2025年中學(xué)數(shù)學(xué)考試試卷及答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.計(jì)算：$\sqrt{16}-\sqrt[3]{-8}+|-3|$的結(jié)果是（）A.7B.9C.11D.132.化簡(jiǎn)$\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}\div\frac{x+2}{x-2}$的結(jié)果為（）A.1B.-1C.$x-2$D.$x+2$3.若關(guān)于$x$的一元二次方程$x^2-2kx+k^2-k=0$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則$k$的取值范圍是（）A.$k>0$B.$k<0$C.$k\geq0$D.$k\leq0$4.一次函數(shù)$y=2x+1$的圖像向左平移2個(gè)單位后，所得函數(shù)的表達(dá)式為（）A.$y=2x+5$B.$y=2x-3$C.$y=2x+3$D.$y=2x-1$5.菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若$\angleABC=120^\circ$，則$\angleOAB$的度數(shù)為（）A.$30^\circ$B.$45^\circ$C.$60^\circ$D.$75^\circ$6.某班50名學(xué)生數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：分?jǐn)?shù)段70-80有10人，80-90有20人，90-100有20人。則該班成績(jī)的中位數(shù)落在（）A.70-80B.80-90C.90-100D.無(wú)法確定7.反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(2,-3)$，則當(dāng)$x>0$時(shí)，$y$隨$x$的增大而（）A.增大B.減小C.不變D.先增大后減小8.如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，若$\angleAPB=60^\circ$，PA=6，則⊙O的半徑為（）（注：圖中PA、PB為切線，圓心O在∠APB平分線上，OA⊥PA）A.$2\sqrt{3}$B.$3\sqrt{3}$C.6D.$6\sqrt{3}$9.二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,-4)$，且過(guò)點(diǎn)$(3,0)$，則$a+b+c$的值為（）A.-4B.0C.2D.410.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D在BC上，連接AD，若$\angleBAD=\angleC$，則BD的長(zhǎng)為（）A.$\frac{9}{5}$B.$\frac{12}{5}$C.$\frac{18}{5}$D.$\frac{24}{5}$二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11.因式分解：$x^3-4x^2+4x=$__________。12.不等式組$\begin{cases}2x-1<5\\\frac{x+1}{2}\geq1\end{cases}$的整數(shù)解有__________個(gè)。13.二次函數(shù)$y=-2x^2+4x+1$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________。14.如圖，△ABC∽△ADE，相似比為2:3，若△ABC的面積為8，則△ADE與四邊形BCED的面積差為_(kāi)_________。15.一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別。從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回，再隨機(jī)摸出1個(gè)球。兩次摸到的球顏色不同的概率為_(kāi)_________。三、解答題（本大題共6小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16.（8分）解方程：$\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x}+1$。17.（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：$\left(\frac{a^2-4}{a^2-4a+4}-\frac{1}{a-2}\right)\div\frac{a+1}{a-2}$，其中$a=\sqrt{2}-1$。18.（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AD=AE，連接BE、CD交于點(diǎn)F。求證：△FBC是等腰三角形。19.（10分）某學(xué)校為了解學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將結(jié)果整理成如下頻數(shù)分布表：|自主學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）|0≤t<1|1≤t<2|2≤t<3|3≤t<4|4≤t<5||-|-|-|-|-|-||頻數(shù)|5|15|20|8|2|（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖（注：此處假設(shè)直方圖需體現(xiàn)各區(qū)間高度，實(shí)際答題時(shí)用文字描述即可）；（2）求這50名學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）。20.（12分）某農(nóng)戶計(jì)劃建造一個(gè)矩形蔬菜大棚，其中一邊靠墻（墻長(zhǎng)20米），另外三邊用總長(zhǎng)40米的籬笆圍成。設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為$x$米，大棚的面積為$y$平方米。（1）求$y$與$x$之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量$x$的取值范圍；（2）當(dāng)$x$取何值時(shí)，大棚的面積最大？最大面積是多少？21.（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)P從A出發(fā)，沿AB以每秒1個(gè)單位的速度向B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從D出發(fā)，沿DC以每秒2個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止移動(dòng)。設(shè)移動(dòng)時(shí)間為$t$秒（$t>0$）。（1）當(dāng)$t=2$時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度；（2）是否存在某一時(shí)刻$t$，使得△APQ的面積為10？若存在，求出$t$的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2025年中學(xué)數(shù)學(xué)考試答案一、選擇題1.A2.A3.A4.A5.A6.B7.A8.A9.A10.C二、填空題11.$x(x-2)^2$12.213.$(1,3)$14.1015.$\frac{12}{25}$三、解答題16.解：方程兩邊同乘$x(x-2)$，得：$3x=2(x-2)+x(x-2)$展開(kāi)整理：$3x=2x-4+x^2-2x$即$x^2-3x-4=0$因式分解：$(x-4)(x+1)=0$解得$x=4$或$x=-1$檢驗(yàn)：當(dāng)$x=4$時(shí)，$x(x-2)=8≠0$；當(dāng)$x=-1$時(shí)，$x(x-2)=3≠0$∴原方程的解為$x=4$或$x=-1$17.解：原式$=\left[\frac{(a-2)(a+2)}{(a-2)^2}-\frac{1}{a-2}\right]\div\frac{a+1}{a-2}$$=\left(\frac{a+2}{a-2}-\frac{1}{a-2}\right)\times\frac{a-2}{a+1}$$=\frac{a+1}{a-2}\times\frac{a-2}{a+1}=1$當(dāng)$a=\sqrt{2}-1$時(shí)，原式$=1$18.證明：∵AB=AC，AD=AE，∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（SAS）∴∠ABE=∠ACD又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠FBC=∠FCB∴FB=FC，即△FBC是等腰三角形19.（1）頻數(shù)分布直方圖中，各區(qū)間高度對(duì)應(yīng)頻數(shù)：0-1（5）、1-2（15）、2-3（20）、3-4（8）、4-5（2），其中2-3小時(shí)區(qū)間最高。（2）平均數(shù)計(jì)算：$\bar{x}=\frac{0.5×5+1.5×15+2.5×20+3.5×8+4.5×2}{50}$$=\frac{2.5+22.5+50+28+9}{50}=\frac{112}{50}≈2.2$（小時(shí)）20.（1）由題意，平行于墻的一邊長(zhǎng)為$(40-2x)$米，故面積$y=x(40-2x)=-2x^2+40x$。墻長(zhǎng)限制：$40-2x≤20$，解得$x≥10$；同時(shí)$40-2x>0$，即$x<20$。故$x$的取值范圍是$10≤x<20$。（2）$y=-2x^2+40x=-2(x-10)^2+200$∵$a=-2<0$，拋物線開(kāi)口向下，在頂點(diǎn)處取得最大值。當(dāng)$x=10$時(shí)，$y_{max}=200$平方米。21.（1）當(dāng)$t=2$時(shí)，AP=2，DQ=4，故PB=6-2=4，QC=6-4=2。過(guò)Q作QM⊥AB于M，則AM=DQ=4，QM=AD=8，PM=AM-AP=4-2=2。在Rt△PQM中，PQ=$\sqrt{PM^2+QM^2}=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$。（2）△APQ的面積$=\frac{1}{2}×AP×AD=\frac{1}{2}×t×8=4t$（錯(cuò)誤，正確應(yīng)為：AP=t，AQ的水平距離為AD=8，垂直距離為DQ=2t，實(shí)際△APQ的底為AP=t，高為AD=8？不，矩形中AB和DC平行，PQ的位置需重新分析。正確解法：AP=t，D到Q的距離為2t，故Q的橫坐標(biāo)為2t（假設(shè)D在原點(diǎn)，A(0,8)，B(6,8)，C(6,0)，D(0,0)），則P(t,8)，Q(2t,0)?！鰽PQ的面積可用坐標(biāo)法計(jì)算：面積$=\frac{1}{2}|(t×0-8×2t)+(2t×8-0×t)+(0×8-8×0)|=\frac{1}{2}|-16t+16t|=0$（錯(cuò)誤，正確方法應(yīng)為底×高÷2，AP在AB上，長(zhǎng)度t