23.2中心對稱【學習目標】1．理解兩個圖形關于某一點中心對稱的概念及其性質(zhì)，能作一個圖形關于某一個點的中心對稱圖形．2．理解中心對稱圖形．3．能熟練掌握關于原點對稱的點的坐標．4．能綜合運用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等變換解決圖形變換問題．【學習重難點】重點：中心對稱性質(zhì)的應用難點：旋轉(zhuǎn)中的截長補短方法。知識點一：中心對稱及其相關概念中心對稱的定義

把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．例題．下列四張撲克牌圖案，屬于中心對稱的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念和各撲克牌的花色排列特點的求解．【解答】解：A、是中心對稱圖形，符合題意；B、不是中心對稱圖形，不符合題意；C、不是中心對稱圖形，不符合題意；D、不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查中心對稱的知識，掌握好中心對稱圖形的概念是解題的關鍵．如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．變式1．下列英語單詞中，是中心對稱圖形的是（）A．SOS B．CEO C．MBA D．SAR【分析】把一個圖形繞一點旋轉(zhuǎn)180度，能夠與原圖形重合，則這個點就叫做對稱點，這個圖形就是中心對稱圖形，依據(jù)定義即可解決．【解答】解：是中心對稱圖形的是A，故選A．【點評】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，是需要熟記的內(nèi)容．變式2．下列四組圖形中，左邊的圖形與右邊的圖形成中心對稱的有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【分析】欲分析兩個圖形是否成中心對稱，主要把一個圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)180°，觀察是否能和另一個圖形重合即可．【解答】解：根據(jù)中心對稱的概念，知②③④都是中心對稱．故選：C．【點評】本題重點考查了兩個圖形成中心對稱的定義．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．知識點二：中心對稱的性質(zhì)中心對稱的性質(zhì)

①關于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；

②關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分．例題．已知△ABC和△DEF關于點O對稱，相應的對稱點如圖所示，則下列結論正確的是（）A．AO=BO B．BO=EOC．點A關于點O的對稱點是點D D．點D在BO的延長線上【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)：中心對稱點平分對應點連線的線段解答即可．【解答】解：A、AO=OE，錯誤；B、BO=DO，錯誤；C、點A關于點O的對稱點是點E，錯誤；D、點D在BO的延長線上，正確；故選：D．【點評】本題考查了中心對稱的知識，難度不大，其實中心對稱即是旋轉(zhuǎn)的特例．變式1．成中心對稱的兩個圖形，下列說法正確的是（）①一定形狀相同；②大小可能不等；③對稱中心必在圖形上；④對稱中心可能只在一個圖形上；⑤對稱中心必在對應點的連線上．A．①③ B．③④ C．④⑤ D．①⑤【分析】根據(jù)成中心對稱的圖形的性質(zhì)，對各小題分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：①成中心對稱的兩個圖形能夠完全重合，所以一定形狀相同，故本小題正確；②成中心對稱的兩個圖形能夠完全重合，所以大小一定相等，故本小題錯誤；③對稱中心不在圖形上，故本小題錯誤；④對稱中心不一定在任何一個圖形上，故本小題錯誤；⑤對稱中心為對應點連線的中點，所以必在對應點的連線上，故本小題正確，綜上所述，正確的有①⑤．故選：D．【點評】本題考查了中心對稱，是基本概念題，熟練掌握成中心對稱圖形的性質(zhì)是解題的關鍵．變式2．如圖，在平面直角坐標系中，若△ABC與△A1B1C1關于E點成中心對稱，則對稱中心E點的坐標是（）A．（3，﹣1） B．（0，0） C．（2，﹣1） D．（﹣1，3）【分析】連接對應點AA1、CC1，根據(jù)對應點的連線經(jīng)過對稱中心，則交點就是對稱中心E點，在坐標系內(nèi)確定出其坐標．【解答】解：連接AA1、CC1，則交點就是對稱中心E點．觀察圖形知，E（3，﹣1）．故選：A．【點評】此題考查了中心對稱的性質(zhì)：對應點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分．確定E點位置是關鍵．變式3．如圖，△ABC與△A′B′C′關于點O成中心對稱，∠ABC=45°，∠B′C′A′=80°，∠BAC=55°．【分析】由△ABC與△A′B′C′關于點O成中心對稱，得到△ABC≌△A′B′C′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可得到結論．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關于點O成中心對稱，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠BCA=∠B′C′A′=80°，∵∠ABC=45°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣80°=55°，故答案為：55．【點評】本題考查了中心對稱的性質(zhì)，熟練掌握中心對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．知識點三：中心對稱的作圖方法（1）旋轉(zhuǎn)圖形的作法：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．

（2）旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等．例題．如圖，作出△ABC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°的圖形．【分析】連接AO，過點O作OA′，且按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，即令∠AOA′=90°，OA′=OA，則點A′就是A點旋轉(zhuǎn)后的對應點，按照此方法可依次找到B，C的對應點B′，C′．順次連接各點即可得到旋轉(zhuǎn)后的三角形．【解答】解：【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)作圖．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點﹣旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．變式1．如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC為格點三角形（即三角形的頂點都在格點上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，點A移到點A1，在網(wǎng)格中畫出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1B2C2，在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B2C2．【分析】（1）把△ABC向上平移2個單位，再向右平移2個單位得到△△A1B1C1；（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點B1、C1的對應點B2、C2，從而得到△A1B2C2．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）如圖，△A1B2C2為所作．【點評】本題考查了作圖﹣平移變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換．變式2在正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標系xOy．△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標是（4，4），請解答下列問題：（1）將△ABC向下平移5個單位長度，畫出平移后的A1B1C1，并寫出點A的對應點A1的坐標；（2）畫出△A1B1C1關于y軸對稱的△A2B2C2；（3）將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A3B3C．【分析】（1）依據(jù)△ABC向下平移5個單位長度，即可得到平移后的A1B1C1，并寫出點A的對應點A1的坐標；（2）依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到△A1B1C1關于y軸對稱的△A2B2C2；（3）依據(jù)△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，即可得到旋轉(zhuǎn)后的△A3B3C．【解答】解：（1）A1B1C1如圖所示，點A1的坐標為（4，﹣1）；（2）△A2B2C2如圖所示；（3）△A3B3C如圖所示．【點評】本題主要考查了利用平移變換，軸對稱變換以及旋轉(zhuǎn)變換進行作圖，作圖時需要注意旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和角度，平移的方向和距離．知識點四：中心對稱圖形（1）定義

把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．

注意：中心對稱圖形和中心對稱不同，中心對稱是兩個圖形之間的關系，而中心對稱圖形是指一個圖形自身的特點，這點應注意區(qū)分，它們性質(zhì)相同，應用方法相同．

（2）常見的中心對稱圖形

平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．知識點五：關于遠點對稱的點的坐標例題．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的定義，找出即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的圖形即可．【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義，選項中圖形為軸對稱的有A、C、D．根據(jù)中心對稱圖形的定義，選項中圖形為中心對稱的有B、D．綜上可知，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是D．故選：D．【點評】本題考查了中心對稱圖形以及軸對稱圖形，牢記中心對稱圖形及軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．變式1.下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念進行判斷即可．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故錯誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤；C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故正確；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤．故選：C．【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．變式2.下列圖形中，①等腰三角形；②平行四邊形；③等腰梯形；④圓；⑤正六邊形；⑥菱形；⑦正五邊形，是中心對稱圖形的有②④⑤⑥（填序號）【分析】結合中心對稱圖形的概念進行求解即可．【解答】解：是中心對稱圖形的有：②平行四邊形；④圓；⑤正六邊形；⑥菱形．故答案為：②④⑤⑥．【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．拓展點一：中心對稱圖形與軸對稱圖形的綜合辨析問題例題．如圖所示的圖案中，是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．【解答】解：第一個圖案是軸對稱圖形，而不是中心對稱圖形．符合題意；其余三個圖案既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．不符合題意．故是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的個數(shù)是1個．故選：D．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合．變式1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行解答．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項正確；故選：D．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．變式2．如圖，點A，B在方格紙的格點上，將線段AB先向右平移3格，再向下平移2個單位，得線段DC，點A的對應點為D，連接AD、BC，則關于四邊形ABCD的對稱性，下列說法正確的是（）A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形C．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形【分析】先根據(jù)圖形平移的性質(zhì)得到四邊形ABCD，再根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義即可求解．【解答】解：如圖所示：觀察圖形可知四邊形ABCD是菱形，則四邊形ABCD既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．故選：A．【點評】考查了坐標與圖形變化﹣平移，軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，關鍵是得到四邊形ABCD是菱形．拓展點二：中心對稱和中心對稱圖形的性質(zhì)和應用例題．如圖，點A，B，C的坐標分別為（2，5），（6，3），（4，﹣1）；若以點A，B，C，D為頂點的四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則點D的坐標可能是（）A．（0，0） B．（0，1） C．（3，2） D．（1，0）【分析】觀察圖形可知AB=BC，根據(jù)四邊形的對稱性，四邊形ABCD為菱形符合要求，然后確定出點D的位置即可．【解答】解：∵點A，B，C的坐標分別為（2，5），（6，3），（4，﹣1），∴AB==2，BC==2，∴AB=BC，∵以點A，B，C，D為頂點的四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，∴四邊形ABCD是菱形時滿足要求，如圖，點D的坐標為（0，1）．故選：B．【點評】本題考查了中心對稱圖形，坐標與圖形性質(zhì)，軸對稱圖形，熟記特殊四邊形的對稱性是解題的關鍵．變式1．如圖，已知△ABC與△A′B′C′成中心對稱圖形，求出它的對稱中心O．【分析】連接對應點BB′、CC′，根據(jù)對應點的連線經(jīng)過對稱中心，則交點就是對稱中心O點．【解答】解：連接BB′，找BB′中點O或者連接BB′、CC′，交點為對稱中心O．如圖所示：【點評】此題考查了中心對稱的性質(zhì)：對應點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分．變式2．如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的中點，已知AC=4，BC=6，（1）畫出△BCD關于點D的中心對稱圖形；（2）根據(jù)圖形說明線段CD長的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)找出各頂點的對應點，然后順次連接即可；（2）根據(jù)三角形的三邊關系求解即可．【解答】解：（1）所畫圖形如下所示：△ADE就是所作的圖形．（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，則CD=DE，AE=BC，∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC，∴2＜2CD＜10，解得：1＜CD＜5．【點評】本題考查中心對稱圖形及三角形三邊關系的知識，難度適中，解答第（2）問的關鍵是通過△ADE≌△BDC，將2CD放在△ACE中求解．拓展點三：關于原點對稱的點的坐標特征例題．在平面直角坐標系中，點P（﹣3，﹣5）關于原點對稱的點的坐標是（）A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特點解答．【解答】解：點P（﹣3，﹣5）關于原點對稱的點的坐標是（3，5），故選：C．【點評】本題考查的是關于原點的對稱的點的坐標，平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即關于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù)．變式1．在平面直角坐標系中，P點關于原點的對稱點為P1（﹣3，﹣），P點關于x軸的對稱點為P2（a，b），則=（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【分析】利用關于原點對稱點的坐標性質(zhì)得出P點坐標，進而利用關于x軸對稱點的坐標性質(zhì)得出P2坐標，進而得出答案．【解答】解：∵P點關于原點的對稱點為P1（﹣3，﹣），∴P（3，），∵P點關于x軸的對稱點為P2（a，b），∴P2（3，﹣），∴==﹣2．故選：A．【點評】此題主要考查了關于原點對稱點的性質(zhì)以及關于x軸對稱點的性質(zhì)，得出P點坐標是解題關鍵．變式2．在平面直角坐標系中，已知點A（2a﹣b，﹣8）與點B（﹣2，a+3b）關于原點對稱，求a、b的值．【分析】平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即關于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù)．這樣就可以得到關于a，b的方程組，解方程組就可以求出a，b的值．【解答】解：根據(jù)題意，得，解得．【點評】這一類題目是需要識記的基礎題．解決的關鍵是對知識點的正確記憶．這類題目一般可以轉(zhuǎn)化為方程或方程組的問題，能夠熟練運用消元法解方程組．拓展點四：平移、軸對稱、中心對稱的綜合作圖題1．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．（1）請按下列要求畫圖：①平移△ABC，使點A的對應點A1的坐標為（﹣4，﹣3），請畫出平移后的△A1B1C1；②△A2B2C2與△ABC關于原點O中心對稱，畫出△A2B2C2．（2）若將△A1B1C1繞點M旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心M點的坐標（0，﹣3）．【分析】（1）①根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B、C平移后的對應點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；②根據(jù)網(wǎng)格結構找出A、B、C關于原點O的中心對稱點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可；（2）連接B1B2，C1C2，交點就是旋轉(zhuǎn)中心M．【解答】解：（1）①如圖所示，△A1B1C1即為所求；②如圖所示，△A2B2C2即為所求；（2）如圖，連接C1C2，B1B2，交于點M，則△A1B1C1繞點M旋轉(zhuǎn)180°可得到△A2B2C2，∴旋轉(zhuǎn)中心M點的坐標為（0，﹣3），故答案為：（0，﹣3）．【點評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結構，準確找出對應點的位置是解題的關鍵．2．如圖，三角形DEF是三角形ABC經(jīng)過某種變換得到的圖形，點A與點D，點B與點E，點C與點F分別是對應點，觀察點與點的坐標之間的關系，解答下列問題：（1）分別寫出點A與點D，點B與點E，點C與點F的坐標，并說說對應點的坐標有哪些特征；（2）若點P（a+3b，4a﹣b）與點Q（2a﹣9，2b﹣9）也是通過上述變換得到的對應點，求a，b的值．【分析】（1）根據(jù)坐標與圖形的性質(zhì)確定對應點的坐標，找出對應點的橫縱坐標之間的關系；（2）根據(jù)對應點的橫縱坐標之間的