第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)典型例題講解一、基本概念回歸知識回顧1：函數(shù)的定義一般地，設(shè)，是非空的實數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合的子集.函數(shù)的四個特征：①非空性：，必須為非空數(shù)集（注意不僅非空，還要是數(shù)集），定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng)（可以多對一，不能一對多）.④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系，如果改變這個對應(yīng)方向，那么新的對應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.知識回顧2：數(shù)的三要素（1）定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．（2）對應(yīng)關(guān)系：對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，它是對自變量實施“對應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．（3）值域：與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).知識回顧3：求函數(shù)解析式（1）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)，反比例等），可用待定系數(shù)法．（2）換元法：主要用于解決已知這類復(fù)合函數(shù)的解析式，求函數(shù)的解析式的問題，在使用換元法時特別注意，換元必換范圍.（3）配湊法：由已知條件，可將改寫成關(guān)于的表達式，（4）方程組（消去）法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。知識回顧4：函數(shù)的圖象4.1、函數(shù)圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能單獨一個加或者減，注意當前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.4.2、函數(shù)圖象的對稱變換①的圖象的圖象；②的圖象的圖象；③的圖象的圖象；4.3、函數(shù)圖象的翻折變換（絕對值變換）①的圖象的圖象；（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）②的圖象的圖象.（口訣；以軸為界，去掉軸左側(cè)的圖象，保留軸右側(cè)的圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)；本質(zhì)是個偶函數(shù)）知識回顧5：函數(shù)的單調(diào)性5.1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).5.2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).知識回顧6：函數(shù)的奇偶性6.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù).6.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).知識回顧7：函數(shù)奇偶性的判斷7.1定義法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱.（2）求，根據(jù)與的關(guān)系，判斷的奇偶性：①若是奇函數(shù)②若是偶函數(shù)③若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)④若既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)7.2圖象法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱.（2）若的圖象關(guān)于軸對稱是偶函數(shù)（3）若的圖象關(guān)于原點對稱是奇函數(shù)7.3性質(zhì)法：，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)知識回顧8：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)8.1、五個冪函數(shù)的圖象(記憶五個冪函數(shù)的圖象）當時，我們得到五個冪函數(shù)：；；；；8.2、五個冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點二、重點例題（高頻考點）高頻考點一：求函數(shù)的定義域角度1：求常規(guī)函數(shù)的定義域1．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意且，所以函數(shù)的定義域是．故選：B．2．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】使得函數(shù)的表達式有意義，則且，解得故選：D3．函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：依題意可得，即，即，解得，即函數(shù)的定義域為；故選：A4．函數(shù)的定義域是______.【答案】【詳解】由題意可得，解得或.故答案為：角度2：求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域1．已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（

）A．[-5，4] B．[-2，7] C．[-2，1] D．[1，4]【答案】D【詳解】由，則，解得，所以函數(shù)的定義域滿足，解得，所以函數(shù)的定義域為[1，4].故選：D2．函數(shù)的定義域是（

）A．[－1，4] B．（－1，4] C．[2，4] D．（2，4]【答案】D【詳解】解：由，解得，所以所以函數(shù)的定義域為故選：D3．已知函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為_______.【答案】【詳解】因的定義域為，則當時，，即的定義域為，于是中有，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：4．已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域．【答案】【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，，所以函數(shù)的定義域為，所以要使函數(shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域為.5．求下列函數(shù)的定義域：(1)已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域.(2)已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域.(3)已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域.【答案】(1)；(2)；(3).(1)令－2≤－1≤2得－1≤≤3，即0≤≤3，從而－≤≤，∴函數(shù)的定義域為.(2)∵的定義域為，即在中∈，令，∈，則∈，即在中，∈，∴的定義域為.(3)由題得，，∴函數(shù)的定義域為.高頻考點二：函數(shù)的值域角度1：一次、二次、反比例函數(shù)的值域1．下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于,，故A不正確；對于，，故B正確;對于，故C不正確；對于，，故D不正確；故選：B2．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，故函數(shù)的值域.故選：C.3．已知函數(shù)，則的值域是_________.【答案】【詳解】，，的值域為,故答案為：4．當時，則函數(shù)的值域為______．【答案】【分析】利用換元法，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】令，因為，所以，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，當時，即，所以，所以函數(shù)的值域為：，故答案為：角度2：根式型值域1．函數(shù)的值域是（

）A．， B． C．， D．【答案】D【詳解】因為所以所以，即函數(shù)的值域為故選：D2．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令，且，則，函數(shù)轉(zhuǎn)化為由，則，即值域為故選：A.3．函數(shù)的最小值_______．【答案】【詳解】令，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在時，取得最小值，故答案為：4．求函數(shù)的值域．【答案】【詳解】設(shè)，則，，所以原函數(shù)可以化為所以，所以原函數(shù)的值域是．角度3：分式型值域1．函數(shù)的值域是__________．【答案】【詳解】，因為，所以，所以，所以，故答案為：2．函數(shù)的值域是___________.【答案】【詳解】解：，因為所以函數(shù)的定義域為令，整理得方程：當時，方程無解；當時，不等式整理得：解得：所以函數(shù)的值域為.故答案為：3．求下列函數(shù)的最值.(1)的最大值.【答案】(1)，當且僅當，即時取等號，所以的最大值是.4．函數(shù)；①的值域是__________；②的值域是__________．【答案】

【詳解】，其圖像可由反比例函數(shù)的圖像先向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到，如下：當時，當時，所以的值域是，因為當時，當時，所以的值域是，故答案為：；角度4：根據(jù)值域求參數(shù)1．若函數(shù)的值域為的子集，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解：解析式要有意義，有；①當時，定義域為，，此時的值域為滿足值域為的子集；②當時，定義域為，則所以，滿足值域為的子集；③當時，在略大于時，有，不符合題意；④當時，有在，上恒成立，在，上恒成立，要使的值域為的子集，，．綜上可得：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.2．已知函數(shù)，，若在上的值域為，求的值；【答案】3【詳解】因為函數(shù)，，對稱軸，且，，，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，此時無解；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，解得；當，即時，函數(shù)在取得最小值，所以，即，化簡得，解方程可得，又所以方程在上無解，綜上得：.3．已知函數(shù).(1)若函數(shù)的定義域和值域均為，求實數(shù)的值；(2)若在區(qū)間上是減函數(shù)，且對任意的，總有，求實數(shù)的取值范圍.（可能用到的不等關(guān)系參考：若，且，則有）【答案】(1)2；(2).(1)易知的對稱軸為直線，故在上為減函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減，即，，代入解得或（舍去）.故實數(shù)的值為2.(2)∵在是減函數(shù)，∴.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的對稱軸為直線，∴，，又，∴.∵對任意的，總有，∴，即，解得，又，∴，即實數(shù)的取值范圍為.高頻考點三：求函數(shù)的解析式角度1：待定系數(shù)法：1．已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則__________．【答案】或【詳解】設(shè)，由題意可知，所以，解得或，所以或.故答案為：或.2．已知是一次函數(shù)，且，則解析式為___________．【答案】【詳解】是一次函數(shù)，設(shè)，，，，即，，，，．故答案為：3．已知是二次函數(shù)，且滿足，，，求函數(shù)的解析式.【答案】【詳解】設(shè)，，關(guān)于對稱，即；又，，，解得：.4．設(shè)是一次函數(shù)，且，求的解析式.【答案】或【詳解】設(shè)，則,所以，解得或，所以函數(shù)的解析式為或.5．（1）已知是一次函數(shù)，且，求；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，求.【答案】（1）或；（2）.【詳解】（1）設(shè)，則因為，所以所以解得或所以或（2）設(shè)由，得由得整理，得所以所以所以角度2：換元法：1．已知，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，，則，，，所以函數(shù)的解析式為，．故選：B.2．（多選）若函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】令，則，所以，則，故C錯誤；，故A正確；，故B錯誤；（且），故D正確．故選：AD．3．已知，則___________.【答案】##【詳解】，設(shè)，解得，，，解得.故答案為：.4．已知，則的值域為______.【答案】【詳解】解：令，則，所以，所以，故的解析式為，其值域為.故答案為：.5．已知，則的解集為______.【答案】####{x|x=1或x=-6}##{x|x=-6或x=1}【詳解】，令，則，，，由，得，解得或，的解集為．故答案為：.角度3：配湊法：1．已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：方法一（配湊法）∵，∴.2．已知函數(shù)，且，則（

）A．7 B．5 C．3 D．4【答案】A【詳解】,.,解得．故選：A.3．已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以．故選：A角度4：方程組（消去）法：1．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋2f(3－x)＝x2，則f(x)的解析式為（

）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋3【答案】B【詳解】用代替原方程中的得：f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，∴消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，.故選：B2．已知函數(shù)滿足，則___________.【答案】##【詳解】解：因為①，所以②，②①得，．故答案為：．3．若，則______．【答案】【詳解】由①，將用代替得②，由①②得.故答案為：.4．根據(jù)下列條件，求的解析式已知滿足【答案】解：因為①，所以②，②①得，所以.5．若對任意實數(shù)，均有，求.【答案】.【詳解】利用方程組法求解即可；∵（1）∴（2）由得，∴.故答案為：.6．已知滿足，求的解析式.【答案】.【詳解】因為滿足，則，聯(lián)立方程組解得，即為所求.角度5：賦值法求抽象函數(shù)的解析式1．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且滿足對任意等式恒成立，則的解析式為_____________．【答案】【詳解】是定義在上的函數(shù)，且對任意，恒成立，令，得，即，，．故答案為2．已知，對于任意實數(shù)，等式，求的解析式.【答案】【詳解】對于任意實數(shù)等式恒成立，不妨令則有再令得函數(shù)解析式為：3．對任意實數(shù)，，都有，求函數(shù)的解析式．【答案】【詳解】方法一：對任意實數(shù),都成立,令,得,再令,得,方法二：在已知式子中,令,得,,,令,得高頻考點四：函數(shù)圖象識別與應(yīng)用1．已知函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象是如圖所示的曲線ABC，則的值為（

）x123230A．3 B．0 C．1 D．2【答案】D【詳解】由題圖可知，由題表可知，故．故選:D．2．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】當時，，故排除BD再代入，，排除A故選：C3．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】的定義域是，關(guān)于原點對稱，，所以是偶函數(shù)，排除B，C；當時，，易知在上是增函數(shù)，排除A．故選：D．4．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題可得函數(shù)定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，故排除BD，由，，故C錯誤，故選：A.5．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【詳解】解：由，則為偶函數(shù)，的圖像關(guān)于軸對稱.當時，，對稱軸為，所以在上遞增，在遞減；則當時，在遞增，在遞減，則有的遞增區(qū)間為.故選：C6．畫出二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：(1)比較，，的大小；(2)求不等式的解集．【答案】(1)畫圖見解析，(2)（1）二次函數(shù)，即的圖象如圖所示：由圖象，可知．（2）不等式，當時，，由圖可知此時；當時，，由圖可知此時；不等式的解集為．7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且當時，(1)試求在R上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)函數(shù)圖象見解析，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（1）解：的圖象關(guān)于原點對稱，是奇函數(shù)，．又的定義域為，，解得．設(shè)，則，當時，，，所以；（2）解：由（1）可得的圖象如下所示：由圖象可知的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；高頻考點五：求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是______．【答案】【詳解】，解得，所以的定義域為.的對稱軸為，開口向下，在上遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：2．已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．【答案】##【詳解】由，得，所以或，所以函數(shù)的定義域為或.令，則，因為在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.3．求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為.【詳解】函數(shù)的定義域是，設(shè)，則函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，因為函數(shù)在時單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.4．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_________.【答案】【詳解】在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，即，同時需滿足，即，解得，綜上可知故答案為：高頻考點六：函數(shù)的單調(diào)性+奇偶性的應(yīng)用1．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的有則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為滿足，對任意的有，所以在上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)，則由可得，即故選:A2．已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿足的的取值范圍是（

）A．（－∞，－2）∪（0，2） B．（－2，0）∪（2，＋∞）C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－2，0）∪（0，2）【答案】C【詳解】因為奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以當，，，滿足，當，，，不滿足，當，，，不滿足，當，，，滿足，綜上：的解集為.故選：C3．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為對任意的，有，所以當時，，所以在上是減函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以，，因為，所以，即．故選：D．4．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【詳解】因為是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，，故，所以當或時，，當時，．所以等價于或，解得或，所以不等式的解集為，故選：B．5．奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為__________.【答案】或【詳解】因為為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，所以，且在上也是增函數(shù)，因為，即或，∴或，即或，所所以不等式的解集為或.故答案為：或.6．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意，，且，有，則的最小值為______．【答案】【詳解】∵是定義在上的奇函數(shù)，∴對任意，，，且，等價于，∴在上單調(diào)遞增．∵，∴．故答案為：高頻考點七：二次函數(shù)的最值問題角度1：不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題1．已知函數(shù)，當上時的最小值是________【答案】-2【詳解】，則二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上，當時有最小值－2，故答案為：-2.2．二次函數(shù)的最小值為______【答案】【詳解】解：∴當時，有最小值，最小值為，故答案為：.3．二次函數(shù)，當時，的取值范圍為_________【答案】【詳解】二次函數(shù)對稱軸為，且開口向下，所以當時，在處取得最大值，，由二次函數(shù)的對稱性可得在處取得最小值，，故的取值范圍為故答案為：角度2：含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題1．二次函數(shù)的最大值為，則的值為________.【答案】##-1.5【詳解】∵二次函數(shù)的最大值為，∴a<0，且二次函數(shù)取得最大值時，此時.∴.∴.故答案為：.2．二次函數(shù)的最小值是-1，則的值是____________.【答案】0【詳解】∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴當時，，∴，解得.故答案為：.3．若時，二次函數(shù)的最大值為31，則的值為_____．【答案】或【詳解】∵二次函數(shù)解析式為y＝2x2+4x+1，∴該二次函數(shù)的對稱軸是直線，開口向上，當時，即時，y在時取得最大值31．∴．解得，（舍）．當時，即時，y在時取得最大值31．∴．解得（舍），．綜上所述，的值為或.故答案為：或4．二次函數(shù)的最小值為2，則的值為___．【答案】3【詳解】，∵二次函數(shù)所對應(yīng)的拋物線的開口向上，對稱軸為x=1，∴當x＝1時，y有最小值為m﹣1，∴m﹣1＝2，∴m＝3．故答案為：35．已知二次函數(shù)，在時，有最大值6，則______．【答案】【詳解】二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為時，當時取得最大值6．即.故答案為：6．已知函數(shù)，當時，函數(shù)的最大值是2，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【詳解】函數(shù)的圖象是開口向下，且以為對稱軸的拋物線，當且僅當時，函數(shù)取最大值2，∵函數(shù)，當時，函數(shù)的最大值是2，∴，故答案為：．7．已知關(guān)于的函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的最大值；(2)當時，若函數(shù)最小值為2，求的值．【答案】(1)答案見解析(2)（1）解：因為，對稱軸為，開口向上，若，則當時，函數(shù)有最大值為，若，則當時，函數(shù)有最大值為（2）解：若，則當時函數(shù)有最小值為，即，，不符合條件；若，則當時函數(shù)有最小值為，可得，符合條件；若，則當時函數(shù)有最小值為，即，解得，不符合條件；綜上，的值為8．如圖，拋物線與軸交于點，，交軸于點C．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)當時，函數(shù)有最小值，求的值．【答案】(1)(2)或（1）依題意可知是方程的兩個根，所以，解得，所以.（2），對稱軸為直線，開口向上.依題意，當時，函數(shù)的最小值為，若，則當時，函數(shù)取得最小值，即，解得或（舍去）.若，即，函數(shù)的最小值（舍去）.若，即，則當時，函數(shù)取得最小值，即，解得或（舍去）.綜上所述，的值為或.9．已知拋物線與軸的一個交點為，且經(jīng)過點．(1)求拋物線與軸的另一個交點坐標．(2)當時，函數(shù)的最大值為，最小值為，若，求的值．【答案】(1)拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3，0）(2)（1）方法一：∵拋物線經(jīng)過（2，c）和（0，c），∴拋物線的對稱軸為直線，∴（－1，0）的對稱點為（3，0），即拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3，0）；方法二：將（－1，0），（2，c）分別代入得，解得，∴拋物線的表達式為，令得，，解得，，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3，0）．（2）∵，∴，，∴當時，當時取得最大值4，即，當或時取得最小值N，∵，∴，令得，，解得（舍去），，∴．高頻考點八：利用函數(shù)奇偶性求解析式1．設(shè)為奇函數(shù)，且當時，，則當時，（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以當時，.故選：B.2．若已知函數(shù)f(x)＝是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)，且f＝，則函數(shù)f(x)的解析式為________．【答案】f(x)＝【詳解】∵f(x)＝是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴f(0)＝＝0，∴b＝0.即f(x)＝，又，∴.∴a＝1，∴函數(shù)f(x)＝.，經(jīng)檢驗符合題意.故答案為：f(x)＝.3．已知是定義在R上的偶函數(shù)，當時，．(1)求的解析式；【答案】(1)(1)解:（1）當時，所以；因為為R上的偶函數(shù)，所以；又，所以4．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，．(1)當時，求的解析式；(2)若，求的值．【答案】(1)當時，；(2)或.解：（1）當時，，所以，又是偶函數(shù)，∴，∴，所以當時，；（2）解：當時，當時，，即，解得（舍去），當時，，∴.（舍去），綜上，或.5．已知函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于原點對稱，當時，.(1)求函數(shù)f（x）的解析式；【答案】(1)(1)∵函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于原點對稱.∴.當時，，又時，，∴當時，.∴高頻考點九：分段函數(shù)的單調(diào)性問題1．函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，故在上單調(diào)遞減，由題意得解得，故選：B2．若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，解得；解得；當時解得.綜上得實數(shù)的取值范圍為.故選：D.3．若函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖，作出函數(shù)和的大致圖象.，得，解得，，注意到點A是二次函數(shù)圖象的最低點，所以若，則當時，單調(diào)遞減，不符合題意；當時符合題意；當時，則，在時函數(shù)圖象“向下跳躍”，不符合題意；當時，符合題意.所以m的取值范圍為：或.故選：D3．（多選）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】由題意，，解得，∴整數(shù)的取值為或或．故選：ABC高頻考點十：分段函數(shù)的值域問題1．函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：,當，，當，，所以，故選：A2．函數(shù)的值域是______________（用區(qū)間表示）【答案】【詳解】當時，，為開口向上，對稱軸為的拋物線，所以，當時，，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，綜上：，即的值域為.故答案為：3．求函數(shù)在－的最值.【答案】最大值是，最小值是.【詳解】在上遞增，對稱軸是，在上遞減，在上遞增，，，，，所以當時，函數(shù)最大值是；當時，函數(shù)最小值是.4．已知函數(shù)若是函數(shù)的最小值，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】要使是函數(shù)的最小值，則當時，函數(shù)應(yīng)為減函數(shù)，那么此時圖象的對稱軸應(yīng)位于y軸上或y軸右側(cè)，即．當時，，當且僅當時取等號，則，解得，所以．故選：A.5．（多選）若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)a可能的值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】BCD【詳解】解：圖象的對稱軸方程為，①當，時，有最大值，又，所以，所以此時有最大值1；②當，時，有最大值，當時，在單調(diào)遞減，所以，所以要有最大值，得，解得，與矛盾，舍去，綜上，當時，有最大值，故選：BCD．6．設(shè)函數(shù)若存在最小值，a的取值范圍___________.【答案】【詳解】若時，，∴；若時，當時，單調(diào)遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當時，單調(diào)遞減，，當時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：高頻考點十一：恒成立與能成立問題1．若不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，所以，設(shè)，，函數(shù)在時，函數(shù)單調(diào)遞減，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，因為，，所以函數(shù)在時，最大值為，要想不等式在區(qū)間上有解，只需，故選：C2．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【詳解】依題意，，當時，，當且僅當，即時取等號，于是得，解得，當時，恒成立，即恒成立，因此有恒成立，而，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：3．已知，函數(shù)，若對任意，恒成立，則a的取值范圍是______．【答案】【詳解】由題意，函數(shù)，當時，，只需恒成立，即恒成立，因為時，的最大值為，所以；當時，，只需恒成立，即恒成立，因為時，的最小值為2，所以．故a的取值范圍為．故答案為：．4．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_________．【答案】【詳解】，，令，，依題意，，，而函數(shù)是二次項系數(shù)為正的二次函數(shù)，因此有，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：5．已知函數(shù)，若，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【詳解】令，則問題可轉(zhuǎn)化為在，上有，易知在上單調(diào)遞增，故，①當時，在上單調(diào)遞增，則，所以，可得；②當時，則，符合題意；③當時，在上單調(diào)遞減，則，所以，可得．綜上所述，．故答案為：.6．已知函數(shù)，，若，，使得，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】，設(shè)，∵，∴，∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，；當時，，∴在上的最大值為5，又在上的最大值是或，由的開口向上，對稱軸為，可得，，整理得，解得即，或，整理得，解得，所以故答案為：．7．已知函數(shù).(1)解關(guān)于x的不等式；(2)當時，對?，都有恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；(3)當時，對?，都有恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)詳見解析；(2)；(3)(1)由，可得，即當時，由，可得或當時，由，可得當時，由，可得或綜上，當時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或(2)當時，，若對?，都有恒成立，即對?，都有恒成立，又由可得則有，且成立，解之得，故實數(shù)t的取值范圍為(3)當時，，①當時，在單調(diào)遞增，在區(qū)間上的值域為；若對?，都有恒成立，則有，解之得②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的值域為；若對?，都有恒成立，則有，解之得③當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的值域為；若對?，都有恒成立，則有，解之得；④當時，在單調(diào)遞減，在區(qū)間上的值域為；若對?，都有恒成立，則有，解之得綜上，實數(shù)t的取值范圍為8．已知函數(shù).(1)請判斷函數(shù)在和內(nèi)的單調(diào)性，并證明在的單調(diào)性；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上遞減，在遞增，證明見解析(2)（1）在上遞減，在遞增，證明：任取，且，則因為，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，（2）由存在，使得成立，得存在，使得成立，由（1）可知在上遞減，所以當時，取得最大值，即，所以，即實數(shù)的取值范圍為9．已知函數(shù)對一切實數(shù)都有成立，且(1)求的解析式；(2)，若存在，使得，有成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)∵函數(shù)對一切實數(shù)都有成立，且，令y＝1，則，．.(2)由題意，有，則，對于g(x)，當x＝0時，g(0)＝0，當時，，設(shè)，則在（0，1）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在x＝1處取到最小值，所以，所以，綜上，，當且僅當x＝1時取到，所以；設(shè)，則h(x)為開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為x＝a，下面通過對稱軸的位置對h(x)的最值情況進行分類討論：當時，對稱軸距離區(qū)間右側(cè)x＝2更遠，故，∴，即；2）當時，對稱軸距離區(qū)間左側(cè)x＝－1更遠，故，∴，即；綜上，．10．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)已知．若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)（1）令，則，∴，∴．（2）由第一問知：當時，單調(diào)遞減，，所以∵在上單調(diào)遞增，∴當時，．因為對任意，總存在，使得成立所以只需由題意，得，解得．故實數(shù)a的取值范圍是．高頻考點十二：函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用1．已知某船舶每小時航行所需費用u（單位：元）與航行速度（單位：千米/時）的函數(shù)關(guān)系為（其中a，b，k為常數(shù)），函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求的解析式；(2)若該船舶需勻速航行20千米，問船舶的航行速度v為多少時，航行所需費用最少.最少的費用為多少？【答案】(1)(2)當航行速度為15千米/時時，航行所需費用最少，最少的費