1平均數(shù)與方差第3課時

方差、標準差與離差平方和

第六章數(shù)據(jù)的分析學習目標1.理解方差、標準差的意義，會進行方差、標準差的計算．（重點、難點）2.了解離差平方和的意義，掌握離差平方和的計算方法．（重點）

某射擊隊三位運動員某次選拔賽的射擊成績?nèi)鐖D所示，你認為甲、乙、丙三人中誰的發(fā)揮更穩(wěn)定？能不能通過計算說明這三人成績的穩(wěn)定程度？新課導(dǎo)入

實際生活中，除了關(guān)心數(shù)據(jù)的集中趨勢外，人們往往還關(guān)注數(shù)據(jù)的離散程度，即它們相對于集中趨勢的偏離情況.

在統(tǒng)計學里，數(shù)據(jù)的離散程度可以用離差平方和、方差或標準差等統(tǒng)計量來刻畫.講授新課離差平方和是各個數(shù)據(jù)與它們平均數(shù)之差的平方和，即

離差平方和

例1

課程導(dǎo)入中，甲、乙、丙這三位運動員成績的離差平方和分別是多少？甲成績的平均數(shù)為：

，離差平方和為：乙成績的平均數(shù)為：

，離差平方和為：丙成績的平均數(shù)為：

，離差平方和為：

通過計算可知，甲、乙、丙這三位運動員的離差平方和分別為14，12，26，但僅僅只有他們成績的離差平方和還不足以刻畫他們發(fā)揮的穩(wěn)定程度，因此，我們還將計算他們成績的方差和標準差.方差是各個數(shù)據(jù)與它們平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，即

方差與標準差其中，

是x1，x2，...，xn的平均數(shù).標準差是方差的算術(shù)平方根.要點精析：(1)方差和標準差是用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要量，反映的是數(shù)據(jù)在平均數(shù)附近波動的情況；(2)一般而言，一組數(shù)據(jù)的方差或標準差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.

例2

小明和小兵兩人參加體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績?nèi)缦卤硭?誰的成績較為穩(wěn)定？為什么？測試次數(shù)12345小明1014131213小兵111115141112345求平方和小明每次測試成績1014131213（每次成績－平均成績）25.762.560.360.160.369.2小兵每次測試成績1111151411（每次成績－平均成績）21.961.966.762.561.9615.2計算可得：小明5次測試成績的標準差為1.84；小兵5次測試成績的標準差為3.04.

所以根據(jù)結(jié)果小明的成績比較穩(wěn)定

為了考察甲、乙兩種小麥的長勢，分別從中抽取

了10株麥苗，測得高度(單位：cm)如下：甲：15，15，14，11，16，14，12，14，13，15；乙：17，14，12，16，15，14，14，14，13，11.哪種麥苗長勢整齊？導(dǎo)引：

根據(jù)題意，要比較哪種麥苗長勢整齊，需比較它

們高度的方差，先求出其平均數(shù)，再根據(jù)方差的

公式計算方差，進行比較可得結(jié)論．做一做解：

因為s甲2＜s乙2，所以甲種麥苗長勢整齊．方法拓展任取一個基準數(shù)a將原數(shù)據(jù)減去a，得到一組新數(shù)據(jù)求新數(shù)據(jù)的方差1231.求一組較大數(shù)據(jù)的方差，有如下簡便計算方法：2.標準差就是方差的算術(shù)平方根.(1)觀察下列各組數(shù)據(jù)并填空：A：1

2

3

4

5＝________，sA2＝________；B：11

12

13

14

15＝_______，sB2＝_______；C：10

20

30

40

50＝_______，sC2＝_______；D：3

5

7

9

11＝________，sD2＝________；(2)比較A與B，C，D的計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？導(dǎo)引：分別求平均數(shù)與方差，尋找四者之間的規(guī)律，

然后根據(jù)規(guī)律解決問題．例3

328722003013(2)A與B比較，B組中各數(shù)據(jù)比A組中對應(yīng)各數(shù)據(jù)多10，所以即sB2＝sA2.，而方差不變，A與C比較，C組各數(shù)據(jù)為A組中對應(yīng)各數(shù)據(jù)的10倍，

所以A與D比較，D組各數(shù)據(jù)為A組中對應(yīng)各數(shù)據(jù)的2倍多1，

所以＝2＋1＝2×3＋1＝7，sD2＝22×sA2＝4×2＝8.＝30，sC2＝102×sA2＝200.(3)若已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為

，方差為s2，

那么另一組數(shù)據(jù)3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均數(shù)是________，方差是________．

1.人數(shù)相同的八年級（1）、（2）兩班學生在同一次數(shù)學單元測試中，班級平均分和方差如下：，，，則成績較為穩(wěn)定的班級是（）A.甲班B.乙班C.兩班成績一樣穩(wěn)定D.無法確定B當堂練習2.數(shù)據(jù)－2，－1，0，1，2的離差平方和是___，

方差是___，標準差是

.3.五個數(shù)1，3，a，5，8的平均數(shù)是4，則a=_____，這五個數(shù)的方差_____.235.6

104.甲、乙兩臺編織機紡織一種毛衣，在5天中兩臺編織機每天出的合格品數(shù)如下（單位：件）：甲：7108