4.5.2用二分法求方程的近似解（教學(xué)設(shè)計）高一數(shù)學(xué)必修第一冊同步高效課堂（人教A版2019）主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課主要講解利用二分法求解方程的近似解。具體內(nèi)容包括二分法的原理、步驟以及在實際問題中的應(yīng)用。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：本節(jié)課與學(xué)生在初中階段所學(xué)的方程求解、函數(shù)性質(zhì)等知識密切相關(guān)。通過回顧這些知識，學(xué)生能夠更好地理解二分法的原理和步驟，并將其應(yīng)用于實際問題中。教材章節(jié)：高一數(shù)學(xué)必修第一冊第三章方程與不等式。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。通過二分法的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠提升對數(shù)學(xué)問題的抽象思維能力，學(xué)會運用邏輯推理分析問題，培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力，并提高在數(shù)學(xué)運算中的精確度和效率。這些核心素養(yǎng)的提升將有助于學(xué)生形成科學(xué)的世界觀和方法論，為未來的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握的相關(guān)知識：學(xué)生在進入高一之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本的代數(shù)知識和函數(shù)概念，掌握了方程求解的基本方法，如代入法、因式分解法等。此外，學(xué)生對數(shù)軸和函數(shù)圖像有一定的了解，這些知識為學(xué)習(xí)二分法奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：高一學(xué)生通常對數(shù)學(xué)抱有較高的學(xué)習(xí)興趣，尤其是在探索新方法和解決問題時。他們的邏輯思維能力逐漸增強，能夠理解抽象的數(shù)學(xué)概念。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生偏好通過直觀的圖形理解問題，有的則更傾向于通過邏輯推理和公式推導(dǎo)來解決問題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)二分法時可能遇到的困難包括對數(shù)形結(jié)合的理解不夠深入，難以將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的實際問題聯(lián)系起來。此外，學(xué)生在進行二分法運算時可能會遇到計算精度和迭代次數(shù)控制的問題。部分學(xué)生可能對數(shù)學(xué)的抽象性感到困惑，難以把握二分法的核心思想。因此，教學(xué)中需要注重直觀教學(xué)，同時提供足夠的練習(xí)和反饋，幫助學(xué)生克服這些困難。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有高一數(shù)學(xué)必修第一冊教材，以便學(xué)生能夠跟隨課本內(nèi)容學(xué)習(xí)二分法。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與二分法相關(guān)的圖片、圖表和視頻，如函數(shù)圖像的動態(tài)變化、二分法步驟的動畫演示等，以幫助學(xué)生直觀理解。

3.實驗器材：本節(jié)課不涉及實驗，因此無需實驗器材。

4.教室布置：安排教室中的座位，以便學(xué)生分組討論，同時確保有足夠的空間展示多媒體資源，創(chuàng)造一個有利于學(xué)生互動和學(xué)習(xí)的環(huán)境。教學(xué)過程一、導(dǎo)入（約5分鐘）

1.激發(fā)興趣：通過提問“如何快速找到一串?dāng)?shù)字中的特定值？”來引發(fā)學(xué)生的思考，激發(fā)他們對二分法求解方程近似解的興趣。

2.回顧舊知：簡要回顧方程求解的基本方法，如代入法、因式分解法等，以及數(shù)軸和函數(shù)圖像的概念。

二、新課呈現(xiàn)（約30分鐘）

1.講解新知：詳細講解二分法的原理、步驟和適用范圍，強調(diào)二分法在求解方程近似解中的優(yōu)勢。

2.舉例說明：通過具體的例子，如求解方程x^2-4=0的近似解，展示二分法的應(yīng)用過程，讓學(xué)生直觀理解二分法的步驟。

3.互動探究：引導(dǎo)學(xué)生分組討論，針對不同類型的方程，如一元二次方程、指數(shù)方程等，探討二分法的適用性和求解步驟。

三、鞏固練習(xí)（約20分鐘）

1.學(xué)生活動：讓學(xué)生獨立完成以下練習(xí)題，加深對二分法的理解和應(yīng)用：

-求解方程x^2-2x-3=0的近似解；

-求解方程e^x-1=0的近似解。

2.教師指導(dǎo)：在學(xué)生練習(xí)過程中，教師巡視教室，針對學(xué)生的疑問給予個別指導(dǎo)，確保學(xué)生能夠掌握二分法的應(yīng)用。

四、課堂小結(jié)（約5分鐘）

1.教師總結(jié)：回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強調(diào)二分法的原理、步驟和應(yīng)用場景。

2.學(xué)生反饋：請學(xué)生分享自己在學(xué)習(xí)二分法過程中的心得體會，以及遇到的困難和解決方法。

五、課后作業(yè)（約10分鐘）

1.布置以下作業(yè)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識：

-求解方程x^3-6x^2+11x-6=0的近似解；

-分析二分法在求解方程近似解中的優(yōu)缺點，并舉例說明。

2.要求學(xué)生在課后查閱相關(guān)資料，了解二分法在其他領(lǐng)域的應(yīng)用。

六、教學(xué)反思

1.教師在教學(xué)過程中，注重引導(dǎo)學(xué)生主動探究，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)建模能力。

2.通過舉例說明和互動探究，幫助學(xué)生理解二分法的原理和步驟，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的解決能力。

3.在課后作業(yè)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和團隊合作精神，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果

1.理解二分法的基本原理：學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課后，能夠理解二分法的基本原理，包括如何通過不斷縮小搜索區(qū)間來逼近方程的近似解。

2.掌握二分法的步驟：學(xué)生能夠熟練掌握二分法的具體步驟，包括確定初始區(qū)間、計算中點、判斷是否滿足終止條件以及如何更新區(qū)間。

3.應(yīng)用二分法求解方程：學(xué)生能夠運用二分法解決實際的一元方程問題，如一元二次方程、指數(shù)方程和多項式方程等。

4.提升數(shù)學(xué)建模能力：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運用二分法進行求解，從而提升他們的數(shù)學(xué)建模能力。

5.增強邏輯思維能力：二分法的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生需要運用邏輯推理來判斷區(qū)間的選擇和終止條件的判斷，這有助于增強學(xué)生的邏輯思維能力。

6.提高數(shù)學(xué)運算能力：在計算過程中，學(xué)生需要精確地執(zhí)行數(shù)學(xué)運算，包括求中點、比較大小等，這有助于提高他們的數(shù)學(xué)運算能力。

7.培養(yǎng)解決問題的策略：學(xué)生通過學(xué)習(xí)二分法，能夠了解一種有效的解決問題策略，即通過不斷縮小搜索范圍來逼近目標(biāo)值。

8.增強對數(shù)形結(jié)合的理解：在應(yīng)用二分法時，學(xué)生需要將數(shù)學(xué)問題與函數(shù)圖像相結(jié)合，這有助于他們更深入地理解數(shù)形結(jié)合的概念。

9.提升自主學(xué)習(xí)能力：通過課后作業(yè)和練習(xí)，學(xué)生能夠自主學(xué)習(xí)和鞏固所學(xué)知識，提高他們的自主學(xué)習(xí)能力。

10.增強團隊合作意識：在分組討論和互動探究環(huán)節(jié)，學(xué)生需要與同伴合作，共同解決問題，這有助于培養(yǎng)他們的團隊合作意識。

11.增強對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣：通過學(xué)習(xí)二分法這一有趣且實用的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生可能對數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生更濃厚的興趣，從而激發(fā)他們進一步學(xué)習(xí)的動力。

12.增強對數(shù)學(xué)應(yīng)用的認識：學(xué)生通過學(xué)習(xí)二分法，能夠認識到數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用價值，從而增強他們對數(shù)學(xué)應(yīng)用的認識。典型例題講解例題1：求解方程x^2-4=0在區(qū)間[1,5]內(nèi)的近似解，要求精度達到0.001。

解答過程：

設(shè)f(x)=x^2-4，初始區(qū)間為[a,b]=[1,5]，精度要求ε=0.001。

首先計算中點c=(a+b)/2=(1+5)/2=3。

計算f(c)=f(3)=3^2-4=5。

因為f(1)=-3<0，f(3)=5>0，所以根在區(qū)間[1,3]內(nèi)。

更新區(qū)間為[a,c]=[1,3]。

再次計算中點c=(a+c)/2=(1+3)/2=2。

計算f(c)=f(2)=2^2-4=0。

由于f(c)=0，c即為方程的近似解。

所以，方程x^2-4=0在區(qū)間[1,5]內(nèi)的近似解為x≈2。

例題2：求解方程e^x-2=0在區(qū)間[0,2]內(nèi)的近似解，要求精度達到0.0001。

解答過程：

設(shè)f(x)=e^x-2，初始區(qū)間為[a,b]=[0,2]，精度要求ε=0.0001。

首先計算中點c=(a+b)/2=(0+2)/2=1。

計算f(c)=f(1)=e^1-2≈0.7183。

因為f(0)=-2<0，f(1)>0，所以根在區(qū)間[0,1]內(nèi)。

更新區(qū)間為[a,c]=[0,1]。

重復(fù)上述步驟，經(jīng)過幾次迭代后，可以得到近似解。

最終，方程e^x-2=0在區(qū)間[0,2]內(nèi)的近似解為x≈0.693。

例題3：求解方程ln(x)-x=0在區(qū)間[1,3]內(nèi)的近似解，要求精度達到0.00001。

解答過程：

設(shè)f(x)=ln(x)-x，初始區(qū)間為[a,b]=[1,3]，精度要求ε=0.00001。

首先計算中點c=(a+b)/2=(1+3)/2=2。

計算f(c)=f(2)=ln(2)-2≈-0.3069。

因為f(1)=ln(1)-1=-1<0，f(2)<0，所以根在區(qū)間[2,3]內(nèi)。

更新區(qū)間為[a,c]=[2,3]。

重復(fù)上述步驟，經(jīng)過幾次迭代后，可以得到近似解。

最終，方程ln(x)-x=0在區(qū)間[1,3]內(nèi)的近似解為x≈2.718。

例題4：求解方程cos(x)-0.5=0在區(qū)間[0,π]內(nèi)的近似解，要求精度達到0.000001。

解答過程：

設(shè)f(x)=cos(x)-0.5，初始區(qū)間為[a,b]=[0,π]，精度要求ε=0.000001。

首先計算中點c=(a+b)/2=(0+π)/2=π/2。

計算f(c)=f(π/2)=cos(π/2)-0.5=-0.5。

因為f(0)=cos(0)-0.5=0.5>0，f(π/2)<0，所以根在區(qū)間[0,π/2]內(nèi)。

更新區(qū)間為[a,c]=[0,π/2]。

重復(fù)上述步驟，經(jīng)過幾次迭代后，可以得到近似解。

最終，方程cos(x)-0.5=0在區(qū)間[0,π]內(nèi)的近似解為x≈1.047。

例題5：求解方程x^3-6x^2+11x-6=0在區(qū)間[1,3]內(nèi)的近似解，要求精度達到0.0001。

解答過程：

設(shè)f(x)=x^3-6x^2+11x-6，初始區(qū)間為[a,b]=[1,3]，精度要求ε=0.0001。

首先計算中點c=(a+b)/2=(1+3)/2=2。

計算f(c)=f(2)=2^3-6*2^2+11*2-6=2。

因為f(1)=1^3-6*1^2+11*1-6=0，f(2)=2，所以根在區(qū)間[1,2]內(nèi)。

更新區(qū)間為[a,c]=[1,2]。

重復(fù)上述步驟，經(jīng)過幾次迭代后，可以得到近似解。

最終，方程x^3-6x^2+11x-6=0在區(qū)間[1,3]內(nèi)的近似解為x≈1.5。內(nèi)容邏輯關(guān)系①本文重點知識點：

-二分法的定義

-二分法的步驟

-初始區(qū)間的選擇

-中點的計算

-終止條件的判斷

②關(guān)鍵詞句：

-“二分法是一種在實數(shù)域上尋找函數(shù)零點的方法?！?/p>

-“初始區(qū)間[a,b]必須滿足f(a)和f(b)異號。”

-“計算中點c=(a+b)/2?！?/p>

-“如果f(c)=0，則c即為方程的近似解?！?/p>

-“迭代過程繼續(xù)，直到滿足精度要求或達到最大迭代次數(shù)?！?/p>

③邏輯關(guān)系闡述：

①二分法的定義是基礎(chǔ)，它說明了二分法的基本概念和目的。

②關(guān)鍵詞句“初始區(qū)間[a,b]必須滿足f(a)和f(b)異號”強調(diào)了選擇初始區(qū)間的關(guān)鍵條件，這是二分法能夠進行的前提。

③“計算中點c=(a+b)/2”是二分法步驟中的核心，它確保了每次迭代都能將搜索區(qū)間一分為二。

④“如果f(c)=0，則c即為方程的近似解”是終止條件之一，當(dāng)找到函數(shù)的零點時，迭代停止。

⑤迭代過程和終止條件的判斷是二分法的核心邏輯，它們確保了算法的正確性和效率。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二分法的基本原理和步驟，這是一種在實數(shù)域上尋找函數(shù)零點的方法。

2.重點強調(diào)了二分法的兩個關(guān)鍵條件：初始區(qū)間[a,b]必須滿足f(a)和f(b)異號，以及中點的計算公式c=(a+b)/2。

3.我們通過具體的例子展示了二分法的迭代過程，包括如何更新區(qū)間和判斷終止條件。

4.強調(diào)了二分法在求解方程近似解中的應(yīng)用，以及它在實際問題中的優(yōu)勢。

當(dāng)堂檢測：

1.請學(xué)生回顧二分法的定義和基本步驟，并用自己的話進行簡要描述。

2.給定方程x^2-5x+6=0，請學(xué)生選擇合適的初始區(qū)間，并說明理由。

3.設(shè)定初始區(qū)間為[1,6]，請學(xué)生使用二分法求解該方程的近似解，并說明迭代過程。

4.請學(xué)生分析以下方程在給定區(qū)間內(nèi)是否可以使用二分法求解：e^x-x=0，區(qū)間為[0,2]。

5.給定函數(shù)f(x)=x^3-4x^2+5x-6，請學(xué)生找到函數(shù)的零點所在的區(qū)間，并說明理由。

檢測答案示例：

1.二分法是一種在實數(shù)域上尋找函數(shù)零點的方法，通過不斷縮小搜索區(qū)間來逼近零點。

2.初始區(qū)間為[1,6]，因為f(1)=2>0，f(6)=6>0，f(5)=-4<0，所以根在區(qū)間[1,5]內(nèi)。

3.迭代過程如下：

-第一次迭代：[1,5]，中點c=3，f(c)=-4<0，更新區(qū)間為[3,5]。

-第二次迭代：[3,5]，中點c=4，f(c)=2>0，更新區(qū)間為[3,4]。

-第三次迭代：[3,4]，中點c=3.5，f(c)=-0.75<0，更新區(qū)間為[3.5,4]。

-第四次迭代：[3.5,4]，中點c=3.75，f(c)=0.375>0，更新區(qū)間為[3.5,3.75]。

-第五次迭代：[3.5,3.75]，中點c=3.625，f(c)=-0.1875<0，更新區(qū)間為[3.625,3.75]。

-第六次迭代：[3.625,3.75]，中點c=3.6875，f(c)=0.03125>0，更新區(qū)間為[3.625,3.6875]。

-第七次迭代：[3.625,3.6875]，中點c=3.65625，f(c)=-0.015625<0，更新區(qū)間為[3.65625,3.6875]。

-第八次迭代：[3.65625,3.6875]，中點c=3.671875，f(c)=0.00390625>0，更新區(qū)間為[3.65625,3.671875]。

-第九次迭代：[3.65625,3.671875]，中點c=3.6640625，f(c)=-0.0009765625<0，更新區(qū)間為[3.6640625,3.671875]。

-第十次迭代：[3.6640625,3.671875]，中點c=3.669921875，f(c)=0.000244140625>0，更新區(qū)間為[3.6640625,3.669921875]。

-第十一次迭代：[3.6640625,3.669921875]，中點c=3.66796875，f(c)=-0.000123046875<0，更新區(qū)間為[3.66796875,3.669921875]。

-第十二次迭代：[3.66796875,3.669921875]，中點c=3.6689453125，f(c)=0.0000009765625>0，更新區(qū)間為[3.66796875,3.6689453125]。

-第十三次迭代：[3.66796875,3.6689453125]，中點c=3.66802734375，f(c)=-0.00000048828125<0，更新區(qū)間為[3.66802734375,3.6689453125]。

-第十四次迭代：[3.66802734375,3.6689453125]，中點c=3.668447265625，f(c)=0.000000244140625>0，更新區(qū)間為[3.66802734375,3.668447265625]。

-第十五次迭代：[3.66802734375,3.668447265625]，中點c=3.668197265625，f(c)=-0.0000001220703125<0，更新區(qū)間為[3.668197265625,3.668447265625]。

-第十六次迭代：[3.668197265625,3.668447265625]，中點c=3.66831640625，f(c)=0.00000006103515625>0，更新區(qū)間為[3.668197265625,3.66831640625]。

-第十七次迭代：[3.668197265625,3.66831640625]，中點c=3.668251953125，f(c)=-0.000000030517578125<0，更新區(qū)間為[3.668251953125,3.66831640625]。

-第十八次迭代：[3.668251953125,3.66831640625]，中點c=3.66828515625，f(c)=0.00000001525578125>0，更新區(qū)間為[3.668251953125,3.66828515625]。

-第十九次迭代：[3.668251953125,3.66828515625]，中點c=3.66826953125，f(c)=-0.000000007627890625<0，更新區(qū)間為[3.66826953125,3.66828515625]。

-第二十次迭代：[3.66826953125,3.66828515625]，中點c=3.6682734375，f(c)=0.0000000038137203125>0，更新區(qū)間為[3.66826953125,3.6682734375]。

-第二十一次迭代：[3.66826953125,3.6682734375]，中點c=3.66827046875，f(c)=-0.00000000190686015625<0，更新區(qū)間為[3.66827046875,3.6682734375]。

-第二十二次迭代：[3.66827046875,3.6682734375]，中點c=3.668271484375，f(c)=0.000000000953430078125>0，更新區(qū)間為[3.66827046875,3.668271484375]。

-第二十三次迭代：[3.66827046875,3.668271484375]，中點c=3.6682707421875，f(c)=-0.0000000004767150390625<0，更新區(qū)間為[3.6682707421875,3.668271484375]。

-第二十四次迭代：[3.6682707421875,3.668271484375]，中點c=3.66827109375，f(c)=0.00000000023835751953125>0，更新區(qū)間為[3.6682707421875,3.66827109375]。

-第二十五次迭代：[3.6682707421875,3.66827109375]，中點c=3.66827095703125，f(c)=-0.000000000119178759765625<0，更新區(qū)間為[3.66827095703125,3.66827109375]。

-第二十六次迭代：[3.66827095703125,3.66827109375]，中點c=3.668271025390625，f(c)=0.000000000059589379879375>0，更新區(qū)間為[3.66827095703125,3.668271025390625]。

-第二十七次迭代：[3.66827095703125,3.668271025390625]，中點c=3.6682709814453125，f(c)=-0.0000000000297946899396875<0，更新區(qū)間為[3.6682709814453125,3.668271025390625]。

-第二十八次迭代：[3.6682709814453125,3.668271025390625]，中點c=3.6682710126953125，f(c)=0.00000000001489734491984375>0，更新區(qū)間為[3.6682709814453125,3.6682710126953125]。

-第二十九次迭代：[3.6682709814453125,3.6682710126953125]，中點c=3.6682709951171875，f(c)=-0.000000000007448671459921875<0，更新區(qū)間為[3.6682709951171875,3.6682710126953125]。

-第三十次迭代：[3.6682709951171875,3.6682710126953125]，中點c=3.668271002490234375，f(c)=0.0000000000037243357299609375>0，更新區(qū)間為[3.6682709951171875,3.668271002490234375]。

-第三十一次迭代：[3.6682709951171875,3.6