3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲担ňv）第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)與減函數(shù)1.1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱(chēng)它是增函數(shù)(increasingfunction).1.2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱(chēng)它是減函數(shù)(decreasingfunction).2、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間．3、常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減反比例函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增二次函數(shù)（）對(duì)稱(chēng)軸為當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明1、定義法：一般用于證明，設(shè)函數(shù)，證明的單調(diào)區(qū)間為①取值：任取，，且；②作差：計(jì)算；③變形：對(duì)進(jìn)行有利于符號(hào)判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數(shù)；④定號(hào)：通過(guò)變形，判斷或（），如有必要需討論參數(shù)；⑤下結(jié)論：指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性2、圖象法一般通過(guò)已知條件作出函數(shù)的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.3、性質(zhì)法（1）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與在給定區(qū)間上的單調(diào)性相反；（2）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；（3）和的公共定義區(qū)間，有如下結(jié)論；增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減知識(shí)點(diǎn)三：函數(shù)的最大（小）值1、最大值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿(mǎn)足：①，都有②，使得那么稱(chēng)是函數(shù)的最大值；2、最小值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿(mǎn)足：①，都有②，使得那么稱(chēng)是函數(shù)的最小值；知識(shí)點(diǎn)四：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同增異減）一般地，對(duì)于復(fù)合函數(shù)，單調(diào)性如下表示，簡(jiǎn)記為“定義域優(yōu)先，同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性不同時(shí)，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)：：令：和增增增增減減減增減減減增第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．判斷正誤．（1）所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性．()（2）因?yàn)椋院瘮?shù)在上是增函數(shù)．()（3）若為R上的減函數(shù)，則．()（4）若函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)．()【答案】

錯(cuò)誤

錯(cuò)誤

正確

錯(cuò)誤（1）不是所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性，如不具有單調(diào)性，故錯(cuò)誤；（2）因?yàn)?，所以函?shù)在上是增函數(shù)是不正確的，兩個(gè)數(shù)的比較不能代表區(qū)間內(nèi)任意的變量都成立，故錯(cuò)誤；（3）由為R上的減函數(shù)，又因?yàn)?，則，故正確；（4）若函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，此時(shí)可能有分段函數(shù)情況，但函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)不成立，故錯(cuò)誤.2．函數(shù)的遞減區(qū)間是()A．

B．

C．

D．【答案】A作出函數(shù)圖象的圖象，由圖象可知圖象的減區(qū)間為故選：A3．函數(shù)，則的最大值為_(kāi)__________，最小值為_(kāi)__________．【答案】

1

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則即故最大值為1，最小值為故答案為：1；4．設(shè)函數(shù)，則()A．有最大值

B．有最小值C．既有最大值又有最小值

D．既無(wú)最大值又無(wú)最小值【答案】D由題意可知函數(shù)單調(diào)遞增，但定義域?yàn)椋〔坏阶畲笾?，也沒(méi)有最小值；故選：D5．函數(shù)在上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是()A．，0

B．0，2C．，2

D．，2【答案】C由圖可得，函數(shù)在處取得最小值，在處取得最大值，故選：C第四部分：典型例題剖析第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：利用定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．已知函數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義法證明你的結(jié)論；【答案】(1)減函數(shù)，證明見(jiàn)解析任取，，且則-因?yàn)椋?，所以，即，所以在區(qū)間上是減函數(shù)．例題2．已知函數(shù)．試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；【答案】（1）在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析；（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，以下證明：設(shè)，∵，∴，，，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減；同類(lèi)題型演練1．已知函數(shù).(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：，，且，有.因?yàn)?，，且，所以?于是，即.故在區(qū)間上單調(diào)遞增.2．已知.(1)用定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；【答案】(1)見(jiàn)解析證明：任取，，，且，則．，，而，，，即，在區(qū)間，上是增函數(shù)；重點(diǎn)題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間角度1：利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典型例題例題．已知四個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B對(duì)于A，函數(shù)分別在及上單調(diào)遞增，但存在，使，故A不符合題意；對(duì)于C，函數(shù)分別在及上單調(diào)遞增，但存在，使，故C不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)分別在及上單調(diào)遞減，但存在，，使，故D不符合題意；只有B完全符合增函數(shù)的定義，具有單調(diào)性.故選:B.例題2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B解：函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選：B同類(lèi)題型演練1．如果函數(shù)的圖象如圖所示，那么此函數(shù)的減區(qū)間為_(kāi)_________.【答案】解：由函數(shù)的圖象得此函數(shù)的減區(qū)間為：，故答案為：.2．如圖是函數(shù)的圖象．列出的若干區(qū)間，說(shuō)明它在各區(qū)間上的增減性，并指出該函數(shù)的最大、最小值點(diǎn)及最值．【答案】答案見(jiàn)解析.觀察圖象知，函數(shù)的遞減區(qū)間是：，，，單調(diào)遞增區(qū)間是，，函數(shù)的最大值點(diǎn)是，最小值點(diǎn)是，函數(shù)的最大值是，最小值是.3．已知函數(shù)．(1)畫(huà)出的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；(1)由函數(shù)，圖象如圖：遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（注：寫(xiě)成也可以）4．已知函數(shù).（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象；（不用列表，直接畫(huà)出草圖．（2）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）增區(qū)間為和；減區(qū)間為和；（1）由題意，函數(shù)，所以的圖象如右圖所示：（2）由（1）中的函數(shù)圖象，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為和．角度2：求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典型例題例題1．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_________．【答案】##解：函數(shù)的定義域?yàn)?，令，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.例題2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)__________.【答案】由可得，解得：，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)槭怯珊蛷?fù)合而成，對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.同類(lèi)題型演練1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.【答案】令，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.2．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____.【答案】，解得.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向下，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：重點(diǎn)題型三：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小典型例題例題1．設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，是減函數(shù)，試確定，，之間的大小關(guān)系．【答案】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是減函數(shù)，故，而為偶函數(shù)，故，故.例題2．畫(huà)出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題.(1)比較，，的大??；【答案】(1)(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，列表：x－1013y0340描點(diǎn)，連線，得函數(shù)圖象如圖.根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)，，所以.角度2：利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式典型例題例題1．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C在上單調(diào)遞增，，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.例題2．已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【答案】A因?yàn)樵诙x域上是減函數(shù)，所以由，故選：A同類(lèi)題型演練1．已知是定義在上的增函數(shù)，且，則x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，且，所以，即，解得，所以x的取值范圍為，故選：B2．已知是定義在上的減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A∵是定義在上的減函數(shù)，且，則，解得.故選：A.3．設(shè)是定義在區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù)．若，則a的取值范圍是______．【答案】.由題意，函數(shù)是定義在區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)?，可得，解得，所以?shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.角度3：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍典型例題例題1．已知在為單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故要想在為單調(diào)函數(shù)，需滿(mǎn)足，故選：D例題2．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍為（

）A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．【答案】B解：因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，即故選：B例題3．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D不妨設(shè)，則，根據(jù)題意，可得恒成立，即恒成立.令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使在上單調(diào)遞減，則解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.同類(lèi)題型演練1．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D解：函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D2．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A解：因?yàn)楹瘮?shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，要使函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，解得故選：A3．函數(shù)在上是減函數(shù).則（

）A． B． C． D．【答案】B由題意，函數(shù)在上是減函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，則滿(mǎn)足，解得.故選：B.4．已知函數(shù)，是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C解：若是上的增函數(shù)，則應(yīng)滿(mǎn)足，解得，即.故選：C5．已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D因?yàn)楹瘮?shù)，在上是增函數(shù)，所以，解得，故選：D重點(diǎn)題型四：求函數(shù)的最值角度1：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值典型例題例題1．函數(shù)在的值域?yàn)開(kāi)_________．【答案】因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以值域?yàn)楣蚀鸢笧椋豪}2．函數(shù)在區(qū)間的最大值是______．【答案】1∵函數(shù)，∴函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，為.故答案為：.例題3．函數(shù)，的值域是（

）．A． B． C． D．【答案】A任取，且，則，當(dāng)，且時(shí)，，，所以，即，當(dāng)，且時(shí)，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，所以在上的值域?yàn)楣蔬x：A同類(lèi)題型演練1．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為M，m則（

）A．4 B．6 C．10 D．24【答案】C因?yàn)閒(x)==2+，所以f(x)在[3，4]上是減函數(shù).所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.所以.故選：C.2．函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B因?yàn)楹瘮?shù)、在區(qū)間上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.故選：B.3．函數(shù)，x∈[3，+∞）的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D由題意得，，顯然函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值為，當(dāng)接近時(shí)，接近，所以的值域?yàn)?故選：D.4．）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A． B． C．1 D．-1【答案】A∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴.故選：A.角度2：利用函數(shù)的圖象求最值典型例題例題1．已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求的值；(3)請(qǐng)?jiān)诮o定的坐標(biāo)系中畫(huà)出此函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的值域.【答案】(1)(2)或(3)圖象見(jiàn)解析，(1)因?yàn)?，所?2)當(dāng)時(shí)，，不合題意，應(yīng)舍去當(dāng)時(shí)，解得或（舍）當(dāng)時(shí)，，則綜上，或(3)值域?yàn)槔}2．在邊長(zhǎng)為4的正方形上有一點(diǎn)，沿著折線由點(diǎn)(起點(diǎn))向點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的路程為，的面積為．(1)求的面積與移動(dòng)的路程間的函數(shù)關(guān)系式；(2)作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求的最大值．【答案】（1）；（2）8.(1)這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?0,12)，當(dāng)0＜x≤4時(shí)，S＝f(x)＝2x；當(dāng)4＜x≤8時(shí)，S＝f(x)＝8；當(dāng)8＜x＜12時(shí)，S＝f(x)＝·4·(12－x)＝24－2x.∴這個(gè)函數(shù)的解析式為(2)其圖形如下，由圖知，[f(x)]max＝8.同類(lèi)題型演練1．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．(1)請(qǐng)補(bǔ)充完整函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及值域；【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,1)，值域R；(1)由題圖及y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，可得左側(cè)圖象如下：(2)由（1）所得函數(shù)圖象知：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為(－1,1)，值域R.2．）已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|+1（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；（2）在上邊所給的坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)的圖象；（3）寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域(不要求證明).【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)詳解；（3）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，值域?yàn)?解：（1）當(dāng)時(shí)，f（x）=|x﹣1|+1，當(dāng)時(shí)，f（x）=|x﹣1|+1，；（2）由（1）中解析式，作圖如下：（3）由（2）中f（x）圖像可知，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，值域?yàn)?重點(diǎn)題型五：二次函數(shù)的最值問(wèn)題角度1：不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問(wèn)題典型例題例題1．函數(shù)的最大值為_(kāi)__________.【答案】由，則開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為，又，∴，，故函數(shù)最大值為.故答案為：.例題2．已知二次函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求在區(qū)間上的值域．【答案】(1)(2)(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)，所以，，又，∴，解得，，，故；(2)由（1）的結(jié)論知，，所以在上單減，在上單增；所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且其最小值；而3到對(duì)稱(chēng)軸的距離比0到對(duì)稱(chēng)軸的距離遠(yuǎn)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且其最大值；故在上的值域?yàn)椋?lèi)題型演練1．函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；【答案】(1)解：由題意，函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，綜上函數(shù)在上的值域?yàn)?2．求下列函數(shù)的最小值與最大值：【答案】最小值為f()=，最大值為f(-3)=7；由，對(duì)稱(chēng)軸為且開(kāi)口向上，∴在上有，.3．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)定義域?yàn)?，值域?yàn)?2)，(1)定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?2)因?yàn)閳D象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又，，所以．4．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；【答案】(1)最小值是1，最大值是37當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為；在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為．角度2：含參數(shù)的二次函數(shù)最值問(wèn)題典型例題例題1．已知函數(shù)．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)求在上的最小值；【答案】(1)最大值是，最小值是(2)當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，最小值為.(3)或(1)時(shí)，，結(jié)合函數(shù)圖像得：在上的最大值是，最小值是；(2)的對(duì)稱(chēng)軸是，①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，取到最小值；②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上先遞減后遞增，當(dāng)時(shí)，取到最小值；③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時(shí)，取到最小值，綜上所得，當(dāng)時(shí)，最小值；當(dāng)時(shí)，取到最小值；當(dāng)時(shí)，取到最小值.例題2．已知是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足，，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，表示出函數(shù)的最小值，并求出的最小值.【答案】(1)(2)；.(1)解：設(shè)，因?yàn)椋院瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，又，，所以，解得，所以；(2)解：由（1）得，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，綜上所述，，.例題3．已知二次函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值，并指出此時(shí)的取值；(2)求的最小值，并表示為關(guān)于的函數(shù)．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)的最大值為.(2).(1)當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)的最大值為.(2)的對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，所以.同類(lèi)題型演練1．已知函數(shù)，且滿(mǎn)足.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)設(shè)，若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)由題意知函數(shù)是二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，因?yàn)椋鋵?duì)稱(chēng)軸為，所以，解得，則，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，，所以函數(shù)的值域?yàn)?(2)因?yàn)榍?，所以，因?yàn)?，所以的最大值可能是?因?yàn)椋?，要?duì)任意，都有，只需，即，則，解得，又因?yàn)椋?，所以的取值范圍?2．已知函數(shù)(為實(shí)常數(shù)).(1)設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式;【答案】若，則，該函數(shù)在上為減函數(shù)，故，若，則的圖象為開(kāi)口向下的拋物線，且其對(duì)稱(chēng)軸為，故在上為減函數(shù)，故，若，則，故在上為減函數(shù)，故，若，則在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故，若，則，故在上為增函數(shù)，故，綜上，.3．已知函數(shù).求函數(shù)在上的最小值；【答案】(1)由題意得，當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，故；4．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)，；(2)答案見(jiàn)解析.(1)當(dāng)時(shí)，，又，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，．(2)由題意得：，∴函數(shù)圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸方程為，①若，即，則在上單調(diào)遞增，∴；②若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；③若，即，則在上單調(diào)遞減，∴．重點(diǎn)題型六：恒成立與能成立問(wèn)題典型例題例題1．已知二次函數(shù)滿(mǎn)足，且.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)(1)由于是二次函數(shù)，可設(shè)，恒成立，恒成立，，又，

；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，.所以；例題2．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，若存在使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)(1)，則，又，則；(2)，又存在使成立，即在上有解，令，設(shè)，易得在單減，則，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.例題3．已知(1)求二次函數(shù)的值域：(2)當(dāng)時(shí)，若二次函數(shù)的值恒大于0，求的取值范圍．【答案】(1)[0，](2)(1)等價(jià)于，．解得所以．∴二次函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，y取最大值為，當(dāng)時(shí)，y取最小值為0，所以二次函數(shù)．的值域是[0，]．(2)由（1）知∵恒成立．即恒成立．∴恒成立．．∵．∴∵，∴．當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，．∴，故a的取值范圍為例題4．已知函數(shù)．(1)已知m=-3，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)8(2)(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，區(qū)間的中心為，故當(dāng)時(shí)取得(2)恒成立，只需在區(qū)間上的最大值即可，所以，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，即同類(lèi)題型演練1．若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿(mǎn)足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)f(x)＝4x2－8x＋2(2)(－∞，－2)(1)由f(0)＝2，得c＝2，所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2．(2)因?yàn)榇嬖趚∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，即m的取值范圍為(－∞，－2)．2．已知二次函數(shù)．(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)解：因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，解得；(2)因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在恒成立，即在恒成立．令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以．3．已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ），恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意，綜上，的取值范圍為.（Ⅱ），恒成立，即，恒成立，令，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，故的取值范圍為第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)1．歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet），當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們處理的大部分?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象都沒(méi)有完全的嚴(yán)格的定義，數(shù)學(xué)家們習(xí)慣借助于直覺(jué)和想象來(lái)描述數(shù)學(xué)對(duì)象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：（其中為有理數(shù)集，為無(wú)理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學(xué)的一些“人造”特征開(kāi)始展現(xiàn)出來(lái)，這種思想也標(biāo)志著數(shù)學(xué)從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”.一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為：（其中，且），以下對(duì)說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．任意非零有理數(shù)均是的周期，但任何無(wú)理數(shù)均不是的周期B．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃．為偶函數(shù)D．在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性【答案】B解：設(shè)任意，，則，，A選項(xiàng)正確；易知的值域?yàn)?，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，所以，若，則，所以，C選項(xiàng)正確；由于實(shí)數(shù)的稠密性，任意兩個(gè)有理數(shù)之間都有無(wú)理數(shù)，兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間也有有理數(shù)，其函數(shù)值在和之間無(wú)間隙轉(zhuǎn)換，所以無(wú)單調(diào)性；綜上，故選：B.2．已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.3．若二次函數(shù)，滿(mǎn)足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B因?yàn)椋远魏瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，又因?yàn)椋?，又，所?故選：B.3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲担ň殻〢夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A解：因?yàn)槎x域?yàn)?，函?shù)在和上單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和；故選：A2．若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，則有，解得．故選：A．3．函數(shù)y=x2-5x-6在區(qū)間[2，4]上是（

）A．遞減函數(shù) B．遞增函數(shù)C．先遞減再遞增函數(shù) D．先遞增再遞減函數(shù)【答案】C函數(shù)y=x2-5x-6的圖象對(duì)稱(chēng)軸為，于是得這個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，于是得這個(gè)函數(shù)在[2，4]上先減后增，所以函數(shù)y=x2-5x-6在區(qū)間[2，4]上是先遞減再遞增函數(shù).故選：C4．已知函數(shù)在上滿(mǎn)足：對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C由題意，得到在上單調(diào)遞減，因此只需，解得.故選：C.5．已知是定義在上的增函數(shù)，且，則x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，且，所以，即，解得，所以x的取值范圍為，故選：B6．已知函數(shù)，則的最小值（

）A． B． C．0 D．1【答案】A對(duì)于函數(shù)，任取，，其中，所以，所以在上遞增.，令，則，由于在上遞增，當(dāng)時(shí)有最小值為，所以的最小值為.故選：A7．已知函數(shù)在上為增函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，令，當(dāng)，則，所以，故的取值范圍為.故選：D8．已知當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D設(shè)，則對(duì)成立等價(jià)于，即，解之得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D二、多選題9．如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)在下列區(qū)間單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】BD結(jié)合圖像易知，函數(shù)在區(qū)間、上單調(diào)遞減，故選：BD10．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的可能的取值有（

）A． B．C． D．【答案】ABC因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，所以.故選：ABC.三、填空題11．函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則a的取值范圍是_________．【答案】當(dāng)時(shí)，，顯然滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，要使在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則，解得：綜上，a的取值范圍為：.故答案為：12．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】由題意，可得，即，當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，只需，當(dāng)時(shí)有最小值為1，則有最大值為3，則，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：四、解答題13．設(shè)，已知函數(shù)過(guò)點(diǎn)，且函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為.(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)若，函數(shù)的最大值為，最小值為，求的值.【答案】(1)(2)(1)解：依題意，解得，所以；(2)解：由（1）可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所