以7,6,8，9,8,7,10，m的第25百分位數(shù)為7，而8×0.25＝2，所以7為第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10.答案：7或8或9或10(填上述4個(gè)數(shù)中任意一個(gè)均可)小題考法(二)概率eq\f(命題點(diǎn)一,自主練通)古典概型1．(2023·張家界二模)有3本不同的科技類書，2本不同的文藝類書，若將其隨機(jī)地并排擺放到書架的同一層上，則同一類別的書都不相鄰的概率是()A．eq\f(1,20) B．eq\f(1,10)C．eq\f(1,5) D．eq\f(3,10)解析：選B若同一類別的書都不相鄰，則先將3本科技類書排序，然后將2本文藝類書插入中間2個(gè)空，所以同一類別的書都不相鄰的概率P＝eq\f(A\o\al(3,3)A\o\al(2,2),A\o\al(5,5))＝eq\f(1,10).故選B．2．算盤起源于中國，迄今已有2600多年的歷史，是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具：現(xiàn)有一種算盤(如圖1)，共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1(如圖2中算盤表示整數(shù)51)．如果撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，則表示的數(shù)字大于50的概率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,8)解析：選B撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，第一類，只在一個(gè)檔撥動(dòng)兩枚算珠共有4種方法，表示的數(shù)字分別為2,6,20,60；第二類，在每一個(gè)檔各撥動(dòng)一枚算珠共有4種方法，表示的數(shù)字分別為11,15,51,55，所以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.其中表示的數(shù)字大于50的有51,55,60共3個(gè)，所以表示的數(shù)字大于50的概率為eq\f(3,8).故選B．3．(教考銜接：人教A版選擇性必修③P28T19改編)為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某校進(jìn)行了書法大賽，同學(xué)們踴躍報(bào)名，在成績公布之前，可以確定甲、乙、丙、丁、戊5名從小就練習(xí)書法的同學(xué)鎖定了第1至5名．甲和乙去詢問成績，組委會(huì)對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是五人中最差的．”則最終丙和丁獲得前兩名的概率為()A．eq\f(2,9) B．eq\f(4,9)C．eq\f(8,27) D．eq\f(4,27)解析：選D由概率的相關(guān)性質(zhì)，只需分析甲乙丙丁戊五人情況即可．①若甲是最后一名，則乙可能是二、三、四名，剩下三人共有Aeq\o\al(3,3)種情況，此時(shí)共有3Aeq\o\al(3,3)＝18種情況；②若甲不是最后一名，則甲、乙需排在二、三、四名，有Aeq\o\al(2,3)種情況，剩下三人共有Aeq\o\al(3,3)種情況，此時(shí)有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種情況，則一共有36＋18＝54種不同的名次情況，最終丙和丁獲得前兩名的情況有Aeq\o\al(2,2)(Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2))＝8種，故丙和丁獲得前兩名的概率P＝eq\f(8,54)＝eq\f(4,27).4．(2022·全國甲卷)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________．解析：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，取法有Ceq\o\al(4,8)＝70(種)．其中4個(gè)點(diǎn)共面有以下兩種情況：(1)所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖1，有6種取法；(2)所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)對角面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖2，也有6種取法．所以所取的4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率P＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).答案：eq\f(6,35)[思維建模](1)解決古典概型問題的關(guān)鍵是求樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其常用方法有：枚舉法、樹狀圖法，利用排列組合知識計(jì)算．(2)對于較復(fù)雜的事件所包含的樣本點(diǎn)數(shù)的計(jì)算，要利用分類討論思想、正難則反的思想方法求解．eq\f(命題點(diǎn)二,深化學(xué)習(xí))相互獨(dú)立事件的概率、條件概率與全概率公式[講評提能][例1](多選)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則()A．乙發(fā)生的概率為eq\f(1,2) B．丙發(fā)生的概率為eq\f(1,2)C．甲與丁相互獨(dú)立 D．丙與丁互為對立事件[解析]設(shè)A為事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，B為事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，C為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，D為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,6)×eq\f(2,5)＋eq\f(3,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,2)，故A正確．P(C)＝2×eq\f(3,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,5)，P(D)＝2×eq\f(3,6)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,5)，故B錯(cuò)誤．而P(AD)＝eq\f(3×2,6×5)＝eq\f(1,5)＝P(A)P(D)，故C正確．兩次取出的數(shù)字之和要么為奇數(shù)，要么為偶數(shù)，故丙與丁互為對立事件，故D正確．[答案]ACD[例2](2023·石家莊模擬)(多選)甲口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙口袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是()A．P(B|A2)＝eq\f(3,11) B．事件A1與事件B相互獨(dú)立C．P(A3|B)＝eq\f(1,2) D．P(B)＝eq\f(3,10)[解析]由題意得P(B|A2)＝eq\f(3,3＋3＋4＋1)＝eq\f(3,11)，所以A正確；因?yàn)镻(B|A1)＝eq\f(4,11)，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(3,11)＋eq\f(5,10)×eq\f(3,11)＝eq\f(3,10)，所以P(B)≠P(B|A1)，即P(B)P(A1)≠P(BA1)，故事件A1與事件B不相互獨(dú)立，所以B錯(cuò)誤，D正確；P(A3|B)＝eq\f(PA3B,PB)＝eq\f(PA3PB|A3,PB)＝eq\f(\f(5,10)×\f(3,11),\f(3,10))＝eq\f(5,11)，所以C錯(cuò)誤．[答案]AD[思維建模]1．求獨(dú)立事件概率的關(guān)鍵點(diǎn)(1)緊扣定義，正確判斷相互獨(dú)立事件；(2)能分解獨(dú)立事件為幾個(gè)互斥事件的和；(3)能正確運(yùn)用公式P(AB)＝P(A)P(B)．2．條件概率的求法利用定義分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).這是通用的求條件概率的方法借助古典概型概率公式先求事件A包含的樣本點(diǎn)總數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)[過關(guān)訓(xùn)練]1．(2023·南京模擬)某鉛筆工廠有甲、乙兩個(gè)車間，甲車間的產(chǎn)量是乙車間產(chǎn)量的1.5倍，現(xiàn)在客戶定制生產(chǎn)同一種鉛筆產(chǎn)品，由甲、乙兩個(gè)車間負(fù)責(zé)生產(chǎn)，甲車間產(chǎn)品的次品率為10%，乙車間產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)在從這種鉛筆產(chǎn)品中任取一件，則取到次品的概率為()A．0.08 B．0.06C．0.04 D．0.02解析：選A從這種鉛筆中任取一件抽到甲的概率為0.6，抽到乙的概率是0.4，抽到甲車間次品的概率P1＝0.6×0.1＝0.06，抽到乙車間次品的概率P2＝0.4×0.05＝0.02，任取一件抽到次品的概率P＝P1＋P2＝0.06＋0.02＝0.08.故選A．2．(多選)某校團(tuán)委組織“喜迎二十大、永遠(yuǎn)跟黨走”主題征文比賽，評審結(jié)果顯示，獲得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量之比為2∶3∶5，男生的征文獲獎(jiǎng)數(shù)量分別占一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑目倲?shù)的30%,60%,50%.現(xiàn)從所有獲獎(jiǎng)?wù)魑闹腥稳∫黄洝叭〕鲆坏泉?jiǎng)的征文”為事件E，“取出男生的征文”為事件F，“取出女生的征文”為事件G，則()A．P(F)>P(G) B．P(F)P(G)<eq\f(1,4)C．P(E|G)＝eq\f(4,17) D．P(E|F)＝eq\f(6,49)解析：選BD因?yàn)楂@得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量之比為2∶3∶5，那么不妨設(shè)獲得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量分別為2m,3m,5m，則獲獎(jiǎng)總數(shù)為10m.因?yàn)槟猩恼魑墨@獎(jiǎng)數(shù)量分別占一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑目倲?shù)的30%,60%,50%，所以男生的一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑墨@獎(jiǎng)數(shù)量分別為0.6m,1.8m,2.5m，則女生的一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑墨@獎(jiǎng)數(shù)量分別為1.4m，1.2m，2.5m，現(xiàn)從所有獲獎(jiǎng)?wù)魑闹腥稳∫黄?，記“取出一等?jiǎng)的征文”為事件E，“取出男生的征文”為事件F，“取出女生的征文”為事件G，則P(F)＝eq\f(0.6m＋1.8m＋2.5m,10m)＝0.49，P(G)＝eq\f(1.4m＋1.2m＋2.5m,10m)＝0.51，P(F)<P(G)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤．P(F)P(G)＝0.2499<eq\f(1,4)，所以選項(xiàng)B正確．P(E|G)＝eq\f(PEG,PG)＝eq\f(\f(1.4m,10m),0.51)＝eq\f(14,51)≠eq\f(4,17)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤．P(E|F)＝eq\f(PEF,PF)＝eq\f(\f(0.6m,10m),0.49)＝eq\f(6,49)，所以選項(xiàng)D正確．3．(2023·天津高考)甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為________；將三個(gè)盒子中的球混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為________．解析：設(shè)A＝“從甲盒子中取一個(gè)球，是黑球”，B＝“從乙盒子中取一個(gè)球，是黑球”，C＝“從丙盒子中取一個(gè)球，是黑球”，由題意可知P(A)＝40%＝eq\f(2,5)，P(B)＝25%＝eq\f(1,4)，P(C)＝50%＝eq\f(1,2)，現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,20)；設(shè)D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由題意可知P(D1)＝eq\f(5,5＋4＋6)＝eq\f(1,3)，P(D2)＝eq\f(4,5＋4＋6)＝eq\f(4,15)，P(D3)＝eq\f(6,5＋4＋6)＝eq\f(2,5)，P(E|D1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，P(E|D2)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，P(E|D3)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)·P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＋eq\f(4,15)×eq\f(3,4)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(1,20)eq\f(3,5)

eq\f(命題點(diǎn)三,深化學(xué)習(xí))二項(xiàng)分布與正態(tài)分布[講評提能][例3](2023·揚(yáng)州模擬)某地市在一次測試中，高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績?chǔ)畏恼龖B(tài)分布ξ～N(80，σ2)，已知P(50<ξ<80)＝0.3，若按成績分層隨機(jī)抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從110分以上的試卷中抽取()A．15份 B．20份C．25份 D．30份[解析]可知正態(tài)曲線的對稱軸為x＝80，得P(80<ξ<110)＝P(50<ξ<