專題23.6中位線（舉一反三講義） 【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1與三角形中位線有關(guān)的求解】 1【題型2與三角形中位線有關(guān)的證明】 2【題型3三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用】 4【題型4中點(diǎn)四邊形】 6【題型5構(gòu)造三角形的中位線——連接兩點(diǎn)】 7【題型6構(gòu)造三角形的中位線——倍長法】 8【題型7已知角平分線與垂直關(guān)系構(gòu)造三角形的中位線】 10【題型8已知中點(diǎn)取其他邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】 11知識(shí)點(diǎn)三角形的中位線1.定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半．3.其他性質(zhì)：（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形．（3）三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行．?dāng)?shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系．（4）常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半．結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形．結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形．結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分．結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等．【題型1與三角形中位線有關(guān)的求解】【例1】（24-25九年級(jí)下·浙江湖州·階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為4，點(diǎn)D，E分別為AB，AC邊中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC邊上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），沿DE，DF剪開分成①，②，③三塊后，將②，③分別繞點(diǎn)D，E旋轉(zhuǎn)180°恰好能與①拼成?DIHG，則?DIHG周長的最小值為（

）A．8+23 B．4+23 C【變式1-1】（24-25八年級(jí)下·云南昆明·期中）如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=12cm，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，AF⊥BF于點(diǎn)【變式1-2】（24-25八年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）如圖，O是矩形ABCD對角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，OM=0.5，BC=2，則BO的長為（A．52 B．5 C．1 D．【變式1-3】△ABC的三邊長分別為7，24，25，順次連接三邊的中點(diǎn)D、E、F．得△DEF的面積是（A．7 B．21 C．28 D．56【題型2與三角形中位線有關(guān)的證明】【例2】（24-25八年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD為邊AC的中線，E為BD上一點(diǎn)，連接AE,CE，F(xiàn)為(1)求證：AE=(2)若DF=2，求BD【變式2-1】（24-25八年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；(2)求證：∠B【變式2-2】（24-25八年級(jí)下·山東聊城·期末）在△ABC中，點(diǎn)E，G分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，AF平分∠BAC，BF⊥AF于點(diǎn)F，延長BF交AC于點(diǎn)(1)若AB=6，BC=9，F(xiàn)G=2(2)若點(diǎn)D恰好是AC的中點(diǎn)，BM為△ABC外角的平分線，交DE的延長線于點(diǎn)H，求證：AH【變式2-3】（24-25八年級(jí)下·山東濱州·期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，EF⊥AB交AB于點(diǎn)F，OG⊥AB交(1)求證：四邊形OEFG是矩形；(2)若AB=20，OG=8，求【題型3三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用】【例3】如圖1是雨傘的結(jié)構(gòu)示意圖．OP是傘柄，OM，AB，CD是傘骨．已知點(diǎn)A，C分別是OM，AB的中點(diǎn)．CD=7(dm)．點(diǎn)B，D在OP上滑動(dòng)時(shí)，可將雨傘打開或收攏．當(dāng)OP與水平面垂直時(shí)打開雨傘，雨傘能罩住的水平面大小可近似地看成一個(gè)圓．如圖2，當(dāng)雨傘完全打開時(shí)，∠ABD=90°；再將雨傘收攏到如圖3，此時(shí)B'D'=1(dm)，且點(diǎn)C'到OP的距離恰好等于圖2中BD的長．則傘骨AB的長為【變式3-1】（24-25九年級(jí)上·山西臨汾·期中）2023年7月28日第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都東安湖體育公園開幕．如圖，貝貝想測量東安湖A，B兩點(diǎn)間的距離，他在東安湖的一側(cè)選取一點(diǎn)O，分別取OA，OB的中點(diǎn)M，N，但M，N之間被障礙物遮擋，故無法測量線段MN的長，于是貝貝在AO，BO延長線上分別選取P，Q兩點(diǎn)，且滿足OP=ON，OQ=A．120 B．140 C．160 D．180【變式3-2】【綜合與實(shí)踐】任務(wù)如圖1，測出水池A，B兩點(diǎn)間的距離（水池有障礙物不能直接測量）．

測量工具皮尺

皮尺的功能：直接測量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測量長度，長度單位：m）；測角儀

測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點(diǎn)O處，對其視線可及的P，Q兩點(diǎn)，可測得∠POQ

小明的測量及求解過程測量過程（1）如圖2，水池外選點(diǎn)C，用皮尺測得AC=（2）分別在AC，BC上用皮尺測得CM=

求解過程由測量可知：∵AC=am∴點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的∵M(jìn)N=∴AB=______m(1)把小明的求解過程補(bǔ)充完整；(2)小明測出水池A，B兩點(diǎn)間的距離，依據(jù)是；(3)請你同時(shí)利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用直角三角形的知識(shí)求水池A，B兩點(diǎn)間的距離，請你畫出示意圖并寫出測量及求解過程（要求測量得到的線段長度用字母a，b，c，…表示，測量次數(shù)不超過3次）．

【變式3-3】如圖，某花木場有一塊如四邊形ABCD形狀的空地，其中AD//BC,∠B=∠BCD，其各邊中點(diǎn)分別是E、F、G、H，測得對角線A．40m B．30m C．20m D．10m【題型4中點(diǎn)四邊形】【例4】（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，順次連接各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，順次連接【變式4-1】（24-25八年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC,BD為其對角線，連結(jié)各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，則下列判斷正確的是（A．若AB=CD，則四邊形B．若AC=BD，則四邊形C．若AB⊥CD，則四邊形D．若AC⊥BD，則四邊形【變式4-2】（24-25八年級(jí)下·江西上饒·期中）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O，M、N分別是OB、OC的中點(diǎn)，四邊形MNDE是什么四邊形？OB與OD【變式4-3】（24-25八年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，順次連接EM，MF，F(xiàn)N，NE，若四邊形ENFM是矩形，則AB與CD滿足的條件是．【題型5構(gòu)造三角形的中位線——連接兩點(diǎn)】【例5】（24-25八年級(jí)下·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，E為OB上一點(diǎn)，連接CE，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，∠EOF=90°，若OE=3,A．1 B．2 C．2 D．5【變式5-1】如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3,BC=4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且P在AB上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)的過程中，始終保持PD∥BC,PE∥A．35 B．65 C．125【變式5-2】（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，矩形ABCD對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E為OD上一點(diǎn)，連接CE，取CE的中點(diǎn)F，若∠EOFA．2 B．83 C．103 D【變式5-3】（2025·福建南平·三模）如圖，P是線段AB所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D在AB的兩側(cè)，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=4，AC=3，DB=2，連接PC、PD，分別取PCA．隨著點(diǎn)P的位置變化而變化 B．保持不變，長為5C．保持不變，長為2 D．保持不變，長為41【題型6構(gòu)造三角形的中位線——倍長法】【例6】（24-25八年級(jí)下·山東濱州·期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線AB上一點(diǎn)．若AC=8，BD=6，點(diǎn)E是線段AB中點(diǎn)，連接DE，求【變式6-1】如圖，在△ABC中，∠ACB=60°，BC=2，D是AB的中點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，若DE平分△ABC【變式6-2】（24-25八年級(jí)下·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形．(1)如圖1，點(diǎn)B,?E,?F在一條直線上，點(diǎn)D在邊FG上，在GF的延長線上取一點(diǎn)（i）求證：△BCE（ii）求證：PE=(2)如圖2，點(diǎn)G在BC的延長線上，點(diǎn)E在CD邊上，M是AF的中點(diǎn)，若正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為6和4，求DM的長．【變式6-3】（24-25八年級(jí)下·江西贛州·期末）【課本再現(xiàn)】連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．已知：如圖1，D，E分別是△ABC的AB，AC的中點(diǎn)．求證：DE∥BC（1）小明想到了“延長DE至點(diǎn)F，使EF=DE，連接CF”，如圖【遷移應(yīng)用】（2）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC,E,F分別為AB，【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，在△ABC中，∠ACB=60°,AC=2,D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)．若DE平分【題型7已知角平分線與垂直關(guān)系構(gòu)造三角形的中位線】【例7】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點(diǎn)F(1)求證：四邊形BDEF是平行四邊形；(2)求證：AB-【變式7-1】在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，CE平分∠ACB，AE⊥

(1)求證：DE∥(2)若AC=5，BC=7，求【變式7-2】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，過點(diǎn)C作CD⊥BD于點(diǎn)D，E是邊AC的中點(diǎn)，連接DE，若DE=2，BC=10A．6 B．8 C．7 D．9【變式7-3】如圖，Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=13，BC=5，AD，BE分別平分∠

【題型8已知中點(diǎn)取其他邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】【例8】（24-25九年級(jí)下·遼寧撫順·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=6，平面內(nèi)有一點(diǎn)D，AD=2，連接CD，分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于12CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F，作直線EF交CD于點(diǎn)P，連接BP．將線段AD【變式8-1】（24-25八年級(jí)·山西太原·期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=12cm，點(diǎn)D為CB的中點(diǎn)，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，直角邊DE的點(diǎn)E在邊AB上，AE=7【變式8-2】如