一、解答題1．（了解概念）在平面直角坐標系中，若，式子的值就叫做線段的“勾股距”，記作．同時，我們把兩邊的“勾股距”之和等于第三邊的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．（理解運用）在平面直角坐標系中，．（1）線段的“勾股距”；（2）若點在第三象限，且，求并判斷是否為“等距三角形”﹔（拓展提升）（3）若點在軸上，是“等距三角形”，請直接寫出的取值范圍．解析：（1）5；（2）dAC=11，△ABC不是為“等距三角形”；（3）m≥4【分析】（1）根據(jù)兩點之間的直角距離的定義，結(jié)合O、P兩點的坐標即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩點之間的直角距離的定義，用含x、y的代數(shù)式表示出來d（O，Q）=4，結(jié)合點Q（x，y）在第一象限，即可得出結(jié)論；（3）由點N在直線y=x+3上，設(shè)出點N的坐標為（m，m+3），通過尋找d（M，N）的最小值，得出點M（2，-1）到直線y=x+3的直角距離．【詳解】解：（1）由“勾股距”的定義知：dOA=|2-0|+|3-0|=2+3=5，故答案為：5；（2）∵dAB=|4-2|+|2-3|=2+1=3，∴2dAB=6，∵點C在第三象限，∴m＜0，n＜0，dOC=|m-0|+|n-0|=|m|+|n|=-m-n=-（m+n），∵dOC=2dAB，∴-（m+n）=6，即m+n=-6，∴dAC=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-（m+n）=5+6=11，dBC=|4-m|+|2-m|=4-m+2-n=6-（m+n）=6+6=12，∵5+11≠12，11+12≠5，12+5≠11，∴△ABC不是為“等距三角形”；（3）點C在x軸上時，點C（m，0），則dAC=|2-m|+3，dBC=|4-m|+2，①當m＜2時，dAC=2-m+3=5-m，dBC=4-m+2=6-m，若△ABC是“等距三角形”，∴5-m+6-m=11-2m=3，解得：m=4（不合題意），又∵5-m+3=8-m≠6-m，②當2≤m＜4時，dAC=m-2+3=m+1，dBC=4-m+2=6-m，若△ABC是“等距三角形”，則m+1+6-m=7≠3，6-m+3=m+1，解得：m=4（不和題意），③當m≥4時，dAC=m+1，dBC=m-2，若△ABC是“等距三角形”，則m+1+m-2=3，解得：m=4，m-2+3=m+1恒成立，∴m≥4時，△ABC是“等距三角形”，綜上所述：△ABC是“等距三角形”時，m的取值范圍為：m≥4．【點睛】本題考查坐標與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是對“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解，運用“勾股距”和“等距三角形”解題．2．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點，其中滿足，D為直線AB與軸的交點，C為線段AB上一點，其縱坐標為.（1）求的值；（2）當為何值時，和面積的相等；（3）若點C坐標為（-2,1），點M（m，-3）在第三象限內(nèi)，滿足，求m的取值范圍.（注：表示的面積）解析：（1）；（2）當時，和面積的相等；（3）m的取值范圍是【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c即可．（2）設(shè)點D的坐標為（0，y），根據(jù)面積關(guān)系，構(gòu)建方程求出y，再根據(jù)△BOC和△AOD面積的相等，構(gòu)建方程求出t即可．（3）分兩種情形：①當-2＜m＜0時，如圖1中，②當m≤-2時，如圖2中，根據(jù)S△MOC≥5，構(gòu)建不等式求解即可．【詳解】解：（1）∵|a-2|+(b-3)2+=0，又∵|a-2|≥0，(b-3)2≥0，≥0，∴，∴a=2，b=3，c=-4；（2）設(shè)點D的坐標為（0，y），則S△BOD=×BO×OD=×4×y＝2y，S△AOD=xA?OD=×2y=y，S△AOB=×OB?yA=×4×3＝6，∵S△BOD+S△AOD=S△AOB，即2y+y=6，解得y=2，即點D的坐標為（0，2），∴S△BOC=BO?yc=×4t=2t，S△AOD=xA?OD=×2×2=2，∵△BOC和△AOD面積的相等，即2t=2，解得t=1，∴當t=1時，△BOC和△AOD面積的相等；（3）①當-2＜m＜0時，如圖1中，過點C作CF⊥軸于點F，過點M作GE⊥軸于點E，過點C作CG⊥軸交GE于點G，則四邊形CGEF為矩形，∵SCGEF=2×4=8，S△CFO=×2×1＝1，S△EMO=×(0?m)×3=?m，S△CMG=×(m+2)×4＝2(m+2)，∴S△MOC=SCGEF-S△CFO-S△EMO-S△CMG=8?1?(?m)?2(m+2)=3?m，∵S△MOC≥5，即3?m≥5，解得m≤-4，這與-2＜m＜0矛盾．②當m≤-2時，如圖2中，過點C作GF⊥軸于點F，過點M作ME⊥軸于點E，過點M作MG⊥軸交GF于點G，則四邊形MEFG為矩形，∵SGMEF=(0-m)×4=-4m，S△CFO=×2×1＝1，S△EMO=×(0?m)×3=?m，S△CMG=×(?2?m)×4＝?2(m+2)，∴S△MOC=SCGEF-S△CFO-S△EMO-S△CMG=?4m?1?(?m)?[?2(m+2)]=3?m，∵S△MOC≥5，即3?m≥5，解得m≤-4，綜上所述，m的取值范圍是m≤-4．【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，三角形的面積，非負數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．3．如圖1，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，邊長為2的正方形ABCD（點D與點O重合）和邊長為4的正方形EFGH的邊CO和GH都在x軸上，且點H坐標為（7，0）．正方形ABCD以3個單位長度/秒的速度沿著x軸向右運動，記正方形ABCD和正方形EFGH重疊部分的面積為S，假設(shè)運動時間為t秒，且t＜4．（1）點F的坐標為；（2）如圖2，正方形ABCD向右運動的同時，動點P在線段FE上，以1個單位長度/秒的速度從F到E運動．連接AP，AE．①求t為何值時，AP所在直線垂直于x軸；②求t為何值時，S＝S△APE．解析：（1）（3，4）；（2）①t=時，AP所在直線垂直于x軸；②當t為或時，S＝S△APE．【分析】（1）根據(jù)直角坐標系得出點F的坐標即可；（2）①根據(jù)AP所在直線垂直于x軸，得出關(guān)于t的方程，解答即可；②分和兩種情況，利用面積公式列出方程即可求解．【詳解】（1）由直角坐標系可得：F坐標為：（3，4）；故答案為：（3，4）；（2）①要使AP所在直線垂直于x軸．如圖1，只需要Px＝Ax，則t+3＝3t，解得：，所以即時，AP所在直線垂直于x軸；②由題意知，OH＝7，所以當時，點D與點H重合，所以要分以下兩種情況討論：情況一：當時，GD＝3t﹣3，PF＝t，PE＝4﹣t，∵S＝S△APE，∴BC×GD＝，即：2×（3t﹣3）＝，解得：；情況二：當時，如圖2，HD＝3t﹣7，PF＝t，PE＝4﹣t，∵S＝S△APE，∴BC×CH＝，即：2×[2﹣（3t﹣7）]＝，解得：，綜上所述，當t為或時，S＝S△APE．【點睛】本題考查了平面直角坐標系中點的移動，一元一次方程的應(yīng)用等問題，理解題意，分類討論是解題關(guān)鍵．4．對于平面直角坐標系xOy中的圖形G和圖形G上的任意點P（x，y），給出如下定義：將點P（x，y）平移到P'（x+t，y﹣t）稱為將點P進行“t型平移”，點P'稱為將點P進行“t型平移”的對應(yīng)點；將圖形G上的所有點進行“t型平移”稱為將圖形G進行“t型平移”．例如，將點P（x，y）平移到P'（x+1，y﹣1）稱為將點P進行“l(fā)型平移”，將點P（x，y）平移到P'（x﹣1，y+1）稱為將點P進行“﹣l型平移”．已知點A（2，1）和點B（4，1）．（1）將點A（2，1）進行“l(fā)型平移”后的對應(yīng)點A'的坐標為．（2）①將線段AB進行“﹣l型平移”后得到線段A'B'，點P1（1.5，2），P2（2，3），P3（3，0）中，在線段A′B′上的點是．②若線段AB進行“t型平移”后與坐標軸有公共點，則t的取值范圍是．（3）已知點C（6，1），D（8，﹣1），點M是線段CD上的一個動點，將點B進行“t型平移”后得到的對應(yīng)點為B'，當t的取值范圍是時，B'M的最小值保持不變．解析：（1）（3，0）；（2）①P1；②或；（3）【分析】（1）根據(jù)“l(fā)型平移”的定義解決問題即可．（2）①畫出線段A1B1即可判斷．②根據(jù)定義求出t最大值，最小值即可判斷．（3）如圖2中，觀察圖象可知，當B′在線段B′B″上時，B'M的最小值保持不變，最小值為．【詳解】（1）將點A（2，1）進行“l(fā)型平移”后的對應(yīng)點A'的坐標為（3，0），故答案為：（3，0）；（2）①如圖1中，觀察圖象可知，將線段AB進行“﹣l型平移”后得到線段A'B'，點P1（1.5，2），P2（2，3），P3（3，0）中，在線段A′B′上的點是P1，故答案為：P1；②若線段AB進行“t型平移”后與坐標軸有公共點，則t的取值范圍是﹣4≤t≤﹣2或t=1．故答案為：﹣4≤t≤﹣2或t=1．（3）如圖2中，觀察圖象可知，當B′在線段B′B″上時，B'M的最小值保持不變，最小值為，此時1≤t≤3．故答案為：1≤t≤3．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平移變換，“t型平移”的定義等知識，解題的關(guān)鍵理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會利用圖象法解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型．5．在平面直角坐標系中，點坐標為，點坐標為，過點作直線軸，垂足為，交線段于點.（1）如圖1，過點作，垂足為，連接.①填空：的面積為______；②點為直線上一動點，當時，求點的坐標；（2）如圖2，點為線段延長線上一點，連接，，線段交于點，若，請直接寫出點的坐標為______.解析：（1）①6；②的坐標為，；（2）.【解析】【分析】（1）①易證四邊形AECO為矩形，則點B到AE的距離為OA，AE=OC=3，OA=CE=4，S△ABE=AE?OA，即可得出結(jié)果；②設(shè)點的坐標為，分兩種情況:點在點上方，連接,得=++=8,點在點的下方，得=8,分別列出方程解方程即可得出結(jié)果；（2）由S△AOF=S△QBF，則S△AOB=S△QOB，△AOB與△QOB是以AB為同底的三角形，高分別為：OA、QC，得出OA=CQ，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）①∵CD⊥x軸，AE⊥CD，∴AE∥x軸，四邊形AECO為矩形，點B到AE的距離為OA，∵點A（0，4），點C（3，0），∴AE=OC=3，OA=CE=4，∴S△ABE=AE?OA=×3×4=6，故答案為：6；②設(shè)點的坐標為.（i）∵點坐標為，點坐標為，∴.∵，∴.∴點在點上方，連接（如圖1）.根據(jù)題意得∵，∴，∴，∴.∴當點的坐標為.（ii）點在點的下方，連接（如圖2）.∵.∴.∴點在點的下方，根據(jù)題意得∵，∴，∴，∴.∴當點的坐標為.（2）（2）∵S△AOF=S△QBF，如圖3所示：∴S△AOB=S△QOB，∵△AOB與△QOB是以AB為同底的三角形，高分別為：OA、QC，∴OA=CQ，∴點Q的坐標為（3，4），故答案為：（3，4）．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了圖形與點的坐標、矩形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算等知識，熟練掌握圖形與點的坐標，靈活運用割補法表示三角形面積列出方程是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，2），且滿足，過C作軸于B，（1）求a，b的值；（2）在y軸上是否存在點P，使得△ABC和△OCP的面積相等，若存在，求出點P坐標，若不存在，試說明理由.（3）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，圖3，①求：∠CAB＋∠ODB的度數(shù)；②求：∠AED的度數(shù).解析：（1）a=-2，b=2；（2）P（0，-4）或（0，4）；（3）①∠CAB＋∠ODB=90°；②∠AED=45°.【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可求得a、b的值；（2）先求得S△ABC=4，設(shè)P（0，t），根據(jù)S△OPC=OP×2=××2=4求得t值，即可求得點P的坐標；（3）①已知BD∥AC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CAB=∠OBD，由∠OBD＋∠ODB=90°，即可得∠CAB＋∠ODB=90°；②根據(jù)角平分線的定義及①中的結(jié)論，可求得∠3+∠4=45°；過點E作EF∥AC，即可得EF∥BD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠3=∠1，∠2=∠4，由此求得∠AED=∠1+∠2=∠4+∠3=45°.【詳解】（1）∵，∴a+2=0，b-2=0，∴a=-2，b=2；（2）∵a=-2，b=2，∴A（-2，0），C（2，2），∴S△ABC=AB?BC=×4×2=4；設(shè)P（0，t），∴S△OPC=OP×2=××2==4；∴t=4或t=-4，∴P（0，-4）或（0，4）．（3）①∵BD∥AC，∴∠CAB=∠OBD，∵∠OBD＋∠ODB=90°，∴∠CAB＋∠ODB=90°；②∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，∴∠3=,∠4=,∵∠CAB＋∠ODB=90°，∴∠3+∠4=+=45°，過點E作EF∥AC，∵BD∥AC，∴EF∥BD∥AC，∴∠3=∠1，∠2=∠4，∴∠AED=∠1+∠2=∠4+∠3=45°.【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，熟知非負數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式及平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖1，在平面直角坐標系中，點A為x軸負半軸上一點，點B為x軸正半軸上一點，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b滿足關(guān)系式：|a+3|+(b-a+1)2=0.（1）a=___，b=___，△BCD的面積為______；（2）如圖2，若AC⊥BC，點P線段OC上一點，連接BP，延長BP交AC于點Q，當∠CPQ=∠CQP時，求證:BP平分∠ABC；（3）如圖3，若AC⊥BC，點E是點A與點B之間一動點，連接CE,CB始終平分∠ECF,當點E在點A與點B之間運動時，的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由.解析：-3-46【解析】分析：（1）求出CD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解；（2）根據(jù)等角的余角相等解答即可；（3）首先證明∠ACD=∠ACE，推出∠DCE=2∠ACD，再證明∠ACD=∠BCO，∠BEC=∠DCE=2∠ACD即可解決問題；詳解：（1）解：如圖1中，∵|a+3|+（b-a+1）2=0，∴a=-3，b=4，∵點C（0，-3），D（-4，-3），∴CD=4，且CD∥x軸，∴△BCD的面積=1212×4×3=6；故答案為-3，-4，6．（2）證明：如圖2中，∵∠CPQ=∠CQP=∠OPB，AC⊥BC，∴∠CBQ+∠CQP=90°，又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，∴∠ABQ=∠CBQ，∴BQ平分∠CBA．（3）解：如圖3中，結(jié)論：=定值=2．理由：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCF=90°，∵CB平分∠ECF，∴∠ECB=∠BCF，∴∠ACD+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠ACD=∠ACE，∴∠DCE=2∠ACD，∵∠ACD+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ACD=∠BCO，∵C（0，-3），D（-4，-3），∴CD∥AB，∠BEC=∠DCE=2∠ACD，∴∠BEC=2∠BCO，∴=2．點睛：本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．8．（1）如圖①，若∠B+∠D=∠E，則直線AB與CD有什么位置關(guān)系？請證明（不需要注明理由）．（2）如圖②中，AB//CD，又能得出什么結(jié)論？請直接寫出結(jié)論．（3）如圖③，已知AB//CD，則∠1+∠2+…+∠n-1+∠n的度數(shù)為．解析：（1）AB//CD，證明見解析；（2）∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D；（3）(n-1)?180°【分析】（1）過點E作EF//AB，利用平行線的性質(zhì)則可得出∠B=∠BEF，再由已知及平行線的判定即可得出AB∥CD；（2）如圖，過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GH∥AB，根據(jù)探究（1）的證明過程及方法，可推出∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，則可由此得出規(guī)律，并得出∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D；（3）如圖，過點M作EF∥AB，過點N作GH∥AB，則可由平行線的性質(zhì)得出∠1+∠2+∠MNG=180°×2，依此即可得出此題結(jié)論．【詳解】解：（1）過點E作EF//AB，∴∠B=∠BEF．∵∠BEF+∠FED=∠BED，∴∠B+∠FED=∠BED．∵∠B+∠D=∠E（已知），∴∠FED=∠D．∴CD//EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∴AB//CD．（2）過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD，∴∠B=∠BEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGH，∠HGD=∠D，∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D，即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．由此可得：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等，∴∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．故答案為：∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．（3）如圖，過點M作EF∥AB，過點N作GH∥AB，∴∠APM+∠PME=180°，∵EF∥AB，GH∥AB，∴EF∥GH，∴∠EMN+∠MNG=180°，∴∠1+∠2+∠MNG=180°×2，依次類推：∠1+∠2+…+∠n-1+∠n=(n-1)?180°．故答案為：(n-1)?180°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是過E點作AB（或CD）的平行線，把復雜的圖形化歸為基本圖形．9．如圖，，直線與、分別交于點、，點在直線上，過點作，垂足為點．（1）如圖1，求證：；（2）若點在線段上（不與、、重合），連接，和的平分線交于點請在圖2中補全圖形，猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系；解析：（1）證明見解析；（2）補圖見解析；當點在上時，；當點在上時，．【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）分兩種情況：當點在上，當點在上，再過點作即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，∴，∵，∴．∴．∵，∴，∴．（2）補全圖形如圖2、圖3，猜想：或．證明：過點作．∴．∵，∴∴，∴．∵平分，∴．如圖3，當點在上時，∵平分，∴，∵，∴，即．如圖2，當點在上時，∵平分，∴．∴．即．【點睛】本題考查了平行線的基本性質(zhì)、角平分線的基本性質(zhì)及角的運算，解題的關(guān)鍵是準確作出平行線，找出角與角之間的數(shù)量關(guān)系．10．閱讀下面材料：小亮同學遇到這樣一個問題：已知：如圖甲，ABCD，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．（1）小亮寫出了該問題的證明，請你幫他把證明過程補充完整．證明：過點E作EFAB，則有∠BEF＝．∵ABCD，∴，∴∠FED＝．∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）請你參考小亮思考問題的方法，解決問題：如圖乙，已知：直線ab，點A，B在直線a上，點C，D在直線b上，連接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直線交于點E．①如圖1，當點B在點A的左側(cè)時，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度數(shù)；②如圖2，當點B在點A的右側(cè)時，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BED的度數(shù)（用含有α，β的式子表示）．解析：（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖1，過點E作EF∥AB，當點B在點A的左側(cè)時，根據(jù)∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，參考小亮思考問題的方法即可求∠BED的度數(shù)；②如圖2，過點E作EF∥AB，當點B在點A的右側(cè)時，∠ABC＝α，∠ADC＝β，參考小亮思考問題的方法即可求出∠BED的度數(shù)．【詳解】解：（1）過點E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案為：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如圖1，過點E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度數(shù)為65°；②如圖2，過點E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣．答：∠BED的度數(shù)為180°﹣．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．11．已知，點為平面內(nèi)一點，于．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，過點作的延長線于點，求證：；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點、在上，連接、、，且平分，平分，若，，求的度數(shù)．解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）．【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,然后結(jié)合即可證明；（2）過作，先說明，然后再說明得到，最后運用等量代換解答即可；（3）設(shè)∠DBE=a，則∠BFC=3a，根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=∠C=2a，∠FBC=∠DBC=a+45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，可得∠AFC=∠BCF的度數(shù)表達式，再根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠AFC+∠NCF=180°，代入即可算出a的度數(shù)，進而完成解答．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵于，∴，∴，∴；（2）證明：過作，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）設(shè)∠DBE=a，則∠BFC=3a，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=∠C=2a，又∵AB⊥BC，BF平分∠DBC，∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90，即：∠FBC=∠DBC=a+45°又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，即：3a+a+45°+∠BCF=180°∴∠BCF=135°-4a，∴∠AFC=∠BCF=135°-4a，又∵AM//CN，∴∠AFC+∠NCF=180°，即：∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°，∴135°-4a+135°-4a+2a=180，解得a=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及角的計算，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．12．如圖1，點在直線、之間，且．（1）求證：；（2）若點是直線上的一點，且，平分交直線于點，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，點是直線、外一點，且滿足，，與交于點．已知，且，則的度數(shù)為______（請直接寫出答案，用含的式子表示）．解析：（1）見解析；（2）10°；（3）【分析】（1）過點E作EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出結(jié)合已知條件，得出即可證明；（2）過點E作HE∥CD，設(shè)由（1）得AB∥CD，則AB∥CD∥HE，由平行線的性質(zhì)，得出再由平分，得出則，則可列出關(guān)于x和y的方程，即可求得x，即的度數(shù)；（3）過點N作NP∥CD，過點M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，則NP∥CD∥AB∥QM，根據(jù)和，得出根據(jù)CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根據(jù)NP∥AB，得出再由，得出由AB∥QM,得出因為，代入的式子即可求出．【詳解】（1）過點E作EF∥CD，如圖，∵EF∥CD,∴∴∵,∴∴EF∥AB，∴CD∥AB；（2）過點E作HE∥CD，如圖，設(shè)由（1）得AB∥CD，則AB∥CD∥HE，∴∴又∵平分，∴∴即解得：即；（3）過點N作NP∥CD，過點M作QM∥CD，如圖，由（1）得AB∥CD，則NP∥CD∥AB∥QM，∵NP∥CD，CD∥QM，∴,又∵，∴∵,∴∴又∵PN∥AB，∴∵,∴又∵AB∥QM，∴∴∴．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造相等的角，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同位角相等來計算和推導角之間的關(guān)系．13．如圖1，//，點、分別在、上，點在直線、之間，且．（1）求的值；（2）如圖2，直線分別交、的角平分線于點、，直接寫出的值；（3）如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點、，且，直接寫出的值．解析：（1）；（2）的值為40°；（3）．【分析】（1）過點O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線的性質(zhì)可求解；（2）過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，由角平分線的定義可設(shè)∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，進而求解；（3）設(shè)直線FK與EG交于點H，F(xiàn)K與AB交于點K，根據(jù)平行線的性質(zhì)即三角形外角的性質(zhì)及，可得，結(jié)合，可得即可得關(guān)于n的方程，計算可求解n值．【詳解】證明：過點O作OG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∴即∵∠EOF=100°，∴∠；（2）解：過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，∵EM平分∠BEO，F(xiàn)N平分∠CFO，設(shè)∵∴∴x-y=40°，∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∴=x-y=40°，的值為40°；（3）如圖，設(shè)直線FK與EG交于點H，F(xiàn)K與AB交于點K，∵AB∥CD，∴∵∴∵∴即∵FK在∠DFO內(nèi)，∴，∵∴∴即∴解得．經(jīng)檢驗，符合題意，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．問題情境：（1）如圖1，，，．求度數(shù)．小穎同學的解題思路是：如圖2，過點作，請你接著完成解答．問題遷移：（2）如圖3，，點在射線上運動，當點在、兩點之間運動時，，．試判斷、、之間有何數(shù)量關(guān)系？（提示：過點作），請說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點在、兩點外側(cè)運動時（點與點、、三點不重合），請你猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明．解析：（1）見解析；（2），理由見解析；（3）①當在延長線時（點不與點重合），；②當在之間時（點不與點，重合），．理由見解析【分析】（1）過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得∠APC=113°；（2）過過作交于，，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況：①點P在BA的延長線上，②當在之間時（點不與點，重合）），根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：（1）過作，，，，，，，，；（2），理由如下：如圖3，過作交于，，，，，，，又；（3）①當在延長線時（點不與點重合），；理由：如圖4，過作交于，，，，，，，，又，；②