二次根式的概念及性質(zhì)01新課導(dǎo)入目錄03典型例題02新知探究04拓展提高05課堂小結(jié)01新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入

一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t為_____．

根據(jù)前面我們學(xué)習(xí)了平方根和算術(shù)平方根，我們把a(bǔ)的算術(shù)平方根記作

，那么形如

的式子在數(shù)學(xué)上被稱為什么呢？它又有什么特殊的要求呢？接下來讓我們探究它的與眾不同。02新知探究新知探究二次根式的概念及有意義的條件

一般地，我們把形如

的式子叫做二次根式，根號下的數(shù)叫作被開方數(shù)

.“”稱為二次根號.注意：a可以是數(shù)，也可以是式.兩個必備特征①外貌特征：含有“”②內(nèi)在特征：被開方數(shù)a

≥0新知探究練一練1.下列各式是二次根式嗎?（x,y異號）是不是不是不是不是是不是不含二次根號被開方數(shù)是負(fù)數(shù)當(dāng)m>0時被開方數(shù)是負(fù)數(shù)xy＜0非負(fù)數(shù)+正數(shù)恒大于零根指數(shù)是3新知探究練一練2.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：由x-2≥0，得x≥2.當(dāng)x≥2時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.想一想：當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：由題意得x-1＞0，∴x＞1.新知探究小歸納

要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)≥0，列不等式求解即可.若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時，應(yīng)同時考慮分母不為零.(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；(2)多個二次根式相加如有意義的條件：新知探究小歸納(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：

A＞0；(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：

A≥0且B≠0.新知探究練一練3.(1)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_______;x

≥1

(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________.x

≥0且x≠2

新知探究二次根式的雙重非負(fù)性思考1：當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？前者x為全體實(shí)數(shù)；后者x為正數(shù)和0.思考2：二次根式的被開方數(shù)a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？

當(dāng)a＞0時，表示a的算術(shù)平方根，因此＞0；當(dāng)a=0時，表示0的算術(shù)平方根，因此=0.這就是說，當(dāng)a≥0時，≥0.新知探究小歸納

二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對于任意一個二次根式，我們知道：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a≥0；（2）表示一個數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.

二次根式的被開方數(shù)非負(fù)二次根式的值非負(fù)二次根式的雙重非負(fù)性新知探究練一練1.若，求a-b+c的值.

解：由題意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,

解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.

多個非負(fù)數(shù)的和為零，則可得每個非負(fù)數(shù)均為零.初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.歸納新知探究二次方根的性質(zhì)

的性質(zhì)：一般地，＝a(a

≥0).即一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0這一限制條件.這是使二次根式有意義的前提條件.新知探究練一練2.

計(jì)算：解：積的乘方：（ab）2=a2b2(2)可以用到冪的哪條基本性質(zhì)呢？新知探究二次方根的性質(zhì)

的性質(zhì)：a(a≥0)-a(a＜0)即任意一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對值.新知探究練一練3.化簡：解：，而3.14＜π，要注意a的正負(fù)性.注意新知探究小歸納如何區(qū)別與？從運(yùn)算順序看從取值范圍看從運(yùn)算結(jié)果看意義先開方,后平方a≥0a表示一個非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方先平方，后開方a取任何實(shí)數(shù)|a|表示一個實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根新知探究練一練

4.實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，請你化簡:ab解：由數(shù)軸可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.新知探究二次根式的化簡當(dāng)a≥0，b≥0時，由于積的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的積小歸納（a≥0，b≥0），因此新知探究練一練5.化簡下列二次根式．解：

化簡二次根式時，最后結(jié)果要求被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù).新知探究小歸納

今后在化簡二次根式時，可以直接把根號下的每一個平方因子去掉平方號以后移到根號外.（注意：從根號下直接移到根號外的數(shù)必須是非負(fù)數(shù)).新知探究最簡二次根式

從前面的例題可以看出，這些式子的最后結(jié)果，具有以下特點(diǎn)：（1）被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)（或因式）；（2）被開方數(shù)不含分母.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫作最簡二次根式.新知探究想一想(m>0)是最簡二次根式嗎?如果不是，你能把它化簡嗎？解:不是最簡二次根式.

它含有能開方的因式m2

.

03典型例題例題講解1.已知y=,求3x+2y的算術(shù)平方根.解：由題意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算術(shù)平方根為5，∴3x+2y的算術(shù)平方根為5．例題講解2.已知|3x-y-1|和互為相反數(shù)，求x+4y的平方根．解：由題意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根為±3.例題講解3.請同學(xué)們快速分辨下列各題的對錯．（）（）（）（）××√√例題講解4.已知a、b、c是△ABC的三邊長，化簡：分析：利用三角形三邊關(guān)系三邊長均為正數(shù)，a+b＞c兩邊之和大于第三邊，b+c-a＞0，c-b-a＜0解：∵a、b、c是△ABC的三邊長，

∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．例題講解

5.化簡下列二次根式．解：04拓展提高拓展提高

1.已知a，b為等腰三角形的兩條邊長，且a，b滿足

，求此三角形的周長．解：由題意得∴a=3，∴b=4.當(dāng)a為腰長時，三角形的周長為3+3+4=10；當(dāng)b為腰長時，三角形的周長為4+4+3=11．拓展提高

2.化簡：