一、事件概率的求法1．條件概率的求法(1)利用定義，分別求出P(B)和P(AB)，解得P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）).(2)借助古典概型公式，先求事件B包含的基本事件數(shù)n，再在事件B發(fā)生的條件下求事件A包含的基本事件數(shù)m，得P(A|B)＝eq\f(m,n).2．相互獨(dú)立事件的概率若事件A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)·P(B)．3．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，k＝0，1，2，…，n，q＝1－p.二、隨機(jī)變量的概率分布1．求離散型隨機(jī)變量的概率分布的步驟(1)明確隨機(jī)變量X取哪些值；(2)計(jì)算隨機(jī)變量X取每一個(gè)值時(shí)的概率；(3)將結(jié)果用二維表格形式給出．計(jì)算概率時(shí)注意結(jié)合排列與組合知識(shí)．2．兩種常見(jiàn)的概率分布(1)超幾何分布若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝r)＝eq\f(Ceq\o\al(r,M)Ceq\o\al(n－r,N－M),Ceq\o\al(n,N))，其中r＝0，1，2，3，…，l，l＝min(n，M)，則稱X服從超幾何分布．(2)二項(xiàng)分布若隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，其中0<p<1，p＋q＝1，k＝0，1，2，…，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．三、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1．若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：Xx1x2…xnPp1p2…pn則E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.2．當(dāng)X～H(n，M，N)時(shí)，E(X)＝eq\f(nM,N)，V(X)＝eq\f(nM（N－M）（N－n）,N2（N－1）).3．當(dāng)X～B(n，p)時(shí)，E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．(考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1．已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下：X123Pk2k3k則E(X)＝________．解析：∵k＋2k＋3k＝1，∴k＝eq\f(1,6)，∴E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(2,6)＋3×eq\f(3,6)＝eq\f(1＋4＋9,6)＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)2．已知P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(AB)＝________．解析：P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)3．某同學(xué)通過(guò)計(jì)算機(jī)測(cè)試的概率為eq\f(2,3)，則他連續(xù)測(cè)試3次，其中恰有1次通過(guò)的概率為________．解析：連續(xù)測(cè)試3次，其中恰有1次通過(guò)的概率為P＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝3×eq\f(2,3)×eq\f(1,9)＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)4．已知隨機(jī)變量X分布列為P(X＝k)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(k)(k＝1，2，3)，則a＝________．解析：依題意得aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)))＝1，解得a＝eq\f(27,38).答案：eq\f(27,38)5．已知甲投球命中的概率是eq\f(1,2)，乙投球命中的概率是eq\f(3,5).假設(shè)他們投球命中與否相互之間沒(méi)有影響．如果甲、乙各投球1次，則恰有1人投球命中的概率為________．解析：記“甲投球1次命中”為事件A，“乙投球1次命中”為事件B.根據(jù)互斥事件的概率公式和相互獨(dú)立事件的概率公式，所求的概率為P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(3,5)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)，若X在區(qū)間(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在區(qū)間(0，2)內(nèi)取值的概率是________．解析：∵X～N(1，σ2)，∴P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，∴P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2×0.4＝0.8.答案：0.87．將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件A＝{兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同}，B＝{出現(xiàn)一個(gè)3點(diǎn)}，則P(B|A)＝________.解析：若兩個(gè)點(diǎn)都不相同，則有(1，2)，(1，3)，…，(1，6)，(2，1)，(2，3)，…，(2，6)，…，(6，1)，…，(6，5)．共計(jì)6×5＝30種結(jié)果．“出現(xiàn)一個(gè)3點(diǎn)”含有10種．∴P(B|A)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．袋中有3個(gè)黑球，1個(gè)紅球．從中任取2個(gè)，取到一個(gè)黑球得0分，取到一個(gè)紅球得2分，則所得分?jǐn)?shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________．解析：由題得X所取得的值為0或2，其中X＝0表示取得的球?yàn)閮蓚€(gè)黑球，X＝2表示取得的球?yàn)橐缓谝患t，所以P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，故E(X)＝0×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)＝1.答案：19．某人參加駕照考試，共考6個(gè)科目，假設(shè)他通過(guò)各科考試的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是p，若此人未能通過(guò)的科目數(shù)X的均值是2，則p＝________．解析：因?yàn)橥ㄟ^(guò)各科考試的概率為p，所以不能通過(guò)考試的概率為1－p，易知X～B(6，1－p)，所以E(X)＝6(1－p)＝2.解得p＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)10．若X～B(n，p)，且E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，則n＝________，p＝________．解析：∵E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(np＝2.4，,np（1－p）＝1.44，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝6，,p＝0.4.))答案：60.411．甲、乙兩人投籃，投中的概率各為0.6，0.7，兩人各投2次，兩人投中次數(shù)相等的概率為________．解析：所求概率為4×0.6×0.4×0.7×0.3＋0.62×0.72＋0.42×0.32＝0.3924.答案：0.392412．甲從學(xué)校乘車回家，途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各交通崗遇紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是eq\f(2,5)，則甲回家途中遇紅燈次數(shù)的均值為________．解析：設(shè)甲在回家途中遇紅燈次數(shù)為X，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，所以E(X)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)13.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來(lái)跳去(每次跳躍時(shí)，均從一葉跳到另一葉)，而且逆時(shí)針?lè)较蛱母怕适琼槙r(shí)針?lè)较蛱母怕实膬杀?，如圖所示，假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次之后停在A葉上的概率是________．解析：青蛙跳三次要回到A只有兩條途徑：第一條：按A→B→C→A，P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；第二條，按A→C→B→A，P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).所以跳三次之后停在A葉上的概率為P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在拋物線中，記隨機(jī)變量X＝“|a－b|的取值”，則X的均值E(X)＝________.解析：對(duì)稱軸在y軸左側(cè)(ab＞0)的拋物線有2Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,7)＝126條，X可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(6×7,126)＝eq\f(1,3)；P(X＝1)＝eq\f(8×7,126)＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(4×7,126)＝eq\f(2,9)，E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).答案：eq\f(8,9)二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(本小題滿分14分)在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．解：設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次和第2次都抽到理科題為事件A∩B.(1)P(A)＝eq\f(Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4),Aeq\o\al(2,5))＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)P(A∩B)＝eq\f(Aeq\o\al(2,3),Aeq\o\al(2,5))＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)P(B|A)＝eq\f(P（A∩B）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).16．(本小題滿分14分)袋中裝有5個(gè)乒乓球，其中2個(gè)舊球，現(xiàn)在無(wú)放回地每次取一球檢驗(yàn)．(1)若直到取到新球?yàn)橹?，求抽取次?shù)X的概率分布列及其均值；(2)若將題設(shè)中的“無(wú)放回”改為“有放回”，求檢驗(yàn)5次取到新球個(gè)數(shù)X的均值．解：(1)X的可能取值為1，2，3，P(X＝1)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(2×3,5×4)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(2×1×3,5×4×3)＝eq\f(1,10)，故抽取次數(shù)X的概率分布為X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).(2)每次檢驗(yàn)取到新球的概率均為eq\f(3,5)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,5)))，所以E(X)＝5×eq\f(3,5)＝3.17．(本小題滿分14分)甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提議去市中心逛街，乙提議去城郊覓秋，丙表示隨意．最終，商定以拋硬幣的方式?jīng)Q定結(jié)果．規(guī)則是：由丙拋擲硬幣若干次，若正面朝上則甲得一分，乙得零分，反面朝上則乙得一分甲得零分，先得4分者獲勝，三人均執(zhí)行勝者的提議．記所需拋幣次數(shù)為X.(1)求X＝6的概率；(2)求X的概率分布和均值．解：(1)P(X＝6)＝2×Ceq\o\al(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,16).(2)由題意知，X可能取值為4，5，6，7，P(X＝4)＝2×Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,8)，P(X＝5)＝2×Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(X＝6)＝eq\f(5,16)，P(X＝7)＝2×Ceq\o\al(3,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,16)，故X的概率分布為X4567Peq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(5,16)eq\f(5,16)所以E(X)＝4×eq\f(1,8)＋5×eq\f(1,4)＋6×eq\f(5,16)＋7×eq\f(5,16)＝eq\f(93,16).18．(本小題滿分16分)袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)．求X的概率分布、均值和方差．解：由題意，得X的所有可能取值為0，1，2，3，4，所以P(X＝0)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，P(X＝1)＝eq\f(1,20)，P(X＝2)＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，P(X＝3)＝eq\f(3,20)，P(X＝4)＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).故X的概率分布為：X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)所以E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.V(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.19．(本小題滿分16分)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)．在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的概率分布和均值．解：(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率為eq\f(49,60).(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0，1，2，3.P(X＝r)＝eq\f(Ceq\o\al(r,4)·Ceq\o\al(3－r,6),Ceq\o\al(3,10))(r＝0，1，2，3)．所以，隨機(jī)變量X的分布列是X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)隨機(jī)變量X的均值E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×