中學(xué)導(dǎo)數(shù)考試題庫及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)答案：C2.若函數(shù)\(f(x)=x^3\)，則\(f^\prime(2)\)等于（）A.\(6\)B.\(12\)C.\(18\)D.\(24\)答案：B3.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)答案：A4.已知函數(shù)\(f(x)=e^x\)，則\(f^\prime(0)\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(e\)D.\(\frac{1}{e}\)答案：B5.函數(shù)\(y=\lnx\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線斜率為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)答案：B6.若\(f(x)=x^4\)，則\(f^\prime(x)\)等于（）A.\(4x^3\)B.\(3x^4\)C.\(4x^4\)D.\(3x^3\)答案：A7.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的導(dǎo)數(shù)為（）A.\(\frac{1}{x^2}\)B.\(-\frac{1}{x^2}\)C.\(\frac{1}{x}\)D.\(-\frac{1}{x}\)答案：B8.曲線\(y=x^3-2x+1\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程為（）A.\(x-y-1=0\)B.\(x-y+1=0\)C.\(x+y-1=0\)D.\(x+y+1=0\)答案：A9.已知函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)，\(f^\prime(1)=2\)，則\(2a+b\)的值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：B10.函數(shù)\(y=\cos2x\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(-2\sin2x\)B.\(2\sin2x\)C.\(-\sin2x\)D.\(\sin2x\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A.若\(y=x^5\)，則\(y^\prime=5x^4\)B.若\(y=\cosx\)，則\(y^\prime=-\sinx\)C.若\(y=e^x\)，則\(y^\prime=e^x\)D.若\(y=\lnx\)，則\(y^\prime=\frac{1}{x}\)答案：ABCD2.曲線\(y=x^3-3x^2+1\)在某點(diǎn)處的切線可能是（）A.\(y=-3x+1\)B.\(y=3x-5\)C.\(y=-4x+3\)D.\(y=4x-7\)答案：AB3.已知函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f^\prime(1)=0\)且\(f^\prime(2)=0\)，則（）A.\(a=-\frac{9}{2}\)B.\(b=6\)C.\(a=\frac{9}{2}\)D.\(b=-6\)答案：AB4.下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說法正確的是（）A.導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化率B.函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是該點(diǎn)處切線的斜率C.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(y=f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增D.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)\(f^\prime(x)\lt0\)，則\(y=f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞減答案：ABCD5.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)區(qū)間是（）A.在\((-\infty,-1)\)上單調(diào)遞增B.在\((-1,1)\)上單調(diào)遞減C.在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.在\((-\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增答案：ABC6.若函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f^\prime(x)=2x\)，則\(f(x)\)可能是（）A.\(x^2+C\)（\(C\)為常數(shù)）B.\(x^2+1\)C.\(x^2-1\)D.\(2x^2\)答案：ABC7.曲線\(y=e^x\)在點(diǎn)\((x_0,e^{x_0})\)處的切線方程為（）A.\(y-e^{x_0}=e^{x_0}(x-x_0)\)B.\(y=e^{x_0}x+e^{x_0}(1-x_0)\)C.\(y=e^{x_0}x\)D.\(y-e^{x_0}=x(x-x_0)\)答案：AB8.函數(shù)\(y=\sinx+\cosx\)的導(dǎo)數(shù)為（）A.\(\cosx-\sinx\)B.\(\sinx-\cosx\)C.\(y^\prime=\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})\)D.\(y^\prime=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)答案：AC9.已知函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)=3x^2-2x\)，則\(f(x)\)的極值點(diǎn)可能是（）A.\(x=0\)B.\(x=\frac{2}{3}\)C.\(x=1\)D.\(x=-1\)答案：AB10.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=\sinx\)答案：ABC三、判斷題1.函數(shù)\(y=c\)（\(c\)為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=1\)。（）答案：錯(cuò)誤，\(y^\prime=0\)2.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=x_0\)處一定連續(xù)。（）答案：正確3.曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處的切線與曲線\(y=f(x)\)只有一個(gè)交點(diǎn)。（）答案：錯(cuò)誤，切線與曲線可能有多個(gè)交點(diǎn)4.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）答案：正確5.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x=x_0\)一定是函數(shù)\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）答案：錯(cuò)誤，\(f^\prime(x_0)=0\)時(shí)，\(x=x_0\)不一定是極值點(diǎn)6.函數(shù)\(y=\cosx\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\sinx\)。（）答案：錯(cuò)誤，\(y^\prime=-\sinx\)7.函數(shù)\(y=e^{x+1}\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=e^{x+1}\)。（）答案：正確8.曲線\(y=\lnx\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程是\(y=x-1\)。（）答案：正確9.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)\(f^\prime(x)\geq0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增。（）答案：錯(cuò)誤，當(dāng)\(f^\prime(x)\)在某區(qū)間內(nèi)恒為\(0\)時(shí)，函數(shù)為常函數(shù)10.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=2x\)，那么\(y^\prime\)在\(x=0\)時(shí)取得最小值\(0\)。（）答案：正確四、簡答題1.求函數(shù)\(y=x^3-4x^2+5x-1\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((X^n)^\prime=nX^{n-1}\)，對函數(shù)\(y=x^3-4x^2+5x-1\)求導(dǎo)。\(y^\prime=(x^3)^\prime-(4x^2)^\prime+(5x)^\prime-(1)^\prime\)，\((x^3)^\prime=3x^2\)，\((4x^2)^\prime=4\times2x=8x\)，\((5x)^\prime=5\)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為\(0\)，所以\(y^\prime=3x^2-8x+5\)。2.求曲線\(y=x^2+1\)在點(diǎn)\((2,5)\)處的切線方程。答案：先求函數(shù)\(y=x^2+1\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=2x\)。將\(x=2\)代入導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率\(k=y^\prime|_{x=2}=2\times2=4\)。已知切線過點(diǎn)\((2,5)\)，斜率為\(4\)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)，可得切線方程為\(y-5=4(x-2)\)，整理得\(4x-y-3=0\)。3.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x}+\lnx\)的單調(diào)區(qū)間。答案：函數(shù)定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)。求導(dǎo)得\(y^\prime=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{-1+x}{x^2}\)。令\(y^\prime\gt0\)，即\(\frac{-1+x}{x^2}\gt0\)，因?yàn)閈(x^2\gt0\)，所以\(-1+x\gt0\)，解得\(x\gt1\)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增。令\(y^\prime\lt0\)，即\(\frac{-1+x}{x^2}\lt0\)，解得\(0\ltx\lt1\)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減。所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((0,1)\)，單調(diào)遞增區(qū)間是\((1,+\infty)\)。4.已知函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx\)在\(x=1\)處有極值\(-2\)，求\(a\)，\(b\)的值。答案：首先對\(f(x)\)求導(dǎo)，\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b\)。因?yàn)楹瘮?shù)在\(x=1\)處有極值\(-2\)，所以\(f(1)=-2\)且\(f^\prime(1)=0\)。\(f(1)=1+a+b=-2\)，即\(a+b=-3\)①；\(f^\prime(1)=3+2a+b=0\)②。②-①得\((3+2a+b)-(a+b)=0-(-3)\)，即\(a+3=3\)，解得\(a=0\)，把\(a=0\)代入①得\(0+b=-3\)，解得\(b=-3\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)性、極值，并畫出其大致圖像。答案：求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\ltx\lt2\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\gt2\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以\(x=0\)為極大值點(diǎn)，極大值為\(y(0)=2\)；\(x=2\)為極小值點(diǎn)，極小值為\(y(2)=-2\)。大致圖像：先確定特殊點(diǎn)\((0,2)\)，\((2,-2)\)，再結(jié)合單調(diào)性，函數(shù)在\((-\infty,0)\)上升，\((0,2)\)下降，\((2,+\infty)\)上升。2.已知函數(shù)\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)，其導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)的圖像開口向上且過點(diǎn)\((0,0)\)和\((2,0)\)，討論函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)性和極值情況。答案：因?yàn)閈(f^\prime(x)\)圖像開口向上且過\((0,0)\)，\((2,0)\)，設(shè)\(f^\prime(x)=mx(x-2)=mx^2-2mx\)（\(m\gt0\)）。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\