第1頁：封面主標題：用加粗宋體呈現(xiàn)“11.5.1提公因式法”，字體顏色為深藍色，下方用小字標注“——因式分解的基礎方法（整式變形關鍵）”，明確本節(jié)課是因式分解的重要起始內(nèi)容。副標題：華東師大版

八年級上冊

數(shù)學署名：授課教師：XXX授課日期：XXX背景：淺灰色漸變背景，左側繪制提公因式結構示意圖（標注“ma+mb+mc=m(a+b+c)”），右側點綴因式分解示例（如3x2+6x=3x(x+2)、4a3b-8a2b2=4a2b(a-2b)），下方添加“生活中的應用：物品分組（總數(shù)量為多項式，按相同因數(shù)分組，求組數(shù)與每組數(shù)量）、圖形分割（大圖形面積為多項式，按公因式邊長分割，求小圖形面積）”小圖標，體現(xiàn)提公因式法在實際情境中的應用，營造數(shù)學應用氛圍。第2頁：學習目標知識與技能：理解公因式的概念，能準確找出多項式各項的公因式；掌握提公因式法進行因式分解的方法，熟練將多項式化為幾個整式乘積的形式；能運用提公因式法解決簡單的數(shù)學問題，如化簡代數(shù)式、求值等。過程與方法：通過“實例觀察→公因式歸納→提公因式法則總結”的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學思維方法，提升觀察、歸納能力；借助具體例題的分析與解答，培養(yǎng)規(guī)范書寫因式分解過程的習慣，提高運算準確性。情感態(tài)度與價值觀：感受因式分解在簡化數(shù)學運算中的重要作用，激發(fā)對數(shù)學變形技巧的探索欲望；在因式分解過程中，培養(yǎng)嚴謹細致的學習態(tài)度，增強解決數(shù)學問題的自信心。第3頁：情境導入——從“物品分組”到“代數(shù)變形”標題：“思考：如何將物品合理分組？”情境呈現(xiàn)：展示生活場景：有12個蘋果和18個橙子，要將它們分成若干組，每組中蘋果和橙子的數(shù)量相同。提問1：“每組中蘋果和橙子數(shù)量的最大公因數(shù)是多少？”（引導學生得出：12和18的最大公因數(shù)是6）提問2：“可以分成幾組？每組中有幾個蘋果和幾個橙子？”（學生易得出：可以分成6組，每組中有2個蘋果和3個橙子）數(shù)學抽象：用代數(shù)式表示為12x+18y=6(2x+3y)，這里6就是12x和18y的公因式。過渡引導：“通過物品分組，我們發(fā)現(xiàn)可以提取相同的因數(shù)來簡化數(shù)量關系。在數(shù)學中，對于多項式也可以采用類似的方法——提公因式法進行因式分解。今天我們就來深入學習這一方法。”設計：物品用圖片展示，標注數(shù)量，直觀呈現(xiàn)“提取公因式”的過程，為概念引入鋪墊。第4頁：新知探究1——公因式的概念與確定方法標題：“公因式：多項式中的‘公因數(shù)’”公因式概念講解：定義：“一個多項式各項都含有的相同的因式，叫做這個多項式各項的公因式?！迸e例：在多項式3x2+6x中，3x是3x2

和6x都含有的因式，所以3x就是這個多項式的公因式；在多項式4a3b-8a2b2

中，4a2b是4a3b和-8a2b2

都含有的因式，4a2b就是公因式。確定公因式的方法：系數(shù)：取各項系數(shù)的最大公因數(shù)。例如，對于多項式9x3-12x2，9和12的最大公因數(shù)是3，所以公因式的系數(shù)是3。字母：取各項都含有的相同字母。如9x3-12x2

中，各項都含有字母x。指數(shù)：取相同字母的最低次冪。在9x3-12x2

中，x的最低次冪是x2。綜上，9x3-12x2

的公因式是3x2。小練習：“找出下列多項式的公因式：①6x2y+9xy2；②15a3b2-20a2b3；③8m3n-12m2n2”（答案：①3xy；②5a2b2；③4m2n），強化公因式確定方法的應用。第5頁：新知探究2——提公因式法的步驟與應用標題：“提公因式法：因式分解的基礎步驟”提公因式法步驟（以“6x3-9x2+3x”為例）：確定公因式：先確定系數(shù)的最大公因數(shù)為3，相同字母為x，最低次冪為x，所以公因式是3x。用多項式除以公因式：6x3÷3x=2x2；-9x2÷3x=-3x；3x÷3x=1。寫成乘積形式：6x3-9x2+3x=3x(2x2-3x+1)。強調(diào)要點：“提公因式后，括號內(nèi)的多項式項數(shù)應與原多項式項數(shù)相同，不能漏項。如6x3-9x2+3x提公因式后括號內(nèi)是三項，不能寫成3x(2x2-3x)”。“當多項式首項系數(shù)為負時，一般先提出‘-’號，使括號內(nèi)首項系數(shù)為正。如-4x2+8x=-4x(x-2)，注意括號內(nèi)各項符號要變號”。應用示例：化簡代數(shù)式：(x2-3x)+x(x-3)。先分別對兩部分提公因式，得到x(x-3)+x(x-3)，再整體提公因式(x-3)，結果為(x-3)(x+x)=2x(x-3)。求值：已知a=2，b=3，求多項式3a2b-6ab2

的值。先提公因式3ab，得到3ab(a-2b)，再代入求值，3×2×3×(2-2×3)=-36。第6頁：例題講解——基礎應用與拓展提升標題：“例題解析：掌握提公因式法的關鍵”例題1（基礎因式分解）：題目：將多項式8a3b2-12ab3c進行因式分解。解題步驟：確定公因式：系數(shù)最大公因數(shù)是4，相同字母有a和b，a的最低次冪是a，b的最低次冪是b2，所以公因式是4ab2。用多項式除以公因式：8a3b2÷4ab2=2a2，-12ab3c÷4ab2=-3bc。寫成乘積形式：8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc)。強調(diào)：“要嚴格按照確定公因式、逐項相除、寫成乘積的步驟進行，注意符號和指數(shù)的運算”。例題2（拓展應用：與幾何結合）：題目：一個長方形的面積為6x2y+4xy2，寬為2xy，求長方形的長。解題步驟：根據(jù)長方形面積公式“面積=長

×

寬”，可得長=面積

÷

寬。對面積6x2y+4xy2

提公因式，公因式為2xy，提公因式后為2xy(3x+2y)。長=2xy(3x+2y)÷2xy=3x+2y。點撥：“在解決實際幾何問題時，要善于將數(shù)學知識與幾何公式相結合，通過因式分解簡化運算，得出符合實際意義的結果”。第7頁：易錯點辨析——避開提公因式的陷阱標題：“避錯要點：提公因式法的常見錯誤剖析”易錯點分類解析（錯誤示例+正確解析+總結）：公因式確定錯誤：錯誤示例：對多項式4x3-6x2

提公因式，寫成2x(x2-3)（公因式應為2x2）。正確解析：4x3-6x2，系數(shù)最大公因數(shù)是2，相同字母x的最低次冪是x2，公因式為2x2，應寫成2x2(2x-3)?？偨Y：“確定公因式時，系數(shù)、字母及指數(shù)都要準確確定，不能只看部分”。提公因式后漏項：錯誤示例：將多項式3x2+6x提公因式為3x(x+2)（漏了常數(shù)項1），正確應為3x(x+2+1)=3x(x+3)。正確解析：3x2÷3x=x，6x÷3x=2，還有常數(shù)項1，所以是3x(x+2+1)?？偨Y：“提公因式后，括號內(nèi)每一項都要除以公因式，不能遺漏任何一項，包括常數(shù)項”。符號處理不當：錯誤示例：對-5x2+10x提公因式為-5x(x+2)（括號內(nèi)符號錯誤）。正確解析：-5x2÷(-5x)=x，10x÷(-5x)=-2，所以應為-5x(x-2)?？偨Y：“當多項式首項系數(shù)為負時，提公因式后括號內(nèi)各項符號要改變，注意符號運算規(guī)則”。未徹底提公因式：錯誤示例：對多項式6x3y-9x2y2

提公因式為3xy(2x2-3xy)（括號內(nèi)還可提公因式x）。正確解析：先提公因式3xy得到3xy(2x2-3xy)，再對括號內(nèi)提公因式x，最終結果為3x2y(2x-3y)?？偨Y：“提公因式后要檢查括號內(nèi)多項式是否還能繼續(xù)提公因式，確保分解徹底”。第8頁：課堂練習——分層鞏固標題：“分層練習：提升提公因式法的應用能力”基礎題（直接提公因式）：因式分解：①5x2+10x；②9a3b-6a2b2；③12m2n-8mn2（答案：①5x(x+2)；②3a2b(3a-2b)；③4mn(3m-2n)）。提升題（含括號展開與提公因式混合）：化簡：①3x(x-2)+2(x-2)；②2a2(3b-1)-a(1-3b)（答案：①(x-2)(3x+2)；②a(3b-1)(2a+1)）。拓展題（實際問題應用）：題目：一個長方體的體積為10x3y2-15x2y3，高為5xy，求長方體底面的面積。提示：長方體體積=底面積

×

高，所以底面積=體積

÷

高，先對體積提公因式5x2y2，再進行除法運算。答案：底面積=5x2y2(2x-3y)÷5xy=xy(2x-3y)。設計：題目旁標注“解題關鍵”（如“準確確定公因式”“注意符號變化”），答案用折疊框隱藏，學生完成后核對，教師針對性講解。第9頁：課堂總結（構建因式分解知識體系）標題：“知識梳理：因式分解的開篇與基石”思維導圖總結（中心主題“因式分解”）：提公因式法：公因式確定：系數(shù)最大公因數(shù)、相同字母最低次冪；步驟：確定公因式→多項式除以公因式→寫成乘積形式；注意事項：符號、漏項、徹底分解。后續(xù)方法（引出下節(jié)課）：公式法（平方差公式、完全平方公式）：適用于特定形式多項式；十字相乘法（簡單二次三項式）：拓展因式分解方法。核心思想：將多項式化為整式乘積，簡化運算，為后續(xù)數(shù)學學習鋪墊。與整式乘法關系：互逆變形，如3x(x+2)=3x2+6x（整式乘法），3x2+6x=3x(x+2)（提公因式法因式分解）。學生回顧：“請用自己的話總結提公因式法的關鍵步驟和容易出錯的地方，說說提公因式法與整式乘法的聯(lián)系是什么？”邀請1-2名學生發(fā)言，教師補充完善，形成完整知識框架。第10頁：課后作業(yè)必做題：教材第XX頁習題11.5第1、2題（基礎提公因式運算與簡單應用），要求寫出完整的提公因式過程（確定公因式→逐項相除→寫成乘積），標注每一步依據(jù)。選做題：探究題：若多項式ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)）的公因式為mx（m為常數(shù)），且當x=1時，多項式的值為0，求a+b+c的值（提示：公因式為mx，說明a、b、c都有因數(shù)m，當x=1時，代入多項式求解）。實踐題：測量家中一個不規(guī)則圖形的面積（可通過分割成幾個規(guī)則圖形，用含x的代數(shù)式表示各部分面積，再用提公因式法化簡表示總面積的多項式）?！?025-2026學年】華東師大版

數(shù)學八年級上冊

授課教師：

.班級：

.

時間：

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11.5.1提公因式法第11章

整式的乘除aiTujmiaNg1、理解因式分解的意義和概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系；2、理解并掌握提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式；3、認識平方差公式、完全平方公式的特點，會運用這兩種公式將多項式分解因式．溫故知新運用前面所學的知識填空：（1）m(a+b+c)=（2）(a+b)(a-b)=（3）(a+b)2=ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2新課學習知識點1

因式分解的定義例1

［華師8上P49試一試改編］探究：(1)完成下列各題：

(2)根據(jù)(1)，完成下列各題：

(3)觀察(1)和(2)中的等式，它們有什么不同點？又有什么聯(lián)系？解：不同點：(1)中的三個等式是整式的乘法運算，(2)中的三個等式是把一個多項式化為幾個整式的積的形式.聯(lián)系：兩組等式可以互逆變形.歸納：把一個多項式化為幾個__________的形式，叫做多項式的因式分解，也叫把這個多項式分解因式.整式的積

練1-2

下列各等式中，從左到右的變形是因式分解的是(

)D

知識點2

用提公因式法分解因式

練2

把下列多項式分解因式：

深挖拓展

(1)上述探究方法中，第一步分解因式時使用的方法是____________；提公因式法

課堂小測1.下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是(

)