§5.1導數(shù)的概念及其意義

5.1.1變化率問題

1.已知某質(zhì)點運動的方程是s=2+i當，由1變到2時，其路程的增量As等于()

1I八

AyB.-5c.iD.-1

答案B

解析A5=(2+：)-(2+1)=

2.已知拋物線)，=3%一9在即=2處的增量為Av=0.1,則學的值為()

A.-0.11B.-1.1C.3.89D.0.29

答案B

解析VAy=X2+0.1)-y(2)=(3X2.l-2.12)-(3X2-22)=-0.11,

Av?011

?**Ax=0.1=-LL

3.已知函數(shù)/(工)=2￥—4的圖象上兩點A,B,且XA=1，初=1』，則函數(shù)仆)從A點到4點的平均變化率

)

A.4B.4xC.4.2D.4.02

答案C

s(3+A「s(3)

△f-1.58-(-2)

解析.===4.2.

MxB-xA1.1-1

4.物體運動方程為$(/)=3F(位移單位：m,時間單位：s),若。=1/J加=18m/s,則下列說

法中正確的是()

A.18m/s是物體從開始到3s這段時間內(nèi)的平均速度

B.18m/s是物體從3s到(3+ZV)s這段時間內(nèi)的速度

C.18m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度

D.18m/s是物體從3s到(3+")s這段時間內(nèi)的平均速度

答案C

解析由瞬時速度與平均速度的關(guān)系可知選C.

5.已知曲線)，=2^上一點A(2,8),則在點A處的切線斜率為()

A.4B.16C.8D.2

答案C

2(2+AX>-2X22

解析氏=limA=8.

AX

6.(多選)己知某物體的運動方程為s(/)=7尸+8(0W/W5),則()

A.該物體在1W/W3時的平均速度是28

B.該物體在1=4時的瞬時速度是56

C.該物體位移的最大值為43

D,該物體在t=5時的瞬時速度是70

答案ABD

解析該物體在1W/W3時的平均速度是

s(3…⑴71-15

—c=28,A正確；

3-I2

s(4+A/)-s(4)

A/—0A/

=lim(56+7A/)=56,故B正確；

wo

物體的最大位移是7X5?+8:183,C錯誤；

-5+A--s⑸

物體在/=5時的瞬時速度是lim卜，

△L0N

=lim(70+7Ar)=70,故D正確.

Ar-0

7.一做直線運動的物體，其位移s與時間，的關(guān)系是s=3/一冷則物體的初速度是

答案3

s(0+2、-s(0)

解析lim人，=lim(3-At)=3.

ALONALO

8.若拋物線/U)=4/在點(xo,人龍)))處切線的斜率為8,則用)=.

答案1

+Ax)-Axo)

解析k=lim人=lim(4AA+8XO)=8.r<)=8,

Ar-0ArA.v-o

解得心二1.

9.某物體按照$(。=3廣+2/+4(5的單位：m)的規(guī)律做直線運動.求自運動開始到4s時物體運動的平均速

度和4s時的瞬時速度.

解自運動開始到，s時，物體運動的平均速度

M4

v(/)=/=3/+2+i?

故前4s物體的平均速度為p(4)=3X4+2+：=15(m/s).

4

由于As=3(t+St)2+2(t+A，)+4-(3戶+2,+4)

=(2+6r)Ar+3(Ar)2.

垓=2+6/+34，

△t

A.v

1MA產(chǎn)+67,

當1=4時，1眄寺=2+6X4=26,

所以4s時物體的瞬時速度為26m/s.

10.曲線/U)=K上哪一點處的切線滿足下列條件？

⑴平行于直線y=4x-5；

(2通直于直線2v—6v+5=0；

⑶傾斜角為135°.

解設P(x。，加是滿足條件的點，曲線兒6二f在點p(物，加處切線的斜率為

-xo+Ax)-癡)

“3配Ar=1/嗎(2m+&6=210,

(1);切線與直線V=4A--5平行，2xo=4,xo=2,

/=4,即“2,4)是滿足條件的點.

(2)'?,切線與直線2x-6>!+5=0垂亙，.*.2%)X^=-1,

得-J，>,o=J，即尸(?T,是滿足條件的點.

⑶因為切線的傾斜角為135。,所以其福摩I阿建：8得x。=-4即《二，0是滿足條

件的點.

11.汽車行駛的路程S和時間/之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時間段[而，A],[A,句，出，川上的平均速度

分別為Fi，F(xiàn)2,則三者的大小關(guān)系為（）

A._U1>V?>V3

B.vy>v2>V\

C.V2>V1>V3

D.V2>V3>V\

答案B

解析設直線O'A,AB,的斜率分別為垢A,k.AB,kite,

s(h)-s(/o)-及)-sUi)sS)-，“2)

則》l==koA,V2=,V3==kBC.

t\-tot2-t\ty-：2

由題中圖象知kRC>kAR>k()A,即03>。2>。I.

12.若曲線)，=W+ai+。在點(0,力)處的切線方程是x-y+1=0,則()

A,?=1,b=\B.a=—1,b=\

C.a=\,b=—\D.a=—\,b=—1

答案A

解析由題意可知

(()+Ax)2+“(0+Ar)+b-b

k=lim

ALOAt

解導仁1,又（0,與在切線上,:?b=1.

13.A,6兩機關(guān)開展節(jié)能活動，活?動開始后兩機關(guān)的用電量1%⑺，牝⑺與時間7（天）的關(guān)系如圖所示，則

一定有（）

A.兩機關(guān)節(jié)能效果一樣好

B.A機關(guān)比8機關(guān)節(jié)能效果好

C.A機關(guān)的用電量在［0,初上的平均變化率比3機關(guān)的用電量在［0,對上的平均變化率大

D.A機關(guān)與8機關(guān)自節(jié)能以來用電量總是一樣大

答案B

解析由題圖可知，A,8兩機關(guān)用電量在［0,時上的平均變化率都小于0,由平均變化率的幾何意義知，

A機關(guān)用電量在［0，⑹上的平均變化率小于B機關(guān)的平均變化率，從而A機關(guān)比B機關(guān)節(jié)能效果好.

14.函數(shù)危）=f—X在區(qū)間［-2,4上的平均變化率是2,則t=.

答案5

解析因為函數(shù)人）二f-x在區(qū)間［-2,力上的平均變化率是2,

/（；）-/（-2）（尸—F-（-2）

即尸_/_6=2/+4,

從而t2-3t-10=0,

解得/=5或/=-2（舍去）.

15.將半徑為R的球加熱，若半徑從R=1到R=切時球的體積膨脹率為寧,則機的值為

答案2

4兀471

解析體積的增加量AV=nr-3=3加-I），

AV31）28兀

所以△片|二3，

所以m2+m+\=7,所以〃?=2或m=-3（舍）.

16.若一物體運動方程如下：（位移單位：m,時間單位：s）

|（3』+2,彥3,

s=/lf）=（

|29+3。-3）2,0WK3.

求：⑴物體在戶［3,5］內(nèi)的平均速度;

（2例體的初速度加；

（3舷體在r=l時的瞬時速度.

解（11.?物體在W［3,5］上的時間變化量為4=5-3=2,

物，本在舊［3,5］上的位移變化量為

△J=3X52+2-（3X32+2）=3X（52-32）=48,

???物體在《［3,5］上的平均速度為三二4二24,

???物體在y[3,5]上的平均速度為24m/s.

(2)求物體的初速度而，即求物體在f=0時的瞬時速度.

As-()+△/)?10)

%尸Ar

29+3[(0+A/)-3P-29-3(0-3產(chǎn)

=A/-8,

A5

工物體的初速度如=lim=lim(3A/-18)=-I8(m/s).

ALOAAL。

/(I+Ar)-/(I)

⑶「加

29+3[(l+加)-3尸-29-3(1-3>

=Z-2,

，物體在片1時的瞬時速度為

lim(3Ar-12)=-12(m/s).

5.1.2導數(shù)的概念及其幾何意義

第1常時導數(shù)的概念

課時訓練

1.如圖，函數(shù)y=?r）在A,B兩點間的平均變化率是（）

A.1B.-1C.2D.-2

ALOAX

答案B

解析亞人3)=1-3=,j

Ar3-12

-3）-—3+Av）

2.己知函數(shù)K0可導，且滿足lim'=2,則函數(shù)y=/（幻在x=3處的導數(shù)為（）

A.-1B.-2C.1D.2

答案B

*3+Ax)--3)

解析由題意,知/"(3)=limA=-2.

3.設函數(shù)/(x)在xo處附近有定義，且有/(XO+AM)—/Uo)=aAt+Z)(AD2(a,力為常數(shù))，則()

A.f'(x)=aB.f(x)=b

C.f(A3))=Cl

D.f1(xo)=b

答案C

Av/U)+△/)-/U))

解析,:bx=a+bhx.

0M)+AX)-/(朋)

V(即)=lim=a.

ALOm

4.已知某質(zhì)點的運動方程為s=2尸一3其中s的單位是m,，的單位是s,則該質(zhì)點在2s末的瞬時速度為

()

A.3m/sB.5m/sC.7m/sD.9m/s

答案C

A52(2+A/)2?(2+A/)?(2X22-2)

解析xm。二』甲2

=lim(74-2AZ)=7,

所以該質(zhì)點在2s末的瞬時速度為7m/s.

5.若可導函數(shù)上）的圖象過原點，且滿足lim31=-1,則/（0）等于（）

Ax**oAr

A.-2B.2C.-1D.1

答案C

解析周象過原點，.\A0）=0,…h(huán)

：,f（0）=lim膽土二"Ok]im31=?].

Ax-oAxzu-oAY

#>+〃）二次xo）

6.（多選）若函數(shù)應￥）在工=網(wǎng)處存在導數(shù)，則lim的值（）

A.與xo有關(guān)B.與/?有關(guān)

C.與xo無關(guān)D.與/?無關(guān)

答案AD

解析由導數(shù)的定義可知，函數(shù)（r）在x=a處的導數(shù)與xo有關(guān)，與/?無關(guān)，故選AD.

7.設函粗工)=妙+3,若/(1)=3,則

答案3

/(1+A.r)-/(I)

解析因為/'=X

+Ax)+3-(a+3)

二】如M=a.

又因為/'(1)=3,所以〃=3.

8.已知函數(shù))，=/(*)=2?+1在x=xo處的瞬時變化率為-8,則凡3=.

答案9

解析由題知-8=(西望=IJn^(2A.V+4向=4XQ，得xo=-2,所以幾⑹=7(-2)=2X(-2)2+1=9.

9.求函數(shù)y=2F+以在x=3處的導數(shù).

解Ay=2(3+AY)2+4(3+Ax)-(2X3?+4X3)

-12Al+2(zki)7十4&r-2(zkx)'+16Ax,

Av2(AX)2+16Ax

??y\y-/\丫-2Ax+16.

,Av

Ayk=3=lAi^=16)=16.

10.一條水管中流過的水量)，(單位：nf)與時間/(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為嚴加=3].求函數(shù))，=々)在/

=2處的導數(shù)/''(2),并解釋它的實際意義.

所以f⑵=口用）2=3.

尸⑵的實際意義：水流在f=2時的瞬時3

/T1)-/11~2.t)

11.姍初為可導函數(shù)，且滿足lim=-1,則/⑴為()

x-o2x

A.1B.-IC.2D.-2

答案B

解析令D，則Ar=I-(1-2r)=2x7),

/(I)-/(I-2A)

所以k網(wǎng)2.v

/(1)-/(I-AA)

=IAH、二/⑴=-1.

12.已知函數(shù)/U）和g（x）在區(qū)間［a,句上的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.yu）在。到〃之間的平均變化率大于虱目在。到人之間的平均變化率

B.凡r)在a到〃之間的平均變化率小于g(x)在。到》之間的平均變化率

C.對于任意刻￡(a,b),函數(shù)/U)在x=xo處的瞬時變化率總大于函數(shù)式x)在x=xo處的瞬時變化率

D.存在加￡(〃，b),使得函數(shù)/)在x=xo處的瞬時變化率小于函數(shù)g。)在％=xo處的瞬時變化率

答案D

/(/>)-Ha)

解析..7U)在a到h之間的平均變化率是，

b-a

■(彷-

g")在a到b之間的平均變化率是，

b-a

又二型)=g(b),八。)=g(a),

Kb)-y(a)&(〃)f(a)

?*?一

b-ah-a

?,?A,B錯誤；

易知函數(shù)及r)在x=xo處的瞬時變化率是函數(shù)?)在尸雙處的導數(shù)，即函數(shù)仆)在該點處的切線的斜率，

同理可得，函數(shù)融在xX。處的瞬時變化率是函數(shù)如)在該點處的導數(shù)，即函數(shù)蚣)在該點處的切線的斜

率，

由題中圖象可知，火即一3Ax)一孔⑹

當川)￡(。，〃附，函數(shù)小)在處切線的斜率有可能大于妙)在裂見處切線的斜率，也有可能小于g(x)

在x=?處切線的斜率，故C錯誤，D正確.

13.設函數(shù)y=/(x)在處可導，且1人㈣，及=a,則/"(項>)=.

答案一；。

/(xo-3Ax)?凡帕

解析力瓢故

「Kro-3Ax)-,/5))1

(-3)

?3AJ

=?3fCn))=a,:(AX))=-"ja.

14.如圖所示,函數(shù)）=府）在因，M⑶用］，必，同這幾個區(qū)間內(nèi)，平均變化率最大的一個區(qū)間是

答案比3，河

解析由平均變化率的定義可知，函數(shù)片於)在區(qū)間g,刈，民，刈，四，向上的平均變化率分別為

fix：)-/(XI)fiX3)-flX2)f(X4)-/(.V3)

X2-X|'X3-X2'X|-Xa

結(jié)合圖象可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=/U)的平均變化率最大的一個區(qū)間是M,%4].

ax-闌

EEJS

15.已知二次函數(shù)/^)=加+芯+。的導數(shù)為r(X),已知/'(0)>),且對于任意實數(shù)X,有/U)20,則怨

的最小值為.

答案2

-Ax)--0)

解析由導數(shù)的定義，得r(0)=1、何1

?(△幻2+/?(△■￥)+C-C

=1AB加

=1jm[f/(Ax)+b]=b><).

\(A=-lr-,

又(

M>0，，址2t.,.OO.

?川)a+b+cb+N%5

?/(0)-b"h2

當且僅當a=c=g時等號成立.

16.巍巍泰山為我國的五岳之首，有“天下第一山”之美譽，登泰山在當?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不

慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路線圖.同樣是登山，但是從A處到B處會感

覺比較輕松，而從4處到C處感覺比較吃力.想想看，為什么？你能用數(shù)學語言來量化3c段曲線的陡峭

程度嗎?

解山路從A到8高度的平均變化率為

Ay1。-0J.

===u

盤A50-05

山珞從B到C高度的平均變化率為

生15-10J

力放=、=70-50=4，

**hBC>hAB,

.??山路從B至I」C比從4至I」B要陡峭的多.

第2課時導數(shù)的幾何意義

1.即（斯）=0,則曲線y=?r）在點（xo,?ro））處的切線（）

A.不存在B.與x軸平行或重合

C.與x軸垂直D.與x軸斜交

答案B

解析因為/"（次）=0,所以曲線產(chǎn)危）在點（xo,兀⑹）處的切線斜率為0.

/U+Ai）一心）

2.若丫嗎z則火幼的導函數(shù)f（%）等于（）

A.2rB.p3C.x2D.3x2

答案C

解析由導數(shù)的定義可知，

/C*T△>）-

「（"F”At=*?

3.已知曲線y=N上一點A（2,4）,則在點A處的切線斜率為（）

A.4B.16C.8D.2

答案A

（2+AXF-22

解析*=，'IL2=I/R盤=4

4.若曲線段:）=/的一條切線/與直線x+4y—8=0垂直，則/的方程為（）

A.4x—y—4=0B.x+4y—5=0

C.4x->-+3=0D.x+4y+3=0

答案A

解析設切點為（耳，yo）,

(x+△x)2-r

因為/'(x)=】/叫[=1M,(2》+A"=2x.

由題意可知，切線斜率2=4,

BP/（Xo）=Zro=4,所以Xo=2.

所以切點坐標為(2.4),切線方程為y-4=4(x-2),

4x-y-4=0.

5.已知函數(shù)/U)滿足/'(片)〉0,f'(X2)<0,則在M和X2附近符合條件的7U)的圖象大致是()

答案D

解析由/“3)>os)《)可知，形)的圖象在*處切線的斜率為正，在整處切線的斜率為負.

6.(多選)下列各點中，在曲線)，=9一2工匕且在該點處的切線傾斜角為里的是()

A.(0,0)B.(I,-1)

C.(-1,1)D.(1J)

答案BC

解析設切點坐標為(工。，刈)，

(.ro+2(xo+AA)--2xp)

則)'」=.“Z

n

=3AD-2=tan4=1,

ULI'I

當.3二1時，M二-1.

當國產(chǎn)-1時，yo=1.

7.已知函數(shù))，=/(x)在點(2,1)處的切線與直線3x—y—2=0平行，則<『2=.

答案3

解析因為直線3x-y-2=O的斜率為3,所以由導數(shù)的幾何意義可知<|戶2=3.

8.已知兒t)=F+av,尸(1)=4,曲線兒I)在1=1處的切線在y軸二的截距為一1,則實數(shù)。的值為.

答案2

解析由導數(shù)的幾何意義，得切線的斜率為k=ff(1)=4.

又力線在,，軸上的截距為-1,

所以曲線心)在X=1處的切線方程為)，=4.r?1,

從而可得切點坐標為(1,3),

所以川)=1+。=3,即。=2.

9.在拋物線上哪一點處的切線平行于直線4.r-y+l=0?哪一點處的切線垂直于這條直線？

Q+Ai)2-f

解寸西盤=口強(〃+原)="

設物物線上點PW，和)處的切線平行于直線1=0,

則y,［、=%=2^)=4,解得xo=2,

所以”二屆=4,即P(2,4)，經(jīng)檢臉，符合題意.

設拋物線上點Q5,戶)處的切線垂直于直線標-＞+1=0,

則y,1=8=2g=-：,解得即二-，

所以a二上!即《?；，=),經(jīng)檢驗,符合題意.

故效物線尸片在點(2,4)處的切線平行于直線M-)，+1=0,在點(4,三加的切線垂直于直線4工-＞，+1

=0.

10.已知直線人為曲線)，=7十人一2在點(1,0)處的切線，/2為該曲線的另條切線，且Zl±/2,求直線，2的

方程.

解因為y'二㈣》

U+-，)2+(3+△1)?2?(『+—?2)

二元4Ar=2E+1,

所以y'k=i=3,

所以直線/1的方程為產(chǎn)3a?I)腳＞，=31-3,

設直線h與曲線相切于點P5),而+工。-2),

則直線，2的方程為y-(而+X)?2)=(2xo+I)(.r?x)).

2

因為l\1/2,所以為+1=-5,10二3一

所以直線b的方程為3x+9)，+22=0.

11.若曲線上任意一點P處的切線斜率為火，則k的取值范圍是（）

A.(—8,—1)B.(-1,1)

C.(一8,1)D.(1,+8)

答案C

解析y=x+;上任意一點P（x。,盧）處的切線斜率為

左二）'兀1k刖=Lh.△x

1'「)二1-

X6+JOAX7Ml

即k<\.

12.己知函數(shù)/□）在R上有導函數(shù)，人外的圖象如圖所示，則下列不等式正確的是（）

A.f(?)</S)寸?

B.fr(b)<f(c)<f(a)

C.f1(a)<f?</(b)

D.f(c)<f(a)<f(b)

答案A

解析如圖，分別作曲線在x=〃，x=b,廣C三處的切線h$，h,設切線的斜率分別為htk2.%,易

知〈依，又/''3）=3/3）=依/?=代，所以/（〃）＜/（力＜/?.故選A.

13.函數(shù)y=(x—l)2的導數(shù)是()

A.-2-2B.(xl)

C.2(x-|)D.2(1—x)

答案C

/(X+Ax)D

解析

V=Ijnj△x

x+^x-\)2-(x-1)2

Ax

=+2Ax=2A--2=2(x-1).選C.

14.若妥。是拋物線v=f上任意一點,則點夕到直線），=x—2的最小距離為.

72

答案

解析由題意可得，當點P到直線,，=X-2的距離最小時，點P為拋物線,，=￡的一條切線的切點，且該

切線平行于直線卜二.12,設、，="）=/；--

由導數(shù)的幾何意義知＜=f（幻=1加/必士/小）室=1,解得x=:,所以6.：）,

15.己知函數(shù)心）=』，過點0）作曲線上）的切線，則其切線方程為.

答案y=0或3x—y—2=0

解析設切點為Q5）,x）,得切線的斜率為d

（期+一看

k=f'（A-o）=1^^=3/，

切線方程為y-4=3總（％-沏），

即y=3珈-2也.

因為切線過點，0）,

所以2諦-2.時二0,

解得xo=O或期=1,

從而切線方程為y=0或3x-y-2=0.

16.點P在曲線/U）=F+1上，且曲線在點P處的切線與曲線），=一工一1相切，求點P的坐標.

解設P（x（）,然）,

則兌二*十1,

Go+Arf+1-曲］）

rCM=2A<),

所以在點P的切線方程為y-^=2AMX-X0),

即y=2xax+1-必，

而此直線與曲線)，=-2F-I相切，

所以切線與曲線)，=-2^-1只有Y公共點,

\(y=2xwc+1■器,

由〈

\y=-2JT-\,

得2x2+2x()x+2-xo=0,

則/=4.詔-8(2-xo)=0,

解得x0=土斗，則'卡?，j

所以點尸的坐標為信士融-甘康.

§5.2導數(shù)的運算

5.2.1橫醐簧函數(shù)的導數(shù)

課時訓練

?.下列求導運算止確的是(

A.(cosx)7=—sinxB.(沙=31nx

C.e)'=xer-1D，(lnx)，=.dn10

答案A

2.下列各式中正確的個數(shù)是()

&xy=7W；②(%7)'=k2；③(G'=-2x--9；④(cos2)'=-sin2.

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析???②(r|)'=-

@(cos2)7=0.

???②④鐲吳，故選B.

3.函數(shù))，=3、在x=2處的導數(shù)為()

A.9B.6C.91n3D.6ln3

答案C

解析〈二(3>=3"n3,故所求導數(shù)為91n3.

4.已知函數(shù)/(x)=K3￡Q,且。=0),若廣(—1)=-4,則a的值等于()

A.4B.-4C.5D.-5

答案A

解析*.*/(x)=ax,t,f(-1)=a(-1)?-'=-4,

.*.a=4.

5.若函數(shù)/U）=cosx,則/'G）+X9的值為（）

A.0B.-1C.ID.2

答案A

解析/'（%）=—sinx,

所以/'I；）+/（；）=—sinj+cosJ=0.

6.（多選）已知曲線y=V在點"處的切線斜率為匕則當女=3時的。點坐標為（）

A.（-1,1）B.（-1,-I）

C.（1,1）D.（1,-1）

答案BC

解析曠=3f,因為％=3,

所以3/=3,所以x=±1,

則P點坐標為（f,-1）或（1.1）.

7.若曲線y=Ux在點尸3,j?）處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2,則實數(shù)a的值是

答案4

y

解析因為y

2"’<

所以切線方程為y"=/"a-0，

如

令X=0,得y=2，

令）'=（）,彳導工=-a,

由預意知2-2?=2，所以"=4.

8.已知y（x）=cosx,g（x）=x,則關(guān)于％的不等式/（x）+g'（x：WO的解集為.

答案〈，卜=：+2E,&￡Z」卜

解析V/（.r）=-sinx,g'（x）=1,

（x）+g'（x）WO,得?sinx+IWO,

即sinx21,貝！Jsinx=1,

解得+，女￡Z,

4卜=：+%,kwZj卜

9.點P是曲線,，=e'上任意一點，求點P到直線y=x的最小距離.

解如圖，當曲線.尸e'在點P（M加處的切線與直線產(chǎn)工平行時，點P到直線尸工的距離最近.

則曲線產(chǎn)e，在點P（x°,y））處的切線斜率為1,又）/=?），=es

所以e*,=1,得為=0,

代入y二厘,得yo=1,即尸（0,1）.

利用點到直線的距離公式得最小距離為￡.

10.已知拋物線y=d,求過點（一g,一2且與拋物線相切的直線方程.

解設直線的斜率為k,直線與拋物線相切的切點坐標為“。，”），則直線方程為），+2=4X+!,

因為），'=2x,所以k=2x（）,

又點（xo,砂）在切線上,

所以就+2=2x（xo+；,

解得xo=1或xo=-2,貝必=2或攵=-4,

所以直線方程為y+2=+；或

y+2=-

BP2x-y-1=0或4x+y+4=0.

fflHrara

11.已知函數(shù)y=?x）在x=l處的切線與直線x+），-3=0垂直，則/'（1）等于（）

A.2B.0C.1D.-1

答案C

解析由題可知，函數(shù)產(chǎn)危）在處的切線的斜率為/"⑴，直線.i+.y-3=0的斜率為-1,故⑴

=-1得f⑴=1,故選C.

12.如圖，函數(shù)y=/&）的圖象在點尸（2,y）處的切線是/,則加2）+/（2）等于（）

A.-4B.3C.-2D.1

答案D

解析由圖象可得函數(shù)y=危）的圖象在點P處的切線是/,與x軸交于點（4,0）,與y軸交于點（0,4）,

則I：x+y=4,

：.J&)=2,ff(2)=-I,

fi2)+f,(2)=1.

13.設正弦曲線)，=sinx上一點P,以點P為切點的切線為直線7,則直線/的傾斜角。的范圍是()

AJ°*?口檸'兀)B?[0‘兀)

c

-fi'T)D./ojuE，用

答案A

解析V(sinx)'=cosx,

ki=cosx,-iWtanaWl,又???Q￡[0,it),

ml。，3UlT,71)?

14.期(x)=sinx,f\(x)=fo(x),fi(x)=fi(x),…，fn+\(x)=f'n(x),z/GN,則力si(x)=.

答案cosX

解析由已知得，力(x)=cosx,fi(x)=-sinx,

力(x)=-cosx,fi(x)=sinx,fi(x)=cosx,…，依次類推可得，函數(shù)呈周期變化，目周期為4,則力(ni(x)=

fi(A)=cosx.

15.函數(shù)y=Rx>0)的圖象在點(a,。)處的切線與x軸的交點的橫坐標為？以+i,其中&WN*,若0=16,

則ai+s+as的值是.

答案21

解析???<=2x,???「=fQ>0)的圖象在點(at,a)處的切線方程為)*-次=24-久).

又該切線與X軸的交點坐標為4),

???以+戶院,即數(shù)列｛，〃｝是首項為s=16,公比為。/二I的等比數(shù)列，

.*.33=4,￡75=1,

.*.671+。3+=21.

16.設曲線)，=?T(〃￡N")在點(1,1)處的切線與工軸的交點的橫坐標為.r,”令an=lgx?,求0+a2H------F?w

的值.

解導函數(shù)>'=(〃+1)爐，切線斜率k=VIm=〃+1,所以切線方程為)，=(〃+\)x-n,可求得切線與x

n]n

軸的交點為1，°，則扇=lg=lg2Tgm+1)/所以ai+。2+…+499=(lg1Tg2)+(lg2-lg3)+…

+(lg99-lgIOO)=lg1-lg100=-2.

5.2.2電算法則

課時訓練

1.(多選)下列運算中正確的是()

A.(ar2+fer4-c)/=^(x2)f+〃(/)'

B.(sinx—Zr)7=(sin?—2'(x2)'

D.(cosx-sin.r)z=(cosx)/sinx+cosx(sinx)'

答案AD

解析A項中，(a^+bx+c)'=。(爐)'+b(x)'，故正確；

B項中，(sinx-2x)/2=(sinx)f-2(x)「，故錯誤；

-fsinNx)，F(xiàn)?即小？。

CI頁中，I=--------------------，故錯反；

D項中,(cosx-sinx)'=(cosx)'sinx+cosA<sin?,故正確.

2.曲線巾丫)=；口一/+5在r=l處的切線的傾斜角為()

s

3兀

A.

B.

6

4

x

三

D.

4

3

答案B

3兀

解析因為/'⑶=/-2.v,k=「(1)=-I,所以在戈=1處的切線的傾斜角為4.

3.設火x)=xlnx,若f(KO)=2,則xo等于()

In2

A.e2B.eC.-y-D.In2

答案B

解析??7U)=x\nx,:.f(.r)=lnx+l(x>0),由/(xo)=2,得Inxo+1=2,即Inxo=1,解得xo=c.

4.若函數(shù)/U)=o?+加+c滿足/(1)=2,則/'(一1)等于()

A.-IB.-2C.2D.0

答案B

解析V/(.v)=4^+2bx,/'⑴為奇因數(shù)，

:,f(-D=-f1(D=-2.

5.已知1/U)=*+sing+x),/'(x)為")的導函數(shù)，財⑴的大致圖象是()

AD

答案A

解析,?Tlx):jv2+sing+xj=-r2+cosA,

:?f(x)=-sinX.易知r(x)=*sin,v是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B,D.由/管)=-

5<0，排除C,故選A.

6.(多選)當函數(shù),，土土支3>0)&=出處的導數(shù)為0時，那么xo可以是()

x

A.aB.0C.—aD.a2

答案AC

(A2+A2)2xx-(x2+/)——?

解析)二i\x)r=F，

由x6-爐=0得4。=M.

7.已知函數(shù)/3=eJsinx,則曲線)，=段)在點(0,a))處的切線方程是.

答案y=x

，

解析*?*A')=e's>nx?(A)=e'(sinx+cosA),f'(0)=1,y(D)=O,，曲線了=啟)在點(0,(；)處的切線方

程為y-0=1X(x-0),即y=x.

—4x,A<0,

8.已知函數(shù)K0=(1若/3)=12,則實數(shù)a的值為_______.

-Jy-Inx,(KKI,

答案;或一4

卜—0.[0<a<1,g,I

解析廣(%)=〈]i若/(。)=12,則(1?或(解得或〃=-4.

[4舊?4?2

9.求下列函數(shù)的導數(shù)：

I

(I)y=Inx+；

x

cosx

(2)y=V_v;

(3)")=(f+9(L：；

sinx

(4)A.0=爐.

解⑴=(lnx+;=(lnx);.G，=

(cosx)?e-canx(c')f

(2)y

sinx+cosx

ev

（3加）=9+64-§/（戈）=3/+三+6.

(sin?Y'-sinxa')'

(4F(x)=J》

f'cosx-幾d」sinj

xcos工-〃sinx

k+i

1().已知函數(shù)八幻=&12+/狀+3(〃中0),其導函數(shù)/(.r)=2r—8.

⑴求a,R的值;

(2)設函數(shù)g(.r)=e，sinx+y(x),求曲線g(x)在x=0處的切線方程.

解⑴因為Ax);aP+bx+3(aWO),

所以r(x)=lax+b,

又fQ)=2x-8,所以a=1,b--8.

(2)由⑴可知g(x);elsinx+x2-8x+3,

所以g'(x)=ersinx+e'cosx+2x-S,

所以g'(0)=e°sin0+encos0+2X0-8=-7,

又g(0)=3,

所以曲線g(x)在x=0處的切線方程為y-3=-7(3-0),

即7x+y-3=0.

u.已知曲須，)=￡在點。，川))處切線的傾斜角為子’則實數(shù)等于()

A.1B.-1C.7D.-7

答案C

2於+I)-(F+a)—+2x-a

解析V/(x)=

(K+1)2(X+1)2

叉"(l)=tan^=-I,.*.a=7.

12.已知曲線/a)=(x+a),lnx在點(1,川))處的切線與直線2L)，=0垂直，則。等于()

13

A-B1--

21c.2D.

答案c

解析因為/U)=(x+a)JnX,A>0,

所以/(x)=lnx+(x+a)-

x

所以r⑴=1+?.

又因為/U)在點(1,川))處的切線與直線2x-y=0垂直,

所以/■'⑴=-：,所以a--?.

13.如圖，有一個圖象是函數(shù)/U)=F+aF+(a2—l)x+l(a￡R,且。工0)的導函數(shù)的圖象，則/(—1)等于

)

A.：B.一；C.：D.—

答案B

解析/(x)=/+2依+/-1,圖⑴與圖⑵中，導函數(shù)的圖象的對稱軸都是,y軸，此時〃二0,與題設不

符合，故圖(3)中的圖象是函數(shù)人由勺導函數(shù)的圖象.由圖(3)知/(0)=0,即/(0)=/-1=0,得/=1,

又由圖(3次導對稱軸為?學二?〃乂)，則〃<(),解得?1.

故艮v)=+-x2+1,所以A-0=-j.

14.已知函數(shù)人￥)=/G}osx+sinx，財G)的值為

答案1

解析?：f(A)=X+COSX,

卜條乎，彳敬

??福

?.曲)二(w-l)cosx+sinx,

15.等比數(shù)列｛“”｝中，ai=2,柒=4,函數(shù)/(x)=Mx—的)G—㈤㈤，則/*(0)=.

答案4096

解析因為f(x)=(x)/-[(x-a\)(x-㈤?…G-㈤]+[(x-di)(x-㈤?…(X-an)]'x=(x-a\)(x-az)

-。8)+[(x-a\)-(x-42)?…(x-德)]'X,

所以r(0)=(0?的)(0?㈤-儡)+0=0。2?…?48.

因為數(shù)列｛?。秊榈缺葦?shù)列，

所以=aiai==a必=8,

所以f（0）=