第六章

數(shù)據(jù)的分析

6.1平均數(shù)與方差八年級(jí)上│BS

6.1.4方差的應(yīng)用1.會(huì)用方差解決實(shí)際問(wèn)題，選擇和評(píng)價(jià)方案.2.會(huì)用根據(jù)數(shù)據(jù)特征對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行合理分析與評(píng)價(jià).3.會(huì)用組內(nèi)離差平方和，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組.學(xué)習(xí)目標(biāo)：

在生活中我們常常會(huì)遇到需要比較數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的情況.比如，比較不同運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)穩(wěn)定性、不同地區(qū)溫度的穩(wěn)定性等.那我們?cè)撚檬裁捶椒▉?lái)衡量這種穩(wěn)定性呢？我認(rèn)為可以用平均數(shù)，因?yàn)槠骄鶖?shù)是刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo)，反映了一組數(shù)據(jù)的“中心”.我認(rèn)為可以用方差，因?yàn)榉匠炭梢钥坍?huà)一組數(shù)據(jù)的離散程度，方差越小，一組數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.平均數(shù)計(jì)算公式：方差計(jì)算公式：知識(shí)回顧(1)不進(jìn)行計(jì)算，說(shuō)說(shuō)

A，B兩地這一天氣溫的特點(diǎn).A地氣溫曲線起伏較大，說(shuō)明A地這一天氣溫變化幅度大，晝夜溫差可能較大.B

地氣溫曲線相對(duì)平緩，表明

B

地這一天氣溫變化幅度較小，晝夜溫差可能較小.某日，A，B兩地的氣溫如圖所示.某日，A，B兩地的氣溫如圖所示.(2)分別計(jì)算這一天

A，B兩地氣溫的平均數(shù)和方差，所得結(jié)果與你剛才的看法一致嗎?地區(qū)氣溫(單位：C°)時(shí)間4:008:0012：0016:0020:0024:00A1620.5242319.518B182223.522.52120計(jì)算平均數(shù)

：兩地氣溫平均數(shù)不同！為方便計(jì)算，我們假設(shè)從圖中讀取的整點(diǎn)時(shí)刻氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：C°)

：地區(qū)氣溫(單位：C°)時(shí)間4:008:0012：0016:0020:0024:00A1620.5242319.518B182223.522.52120為方便計(jì)算，我們假設(shè)從圖中讀取的整點(diǎn)時(shí)刻氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：C°)

：計(jì)算方差

：可得：計(jì)算結(jié)果與之前看法一致，兩地氣溫平均數(shù)相同的情況下，A地方差較大，說(shuō)明氣溫波動(dòng)大；B地方差較小，說(shuō)明氣溫波動(dòng)小、相對(duì)穩(wěn)定.思考

某校要從甲、乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中挑選一人參加一項(xiàng)比賽.在最近的10次選拔賽中，他們的成績(jī)(單位:cm)如下.甲:585，596，610，598，612，597，604，600，613，601;乙:613，618，580，574，618，593，585，590，598，624.(1)甲、乙的平均成績(jī)分別是多少?解：答：甲的平均成績(jī)是601.6cm，乙的平均成績(jī)是599.3cm.思考

某校要從甲、乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中挑選一人參加一項(xiàng)比賽.在最近的10次選拔賽中，他們的成績(jī)(單位:cm)如下.甲:585，596，610，598，612，597，604，600，613，601;乙:613，618，580，574，618，593，585，590，598，624.(2)甲、乙這10次比賽成績(jī)的方差分別是多少?答：甲的成績(jī)的方程是65.84，乙的平均成績(jī)是284.21思考

某校要從甲、乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中挑選一人參加一項(xiàng)比賽.在最近的10次選拔賽中，他們的成績(jī)(單位:cm)如下.甲:585，596，610，598，612，597，604，600，613，601;乙:613，618，580，574，618，593，585，590，598，624.(3)這兩名運(yùn)動(dòng)員的選拔賽成績(jī)各有什么特點(diǎn)?根據(jù)(1)和(2)得出的結(jié)果可以看出，甲的平均成績(jī)高，乙的平均成績(jī)低，甲的方差小，穩(wěn)定，乙的方差大，成績(jī)不穩(wěn)定，但也意味著乙有跳出更好成績(jī)(如624cm

)的潛力.5.96m=596cm，為了奪冠：已知成績(jī)達(dá)到596cm很有可能奪冠，甲在10次選拔賽中，成績(jī)大多在596cm及以上，且甲的成績(jī)方差小，發(fā)揮更穩(wěn)定，所以為了奪冠，應(yīng)選甲參加比賽.(4)歷屆比賽成績(jī)表明，成績(jī)達(dá)到5.96m就很有可能奪冠，你認(rèn)為為了奪冠應(yīng)選誰(shuí)參加這項(xiàng)比賽?(5)如果歷屆比賽成績(jī)表明，成績(jī)達(dá)到6.10m就能打破紀(jì)錄，那么你認(rèn)為為了打破紀(jì)錄應(yīng)選誰(shuí)參加這項(xiàng)比賽呢?已知成績(jī)達(dá)到610cm就能打破紀(jì)錄.乙在10次選拔賽中有613cm、618cm、624cm等多次成績(jī)超過(guò)610cm，雖然乙的成績(jī)波動(dòng)大，但有跳出更好成績(jī)的可能性，相比甲更有機(jī)會(huì)打破紀(jì)錄，所以為了打破紀(jì)錄，應(yīng)選乙參加比賽.6.10m=610cm，歸納總結(jié)

解決方差的應(yīng)用問(wèn)題的步驟1.先計(jì)算各組數(shù)據(jù)的平均數(shù).2.再計(jì)算出它們的方差.3.最后根據(jù)“方差越小越穩(wěn)定”來(lái)做出判斷.注意：選擇方差大還是方差小的數(shù)據(jù)，要看這組數(shù)據(jù)所反應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.思考·交流

10個(gè)蘋(píng)果的直徑如圖所示.(1)若想把這10個(gè)蘋(píng)果分成兩組，使每組蘋(píng)果的“個(gè)頭”差不多，你想怎么分?說(shuō)說(shuō)你分組的理由.分組方法：將直徑為80mm、81mm、80mm、78mm、76mm的蘋(píng)果分為一組；將直徑為69mm、70mm、65mm、76mm、75mm的蘋(píng)果分為另一組.理由：

先將這10個(gè)蘋(píng)果的直徑數(shù)據(jù)按從小到大排序：65、69、70、75、76、76、78、80、80、81

.可以發(fā)現(xiàn)，以76mm為界，能使兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)相對(duì)均衡，即每組內(nèi)蘋(píng)果直徑的差異相對(duì)較小，達(dá)到每組蘋(píng)果“個(gè)頭”差不多的目的.(2)一般情況下，如果想把一組數(shù)據(jù)分成若干組，使每組組內(nèi)的數(shù)據(jù)差距不大，且組與組之間的數(shù)據(jù)差別明顯，那么你認(rèn)為應(yīng)遵循怎樣的分組原則?與同伴進(jìn)行交流.盡量讓每組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)大致相等，避免出現(xiàn)某一組數(shù)據(jù)過(guò)多或過(guò)少的情況.要保證每組數(shù)之間的平均數(shù)要有較大差距，組內(nèi)與平均數(shù)差距不大.(2)一般情況下，如果想把一組數(shù)據(jù)分成若干組，使每組組內(nèi)的數(shù)據(jù)差距不大，且組與組之間的數(shù)據(jù)差別明顯，那么你認(rèn)為應(yīng)遵循怎樣的分組原則?與同伴進(jìn)行交流.在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，分組的方法有很多，其中較常用的方法是使“組內(nèi)離差平方和達(dá)到最小”.多組數(shù)據(jù)的組內(nèi)離差平方和是指每組數(shù)據(jù)的離差平方和的和.

例

按照“組內(nèi)離差平方和達(dá)到最小”的方法，把圖中的10個(gè)蘋(píng)果按直徑大小分成兩組.

解:將10個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排序:65，69，70，75，76，76，78，80，80，81.把10個(gè)數(shù)據(jù)分成兩組，共有9種情況:第一組1個(gè)數(shù)據(jù){65}，第二組9個(gè)數(shù)據(jù){69，…,81};第一組2個(gè)數(shù)據(jù){65，69}，第二組8個(gè)數(shù)據(jù){70，…81};……;第一組9個(gè)數(shù)據(jù){65，…，80}，第二組1個(gè)數(shù)據(jù){81}.以第2種分組情況為例，計(jì)算組內(nèi)離差平方和.以第2種分組情況為例，計(jì)算組內(nèi)離差平方和.其中，第一組有2個(gè)數(shù)據(jù){65，69}，這2個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是67，故第一組數(shù)據(jù)的組內(nèi)離差平方和:=(65-67)2+(69-67)2=8;第二組有8個(gè)數(shù)據(jù){70，75，76，76，78，80，80，81}，這8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是77，故第二組數(shù)據(jù)的組內(nèi)離差平方和

=(70-77)2+(75-77)2+…+(81-77)2=90.因此第2種分組情況的組內(nèi)離差平方和分組情況組內(nèi)離差平方和第一組1個(gè)，第二組9個(gè)146.889第一組2個(gè)，第二組8個(gè)98第一組3個(gè)，第二組7個(gè)48第一組4個(gè)，第二組6個(gè)74.25第一組5個(gè)，第二組5個(gè)98第一組6個(gè)，第二組4個(gè)107.583第一組7個(gè)，第二組3個(gè)136.095第一組8個(gè)，第二組2個(gè)182.375第一組9個(gè)，第二組1個(gè)218同理計(jì)算其他8種分組情況的組內(nèi)離差平方和，結(jié)果如下：計(jì)算結(jié)果表明，第3種情況的組內(nèi)離差平方和最小.因此把10個(gè)蘋(píng)果按直徑大小分成的兩組是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}.歸納總結(jié)組內(nèi)離差平方和：計(jì)算每組數(shù)據(jù)與該組平均數(shù)差值的平方和，通過(guò)比較不同分組的組內(nèi)離差平方和確定最優(yōu)分組，其本質(zhì)是衡量組內(nèi)數(shù)據(jù)離散程度

.1.(2024四川)在一次芭蕾舞比賽中，甲，乙兩個(gè)芭蕾舞團(tuán)都表演了舞劇《天鵝湖》，每個(gè)團(tuán)參加表演的8女演員身高的折線圖如下，則甲，乙兩團(tuán)女演員身高的方差

，

大小關(guān)系正確的是()A.＞B.＜C.=D.無(wú)法確定B解析：甲的波動(dòng)小于乙的波動(dòng)，故選B.2.(2025瀘州)甲某校七年級(jí)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)參加1分鐘跳繩測(cè)試，每人10次跳繩成績(jī)的平均數(shù)(單位:個(gè))及方差(單位:個(gè)2)如下表所示：B甲乙丙丁平均數(shù)205217208217方差4.64.66.99.6根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)參加比賽，應(yīng)選擇()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁2.53.在某校舉辦的學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)演講比賽中，六位評(píng)委給小華的評(píng)分分別為(單位：分)：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，則小華此次演講比賽得分的離差平方和為_(kāi)______.4.(2025福建)甲、乙兩人是新華高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組成員.以下是他們?cè)趨⒓痈咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)備隊(duì)員集訓(xùn)期間的測(cè)試成績(jī)及當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)信息.信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測(cè)試成績(jī)(單位：分)日期隊(duì)員2月10日2月21日3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成績(jī)的平均數(shù)分別是

x甲=85，x乙=85;方差分別是=58.4，

=a.信息二：當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線(單位：分)年份20202021202220232024獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線9089908990試根據(jù)以上信息及你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，解決以下問(wèn)題：(1)計(jì)算a的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對(duì)甲、乙的成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)；解：即a=8.2.∵x甲=85，x乙=85，

=58.4，∴x甲=x乙，

，∴甲、乙兩人的整體水平相當(dāng)，但乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定；(2)計(jì)算當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)，并說(shuō)明：若要從中選擇一人參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，選誰(shuí)更合適？解：選甲更合適.理由：在集訓(xùn)期間的十次測(cè)試成績(jī)中，甲呈上升趨勢(shì)，而乙基本穩(wěn)定在原有的水平，故從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，選甲更合適(理由不唯一).(3)若要從中選