矩陣分析考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-10答案：A2.若矩陣\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值為（）A.0B.1C.0或1D.2答案：C3.向量組\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,6)\)，\(\alpha_3=(3,6,9)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.0答案：A4.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A\)與\(B\)都不可逆答案：B5.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)，則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)為（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)答案：A6.設(shè)矩陣\(A\)的特征多項(xiàng)式為\(f(\lambda)=\lambda^2-3\lambda+2\)，則\(A\)的特征值為（）A.1，2B.-1，-2C.1，-2D.-1，2答案：A7.若\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)相似，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的行列式C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(A\)與\(B\)相等答案：D8.設(shè)向量\(\alpha=(1,-1,2)\)，\(\beta=(2,1,0)\)，則\(\alpha\)與\(\beta\)的內(nèi)積\((\alpha,\beta)\)為（）A.0B.1C.2D.3答案：B9.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)的秩為（）A.1B.2C.3D.0答案：C10.設(shè)\(A\)為\(n\)階正交矩陣，則\(A^TA\)等于（）A.\(0\)矩陣B.\(E\)（單位矩陣）C.\(A\)D.\(A^{-1}\)答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.下列關(guān)于矩陣的說(shuō)法正確的是（）A.兩個(gè)同階方陣的和一定是方陣B.兩個(gè)方陣的乘積一定是方陣C.若\(A\)是方陣，則\(A^k\)（\(k\)為正整數(shù)）也是方陣D.方陣的行列式一定有意義答案：ACD2.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線(xiàn)性相關(guān)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)B.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)中至少有一個(gè)向量可由其余向量線(xiàn)性表示C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的秩小于\(3\)D.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)小于\(3\)答案：ABCD3.以下哪些是矩陣的初等行變換（）A.交換兩行B.某一行乘以一個(gè)非零常數(shù)C.某一行乘以一個(gè)常數(shù)加到另一行D.交換兩列答案：ABC4.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\)為正整數(shù)）C.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量D.\(A\)與\(B\)可同時(shí)相似對(duì)角化答案：AB5.對(duì)于矩陣的特征值與特征向量，下列說(shuō)法正確的是（）A.一個(gè)特征值可能對(duì)應(yīng)多個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量B.不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定線(xiàn)性無(wú)關(guān)C.特征向量一定是非零向量D.若\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，則\(\lambda\)滿(mǎn)足\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)答案：ABCD6.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列條件中能推出\(A\)可逆的是（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(A\)的秩等于\(n\)C.\(A\)的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)D.存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=E\)答案：ABCD7.已知向量空間\(V\)中的向量\(\alpha,\beta,\gamma\)，則下列哪些是線(xiàn)性組合（）A.\(2\alpha+3\beta\)B.\(\alpha-\beta+\gamma\)C.\(0\alpha\)D.\(\alpha+\beta+\gamma+1\)答案：ABC8.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesp\)矩陣，則（）A.\(r(AB)\leqr(A)\)B.\(r(AB)\leqr(B)\)C.若\(A\)列滿(mǎn)秩，則\(r(AB)=r(B)\)D.若\(B\)行滿(mǎn)秩，則\(r(AB)=r(A)\)答案：ABCD9.關(guān)于正交矩陣，下列說(shuō)法正確的是（）A.正交矩陣的行列式的值為\(1\)或\(-1\)B.正交矩陣的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組C.若\(A\)是正交矩陣，則\(A^{-1}=A^T\)D.兩個(gè)正交矩陣的乘積還是正交矩陣答案：ABCD10.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)的相似對(duì)角化，以下說(shuō)法正確的是（）A.\(A\)可相似對(duì)角化的充要條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量B.若\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值，則\(A\)可相似對(duì)角化C.相似對(duì)角化后的對(duì)角矩陣主對(duì)角線(xiàn)上的元素是\(A\)的特征值D.若\(A\)可相似對(duì)角化，則相似變換矩陣\(P\)的列向量是\(A\)的特征向量答案：ABCD三、判斷題1.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)中存在\(r\)階子式不為零，而所有\(zhòng)(r+1\)階子式都為零。（）答案：對(duì)2.兩個(gè)向量組等價(jià)，則它們的秩一定相等。（）答案：對(duì)3.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（）答案：錯(cuò)4.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）答案：對(duì)5.一個(gè)方陣的特征值一定是實(shí)數(shù)。（）答案：錯(cuò)6.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線(xiàn)性相關(guān)，則\(\alpha_1\)一定能由\(\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線(xiàn)性表示。（）答案：錯(cuò)7.正交矩陣一定是可逆矩陣。（）答案：對(duì)8.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式。（）答案：對(duì)9.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，若\(A^2=E\)，則\(A\)的特征值只能是\(1\)或\(-1\)。（）答案：對(duì)10.向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組是唯一的。（）答案：錯(cuò)四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述求矩陣\(A\)的逆矩陣的方法。答案：求矩陣\(A\)的逆矩陣方法有多種。對(duì)于二階矩陣\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，若\(ad-bc\neq0\)，其逆矩陣\(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)。對(duì)于\(n\)階方陣（\(n\geq3\)），可通過(guò)伴隨矩陣法，\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^\)，其中\(zhòng)(A^\)是\(A\)的伴隨矩陣；還可利用初等行變換，對(duì)增廣矩陣\((A\vertE)\)進(jìn)行初等行變換，當(dāng)\(A\)化為\(E\)時(shí)，\(E\)就化為\(A^{-1}\)。2.說(shuō)明向量組線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義。答案：對(duì)于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)，若存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)，則稱(chēng)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線(xiàn)性相關(guān)。若只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_m=0\)時(shí)，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)才成立，則稱(chēng)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線(xiàn)性無(wú)關(guān)。3.簡(jiǎn)述矩陣相似的性質(zhì)。答案：若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則有以下性質(zhì)：它們有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值；有相同的行列式，即\(\vertA\vert=\vertB\vert\)；有相同的秩，即\(r(A)=r(B)\)；它們的跡相等，即\(tr(A)=tr(B)\)，跡是矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素之和。此外，若\(A\)可相似對(duì)角化，\(B\)也可相似對(duì)角化，且相似變換后的對(duì)角矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素相同。4.簡(jiǎn)述正交矩陣的性質(zhì)。答案：正交矩陣\(A\)具有諸多性質(zhì)。其行列式的值為\(1\)或\(-1\)，即\(\vertA\vert=\pm1\)。它的轉(zhuǎn)置等于其逆，即\(A^T=A^{-1}\)。正交矩陣的列向量組和行向量組都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。若\(A\)，\(B\)都是正交矩陣，則它們的乘積\(AB\)也是正交矩陣。正交矩陣保持向量的內(nèi)積不變，即對(duì)于任意向量\(\alpha\)，\(\beta\)，有\(zhòng)((A\alpha,A\beta)=(\alpha,\beta)\)。五、討論題1.討論矩陣的秩與線(xiàn)性方程組解的關(guān)系。答案：對(duì)于線(xiàn)性方程組\(Ax=b\)（\(A\)為系數(shù)矩陣，\(x\)為未知向量，\(b\)為常數(shù)向量）。當(dāng)\(r(A)=r(A\vertb)=n\)（\(n\)為未知量個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組有唯一解，因?yàn)榇藭r(shí)\(A\)可逆，可通過(guò)\(x=A^{-1}b\)求解。當(dāng)\(r(A)=r(A\vertb)\ltn\)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，此時(shí)存在自由未知量，可通過(guò)基礎(chǔ)解系表示通解。當(dāng)\(r(A)\neqr(A\vertb)\)時(shí)，方程組無(wú)解，意味著系數(shù)矩陣所代表的線(xiàn)性關(guān)系與常數(shù)項(xiàng)不匹配，無(wú)法找到滿(mǎn)足方程的解。2.試討論矩陣可相似對(duì)角化的條件及其重要性。答案：矩陣\(A\)可相似對(duì)角化的充要條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。充分性在于若有\(zhòng)(n\)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量，就能構(gòu)造相似變換矩陣\(P\)使\(P^{-1}AP\)為對(duì)角矩陣。必要性是相似對(duì)角化過(guò)程必然得到\(n\)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量。重要性在于相似對(duì)角化簡(jiǎn)化了矩陣的計(jì)算，比如求矩陣的高次冪\(A^k\)，對(duì)角矩陣的高次冪計(jì)算很簡(jiǎn)單。在研究線(xiàn)性變換時(shí)，相似對(duì)角化能清晰展現(xiàn)線(xiàn)性變換的特征，有助于分析其性質(zhì)和行為。3.討論向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的求法及意義。答案：求向量組極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的方法有多種。常用的是將向量組構(gòu)成矩陣，通過(guò)初等行變換化為行階梯形矩陣，非零行首非零元所在列對(duì)應(yīng)的原向量組中的向量就是極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。意義在于極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組用最少的向量代表了整個(gè)向量組的線(xiàn)性關(guān)系。它能反映向量組的“本質(zhì)”信息，比如確定向量組的秩。在研究向量空間時(shí)，極大線(xiàn)性