《全品高考復(fù)習(xí)方案》第七單元立體幾何第36講空間幾何體【課標(biāo)要求】1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形,認(rèn)識(shí)柱體、錐體、臺(tái)體、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).

2.知道球、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式解決簡單的實(shí)際問題.

3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖.1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相且

多邊形互相

側(cè)棱

相交于,但不一定相等

延長線交于

側(cè)面形狀

(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等,于底面

相交于

延長線交于

軸截面全等的

全等的

全等的

側(cè)面展開圖

2.斜二測(cè)畫法(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,三軸相交于點(diǎn)O,直觀圖中x'軸、y'軸、z'軸相交于點(diǎn)O',∠x'O'y'=,∠x'O'z'=.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍,平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度,平行于y軸的線段在直觀圖中長度為.

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=

S圓錐側(cè)=

S圓臺(tái)側(cè)=

4.空間幾何體的表面積與體積公式名稱表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=

臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積=S側(cè)+S上+S下V=13(S上S下+S上S球S表面積=

V=

(其中柱體、錐體、臺(tái)體的高為h,球的半徑為R)常用結(jié)論1.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形面積的關(guān)系如下:S直觀圖=24S原圖形,S原圖形=22S直觀圖2.多面體的內(nèi)切球與外接球的常用結(jié)論:(1)設(shè)正方體的棱長為a,則它的內(nèi)切球的半徑r=a2,外接球的半徑R=3(2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則它的外接球的半徑R=a2(3)設(shè)正四面體的棱長為a,則它的高為63a,內(nèi)切球的半徑r=612a,外接球的半徑R=3.球的有關(guān)性質(zhì)(1)過球心的平面截球面所得的圓是大圓,大圓的半徑與球的半徑相等.(2)經(jīng)過小圓的直徑且與小圓所在的平面垂直的平面必過球心,該平面截球面所得的圓是大圓.(3)過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面(類比:圓的垂徑定理).(4)球心在小圓所在的平面上的射影是小圓的圓心.(5)在同一球中,分別過兩相交圓的圓心且垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交,交點(diǎn)是球心(類比:在同一個(gè)圓中,兩相交弦的中垂線的交點(diǎn)是圓心).4.外接球的有關(guān)結(jié)論與方法(1)結(jié)論:結(jié)論1:長方體的外接球的球心在體對(duì)角線的交點(diǎn)處,即長方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)是外接球的球心.結(jié)論2:長方體的外接球的直徑就是以一條面對(duì)角線及與其所在面垂直的一條棱為兩條直角邊構(gòu)成的直角三角形的外接圓直徑.換言之,以長方體底面的一條對(duì)角線與一條高線為兩條直角邊構(gòu)成的直角三角形的外接圓是該長方體外接球的大圓.結(jié)論3:圓柱的外接球的球心在以上、下兩底面圓的圓心為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)處.結(jié)論4:圓柱軸截面(矩形)的外接圓是圓柱外接球的大圓,該矩形的對(duì)角線(外接圓直徑)是外接球的直徑.結(jié)論5:直棱柱與該棱柱的外接圓柱有相同的外接球.結(jié)論6:圓錐的外接球的球心在圓錐的高所在的直線上.結(jié)論7:圓錐軸截面(等腰三角形)的外接圓是圓錐外接球的大圓,該三角形的外接圓的直徑是外接球的直徑.結(jié)論8:側(cè)棱相等的棱錐與該棱錐的外接圓錐有相同的外接球.(2)基本方法:勾股定理、正弦定理及余弦定理(解三角形求線段長度).5.內(nèi)切球的有關(guān)結(jié)論與方法(1)結(jié)論:結(jié)論1:若球與平面相切,則切點(diǎn)與球心的連線與切面垂直(類比:圓與直線相切).結(jié)論2:內(nèi)切球的球心到多面體各面的距離均相等,外接球的球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等(類比:多邊形的內(nèi)切圓與外接圓).結(jié)論3:正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.結(jié)論4:正棱錐的內(nèi)切球和外接球的球心都在棱錐的高所在的直線上,但兩者不一定重合.(2)基本方法:①構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理;②等體積法(體積分割).題組一易錯(cuò)辨析判斷下列說法是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)用斜二測(cè)畫法畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x'O'y'時(shí),∠x'O'y'必須是45°. ()(2)棱長都是3的三棱錐的表面積為93. ()(3)若兩個(gè)柱體的體積相等,則它們的表面積相等. ()(4)如圖,△O'A'B'表示水平放置的△OAB根據(jù)斜二測(cè)畫法得到的直觀圖,O'A'在x'軸上,A'B'與x'軸垂直,且O'A'=2,則AB=2. ()題組二教材改編1.已知圓柱的底面半徑為2cm,體積為12πcm3,則該圓柱的表面積為 ()A.12πcm2 B.16πcm2 C.18πcm2 D.20πcm22.一個(gè)長方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球的球面上,且以同一個(gè)頂點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)的三條棱的長分別為1,2,3,則此球的體積為.

3.已知正四棱錐的底面邊長為2,高為3,則它的側(cè)面積為.

4.圓錐SO的底面圓的半徑OA=1,側(cè)面展開圖的面積為3π,則此圓錐的體積為.

基本立體圖形題型1結(jié)構(gòu)特征例1(多選題)[2025·山西大同期末]下列說法正確的是 ()A.一個(gè)多面體至少有4個(gè)面B.圓柱的母線與它的軸可以不平行C.用任意一個(gè)平面截球得到的截面都是圓面D.有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱題型2直觀圖例2(多選題)如圖所示,用斜二測(cè)畫法畫水平放置的△ABC(如圖①)的直觀圖△A'B'C'(如圖②),OA=2,S△ABC=6,則下列說法正確的是 ()A.O'A'=2 B.△A'B'C'的面積為3C.OA邊上的高為6 D.O'A'邊上的高為6題型3展開圖例3[2025·山東青島期末]如圖,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,一只螞蟻從點(diǎn)P處沿著該圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處,則螞蟻爬行的最短路線長為 ()A.3 B.3 C.23 D.33總結(jié)反思1.要充分理解柱體、錐體、臺(tái)體、球體的結(jié)構(gòu)特征,要注意點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系,而且要掌握相應(yīng)平面上的幾何量之間的關(guān)系,比如正四面體各個(gè)面都是全等的等邊三角形,頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心,進(jìn)而可求正四面體的高、外接球半徑等與棱長的關(guān)系.2.用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí),首先要掌握其量和位置關(guān)系的變化,即與x軸平行(或在x軸上)的線段長度不變,與y軸平行(或在y軸上)的線段長度減半,平行性和分點(diǎn)性不變,但是垂直性不能保證;另外畫直觀圖的關(guān)鍵點(diǎn)是先畫特殊點(diǎn),再連點(diǎn)成線;最后要掌握斜二測(cè)畫法下平面圖形的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系:S直=24S原3.展開圖是解決立體幾何問題的一種方法,即解決有關(guān)空間距離(長度)最短問題,應(yīng)用展開圖解決問題要具有一定的空間想象能力,保證展開情況合理,做到不重不漏.【對(duì)點(diǎn)演練1】(1)[2025·北京大興區(qū)模擬]在三棱臺(tái)ABC-A'B'C'中,截去三棱錐A-A'B'C',則剩余部分是 ()A.三棱錐 B.三棱臺(tái)C.四棱錐 D.組合體(2)[2025·湖南雅禮中學(xué)模擬]用斜二測(cè)畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖△A'B'C',如圖所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=32,O'為坐標(biāo)原點(diǎn),那么△ABC為 (A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三邊互不相等的銳角三角形(3)[2025·山西運(yùn)城期末]已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為1的等邊三角形,PA⊥平面ABC且PA=3,一只螞蟻從△ABC的中心沿表面爬至點(diǎn)P,則其爬過的最短路線長為 ()A.36 B.393 C.43簡單幾何體的表面積與體積題型1表面積例4如圖所示,一個(gè)正方體的棱長為2,以相對(duì)兩個(gè)面的中心連線為軸,挖去一個(gè)直徑為1的圓柱形孔,則所得幾何體的表面積為 ()A.12+3π B.12+3πC.24+2π D.24+3π總結(jié)反思(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和.(2)旋轉(zhuǎn)體(除球外)的表面積是將其側(cè)面展開后,側(cè)面展開圖的面積與底面面積之和.(3)組合體的表面積求解時(shí)要注意對(duì)銜接部分的處理.【對(duì)點(diǎn)演練2】若側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐的底面邊長為a,則此棱錐的表面積是 ()A.3+34a2 B.3+C.6+34a2 D.1+題型2體積例5[2024·全國甲卷]已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為r1,下底面半徑均為r2,圓臺(tái)的母線長分別為2(r2-r1),3(r2-r1),則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為.

總結(jié)反思1.常規(guī)幾何體的體積,可直接應(yīng)用體積公式進(jìn)行求解.2.非常規(guī)幾何體可應(yīng)用割補(bǔ)法、等體積法求解體積.【對(duì)點(diǎn)演練3】(多選題)[2025·海南觀瀾湖雙優(yōu)實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末]已知一個(gè)正三棱柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長為9cm、寬為6cm的矩形,則此正三棱柱的體積可以為 ()A.934cm3 B.273C.63cm3 D.93cm3球的切、接問題題型1外接球例6若正三棱柱的所有棱長均為a,且其側(cè)面積為12,則此三棱柱的外接球的表面積是 ()A.83π B.283π C.3π D.總結(jié)反思求解外接球問題,關(guān)鍵解決兩個(gè)問題,一是“定球心”,二是“求半徑”.(1)定球心.一是球心滿足到球面上各點(diǎn)距離相等;二是球心一定在過截面圓圓心且與截面垂直的直線上,故確定兩條此類直線,交點(diǎn)即為球心.(2)求半徑.主要應(yīng)用公式R2=d2+r2進(jìn)行求解,其中R是球的半徑,r是截面圓的半徑,d是球心到截面圓心的距離.其中r可由特殊圖形的外接圓半徑進(jìn)行確定,或者應(yīng)用正弦定理確定r的值.【對(duì)點(diǎn)演練4】[2024·陜西漢中二檢]在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AB=1,BC=3,PA=2,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為 ()A.32π B.16πC.8π D.12π題型2內(nèi)切球例7在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,tan∠BAC=34,AC=5,且此三棱柱有內(nèi)切球,則此三棱柱的內(nèi)切球的表面積為總結(jié)反思求解內(nèi)切球問題的關(guān)鍵是應(yīng)用好切點(diǎn),即球心到切點(diǎn)的距離等于半徑,且球心與