中考函數(shù)經(jīng)典題解析引言：函數(shù)——中考數(shù)學(xué)的“半壁江山”在中考數(shù)學(xué)的試卷中，函數(shù)無疑占據(jù)著舉足輕重的地位。它不僅是初中數(shù)學(xué)知識體系的核心內(nèi)容，更是連接代數(shù)與幾何的橋梁，也是后續(xù)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。從簡單的一次函數(shù)到復(fù)雜的二次函數(shù)，再到圖像獨(dú)特的反比例函數(shù)，函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及其應(yīng)用，貫穿了中考數(shù)學(xué)的多個(gè)題型，無論是選擇題、填空題，還是分值占比極高的解答題，都離不開函數(shù)的身影。因此，能否熟練掌握并靈活運(yùn)用函數(shù)知識，直接關(guān)系到中考數(shù)學(xué)成績的優(yōu)劣。本文將結(jié)合中考中函數(shù)的經(jīng)典題型，進(jìn)行深入解析，希望能為同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考提供一些切實(shí)的幫助。我們將重點(diǎn)剖析一次函數(shù)與二次函數(shù)的核心考點(diǎn)，輔以解題思路與方法的總結(jié)，力求讓同學(xué)們在面對函數(shù)問題時(shí)，能夠思路清晰、從容應(yīng)對。一、一次函數(shù)：基礎(chǔ)扎實(shí)，靈活應(yīng)變是關(guān)鍵一次函數(shù)，通常表現(xiàn)為形如\(y=kx+b\)（其中\(zhòng)(k\)、\(b\)為常數(shù)，且\(k\neq0\)）的形式。它的圖像是一條直線，這使得它在解決實(shí)際問題和幾何綜合題中都有著廣泛的應(yīng)用。經(jīng)典題型一：一次函數(shù)圖像與性質(zhì)的直接應(yīng)用例題：已知一次函數(shù)\(y=(m-1)x+m^2-1\)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，且\(y\)隨\(x\)的增大而減小，求\(m\)的值。審題：題目明確指出函數(shù)是一次函數(shù)，圖像經(jīng)過原點(diǎn)，且具有單調(diào)性（\(y\)隨\(x\)增大而減?。＿@些都是求解\(m\)值的關(guān)鍵信息。思路分析：1.一次函數(shù)的定義：要使函數(shù)為一次函數(shù)，其一次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即\(m-1\neq0\)，解得\(m\neq1\)。2.圖像經(jīng)過原點(diǎn)：原點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,0)\)，將其代入函數(shù)解析式，可得\(0=(m-1)\times0+m^2-1\)，即\(m^2-1=0\)，解得\(m=1\)或\(m=-1\)。3.單調(diào)性條件：\(y\)隨\(x\)的增大而減小，說明一次項(xiàng)系數(shù)\(k<0\)，即\(m-1<0\)，解得\(m<1\)。4.綜合以上條件：\(m\neq1\)，\(m=\pm1\)，且\(m<1\)。因此，\(m\)的值只能為\(-1\)。解答過程：解：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)\(y=(m-1)x+m^2-1\)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，所以將\((0,0)\)代入得：\(m^2-1=0\)，解得：\(m=1\)或\(m=-1\)。又因?yàn)樵摵瘮?shù)是一次函數(shù)，所以\(m-1\neq0\)，即\(m\neq1\)。且\(y\)隨\(x\)的增大而減小，所以\(m-1<0\)，即\(m<1\)。綜上，\(m=-1\)。點(diǎn)評與總結(jié)：本題看似簡單，但卻綜合考查了一次函數(shù)的定義、圖像過特殊點(diǎn)（原點(diǎn)）的條件以及函數(shù)的增減性。解題時(shí)，需要將各個(gè)條件逐一列出，然后取其公共部分。這類題目容易出錯(cuò)的地方在于忽略一次項(xiàng)系數(shù)不為零這個(gè)基本前提，或者在解不等式時(shí)出現(xiàn)符號錯(cuò)誤。同學(xué)們在解題時(shí)一定要細(xì)心，確保每個(gè)條件都考慮周全。經(jīng)典題型二：一次函數(shù)與方程、不等式的結(jié)合例題：如圖，一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像經(jīng)過\(A(-2,-1)\)，\(B(1,3)\)兩點(diǎn)。（1）求此一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖像直接寫出不等式\(kx+b>3\)的解集。審題：已知一次函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求出解析式。第二問則需要結(jié)合圖像，理解不等式\(kx+b>3\)的幾何意義。思路分析：1.求解析式（待定系數(shù)法）：將點(diǎn)\(A\)和點(diǎn)\(B\)的坐標(biāo)分別代入\(y=kx+b\)，得到一個(gè)關(guān)于\(k\)和\(b\)的二元一次方程組，解這個(gè)方程組即可求出\(k\)和\(b\)的值。2.解不等式\(kx+b>3\)：從函數(shù)圖像的角度看，\(kx+b>3\)表示函數(shù)值\(y>3\)時(shí)對應(yīng)的\(x\)的取值范圍。觀察圖像，找到函數(shù)值\(y=3\)對應(yīng)的點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)\(B(1,3)\)。由于一次函數(shù)的圖像是直線，且從圖像可以看出\(y\)隨\(x\)的增大而增大（因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)\(A\)到點(diǎn)\(B\)，\(x\)增大\(y\)也增大），所以當(dāng)\(x>1\)時(shí)，函數(shù)值\(y>3\)。解答過程：（1）解：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)\(y=kx+b\)的圖像經(jīng)過\(A(-2,-1)\)，\(B(1,3)\)兩點(diǎn)，所以可得方程組：\(\begin{cases}-2k+b=-1\\k+b=3\end{cases}\)用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程：\((k+b)-(-2k+b)=3-(-1)\)\(3k=4\)，解得\(k=\frac{4}{3}\)將\(k=\frac{4}{3}\)代入\(k+b=3\)，得\(\frac{4}{3}+b=3\)，解得\(b=\frac{5}{3}\)所以，一次函數(shù)的解析式為\(y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\)。（2）解：不等式\(kx+b>3\)即\(y>3\)。由圖像可知，當(dāng)\(x>1\)時(shí)，函數(shù)圖像在\(y=3\)的上方，即\(y>3\)。所以，不等式\(kx+b>3\)的解集為\(x>1\)。點(diǎn)評與總結(jié)：待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的基本方法，必須熟練掌握。而一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。理解“函數(shù)值大于某個(gè)數(shù)”對應(yīng)圖像在該水平線的上方，“函數(shù)值小于某個(gè)數(shù)”對應(yīng)圖像在該水平線的下方，對于快速求解這類不等式至關(guān)重要。同學(xué)們要培養(yǎng)從圖像中獲取信息的能力。二、二次函數(shù)：綜合應(yīng)用的“重頭戲”二次函數(shù)是中考函數(shù)的核心內(nèi)容，其圖像（拋物線）的復(fù)雜性決定了它能與眾多知識點(diǎn)結(jié)合，形成綜合性較強(qiáng)的題目。形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的二次函數(shù)，其性質(zhì)包括開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值、增減性以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，都是考查的重點(diǎn)。經(jīng)典題型一：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)綜合例題：已知二次函數(shù)\(y=x^2-2x-3\)。（1）將該函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式；（2）求出該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸；（3）求出該函數(shù)圖像與\(x\)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（4）當(dāng)\(x\)取何值時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小？審題：本題圍繞一個(gè)具體的二次函數(shù)，考查其解析式的不同形式、圖像的基本要素（頂點(diǎn)、對稱軸）、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及增減性。思路分析：1.化為頂點(diǎn)式：通常采用配方法。先將二次項(xiàng)和一次項(xiàng)組合，提取二次項(xiàng)系數(shù)（本題二次項(xiàng)系數(shù)為1，可省略此步），然后在括號內(nèi)加上并減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，完成配方。2.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸：頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((h,k)\)，對稱軸為直線\(x=h\)。3.與\(x\)軸交點(diǎn)：令\(y=0\)，解一元二次方程\(x^2-2x-3=0\)，所得的根即為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。4.增減性：對于開口向上的拋物線（\(a>0\)），在對稱軸左側(cè)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小；在對稱軸右側(cè)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大。解答過程：（1）\(y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4\)。（2）由頂點(diǎn)式可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,-4)\)，對稱軸為直線\(x=1\)。（3）令\(y=0\)，則\(x^2-2x-3=0\)，因式分解得：\((x-3)(x+1)=0\)，解得：\(x_1=3\)，\(x_2=-1\)。所以，函數(shù)圖像與\(x\)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為\((-1,0)\)和\((3,0)\)。（4）因?yàn)閈(a=1>0\)，拋物線開口向上，對稱軸為直線\(x=1\)，所以當(dāng)\(x<1\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小。點(diǎn)評與總結(jié)：本題是對二次函數(shù)基礎(chǔ)知識的全面考查。配方法是將一般式化為頂點(diǎn)式的常用方法，務(wù)必熟練掌握。頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸是二次函數(shù)圖像的“靈魂”，決定了圖像的位置和基本走勢。求與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，本質(zhì)上是解相應(yīng)的方程。增減性則與開口方向和對稱軸緊密相關(guān)。這些基礎(chǔ)知識是解決更復(fù)雜二次函數(shù)問題的前提，同學(xué)們務(wù)必夯實(shí)。經(jīng)典題型二：二次函數(shù)的最值問題（含實(shí)際應(yīng)用）例題：某商店經(jīng)營一種小商品，進(jìn)價(jià)為每件\(a\)元（此處\(a\)為一個(gè)具體數(shù)值，為避免數(shù)字，理解為已知成本即可）。據(jù)市場分析，銷售單價(jià)定為每件\(x\)元時(shí)，每天的銷售量為\((100-x)\)件。若想每天獲得最大利潤，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？最大利潤是多少？審題：這是一個(gè)典型的二次函數(shù)最值在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題。涉及到進(jìn)價(jià)、售價(jià)、銷售量和利潤之間的關(guān)系。思路分析：1.明確利潤公式：每天的利潤=每件的利潤×每天的銷售量。2.表示相關(guān)量：每件的利潤為\((x-a)\)元，每天的銷售量為\((100-x)\)件。3.建立利潤函數(shù)：設(shè)每天的利潤為\(y\)元，則\(y=(x-a)(100-x)\)。4.化簡函數(shù)解析式：將上述關(guān)系式展開并整理成二次函數(shù)的一般形式\(y=ax^2+bx+c\)。5.求最值：由于二次項(xiàng)系數(shù)可判斷其正負(fù)（通常在這類問題中，二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值），利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法求出當(dāng)\(x\)為何值時(shí)，\(y\)取得最大值，并求出最大值。同時(shí)要注意自變量\(x\)的實(shí)際取值范圍（如售價(jià)不能低于進(jìn)價(jià)，銷售量不能為負(fù)等）。解答過程：解：設(shè)每天的利潤為\(y\)元，根據(jù)題意得：\(y=(x-a)(100-x)\)展開得：\(y=-x^2+(100+a)x-100a\)。這是一個(gè)二次函數(shù)，其中\(zhòng)(a'=-1\)（此處為區(qū)分進(jìn)價(jià)\(a\)，用\(a'\)表示二次項(xiàng)系數(shù)），\(b'=100+a\)，\(c'=-100a\)。因?yàn)閈(a'=-1<0\)，所以拋物線開口向下，函數(shù)有最大值。對稱軸為直線\(x=-\frac{b'}{2a'}=-\frac{100+a}{2\times(-1)}=\frac{100+a}{2}\)。所以，當(dāng)銷售單價(jià)定為\(x=\frac{100+a}{2}\)元時(shí)，每天獲得的利潤最大。將\(x=\frac{100+a}{2}\)代入利潤函數(shù)，可得最大利潤：\(y_{最大值}=-\left(\frac{100+a}{2}\right)^2+(100+a)\left(\frac{100+a}{2}\right)-100a\)化簡后可得（具體計(jì)算過程略，核心是代入頂點(diǎn)橫坐標(biāo)求縱坐標(biāo)）：\(y_{最大值}=\left(\frac{100-a}{2}\right)^2\)。點(diǎn)評與總結(jié)：二次函數(shù)的最值問題是中考的熱點(diǎn)，尤其在實(shí)際應(yīng)用題中。解決這類問題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，準(zhǔn)確找出等量關(guān)系，建立二次函數(shù)模型。在求解過程中，要注意自變量的取值范圍是否符合實(shí)際意義。如果頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在自變量取值范圍內(nèi)，則該點(diǎn)的函數(shù)值就是最值；如果不在，則需要根據(jù)函數(shù)的增減性在端點(diǎn)處求最值。本題為了簡化，未給出具體進(jìn)價(jià)數(shù)值，但方法是通用的。同學(xué)們要學(xué)會從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型。三、反比例函數(shù)及函數(shù)綜合題簡述反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）在中考中雖然難度不如二次函數(shù)，但也經(jīng)常以選擇、填空或與一次函數(shù)結(jié)合的形式出現(xiàn)。其圖像是雙曲線，具有關(guān)于原點(diǎn)中心對稱和在每個(gè)象限內(nèi)的增減性等特點(diǎn)。解題時(shí)要注意\(k\)的符號對圖像位置和增減性的影響，以及反比例函數(shù)中\(zhòng)(x\neq0\)這一隱含條件。函數(shù)綜合題則是將一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中的兩種或多種結(jié)合起來，或者與幾何圖形（如三角形、四邊形）結(jié)合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析問題和解決問題的能力。這類題目往往難度較大，需要同學(xué)們具備較強(qiáng)的識圖能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力。解決綜合題時(shí)，要學(xué)會分解題目，將復(fù)雜問