第十四章全等三角形14.3角的平分線（第1課時）1．經(jīng)歷用尺規(guī)作一個角的平分線的過程，知道作法的合理性．2．探索并證明角的平分線的性質(zhì)，能用角的平分線的性質(zhì)解決簡單問題．教學(xué)重難點探索并證明角的平分線的性質(zhì)，作一個角的平分線的作法的探究過程．素養(yǎng)目標(biāo)

問題1

如圖，OC

是∠AOB

的平分線，P

是OC

上的任意一點，M，N

分別是OA，OB

上的點，我們研究PM

與PN

的關(guān)系．研究幾何圖形的位置關(guān)系時，我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況．下圖中，當(dāng)OM

與ON

滿足什么關(guān)系時，PM＝PN？證明三角形全等→線段相等△OPM≌△OPNOP＝OP（公共邊）(SAS)PM＝PNOM＝ON∠POM＝∠PONAMPCBNO∠POM＝∠PON新課導(dǎo)入證明三角形全等→角相等△OPM≌△OPN（SSS）OP＝OP，OM＝ON，PM＝PN∠POM＝∠PON

追問反過來，如果M，N

分別是∠AOB

的邊OA，OB

上的點，OM＝ON，點P

在∠AOB

的內(nèi)部，PM＝PN，那么點P

在∠AOB

的平分線上嗎？

問題2

由上述結(jié)論，你能想到如何作一個角的平分線嗎？AMPCBNO新知探究ABO作法：（1）以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于點M，交OB于點N．（2）分別以點M，N為圓心，大于

MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C．（3）作射線OC，則射線OC為∠AOB的平分線．MNC

追問請任意作一個角∠AOB，用直尺和圓規(guī)作出∠AOB

的平分線OC．為什么？新知探究性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

問題3

如圖，OC

是∠AOB

的平分線．點P1，P2，P3，…

在OC

上，過點P1，P2，P3，…

分別畫OA

與OB

的垂線，垂足分別為D1

與E1、D2

與E2、D3

與E3……．分別比較P1D1

與P1E1、P2D2

與P2E2、P3D3

與

P3E3……，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問1

你能通過嚴(yán)格的邏輯推理證明這個結(jié)論嗎？新知探究證明：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.（1）明確“已知”和“求證”如果一個點在一個角的平分線上，那么這個點到這個角兩邊的距離相等.（2）畫圖與符號表示

已知：OC

是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD=PE．A新知探究（3）分析與寫證明過程OC是∠AOB的平分線PD⊥OA，PE⊥OB∠POD＝∠POE∠PDO＝∠PEO＝90°OP=OP(公共邊)△OPD≌△OPEPD＝PEA(AAS)新知探究性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等．符號語言：

∵

OP

是∠AOB

的平分線，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．新知探究點在角的平分線上垂線段相等

追問3

角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？

可以直接用角的平分線的性質(zhì)得出角的平分線上的點到角兩邊的垂線段相等．A

例已知：如圖，在△ABC

中，AD

是它的角平分線，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB＝FC．AD平分∠BACDE⊥AB，DF⊥AC△BED≌△CFDBD＝CDDE＝DFRt△BED≌Rt△CFD（HL）例題精講角的平分線的性質(zhì)

例已知：如圖，在△ABC

中，AD

是它的角平分線，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB＝FC．例題精講證明：∵AD

平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．在Rt△BED和Rt△CFD中，

BD＝CD，

DE＝DF，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．

∴

EB＝FC．

1.如圖，在直線MN

上求作一點P，使點P

在∠AOB

的內(nèi)部，且點P

到射線OA

和OB

的距離相等．點P在∠AOB的平分線上點P在直線MN上解：如圖所示，點P

即為所求．課堂練習(xí)OMABNＰ課堂練習(xí)

2.如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．點F，G

分別在OA，OB

上，DF＝EG，連接PF，PG．求證：PF＝PG．課堂小結(jié)回顧本節(jié)課的內(nèi)