碰撞中的臨界問(wèn)題及多次碰撞問(wèn)題

一、碰撞中的臨界極值問(wèn)題

碰撞中的臨界極值問(wèn)題，指的是相互作用中的物體“恰好不相撞”“相距最

近”“相距最遠(yuǎn)”或“恰上升到最高點(diǎn)”等，求解的關(guān)鍵是速度相等。常見(jiàn)類型

有

(1)當(dāng)小物塊到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，兩物體速度相同。

(2)彈簧最短或最長(zhǎng)時(shí)，兩物體速度相同，此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能最大。

(3)兩物體剛好不相撞，兩物體速度相同。

(4)滑塊恰好不滑出長(zhǎng)木板，滑塊滑到長(zhǎng)木板末端時(shí)與長(zhǎng)木板速度相同。

例1如圖1，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側(cè)一蹲在滑板

上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時(shí)刻小孩將冰塊以相對(duì)冰面3m/s

的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h

＝0.3m(h小于斜面體的高度)。已知小孩與滑板的總質(zhì)量為m1＝30kg，冰塊的質(zhì)

2

量為m2＝10kg，小孩與滑板始終無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。重力加速度的大小取g＝10m/s。

圖1

(1)求斜面體的質(zhì)量；

(2)通過(guò)計(jì)算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？

答案(1)20kg(2)不能，理由見(jiàn)解析

解析(1)規(guī)定向左為正方向。冰塊在斜面體上上升到最大高度時(shí)兩者達(dá)到共同速

度，設(shè)此共同速度為v，斜面體的質(zhì)量為m3。對(duì)冰塊與斜面體分析，由水平方向

動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得m2v0＝(m2＋m3)v

1212

m2v0＝(m2＋m3)v＋m2gh

22

式中v0＝3m/s為冰塊推出時(shí)的速度，聯(lián)立并代入題給數(shù)據(jù)得v＝1m/s，m3＝20kg。

(2)設(shè)小孩推出冰塊后的速度為v1，對(duì)小孩與冰塊分析，由動(dòng)量守恒定律有

m1v1＋m2v0＝0

代入數(shù)據(jù)得v1＝－1m/s

設(shè)冰塊與斜面體分離后的速度分別為v2和v3，對(duì)冰塊與斜面體分析，由動(dòng)量守恒

定律和機(jī)械能守恒定律有m2v0＝m2v2＋m3v3

121212

m2v0＝m2v2＋m3v3

222

聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得v2＝－1m/s

由于冰塊與斜面體分離后的速度與小孩推出冰塊后的速度相同且冰塊處在小孩后

方，故冰塊不能追上小孩。

1.(多選)(2024·遼寧大連模擬)如圖2所示，甲和他的冰車(chē)總質(zhì)量M＝30kg，甲推

著質(zhì)量m＝15kg的小木箱一起以速度v0＝2m/s向右滑行，乙和他的冰車(chē)總質(zhì)量

也為M＝30kg，乙以同樣大小的速度迎面而來(lái)。為了避免相撞，甲將小木箱以速

度v沿冰面推出，木箱滑到乙處時(shí)乙迅速把它抓住。若不計(jì)冰面的摩擦力，則小

木箱的速度v可能為()

圖2

A.4m/sB.5m/s

C.6m/sD.7m/s

答案CD

解析對(duì)于甲和箱子根據(jù)動(dòng)量守恒定律得(M＋m)v0＝Mv1＋mv，對(duì)于乙和箱子根

據(jù)動(dòng)量守恒定律得mv－Mv0＝(M＋m)v2，甲、乙恰好不相碰，有v1＝v2，聯(lián)立解

得v＝5.2m/s，若要避免碰撞，則需要滿足v≥5.2m/s，故C、D正確，A、B錯(cuò)

誤。

二、多次碰撞問(wèn)題

多次碰撞問(wèn)題的處理方法是數(shù)學(xué)歸納法，先利用所學(xué)知識(shí)把前幾次碰撞過(guò)程理順、

分析透徹。根據(jù)前幾次數(shù)據(jù)利用數(shù)學(xué)歸納法，可寫(xiě)出之后碰撞過(guò)程中對(duì)應(yīng)規(guī)律或

結(jié)果，然后可以計(jì)算全程的路程或發(fā)生碰撞的總次數(shù)等數(shù)據(jù)。多次碰撞問(wèn)題涉及

的主要模型有：1.兩個(gè)物體之間或物體與擋板之間發(fā)生多次碰撞；2.多個(gè)物體發(fā)生

連續(xù)碰撞。

例2(2024·湖北黃岡高三檢測(cè))人和冰車(chē)的總質(zhì)量為M，另有一個(gè)質(zhì)量為m的堅(jiān)固

木箱，開(kāi)始時(shí)人坐在冰車(chē)上靜止在光滑水平冰面上，某一時(shí)刻人將原來(lái)靜止在冰

面上的木箱以速度v推向前方彈性擋板，木箱與擋板碰撞后又反向彈回。設(shè)木箱

與擋板碰撞過(guò)程中沒(méi)有機(jī)械能的損失，人接到木箱后又以速度v將木箱推向擋板，

如此反復(fù)多次，試求人推多少次木箱后將不可能再接到木箱(已知M∶m＝31∶2)。

答案9

解析人推木箱的過(guò)程，對(duì)于人和木箱組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律有

第1次推木箱前后：0＝Mv1－mv

第2次推木箱前后：Mv1＋mv＝Mv2－mv……

第n次推木箱前后：Mvn－1＋mv＝Mvn－mv

n個(gè)式子相加得(n－1)mv＝Mvn－nmv

（2n－1）mv2（2n－1）

所以vn＝＝v

M31

依題意可知vn≥v，則有n≥8.25，所以n＝9。

2.(多選)如圖3所示，質(zhì)量分別為2m、km(k未知且k>2)的小球B、C靜止放置在

光滑水平面上，一質(zhì)量為m的小球A從小球B的左側(cè)以速度v水平向右運(yùn)動(dòng)。已

知所有碰撞均為彈性碰撞，且碰撞時(shí)間極短，A與B只發(fā)生一次碰撞，則k的值

可能為()

圖3

A.4.5B.6

C.7.5D.9

答案AB

解析A與B碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得mv＝mvA＋2mvB，

12121212

mv＝mvA＋×2mvB，聯(lián)立解得碰后A、B的速度分別為vA＝－v，vB＝v，B

22233

與C碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得2mvB＝2mvB′＋kmvC，

（－）

12121222k

×2mvB＝×2mvB′＋·kmvC，聯(lián)立解得碰撞后B的速度為vB′＝v，為

2223（2＋k）

2（2－k）1

v－v