2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策案例解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某連鎖超市希望了解其顧客的購買行為，隨機(jī)抽取了100名顧客，記錄了他們的月均消費(fèi)額（單位：元）和年齡（單位：歲）。經(jīng)過初步整理，得到如下信息：樣本月均消費(fèi)額的均值為3200元，標(biāo)準(zhǔn)差為500元；樣本年齡的均值為38歲，標(biāo)準(zhǔn)差為8歲；月均消費(fèi)額與年齡的相關(guān)系數(shù)為0.6。超市管理層認(rèn)為，年齡較大的顧客可能消費(fèi)更高。請結(jié)合上述信息，分析該超市顧客的年齡與月均消費(fèi)額之間是否存在顯著的相關(guān)關(guān)系？如果存在，這種關(guān)系是強(qiáng)相關(guān)還是弱相關(guān)？請解釋你的判斷依據(jù)，并說明該相關(guān)性對超市制定顧客關(guān)系管理策略可能具有什么啟示。二、一家汽車制造商想要評估兩種不同燃料效率（記為A和B）的汽車在安全性方面的表現(xiàn)是否相同。他們選擇了兩種燃料效率的汽車各50輛，在相同的測試條件下進(jìn)行碰撞測試，記錄了車內(nèi)乘員受傷的嚴(yán)重程度評分（分?jǐn)?shù)越低表示受傷越嚴(yán)重）。燃料效率A的汽車測試樣本的均值得分是4.2，標(biāo)準(zhǔn)差是0.8；燃料效率B的汽車測試樣本的均值得分是4.5，標(biāo)準(zhǔn)差是0.9。請使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法檢驗這兩種燃料效率的汽車在碰撞測試中的乘員受傷嚴(yán)重程度是否存在顯著差異。在假設(shè)檢驗中，請明確說明零假設(shè)和備擇假設(shè)，計算檢驗統(tǒng)計量，并給出你的結(jié)論。請解釋你的檢驗結(jié)果對汽車制造商有何實際意義。三、某公司人力資源部想要了解員工的工作滿意度（記為S）與其工作經(jīng)驗?zāi)晗蓿ㄓ洖镋，單位：年）以及員工收入水平（記為R，高、中、低三類）之間是否存在關(guān)系。他們收集了200名員工的樣本數(shù)據(jù)，并使用統(tǒng)計軟件進(jìn)行了相關(guān)分析。部分輸出結(jié)果如下：（1）工作經(jīng)驗?zāi)晗轊與工作滿意度S之間的相關(guān)系數(shù)為0.45。（2）在控制了工作經(jīng)驗?zāi)晗轊的影響后，收入水平R對工作滿意度S的回歸系數(shù)為0.8（p<0.05）。（3）工作滿意度S的總體方差估計為64。請解釋上述輸出結(jié)果（1）、（2）分別說明了什么問題？結(jié)合輸出結(jié)果（1）和（2），該公司人力資源部可以得出關(guān)于員工工作滿意度的哪些初步結(jié)論？如果該公司計劃通過提高員工收入來提升整體工作滿意度，請根據(jù)上述分析結(jié)果，評價這種策略可能的效果和局限性。四、一家銀行想知道其信用卡客戶的月消費(fèi)額（記為C，單位：元）主要受哪些因素的影響。銀行收集了500名信用卡客戶的月消費(fèi)額數(shù)據(jù)，并考慮了客戶的月收入（記為I，單位：元）、信用評分（記為S，分?jǐn)?shù)越高表示信用越好）以及客戶使用信用卡的年限（記為T，單位：年）。通過多元線性回歸分析，得到以下模型摘要信息（部分）：模型解釋了月消費(fèi)額變異的55%。在5%的顯著性水平下，檢驗?zāi)Ｐ驼w擬合度的F統(tǒng)計量為120，對應(yīng)的p值為0.000。在5%的顯著性水平下，收入I的回歸系數(shù)為0.0003，對應(yīng)的p值為0.012。在5%的顯著性水平下，信用評分S的回歸系數(shù)為25，對應(yīng)的p值為0.008。在5%的顯著性水平下，使用年限T的回歸系數(shù)為50，對應(yīng)的p值為0.300。請根據(jù)上述摘要信息，回答以下問題：1.該多元線性回歸模型的整體擬合效果如何？請解釋。2.在控制其他變量不變的情況下，客戶的月收入對月消費(fèi)額有何影響？這種影響是否具有統(tǒng)計顯著性？3.在控制其他變量不變的情況下，客戶的信用評分對月消費(fèi)額有何影響？這種影響是否具有統(tǒng)計顯著性？4.客戶使用信用卡的年限是否對月消費(fèi)額有顯著的線性影響？請解釋。5.基于以上分析，該銀行若想預(yù)測客戶的月消費(fèi)額，應(yīng)重點關(guān)注哪些因素？五、某制藥公司研發(fā)了一種新藥A用于治療某種疾病。為了評估新藥A的療效，研究人員將患者隨機(jī)分為兩組：實驗組服用新藥A，對照組服用安慰劑。在治療結(jié)束后，記錄了兩組患者的癥狀改善程度評分（分?jǐn)?shù)越高表示改善越明顯）。實驗組有30名患者，平均改善評分是18分，標(biāo)準(zhǔn)差是3分；對照組有30名患者，平均改善評分是15分，標(biāo)準(zhǔn)差是4分。請計算治療結(jié)束后，實驗組平均改善評分與對照組平均改善評分之差的95%置信區(qū)間。解釋你所使用的置信區(qū)間計算方法的原理，并說明該置信區(qū)間結(jié)果對制藥公司評估新藥A療效有何意義。假設(shè)制藥公司希望以95%的置信水平估計新藥A比安慰劑平均改善評分高出的幅度至少是多少，請計算所需的最低樣本量（假設(shè)兩組樣本量相等，并使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布臨界值Z=1.96）。試卷答案一、1.相關(guān)性分析：計算得出月均消費(fèi)額與年齡的相關(guān)系數(shù)為0.6。根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對值大小判斷，0.6處于0.5到0.8之間，通常認(rèn)為表示中等強(qiáng)度的正相關(guān)關(guān)系。2.解析思路：相關(guān)系數(shù)r的絕對值范圍及其含義：|r|<0.3為弱相關(guān)，0.3≤|r|<0.5為中等相關(guān)，0.5≤|r|<0.8為強(qiáng)相關(guān)，|r|≥0.8為非常強(qiáng)相關(guān)。此處r=0.6，屬于中等強(qiáng)度。這意味著年齡與月均消費(fèi)額之間存在較為明顯的正向關(guān)聯(lián)，即年齡越大，月均消費(fèi)額傾向于越高。3.決策啟示：該相關(guān)性表明年齡是影響顧客消費(fèi)水平的一個重要因素。超市可以根據(jù)不同年齡段的顧客特點制定差異化的營銷策略。例如，對于年齡較大的顧客，可以側(cè)重推廣高端產(chǎn)品、提供更便捷的購物體驗或開展會員忠誠度計劃；對于年齡較年輕的顧客，可以側(cè)重推廣時尚、新穎或性價比高的產(chǎn)品。通過細(xì)分市場，可以更精準(zhǔn)地滿足顧客需求，提升銷售額和顧客滿意度。二、1.假設(shè)檢驗：*零假設(shè)H?：兩種燃料效率的汽車在碰撞測試中的乘員受傷嚴(yán)重程度沒有顯著差異，即μ_A=μ_B。*備擇假設(shè)H?：兩種燃料效率的汽車在碰撞測試中的乘員受傷嚴(yán)重程度存在顯著差異，即μ_A≠μ_B。2.檢驗統(tǒng)計量：采用獨立樣本t檢驗。計算公式為t=(mean_A-mean_B)/sqrt((s_A2/n_A)+(s_B2/n_B))。*代入數(shù)據(jù)：t=(4.2-4.5)/sqrt((0.82/50)+(0.92/50))=-0.3/sqrt(0.01024+0.0162)=-0.3/sqrt(0.02644)≈-0.3/0.1626≈-1.85。3.結(jié)論：需要查找t分布表，自由度df=n_A+n_B-2=50+50-2=98。對于雙尾檢驗，顯著性水平α=0.05時，查t表得臨界值t_crit≈±2.00（或使用軟件得到更精確值，如±1.984）。由于計算得到的|t|≈1.85<2.00(或1.984)，因此不能拒絕零假設(shè)。4.解析思路：在α=0.05的顯著性水平下，檢驗統(tǒng)計量t的觀測值（-1.85）未落入拒絕域（即其絕對值小于臨界值）。這意味著我們沒有足夠的統(tǒng)計證據(jù)表明兩種燃料效率的汽車在碰撞測試中的乘員受傷嚴(yán)重程度存在顯著差異。5.實際意義：該結(jié)果對汽車制造商意味著，基于本次碰撞測試的樣本數(shù)據(jù)，無法斷定燃料效率A和燃料效率B的汽車在乘員受傷嚴(yán)重程度上有統(tǒng)計學(xué)上的顯著不同。因此，在僅從受傷嚴(yán)重程度這一指標(biāo)考慮時，兩種燃料效率的汽車安全性表現(xiàn)沒有顯著差異，制造商不能僅憑此測試結(jié)果區(qū)分兩者在安全性上的優(yōu)劣。三、1.輸出結(jié)果（1）解釋：工作經(jīng)驗?zāi)晗轊與工作滿意度S之間的相關(guān)系數(shù)為0.45。這表明兩者之間存在中等強(qiáng)度的正相關(guān)關(guān)系，即隨著員工工作經(jīng)驗?zāi)晗薜脑黾樱涔ぷ鳚M意度總體上傾向于提升。但相關(guān)不等于因果，這可能是經(jīng)驗豐富的員工更熟練、壓力更小，也可能是其他因素綜合作用的結(jié)果。2.輸出結(jié)果（2）解釋：在控制了工作經(jīng)驗?zāi)晗轊的影響后，收入水平R對工作滿意度S的回歸系數(shù)為0.8，且p<0.05?；貧w系數(shù)0.8表示，在保持工作經(jīng)驗不變的情況下，收入水平每提高一個單位（這里需要注意，輸出未說明單位，通常理解為等級差異），工作滿意度平均提高0.8個單位。p<0.05表明這個觀察到的回歸系數(shù)在統(tǒng)計上顯著不同于0，即收入水平對工作滿意度有統(tǒng)計上顯著的積極影響。換句話說，收入是影響工作滿意度的獨立因素。3.初步結(jié)論：公司人力資源部可以初步得出以下結(jié)論：*員工的工作經(jīng)驗與滿意度之間存在正相關(guān)關(guān)系，經(jīng)驗可能有助于提升滿意度。*在考慮了工作經(jīng)驗的影響后，更高的收入水平確實能夠顯著提升員工的工作滿意度。4.評價策略效果與局限性：*效果：根據(jù)分析，提高員工收入（特別是對于收入水平較低的員工）是提升工作滿意度的有效途徑之一。對于希望提升整體滿意度的公司來說，優(yōu)化薪酬結(jié)構(gòu)、提高支付能力是一個值得考慮的策略。*局限性：該分析僅基于相關(guān)性（第一點）和單一回歸系數(shù)（第二點），并未考慮其他可能影響滿意度的因素（如工作環(huán)境、管理風(fēng)格、工作內(nèi)容本身、同事關(guān)系、企業(yè)文化等）。收入對滿意度的提升作用可能是有限的，超過某個閾值后，滿意度提升可能不再顯著。此外，提高收入可能增加公司成本。因此，雖然提高收入是一個潛在策略，但應(yīng)與其他因素綜合考慮，并審慎評估成本效益。四、1.模型擬合效果：該多元線性回歸模型的整體擬合效果較好。解釋了月消費(fèi)額變異的55%，即模型能夠解釋樣本中55%的月消費(fèi)額差異。R2（決定系數(shù)）通常在0.5以上被認(rèn)為具有較好的解釋力。因此，所選的自變量（收入、信用評分、使用年限）組合在一起對月消費(fèi)額有較強(qiáng)的解釋能力。2.收入影響：在控制其他變量（信用評分和使用年限）不變的情況下，客戶的月收入對月消費(fèi)額有正向影響?；貧w系數(shù)為0.0003，這意味著在信用評分和使用年限保持不變時，客戶月收入每增加1元，其月消費(fèi)額預(yù)計平均增加0.0003元。這種影響在統(tǒng)計上顯著（p=0.012<0.05）。3.信用評分影響：在控制其他變量不變的情況下，客戶的信用評分對月消費(fèi)額有顯著的正向影響?；貧w系數(shù)為25，這意味著在收入和使用年限保持不變時，信用評分每增加1分，其月消費(fèi)額預(yù)計平均增加25元。這種影響在統(tǒng)計上顯著（p=0.008<0.05）。4.使用年限影響：客戶使用信用卡的年限對月消費(fèi)額沒有顯著的線性影響?；貧w系數(shù)為50，但對應(yīng)的p值為0.300>0.05。這意味著，即使在控制了收入和信用評分后，使用信用卡的年限長短與月消費(fèi)額之間沒有統(tǒng)計學(xué)上顯著的線性關(guān)系。5.關(guān)注因素：基于以上分析，該銀行若想預(yù)測客戶的月消費(fèi)額，應(yīng)重點關(guān)注客戶的月收入和信用評分。這兩個變量對月消費(fèi)額有顯著的、獨立的正向影響，且模型的整體解釋力較好。使用信用卡的年限雖然可能對某些客戶行為有影響，但在當(dāng)前模型中并未顯示出對月消費(fèi)額的顯著線性預(yù)測能力。五、1.置信區(qū)間計算：*點估計：μ_A-μ_B=18-15=3分。*標(biāo)準(zhǔn)誤計算：SE=sqrt((s_A2/n_A)+(s_B2/n_B))=sqrt((32/30)+(42/30))=sqrt((9/30)+(16/30))=sqrt(25/30)=sqrt(5/6)≈0.9129。*臨界值：使用t分布，自由度df=n_A+n_B-2=58。對于95%置信水平，雙尾檢驗，查t表得t_crit≈2.002。（或使用Z=1.96作為近似值）。*置信區(qū)間：CI=(mean_A-mean_B)±t_crit*SE=3±2.002*0.9129≈3±1.824。即(1.176,4.824)。（若用Z=1.96，則CI≈3±1.79≈(1.21,4.79)）。2.原理解釋：該置信區(qū)間是基于中心極限定理和t分布建立的。它提供了一個區(qū)間，用于估計總體均值之差（μ_A-μ_B）的真實值所在的范圍。在95%的置信水平下，意味著如果重復(fù)進(jìn)行類似的抽樣和計算過程很多次，大約有95%的計算出的置信區(qū)間會包含真實的總體均值之差。這個區(qū)間的大小取決于樣本均值之差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本量以及置信水平。3.意義：計算得到的95%置信區(qū)間約為(1.176,4.824)分。這表明，我們有95%的置信水平認(rèn)為，新藥A比安慰劑治療平均使患者癥狀改善的評分高于1.176分且低于4.824分。這個區(qū)間完全位于零值之上，進(jìn)一步支持了假設(shè)檢驗中“新藥比安慰劑有效”的結(jié)論，即新藥A療效顯著優(yōu)于安慰劑。4.樣本量計算：*目標(biāo)：估計μ_A-μ_B，希望置信區(qū)間寬度盡可能小。*使用Z分布近似（因樣本量較大，或假設(shè)總體近似正態(tài)）：E=Z_crit*SE。需要估計SE或使用之前計算的值sqrt((s_A2/n_A)+(s_B2/n_B))≈sqrt(25/30)≈0.9129。*Z_crit：對于95%置信水平，雙尾檢驗，Z=1.96。*目標(biāo)寬度：2*E。最小化寬度即最小化E。*當(dāng)n_A=n_B=n時，SE=sqrt((s_A2/n)+(s_B2/n))=sqrt(s_A2+s_B2)/sqrt(n)。*E=Z_crit*sqrt(s_A2+s_B2)/sq