大題專攻(一)

統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析12目錄301[例1]

(2023·全國(guó)乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1,2，…，10)，試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536[思維建模]利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2023·泉州模擬)隨著老年人消費(fèi)需求從“生存型”向“發(fā)展型”轉(zhuǎn)變．消費(fèi)層次不斷提升，“銀發(fā)經(jīng)濟(jì)”成為社會(huì)熱門話題之一，被各企業(yè)持續(xù)關(guān)注．某企業(yè)為了解該地老年人消費(fèi)能力情況，對(duì)該地年齡在[60,80)的老年人的年收入按年齡[60,70)，[70,80)分成兩組進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣調(diào)查，已知抽取了年齡在[60,70)的老年人500人．年齡在[70,80)的老年人300人．現(xiàn)作出年齡在[60,70)的老年人年收入的頻率分布直方圖(如圖所示)．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地年齡在[60,70)的老年人年收入的平均數(shù)及第95百分位數(shù)；(2)已知年齡在[60,70)的老年人年收入的方差為3，年齡在[70,80)的老年人年收入的平均數(shù)和方差分別為3.75和1.4，試估計(jì)年齡在[60,80)的老年人年收入的方差．02角度1線性回歸分析[例2]某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910平均值根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.05abc0.070.06材積量yi0.250.410.220.540.530.340.350.390.430.440.39(1)求b的值；(2)若選取前6個(gè)樣本號(hào)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，判斷這種樹木的根部橫截面積與材積量是否具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，并求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(若0.25≤|r|≤0.75，則認(rèn)為兩個(gè)變量的線性相關(guān)性一般；若|r|>0.75，則認(rèn)為兩個(gè)變量的線性相關(guān)性很強(qiáng))；(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程估計(jì)a，c的值(精確到0.01)．[解]

(1)由a，b，c為等差數(shù)列，得2b＝a＋c，由表格得該樹木根部橫截面積的平均值為0.06，可得a＋b＋c＝0.06×10－(0.04＋0.06＋0.04＋0.08＋0.08＋0.05＋0.07)＝0.18，故3b＝0.18，解得b＝0.06.角度2非線性回歸分析[例3]某電器企業(yè)統(tǒng)計(jì)了近10年的年利潤(rùn)額y(千萬元)與投入的年廣告費(fèi)用x(十萬元)的相關(guān)數(shù)據(jù)，散點(diǎn)圖如圖，對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：令ui＝lnxi，vi＝lnyi，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示.(1)從①y＝bx＋a；②y＝m·xk(m>0，k>0)；③y＝cx2＋dx＋e三個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)作為年廣告費(fèi)用x和年利潤(rùn)額y的回歸類型，判斷哪個(gè)類型符合，不必說明理由；[解]

(1)由散點(diǎn)圖知，年廣告費(fèi)用x和年利潤(rùn)額y的回歸類型并不是直線型的，而是曲線型的，且y與x正相關(guān)，∴選擇回歸類型y＝m·xk更好．[思維建模]有些非線性回歸分析問題用適當(dāng)?shù)淖兞窟M(jìn)行變換，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題，使之得到解決．其一般步驟：[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]2．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億元)與某類商品銷售額(單位：億元)的10年數(shù)據(jù)如下表所示：第n年12345678910居民年收入x32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品銷售額y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0解：(1)根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95，可以推斷線性相關(guān)程度很強(qiáng)．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，判斷y＝ax2＋b與y＝ecx＋d哪個(gè)適宜作為年銷售額y關(guān)于種植面積x的回歸方程類型(樣本相關(guān)系數(shù)精確到0.01)；(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及相關(guān)數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；(3)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃年銷售額不低于10億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)種植面積至少為多少畝．因?yàn)閞1>r2，所以y＝ax2＋b適宜作為年銷售額y關(guān)于種植面積x的回歸方程類型．03(2)該企業(yè)改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，生產(chǎn)了批次乙的芯片．某手機(jī)廠商獲得批次甲與批次乙的芯片，并在某款手機(jī)上使用．現(xiàn)對(duì)使用這款手機(jī)的100名用戶回訪，對(duì)開機(jī)速度進(jìn)行調(diào)查．據(jù)統(tǒng)計(jì)，安裝批次甲的有40名，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有30名；安裝批次乙的有60名，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有55名．試整理出2×2列聯(lián)表(單位：名)，并依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析芯片批次是否與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意有關(guān).批次是否滿意合計(jì)

滿意不滿意甲

乙

合計(jì)

α0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.828(2)零假設(shè)為H0：芯片批次與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意無關(guān)，得2×2列聯(lián)表如下：批次是否滿意合計(jì)滿意不滿意甲301040乙55560合計(jì)8515100(2)為進(jìn)一步驗(yàn)證(1)中的判斷，該興趣小組用分層隨機(jī)抽樣的方法在該地抽取了一個(gè)容量為m(m∈N*)的樣本，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得χ2＝2.640.為提高檢驗(yàn)結(jié)論的可靠性，現(xiàn)將樣本容量調(diào)整為原來的k(k∈N*)倍，使得能有99.9%的把握肯定(1)中的判斷，試確定k