2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二次根式一．選擇題（共6小題）1．下列選項(xiàng)中，計(jì)算正確的是（）A．7?4=3 B．5+23=72．下列各式中是最簡二次根式的是（）A．12 B．13 C．24 D．0.63．要使二次根式x?5有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠5 B．x＞5 C．x≤5 D．x≥54．在下列各式中，一定是二次根式的是（）A．32 B．?10 C．a(chǎn)2+15．化簡28×A．2 B．5 C．6 D．36．已知一個長方形面積是24，寬是2，則它的長是（）A．23 B．42 C．32二．填空題（共8小題）7．若式子m?1m+2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則m的取值范圍是8．若18?n是整數(shù)，那么自然數(shù)n所有可能值的和是．9．若a=2+1，b=2?1，則代數(shù)式a2b+ab10．已知x=7+52，y=11．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，化簡|a?3|?a212．南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》記載三角形面積的獨(dú)特求法——三斜求積．其求三角形面積的方法用現(xiàn)在的語言表達(dá)為：△ABC的三條邊為a，b，c，S△ABC=12c2a2?14(c2+13．已知x，y是實(shí)數(shù)，且y=x?3+3?x+9，則﹣14．若式子x?3有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．三．解答題（共9小題）15．已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＝|b|，化簡|a|+|a+b|?(c?a)216．先閱讀解題過程，再回答后面的問題．如果m、n是正整數(shù)，且16(2m+n)和最簡二次根式m?n+1m+7在二次根式的加減法中可以合并成一項(xiàng)，求m、n解：∵16(2m+n)和m?n?1m+7∴m?n?1=216(2m+n)=m+7，即m?n=331m+16n=7，解得∵m、n是正整數(shù)，∴此題無解．問：（1）以上解法是否正確？如果不正確，錯在哪里？（2）給出正確的解答過程．17．一個三角形的三邊長分別為5x5，1220x（1）求它的周長（要求結(jié)果化簡）；（2）請你給出一個適當(dāng)?shù)膞值，使它的周長為整數(shù)，并求出此時三角形周長的值．18．一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+22=(1+2)2．設(shè)a+b2=（m+n2）2（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝（2）找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：+5=（+5）2（3）化簡116?619．觀察下列各式：1+112+122=1+11+132+1請你根據(jù)以上三個等式提供的信息解答下列問題①猜想：1+172+②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，請寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式：；③應(yīng)用：計(jì)算828120．閱讀材料：在解決問題“已知a=12?1，求2a2∵a=∴a?1=∴（a﹣1）2＝2∴a2﹣2a+1＝2∴a2﹣2a＝1∴2a2﹣4a＝2∴2a2﹣4a+1＝3請根據(jù)小芳的方法探索解決下列問題：（1）化簡：12?（2）若a=15+26，求3a221．先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如m±2n的化簡，只要我們找到兩個數(shù)a，b使a+b＝m，ab＝n，這樣（a）2+（b）2＝m，a?b=n，那么便有m±2n=(a±b解：首先把7+43化為7+212，這里m＝7，由于4+3＝7，4×3＝12，即（4）2+（3）2＝7，4?3=∴7+43=7+2由上述例題的方法化簡：（1）13?242（2）7?40（3）2?322．閱讀下列解題過程：1213請回答下列問題：（1）歸納：觀察上面的解題過程，請直接寫出下列各式的結(jié)果．①17+6=；（2）應(yīng)用：求12（3）拓廣：13?123．觀察下列各式：①1+13=213，②2+14=3（1）請觀察規(guī)律，并寫出第④個等式：；（2）請用含n（n≥1）的式子寫出你猜想的規(guī)律：；（3）請證明（2）中的結(jié)論．

2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二次根式參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．下列選項(xiàng)中，計(jì)算正確的是（）A．7?4=3 B．5+23=7【答案】D【分析】計(jì)算出各個選項(xiàng)中式子的正確結(jié)果，即可判斷哪個選項(xiàng)符合題意．【解答】解：7與4不是同類二次根式，不能合并，故選項(xiàng)A不符合題意；5和23不能合并，故選項(xiàng)B8÷2=5×2=故選：D．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．2．下列各式中是最簡二次根式的是（）A．12 B．13 C．24 D．0.6【答案】B【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、12=23，故AB、13是最簡二次根式，故B符合題意；C、24=26，故CD、0.6=35故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了最簡二次根式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．要使二次根式x?5有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠5 B．x＞5 C．x≤5 D．x≥5【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案．【解答】解：∵x﹣5≥0，∴x≥5．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．在下列各式中，一定是二次根式的是（）A．32 B．?10 C．a(chǎn)2+1【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義作出選擇：式子a（a≥0）叫做二次根式．【解答】解：A、是三次根式；故本選項(xiàng)符合題意；B、被開方數(shù)﹣10＜0，不是二次根式；故本選項(xiàng)不符合題意；C、被開方數(shù)a2+1＞0，符合二次根式的定義；故本選項(xiàng)符合題意；D、被開方數(shù)a＜0時，不是二次根式；故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的定義．式子a（a≥0）叫做二次根式，特別注意a≥0，a是一個非負(fù)數(shù)．5．化簡28×A．2 B．5 C．6 D．3【答案】A【分析】利用二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解答】解：原式=28×故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．6．已知一個長方形面積是24，寬是2，則它的長是（）A．23 B．42 C．32【答案】A【分析】依據(jù)題意，由一個長方形面積是24，寬是2，則它的長為：24÷2=【解答】解：由題意，∵一個長方形面積是24，寬是2，∴它的長為：24÷2=故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能根據(jù)題意列出關(guān)系式是關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）7．若式子m?1m+2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則m的取值范圍是m≥1【答案】m≥1．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，分式有意義的條件得到m?1≥0m+2≠0【解答】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，分式有意義的條件可得：m?1≥0m+2≠0解得：m≥1，∴m的取值范圍是m≥1，故答案為：m≥1．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義則被開方數(shù)非負(fù)，分式有意義則分母不為0是解題的關(guān)鍵．8．若18?n是整數(shù)，那么自然數(shù)n所有可能值的和是60．【答案】60．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，求出m的取值范圍，再根據(jù)18?n是整數(shù)，即可得出答案．【解答】解：由條件可知18﹣n≥0，且18﹣n是完全平方數(shù)，∴①18﹣n＝1，即，n＝17，②18﹣n＝4，即n＝14，③18﹣n＝9，即n＝9，④18﹣n＝16，即n＝2，⑤18﹣n＝0，即n＝18，綜上自然數(shù)n的值可以是，2，9，14，17，18，2+9+14+17+18＝60．故答案為：60．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握該知識點(diǎn)是關(guān)鍵．9．若a=2+1，b=2?1，則代數(shù)式a2b+ab2的值為【答案】22．【分析】先求出ab和a﹣b的值，再將代數(shù)式變形為ab（a+b），最后將數(shù)值代入求出答案．【解答】解：∵a=2+1，∴ab＝1，a+b＝22．∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝1×2＝22．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是先求出ab和a+b的值．10．已知x=7+52，y=7?【答案】14．【分析】依據(jù)題意，由x=7+5【解答】解：∵x=7∴y=y=x+y=7=7=14故答案為：14．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的化簡求值、分母有理化，解題時要熟練掌握并能準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵．11．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，化簡|a?3|?a2【答案】1．【分析】利用數(shù)軸表示數(shù)的方法得到a＜2，再利用完全平方公式和二次根式的性質(zhì)化簡原式，然后去絕對值后合并即可．【解答】解：由條件可得：|a?3|?a＝|a﹣3|﹣|a﹣2|＝﹣（a﹣3）+（a﹣2）＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡和化簡絕對值，熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵．12．南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》記載三角形面積的獨(dú)特求法——三斜求積．其求三角形面積的方法用現(xiàn)在的語言表達(dá)為：△ABC的三條邊為a，b，c，S△ABC=12c2a2?14(c2+【答案】＞．【分析】根據(jù)三角形面積的獨(dú)特求法——三斜求積，代入計(jì)算，即可解答．【解答】解：由條件可得：∵S△ABC=12c2a2?∴S△ABC=∵8.5=∴299故答案為：＞．【點(diǎn)評】本題考查三角形面積的獨(dú)特求法——三斜求積公式，正確運(yùn)用該公式是解題關(guān)鍵．13．已知x，y是實(shí)數(shù)，且y=x?3+3?x+9，則﹣【答案】﹣3【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵x?3與3?x有意義，∴x﹣3≥0且3﹣x≥0，解得x＝3，∴y＝9，∴﹣xy的立方根為3?xy故答案為：﹣3．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件，立方根．熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．14．若式子x?3有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥3．【答案】x≥3．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵式子x?3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x﹣3≥0，∴x≥3，故答案為：x≥3．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握該知識點(diǎn)是關(guān)鍵．三．解答題（共9小題）15．已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＝|b|，化簡|a|+|a+b|?(c?a)2【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出實(shí)數(shù)a，b，c的符號，然后利用二次根式與絕對值的性質(zhì)求解即可求得答案．【解答】解：由題意得：c＜a＜0＜b，又∵|a|＝|b|，∴a+b＝0，c﹣a＜0，∴|a|+|a+b||?(c?a)＝﹣a+0+c﹣a+2c＝3c﹣2a．【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式以及絕對值的性質(zhì)，合并同類項(xiàng)，熟練掌握各自的意義是解本題的關(guān)鍵．16．先閱讀解題過程，再回答后面的問題．如果m、n是正整數(shù)，且16(2m+n)和最簡二次根式m?n+1m+7在二次根式的加減法中可以合并成一項(xiàng)，求m、n解：∵16(2m+n)和m?n?1m+7∴m?n?1=216(2m+n)=m+7，即m?n=331m+16n=7，解得∵m、n是正整數(shù)，∴此題無解．問：（1）以上解法是否正確？如果不正確，錯在哪里？（2）給出正確的解答過程．【答案】（1）不正確，原因：見解答過程；（2）見解答過程．【分析】（1）要知道，同類二次根式是化簡后被開方數(shù)相同．（2）先把16(2m+n)轉(zhuǎn)化為最簡二次根式，然后再根據(jù)兩個二根式能合并列出相應(yīng)方程組進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）不正確，原因是沒有把16(2m+n)轉(zhuǎn)化為最簡二次根式；（2）正確解答過程如下：∵16(2m+n)=42m+n，16(2m+n)和∴m?n+1=22m+n=m+7解得：m=4n=3經(jīng)檢驗(yàn)m＝4，n＝3符合題意，∴m＝4，n＝3．【點(diǎn)評】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．17．一個三角形的三邊長分別為5x5，1220x（1）求它的周長（要求結(jié)果化簡）；（2）請你給出一個適當(dāng)?shù)膞值，使它的周長為整數(shù)，并求出此時三角形周長的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以求得該三角形的周長；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，選擇一個符合題意的x的值即可解答本題．【解答】解：（1）∵一個三角形的三邊長分別為5x5，1220x∴這個三角形的周長是：5x=5x=5（2）當(dāng)x＝20時，這個三角形的周長是：55x【點(diǎn)評】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式的意義．18．一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+22=(1+2)2．設(shè)a+b2=（m+n2）2（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝m2+3n2，b（2）找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：21+45=（1+25）2（3）化簡116?6【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）將（m+n3）2用完全平方公式展開，與原等式左邊比較，即可得答案；（2）設(shè)a+b5=(m+n5)2，則(m+n5)2=m2+25mn+5n2，比較完全平方式右邊的值與a+b5，可將a和b用（3）利用題中描述的方法，將要化簡的雙重根號，先化為一重根號，再利用分母有理化化簡，再合并同類二次根式和同類項(xiàng)即可．【解答】解：（1）∵a+b3=(m+n3)2，(m+n3)2=∴a＝m2+3n2，b＝2mn，故答案為：m2+3n2，2mn．（2）設(shè)a+b5=(m+n則(m+n5)2=m2+25mn∴a＝m2+5n2，b＝2mn，若令m＝1，n＝2，則a＝21，b＝4．故答案為：21，4，1，2．（3）1=1=1=3+=3+=3=13【點(diǎn)評】本題考查了利用分母有理化和利用完全平方公式對二次根式化簡，以及對這種方法的拓展應(yīng)用，本題具有一定的計(jì)算難度．19．觀察下列各式：1+112+122=1+11+132+1請你根據(jù)以上三個等式提供的信息解答下列問題①猜想：1+172+182=②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，請寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式：1+1n2+③應(yīng)用：計(jì)算8281【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】①直接利用利用已知條件才想得出答案；②直接利用已知條件規(guī)律用n（n為正整數(shù)）表示的等式即可；③利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律將原式變形得出答案．【解答】解：①猜想：1+172+1故答案為：1+17?②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式：1+1n2③應(yīng)用：82=1+=1+＝1+＝1190【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．20．閱讀材料：在解決問題“已知a=12?1，求2a2∵a=∴a?1=∴（a﹣1）2＝2∴a2﹣2a+1＝2∴a2﹣2a＝1∴2a2﹣4a＝2∴2a2﹣4a+1＝3請根據(jù)小芳的方法探索解決下列問題：（1）化簡：12?（2）若a=15+26，求3a2【答案】（1）﹣2?5（2）15．【分析】（1）根據(jù)分母有理化的步驟化簡即可；（2）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再代入求值即可．【解答】解：（1）原式==2+＝﹣2?5（2）∵a=15+26∴原式＝3（a2﹣10a+6）＝3（a2﹣10a+25）﹣3×19＝3（a﹣5）2﹣57＝3×24﹣57＝15．【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算和化簡求值，分母有理化和平方差公式，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．21．先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如m±2n的化簡，只要我們找到兩個數(shù)a，b使a+b＝m，ab＝n，這樣（a）2+（b）2＝m，a?b=n，那么便有m±2n=(a±b解：首先把7+43化為7+212，這里m＝7，由于4+3＝7，4×3＝12，即（4）2+（3）2＝7，4?3=∴7+43=7+2由上述例題的方法化簡：（1）13?242（2）7?40（3）2?3【答案】（1）7?（2）5?（3）6?【分析】先把各題中的無理式變成m±2n【解答】解：（1）