人教版9年級數(shù)學(xué)上冊【旋轉(zhuǎn)】專項訓(xùn)練考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題30分）一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）1、如圖，由個小正方形組成的田字格，的頂點都是小正方形的頂點，在田字格上能畫出與成軸對稱，且頂點都在小正方形頂點上的三角形的個數(shù)共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2、如圖，邊長為5的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個動點，連接，將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則在點M運動過程中，線段長度的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．3、下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．4、如圖，在中，，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點A，B的對應(yīng)點分別為D，E，連接．當(dāng)點A，D，E在同一條直線上時，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．5、下列運動形式屬于旋轉(zhuǎn)的是(

)A．在空中上升的氫氣球 B．飛馳的火車C．時鐘上鐘擺的擺動 D．運動員擲出的標(biāo)槍6、下列圖形中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（

）A． B．C． D．7、如圖，邊長為3的正五邊形ABCDE，頂點A、B在半徑為3的圓上，其他各點在圓內(nèi)，將正五邊形ABCDE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E第一次落在圓上時，則點C轉(zhuǎn)過的度數(shù)為（）A．12° B．16° C．20° D．24°8、如圖，在中，，，D為內(nèi)一點，分別連接PA、PB、PC，當(dāng)時，，則BC的值為（

）A．1 B． C． D．29、如圖，將繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上，若，，則CD的長為（

）.A． B． C． D．110、如圖，在小正三角形組成的網(wǎng)格中，已有個小正三角形涂黑，還需涂黑個小正三角形，使它們與原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸，則的最小值為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題70分）二、填空題（10小題，每小題4分，共計40分）1、如圖：為五個等圓的圓心，且在一條直線上，請在圖中畫一條直線，將這五個圓分成面積相等的兩個部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩點是___________．2、在平面直角坐標(biāo)系中，點（﹣3，2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是____________．3、若點和關(guān)于原點對稱，則的值是___________．4、如圖，將正方形網(wǎng)格放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C的坐標(biāo)分別為，，．是關(guān)于軸的對稱圖形，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)180°，點的對應(yīng)點為M，則點M的坐標(biāo)為________．5、如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，E是邊AB的中點，F(xiàn)是邊AD上的一個動點，將線段EF繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到EG，連接DG、CG，則DG+CG的最小值為_____．6、如圖，在坐標(biāo)系中放置一菱形，已知，點B在y軸上，，先將菱形沿x軸的正方向無滑動翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°，連續(xù)翻轉(zhuǎn)12次，點B的落點依次為，，，，則的橫坐標(biāo)為______．7、點與點關(guān)于原點對稱，則點的坐標(biāo)是_________．8、兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點重合在點O處，AB＝13，CD＝7．保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)a（0α90°），如圖2所示．當(dāng)BD與CD在同一直線上（如圖3）時，則△ABC的面積為____．9、已知點A（﹣2，b）與點B（a，3）關(guān)于原點對稱，則a﹣b=______．10、點P（2，﹣3）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是_________．三、解答題（6小題，每小題5分，共計30分）1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接寫出點B關(guān)于原點對稱的點B′的坐標(biāo)：；（2）平移△ABC，使平移后點A的對應(yīng)點A1的坐標(biāo)為（2，1），請畫出平移后的△A1B1C1；（3）畫出△ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2．2、為等邊三角形，AB＝8，AD⊥BC于點D，E為線段AD上一點，．以AE為邊在直線AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，連接CE，N為CE的中點．(1)如圖1，EF與AC交于點G，連接NG，BE，直接寫出NG與BE的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，M為線段EF的中點，連接DN，MN．當(dāng)時，猜想∠DNM的大小是否為定值，如果是定值，請寫出∠DNM的度數(shù)并證明，如果不是，請說明理由；(3)連接BN，在繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出線段BN的最大值．3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的兩個端點的坐標(biāo)分別是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．（1）畫出線段AB向右平移4個單位后的線段A1B1；（2）畫出線段AB繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后的線段A2B2．4、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，點A關(guān)于直線BC的對稱點為A′，連接A′B，點P為直線BC上的動點（不與點B重合），連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段PD，連接A′D，BD．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點D在直線BC上時，線段BP與A′D的數(shù)量關(guān)系為，∠DA′B＝；【拓展探究】（2）如圖2，當(dāng)點P在BC的延長線上時，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；【問題解決】（3）當(dāng)∠BDA′＝30°時，求線段AP的長度．5、如圖，點是的邊上的動點，，連接，并將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）如圖1，作，垂足在線段上，當(dāng)時，判斷點是否在直線上，并說明理由；（2）如圖2，若，，求以、為鄰邊的正方形的面積．6、如圖，在等邊中，D為BC邊上一點，連接AD，將沿AD翻折得到，連接BE并延長交AD的延長線于點F，連接CF．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的大??；（3）猜想CF，BF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】因為頂點都在小正方形上，故可分別以大正方形的兩條對角線AB、EF及MN、CH為對稱軸進行尋找．【詳解】分別以大正方形的兩條對角線AB、EF及MN、CH為對稱軸，作軸對稱圖形：則△ABM、△ANB、△EHF、△EFC都是符合題意的三角形.故選：C.【考點】考查了利用軸對稱涉及圖案的知識,關(guān)鍵是根據(jù)要求頂點在格點上尋找對稱軸,有一定難度,不要漏解.2、A【解析】【分析】取CB的中點G，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明△MBG≌△NBH，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得HN=MG，然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時最短，再根據(jù)∠BCH=30°求解即可．【詳解】解：如圖，取BC的中點G，連接MG，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等邊△ABC的對稱軸，∴HB=AB，∴HB=BG，又∵MB旋轉(zhuǎn)到BN，∴BM=BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG=NH，根據(jù)垂線段最短，MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，此時∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×5=2.5，∴MG=CG=，∴HN=，故選A．【考點】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．3、C【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；D、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：C．【考點】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．4、D【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)可知，即可求出，由于，則可判斷，即A選項錯誤；由旋轉(zhuǎn)可知，由于，即推出，即B選項錯誤；由三角形三邊關(guān)系可知，即可推出，即C選項錯誤；由旋轉(zhuǎn)可知，再由，即可證明為等邊三角形，即推出．即可求出，即證明，即D選項正確；【詳解】由旋轉(zhuǎn)可知，∵點A，D，E在同一條直線上，∴，∵，∴，故A選項錯誤，不符合題意；由旋轉(zhuǎn)可知，∵為鈍角，∴，∴，故B選項錯誤，不符合題意；∵，∴，故C選項錯誤，不符合題意；由旋轉(zhuǎn)可知，∵，∴為等邊三角形，∴．∴，∴，故D選項正確，符合題意；故選D．【考點】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的判定．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．5、C【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義逐一進行判斷即可得到正確的結(jié)論.【詳解】解：在空氣中上升的氫氣球，飛馳的火車，運動員擲出標(biāo)槍屬于平移現(xiàn)象，時鐘上鐘擺的擺動屬于旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.故選：C.【考點】本題主要考查關(guān)于旋轉(zhuǎn)的知識，題目比較簡單，屬于基礎(chǔ)題目，大部分學(xué)生能夠正確完成，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的定義是解決本題的關(guān)鍵.6、C【解析】【詳解】解：選項A，B中的圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A，B不符合題意；選項C中的圖形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故C符合題意；選項D中的圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故D不符合題意，故選C【考點】本題考查的是軸對稱圖形與中心對稱圖形的識別，把一個圖形沿某條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，則這個圖形是軸對稱圖形，把一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)后能夠與自身重合，則這個圖形是中心對稱圖形，掌握“軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義”是解本題的關(guān)鍵.7、A【解析】【分析】根據(jù)點E旋轉(zhuǎn)的角度和點C旋轉(zhuǎn)的角度相等,所以求出點E旋轉(zhuǎn)的角度即可.【詳解】解:如圖設(shè)圓心為O,連接OA,OB,點E落在圓上的點E'處.AB=OA=OB,∠OAB=,同理∠OAE'=,∠EAB=,∠EAO=∠EAB-∠OAB=,∠EAE'=∠OAE'-∠EAO=-=點E旋轉(zhuǎn)的角度和點C旋轉(zhuǎn)的角度相等,點C旋轉(zhuǎn)的角度為,故選A.【考點】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，注意與圓的性質(zhì)的綜合.8、C【解析】【分析】將△BPA順時針旋轉(zhuǎn)60°，到△BMN處，得到△BPM，△ABN是等邊三角形，證明C、P、M、N四點共線，且∠CAN=90°，設(shè)BC=x，則AB=BN=2x，AC=，利用勾股定理計算即可．【詳解】將△BPA順時針旋轉(zhuǎn)60°，到△BMN處，則△BPM，△ABN是等邊三角形，∠BPM=∠BMP=60°，∠BAN=60°，PM=PB，BA=BN，PA=MN，∵∠CPB=∠BPA=∠APC=∠BMN=120°，∴∠BMP+∠BMN=180°，∠BPC+∠BPM=180°，∴C、P、M、N四點共線，∴CP+PM+MN=CP+PB+PA=，∵∠BAC=30°，∠BAN=60°，∴∠CAN=90°，設(shè)BC=x，則AB=BN=2x，AC=，∴，解得x=，x=-，舍去，故選C．【考點】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9、D【解析】【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠C=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出BC的長，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AD，然后判斷出△ABD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BD=AB，然后根據(jù)CD=BC-BD計算即可得解．【詳解】解：∵∠B=60°，∴∠C=90°-60°=30°，∵AB=1，∴BC=2AB=2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AB=AD，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC-BD=2-1=1．故選：D．【考點】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出△ABD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．10、C【解析】【分析】由等邊三角形有三條對稱軸可得答案．【詳解】如圖所示，n的最小值為3．故選C．【考點】本題考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，解題的關(guān)鍵是掌握常見圖形的性質(zhì)和軸對稱圖形的性質(zhì)．二、填空題1、D與【解析】【分析】平分5個圓，那么每份應(yīng)是2.5，由過平行四邊形中心的任意直線都能平分平行四邊形的面積，應(yīng)先作出平行四邊形的中心，再把第5個圓平分即可．【詳解】點D恰好是平行四邊形的中心，則這里過D和O3即可．故答案為：D和O3．【考點】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．2、（3，﹣2）【解析】【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴點（﹣3，2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（3，﹣2），故答案為（3，﹣2）．【考點】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，難度較?。?、-3．【解析】【分析】先求出的值，然后相加即可．【詳解】解：點和關(guān)于原點對稱，則a=-1，b=-2，，故答案為：-3．【考點】本題考查了關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是熟知變化規(guī)律，準確進行計算．4、【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出旋轉(zhuǎn)后圖形，即可求解【詳解】解：如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)180°，所以點的對應(yīng)點為M的坐標(biāo)為．故答案為：【考點】本題考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)圖形的對稱，旋轉(zhuǎn)，解題關(guān)鍵是理解對稱旋轉(zhuǎn)的含義，并結(jié)合網(wǎng)格解題．5、【解析】【分析】取AD的中點N．連接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延長線于H．根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得△ADB是等邊三角形，從而得到△AEN是等邊三角形，可證得△AEF≌△NEG，進而得到點G的運動軌跡是射線NG，繼而得到GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH和Rt△ECH中，由勾股定理，即可求解．【詳解】如圖，取AD的中點N．連接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延長線于H．∵四邊形ABCD是菱形∴AD＝AB，∵∠A＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等邊三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GND＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴點G的運動軌跡是射線NG，∴D，E關(guān)于射線NG對稱，∴GD＝GE，∴GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH中，∠H＝90°，BE＝1，∠EBH＝60°，∴BH＝BE＝，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝，∴GD+GC≥，∴GD+GC的最小值為．故答案為：．【考點】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．6、【解析】【分析】連接AC，根據(jù)條件可以求出AC，畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4，由于，因此點B向右平移8即可到達點，根據(jù)點B的坐標(biāo)就可求出點的坐標(biāo)．【詳解】連接AC，如圖所示，∵四邊形OABC是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，如圖所示，由圖可知：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4，∵，∴點B向右平移2×4=8個單位到點，∵B點的坐標(biāo)為，∴的坐標(biāo)為，故答案為：．【考點】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，考查了操作、探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力．發(fā)現(xiàn)“每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4”是解決本題的關(guān)鍵．7、（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反可得答案．【詳解】∵點A（2，1）與點B關(guān)于原點對稱，∴點B的坐標(biāo)是（﹣2，﹣1），故答案為（﹣2，﹣1）．【考點】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)．8、30【解析】【分析】設(shè)AO與BC的交點為點G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證△AOC≌△BOD，進而得出△ABC是直角三角形，設(shè)AC＝x，BC=x+7，由勾股定理求出x，再計算△ABC的面積即可．【詳解】解：設(shè)AO與BC的交點為點G，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO＋∠OGB＝90°，∵∠OGB＝∠AGC，∴∠CAO＋∠AGC＝90°，∴∠ACG＝90°，∴CG⊥AC，設(shè)AC＝x，則BD=AC=x，BC=x+7，∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S=，故答案為：30．【考點】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．9、5【解析】【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點對稱的點橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，求出a，b的值即可．【詳解】∵點A（﹣2，b）與點B（a，3）關(guān)于原點對稱，∴，，∴故答案為：5．【考點】本題考查平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)的特點，掌握特殊位置關(guān)系的點的坐標(biāo)變化是解答本題的關(guān)鍵．10、（-2，3）【解析】【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（-x，-y），即關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)．【詳解】解：已知點P（2，-3），則點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（-2，3），故答案為：（-2，3）．【考點】本題主要考查了關(guān)于原點的對稱點的性質(zhì)，正確把握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．三、解答題1、（1）（4，﹣1）；（2）見解析；（3）見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩點的橫縱坐標(biāo)均與原來點的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此可得答案；（2）將三個點分別向右平移3個單位、再向上平移1個單位，繼而首尾順次連接即可；（3）將三個點分別繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到對應(yīng)點，再首尾順次連接即可．【詳解】（1）點B關(guān)于原點對稱的點B′的坐標(biāo)為（4，﹣1），故答案為：（4，﹣1）；（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（3）如圖所示，△A2B2C2即為所求．【考點】本題主要考查作圖—平移變換、旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的定義與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應(yīng)點．2、(1)(2)∠DNM的大小是定值，為120°(3)【解析】【分析】（1）連接CF．由等邊三角形的性質(zhì)易證△BAE≌△CAF(SAS)，即得出．再根據(jù)三角形中位線定理即可求出；（2）連接BE，CF．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠EBC+∠BCF=120°，再利用三角形的中位線定理，三角形的外角的性質(zhì)證明∠DNM=∠EBC+∠BCF即可；（3）取AC的中點J，連接BJ，結(jié)合三角形的中位線定理可求出BJ，JN．最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．(1)解：如圖，連接CF．∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AB=BC=AC，∠BAD=∠CAD=30°．∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF=60°，G為EF中點，∴∠EAG=∠GAF=30°．即在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴，∵N為CE的中點，G為EF中點，∴，∴；(2)∠DNM=120°是定值，證明如下，如圖，連接BE，CF．同（1）可證△BAE≌△CAF（SAS），∴∠ABE=∠ACF．∵∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°，∴∠EBC+∠BCF=∠ABC-∠ABE+∠ACB+∠ACF=120°．∵EN=NC，EM=MF，∴MN∥CF，∴∠ENM=∠ECF，∵BD=DC，EN=NC，∴DN∥BE，∴∠CDN=∠EBC，∵∠END=∠NDC+∠NCD，∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF=∠EBC+∠ACB+∠ACF=∠EBC+∠BCF=120°．綜上可知∠DNM的大小是定值，為120°；(3)如圖，取AC的中點J，連接BJ，BN．∵AJ=CJ，EN=NC，∴JN=AE=．∵BJ=AD=，∴BN≤BJ+JN，即BN≤，故線段BN的最大值為．【考點】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．3、（1）畫圖見解析，（2）畫圖見解析【解析】【分析】（1）分別確定向右平移4個單位后的對應(yīng)點，再連接即可；（2）分別確定繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后的對應(yīng)點，再連接即可.【詳解】解：（1）如圖，線段即為所求作的線段，（2）如圖，線段即為所求作的線段，【考點】本題考查的是平移的作圖，中心對稱的作圖，掌握平移的性質(zhì)與中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4、（1）相等；90°；（2）成立，證明見解析；（3）線段AP的長度為4或4．【解析】【分析】（1）首先推知AP=PB，PC=AP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）如圖②，連接AD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AA′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AP=DP，∠APD=60°，推出△AA′B是等邊三角形，得到PA=PD=AD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖③，由（2）知，∠BA′D=90°根據(jù)已知條件得到D在BA的延長線上，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AP=DP，∠APD=60°，推出△AA′B是等邊三角形，得到PA=PD=AD，于是得到結(jié)論；如圖④，由（2）知，∠BA′D=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AP=DP，∠APD=60°，求得PA=PD=AD，∠PAD=∠BAA′=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PB=DA′=4，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，點A關(guān)于直線BC的對稱點為A′，則∠ABC＝∠A′BC＝30°，AB＝A′B．∴∠ABA′＝60°．∴△ABA′是等邊三角形，∴∠AA′B＝60°，∵∠APD＝60°，∴∠BAP＝∠ABP＝∠PAC＝30°，∴AP＝PB，PCAP，∵AP＝PD，∴PCPD，∴PC＝CD，∵AC＝A′C，∠ACP＝∠A′CD，∴△APC≌△A′DC（SAS），∴DA′＝AP，∠CA′D＝∠PAC＝30°，∴PB＝DA′，∠BA′D＝60°+30°＝90°，故答案為：相等；90°；（2）成立，證明如下：如圖②，連接AD，∵△AA′B是等邊三角形，∴AB＝AA′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AP＝DP，∠APD＝60°，∴△APD是等邊三角形，∴PA＝PD＝AD，∴∠BAP＝∠BAC+∠CAP，∠A′AD＝∠PAD+∠CAP，∠BAC＝∠PAD，∴∠BAP＝∠A′AD，在△BAP與△A′AD中，∵，∴△BAP≌△A′AD（SAS），

∴BP＝A′D，∠AA′D＝∠ABC＝30°．∵∠BA′A＝60°，∴∠DA′B＝∠BA′A+∠AA′D＝90°；（3）如圖③，當(dāng)點P在BC的延長線上時，由（2）知，∠BA′D＝90°∵∠BDA′＝30°，∴∠DBA′＝60°，∴D在BA的延長線上，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AP＝DP，∠APD＝60°，∴△APD是等邊三角形，∴PA＝PD＝AD，∵BA′＝4，∴BD＝8，∴AP＝AD＝4；如圖④，當(dāng)點P在CB的延長線上時，由（2）知，∠BA′D＝90°，∵∠BDA′＝30°，∵BA′＝4，∴DA′＝4，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AP＝DP，∠APD＝60°，∴△APD是等邊三角形，∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAA′＝60°，∴∠PAB＝∠DAA′，∵AB＝AA′，∴△ABP≌△AA′D（SAS），∴PB＝DA′＝4，∵AC＝2，BC＝2，∴CP＝6，∴AP4．綜上所述，線段AP的長度為4或4．【考點】本題屬于幾何變換綜合