第十二章

全等三角形12.1.2定義、定理與證明01教學(xué)目標(biāo)02新知導(dǎo)入03新知講解04課堂練習(xí)05課堂小結(jié)06作業(yè)布置01教學(xué)目標(biāo)通過具體實(shí)例，抽象出定義、定理的本質(zhì)特征，理解定義對(duì)數(shù)學(xué)概念的界定作用，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性。01掌握證明的基本步驟，能根據(jù)定義、定理和已知條件，對(duì)簡(jiǎn)單命題進(jìn)行邏輯推理證明，培養(yǎng)演繹推理能力。02能準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述定義、定理，規(guī)范書寫證明過程，提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)與應(yīng)用能力。0302新知導(dǎo)入想一想：1.什么是命題？命題的結(jié)構(gòu)是什么？表示判斷的語(yǔ)句叫做命題.命題是由條件和結(jié)論兩部分組成的.條件是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).02新知導(dǎo)入想一想：2.命題如何分類？如何證明一個(gè)命題是假命題？命題分為真命題和假命題?？梢酝ㄟ^“舉反例”判斷一個(gè)命題是否為假命題，即只要舉出一個(gè)符合該命題條件而不符合該命題結(jié)論的例子就可以證明。03新知探究探究定義的概念觀察下面語(yǔ)句，思考這句話有什么作用？“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”這句話明確了平行線概念的含義，即“平行線是什么”。03新知探究探究定義的概念對(duì)名稱和術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它們的定義。思考：定義與上節(jié)課學(xué)習(xí)的命題有什么關(guān)系？“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”可改寫為“如果兩條直線在同一平面內(nèi)且不相交，那么這兩條直線是平行線”，所以說(shuō)定義是一種特殊的命題，它的結(jié)論是對(duì)概念的界定.03新知探究探究定義的概念你能說(shuō)一說(shuō)“直角三角形”的定義，并判斷這個(gè)定義是否為命題嗎？直角三角形的定義為“有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形，可改寫為“如果一個(gè)三角形中有一個(gè)角為直角，那么這個(gè)三角形是直角三角形”。這個(gè)定義是命題。03新知探究探究定理的概念通過七年級(jí)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道如下各命題都是正確的，即都是公認(rèn)的真命題:兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間線段最短；同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.03新知探究探究定理的概念我們將這些命題視為基本事實(shí)，它們是我們?cè)诶^續(xù)學(xué)習(xí)過程中用來(lái)判斷其他命題真假的原始依據(jù)，即出發(fā)點(diǎn).數(shù)學(xué)中，有些命題可以從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.03新知講解思考：真命題與定理是什么關(guān)系？定理一定是真命題，但真命題不一定是定理.【例】下列真命題中屬于定理的為（）.A.若a是整數(shù)，則a是有理數(shù)B.對(duì)頂角相等C.直線上兩點(diǎn)之間的部分叫做線段D.銳角小于直角B03新知探究探究什么是證明？（1）一位同學(xué)在鉆研數(shù)學(xué)題時(shí)發(fā)現(xiàn)：于是，他根據(jù)上面的結(jié)果并利用質(zhì)數(shù)表得出結(jié)論：從質(zhì)數(shù)2開始，排在前面的任意多個(gè)質(zhì)數(shù)的積加1一定也是質(zhì)數(shù).他的結(jié)論正確嗎?03新知探究探究什么是證明？

(2)如圖，一位同學(xué)在畫圖時(shí)發(fā)現(xiàn)：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)都在三角形的內(nèi)部.于是他得出結(jié)論：任何一個(gè)三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)都在三角形的內(nèi)部.他的結(jié)論正確嗎?03新知探究探究什么是證明？

(3)我們?cè)?jīng)通過計(jì)算四邊形、五邊形、六邊形、七邊形等的內(nèi)角和，得到一個(gè)結(jié)論：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°.這個(gè)結(jié)論正確嗎？是否有一個(gè)多邊形的內(nèi)角和不滿足這一結(jié)論?實(shí)際上，這是一個(gè)正確的結(jié)論。知識(shí)要點(diǎn)上面幾個(gè)例子說(shuō)明：通過特殊事例得到的結(jié)論可能正確，也可能不正確.因此，通過這種方式得到的結(jié)論，還需進(jìn)一步加以證實(shí).根據(jù)條件、定義及基本事實(shí)、定理等，經(jīng)過演繹推理，來(lái)判斷一個(gè)命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明.知識(shí)要點(diǎn)演繹推理是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方法.除了基本事實(shí)和已知的定理外，等式與不等式的有關(guān)性質(zhì)以及等量代換也可以作為推理的依據(jù).例如，有了“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等”這條定理后，我們可以證明命題：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).03新知探究已知：如圖，直線a∥b，∠1與∠2是同旁內(nèi)角.求證：∠1+∠2=180°.證明：我們將∠1的同位角記為∠3.∵a∥b(已知)，∴∠1=∠3(兩直線平行，同位角相等).又∵∠3+∠2=180°(鄰補(bǔ)角的定義)，∴∠1+∠2=180°(等量代換).03新知探究由一個(gè)定理直接推出的正確結(jié)論叫做這個(gè)定理的推論。例如“兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是定理“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等”的推論.推論和定理一樣，可以作為進(jìn)一步證明的依據(jù).03新知探究證明必須做到“言必有據(jù)”，每步推理都要有依據(jù)，它們可以是已知條件，也可以是定義、基本事實(shí)、已經(jīng)學(xué)過的定理，以及等量代換、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等.在開始學(xué)習(xí)書寫證明的過程時(shí)，要求把依據(jù)寫在每一步推理后面的括號(hào)內(nèi)，熟練后可以逐漸簡(jiǎn)化.04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：1.下列屬于定義的是().A.兩點(diǎn)確定一條直線B.兩直線平行，同位角相等C.等角的補(bǔ)角相等D.線段是直線上的兩點(diǎn)和它們之間的部分D04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：2.下列命題：①對(duì)頂角相等；②兩點(diǎn)確定一條直線；③兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；④銳角都相等；⑤同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.其中，是基本事實(shí)的是______，是定理的是______.（填序號(hào)）②⑤①③04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：3.有下列描述：①過點(diǎn)A作直線AF∥BC；②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ);③垂直于同一直線的兩條直線互相垂直.其中是定理的有（）.A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)B04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：4.如圖，下列推理錯(cuò)誤的是().A.∵∠1=∠3，∴a∥bB.∵a∥b，∴∠2+∠3=180°C.∵∠2=∠4，∴a∥bD.∵a∥b，∴∠2+∠4=180°D04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：5.如圖，若AO⊥CO，BO⊥DO，則∠AOB=∠COD，推理的依據(jù)是().A.同角的補(bǔ)角相等 B.同角的余角相等C.對(duì)頂角相等 D.垂直的定義B04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：6.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是____.(填序號(hào))①所有的定義都是命題；②所有的基本事實(shí)都是命題；③所有的定理都是命題；④所有的命題都是定理.④04課堂練習(xí)【綜合拓展類作業(yè)】7.如圖，有如下四個(gè)論斷：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED.（1）將其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)命題，正確的命題有哪些？解：如果①②③，那么④；如果①②④，那么③；如果①③④，那么②；如果②③④，那么①.04課堂練習(xí)【綜合拓展類作業(yè)】7.如圖，有如下四個(gè)論斷：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED.（2）請(qǐng)你從上述命題中選擇一個(gè)寫出已知、求證并進(jìn)行證明.解：已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求證：EF平分∠BED.04課堂練習(xí)【綜合拓展類作業(yè)】證明：如圖，∵AC∥DE，∴∠BCA=∠BED,即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC∥EF，∴∠2=∠5，∴∠1=∠4.∵CD平分∠BCA，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF平分∠BED.05課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)到了什么？(1)五個(gè)基本事實(shí).(2)定理的概念.(3)證明及證明的過程與步驟.06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：1.下列語(yǔ)句中，是定義的是().A.點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離是3cmB.兩直線平行，同位角相等C.直角都相等D.兩邊相等的三角形是等腰三角形D06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：2.小明用兩塊三角板拼接時(shí)發(fā)現(xiàn)，若∠1和∠2都是∠3的補(bǔ)角，則∠1=∠2，這一結(jié)論屬于().A.定義B.基本事實(shí)C.定理D.假命題C06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：3.下列命題中，不是定理的是().A.直角三角形兩銳角互余B.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)C.n邊形的內(nèi)角和為(n-2)×180°D.相等的角是對(duì)頂角D06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：4.如圖，從①∠1+∠2=180°；②∠3=∠A；③∠B=∠C，三個(gè)條件中選出兩個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論可以組成3個(gè)命題.從中選擇一個(gè)真命題，寫出已知求證，并證明.如圖，已知______，求證：____.(填序號(hào))①②③06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：4.證明：∵∠1+∠2=180°，∴AD∥EF,∴∠3=∠D.∵∠3=∠A，∴∠A=∠D，∴AB∥CD，∴∠B=∠C.06作業(yè)布置【綜合拓展類作業(yè)】5.補(bǔ)全下面的證明過程，并填上推理的依據(jù).已知：如圖，點(diǎn)F在線段AD上，點(diǎn)B，C，E共線，∠B+∠BCD