3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲怠钪担ǖ?課時）（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．若函數(shù)在定義域上的值域為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】的對稱軸為，且，然后可得答案.【詳解】因為的對稱軸為，且所以若函數(shù)在定義域上的值域為，則故選：A2．設(shè)，若函數(shù)，當(dāng)時，的范圍為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的單調(diào)性可直接構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】在上單調(diào)遞減，，解得：.故選：B.3．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則實數(shù)a的值為（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或【答案】B【分析】注意討論的情況，然后利用一次函數(shù)的單調(diào)性分類討論可求得.【詳解】依題意，當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得．綜上，a的值為故選:B.4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為M，m則（

）A．4 B．6 C．10 D．24【答案】C【分析】將函數(shù)分離常數(shù)變形后，判斷出其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值即可得解.【詳解】因為f(x)==2+，所以f(x)在[3，4]上是減函數(shù).所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.所以.故選：C.5．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法以及對勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【詳解】設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．故選：B二、多選題6．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．單調(diào)遞增區(qū)間是 B．單調(diào)遞減區(qū)間是C．最大值為2 D．沒有最小值【答案】AC【分析】先求的定義域排除選項B，再利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得的單調(diào)性，進(jìn)而求其最值.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，得，故B錯誤；函數(shù)由與復(fù)合而成，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故,又，所以，故A，C正確，D錯誤．故選：AC.7．設(shè)函數(shù)，存在最小值時，實數(shù)的值可能是（

）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分、、三種情況討論，當(dāng)時根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)只需函數(shù)在斷點處左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)的函數(shù)值即可；【詳解】解：因為，若，當(dāng)時在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，此時函數(shù)不存在最小值；若，則，此時，符合題意；若，當(dāng)時在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，二次函數(shù)對稱軸為，開口向上，此時在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)存在最小值，只需，解得，綜上可得.故選：ABC8．設(shè)函數(shù)的定義域為D，若對任意的，，都有，則稱滿足“L條件”，則下列函數(shù)不滿足“L條件”的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【分析】根據(jù)“L條件”的定義對選項逐一分析，結(jié)合特殊值法、函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識確定正確選項.【詳解】由定義知函數(shù)的最大值與最小值差的絕對值小于1.選項A，，，取，，則，不滿足“L條件”；選項B，，，任取，，其中，當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，最大值為，所以對任意的，，都有，所以，滿足“L條件”；選項C，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以的最大值為，最小值為，，所以，不滿足“L條件”；選項D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然不滿足“L條件”.故選：ACD三、填空題9．函數(shù)的最大值為_______．【答案】2【分析】利用換元法將函數(shù)換元構(gòu)造出新函數(shù)，由新函數(shù)的定義域結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】設(shè)，則，所以原函數(shù)可化為：，由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時，函數(shù)取最大值2.故答案為：2.【點睛】本題考查換元法求函數(shù)最值，當(dāng)函數(shù)解析式中含有根式時，一般考慮換元法，用換元法時要注意一定寫出新變量數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題型.10．已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.【答案】36【分析】利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝時取得最小值，由題意知＝3，∴a＝36.故答案為：11．在上的最小值為______．【答案】0【分析】先確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求最小值即可.【詳解】解:根據(jù)題意在上為增函數(shù)，則在上的最小值為．故答案為：0.12．函數(shù)在上的最大值為1，則的值為___________.【答案】【分析】依題意可得在上單調(diào)遞減，即可得到，從而求出的值；【詳解】解：因為是由向右平移個單位得到，即在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得；故答案為：13．若不等式對一切都成立，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】利用參變分離法將不等式轉(zhuǎn)化為，令，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為成立，求解函數(shù)的最大值.【詳解】解：因為不等式對一切恒成立，所以對一切恒成立，令，可知成立，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為：.14．已知函數(shù)，，對，，使成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【分析】由題意可知的值域是值域的子集，所以分別求出兩函數(shù)的值域，列不等式組可求得答案.【詳解】函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2，所以在上單調(diào)遞減，則在上的值域為.因為在上單調(diào)遞增，所以在上的值域為.由題意，可得，即，解得.故答案為：15．已知函數(shù)，，實數(shù)，滿足，則的最大值為______.【答案】94##214##2.25【分析】依題意可得，再根據(jù)函數(shù)的定義域求出，的取值范圍，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】解：∵函數(shù)，，實數(shù)，滿足，∴，可得，，，又，∴，則，，所以當(dāng)時，，即，時，取得最大值.故答案為：16．已知函數(shù)，且，，則函數(shù)的值域是______.【答案】【分析】根據(jù)題意，待定系數(shù)法求得，再證明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：因為，，所以，即，解得：所以，設(shè)且，所以，因為且，所以，所以，即，所以，即在上單調(diào)遞減，所以，所以，函數(shù)的值域是故答案為：四、解答題17．（1）在定義域上單調(diào)遞減的函數(shù)，最大值是多少？（2）若在上單調(diào)遞減而在上單調(diào)遞增，最小值是多少？【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)單調(diào)遞減函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因為是定義域上單調(diào)遞減的函數(shù)，所以；（2）因為在上單調(diào)遞減而在上單調(diào)遞增，所以.18．已知函數(shù)，，且該函數(shù)的圖象經(jīng)過點，.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直線與x軸交于點T，且與函數(shù)的圖像只有一個公共點.求的最大值.（其中O為坐標(biāo)原點）【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知點的坐標(biāo)，利用函數(shù)的解析式，得到關(guān)于的方程組，求解即得;（Ⅱ）設(shè),則直線方程可以寫成,與函數(shù)聯(lián)立，消去，利用判別式求得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得取得最大值1，進(jìn)而得到的最大值.【詳解】（Ⅰ）由已知得，解得;（Ⅱ）設(shè),則直線方程可以寫成,與函數(shù)聯(lián)立，消去，并整理得由已知得判別式,當(dāng)時，取得最大值1，所以.19．已知函數(shù)在上的最大值為3，最小值為．(1)求的解析式；(2)若，使得，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的最值列方程組，解方程組求得，進(jìn)而求得.（2）利用分離常數(shù)法，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍.（1）的開口向上，對稱軸為，所以在區(qū)間上有：，即，所以.（2）依題意，使得，即，由于，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以.20．已知函數(shù).(1)用定義法證明在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)若的最小值是6，求a的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由定義法,分別設(shè)和兩種不同情況時,計算的正負(fù)即可；（2）分別計算在和時的最小值,更小的那個即為函數(shù)的最小值,再分不同情況時將的函數(shù)解析式表示出,使得即可求解.(1)證明：對任意的，．當(dāng)時，，，則，即；當(dāng)時，，，則，即．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)由（1）可知在上的最小值是．當(dāng)時，，其圖象的對稱軸方程是直線．①若，在上單調(diào)遞減，則在上的最小值是．②若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值是．綜上，，因為的最小值是6，所以或或解得．21．一個兩位數(shù)除以它的的兩個數(shù)位上的數(shù)字和.(1)若使商為最小值，求這個兩位數(shù)；(2)若使商為最大值，則這樣的兩位數(shù)有多少個？【答案】(1)19(2)9【分析】（1）設(shè)這個兩位數(shù)是，則所求為，分離常數(shù)可得，根據(jù)x，y的范圍，分析即可得取得最小值時的答案.（2）分析得取到的任一整數(shù)時最大，即可得答案.(1)設(shè)這個兩位數(shù)是，那么，且是整數(shù)，，當(dāng)時，取到最小，即最小，此時兩位數(shù)是.(2)當(dāng)取到的任一整數(shù)時，取到最大值，即最大，此時兩位數(shù)可以是共9個數(shù).22．設(shè)，已知函數(shù)過點，且函數(shù)的對稱軸為.(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)若，函數(shù)的最大值為，最小值為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)函數(shù)過點及二次函數(shù)的對稱軸，得到方程組，解得、即可求出函數(shù)解析式；（2）將函數(shù)配成頂點式，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值.（1）解：依題意，解得，所以；（2）解：由（1）可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，，即、，所以.23．求函數(shù)，的最大值與最小值.【答案】最大值，最小值【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得出其最值.【詳解】函數(shù)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.當(dāng)時取到最小值.又當(dāng)時，，當(dāng)時，所以當(dāng)時取到最大值，所以函數(shù)的最大值，最小值24．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】最大值，最小值【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，求函數(shù)的最值.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上遞減，則，所以最大值，最小值.【能力提升】一、單選題1．已知函數(shù)，若對任意，都有，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將已知函數(shù)整理得，令，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得，將不等式等價于，求解即可.【詳解】解：由已知得，令，因為，所以，所以，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，所以對任意，，所以對任意，都有，等價于，即，解得或，所以實數(shù)m的取值范圍是，故選：B.2．已知函數(shù)對任意，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對任意，，存在，，使得，的值域是值域的子集，求出在區(qū)間，上的值域和在區(qū)間，上的值域，再討論取值即可．【詳解】解：因為在區(qū)間，上滿足：，；，所以在，上單調(diào)遞增，所以，，又因為，所以，當(dāng)時顯然成立；所以當(dāng)時，，即，因為，，所以不成立，舍去；當(dāng)時，對成立，只需滿足，即，解得，綜上所述的范圍為．故選：C．3．已知函數(shù)，，則以下結(jié)論正確的是A．任意的，且，都有B．任意的，且，都有C．有最小值，無最大值D．有最小值，無最大值【答案】D【分析】A：根據(jù)函數(shù)解析式直接判斷的單調(diào)性，可判斷對錯；B：利用奇偶性判斷的單調(diào)性，即可判斷對錯；C：利用奇偶性和單調(diào)性判斷最值情況；D：利用奇偶性和單調(diào)性判斷最值情況.【詳解】A：在上均是增函數(shù)，所以是上增函數(shù)，故錯誤；B：因為，所以是偶函數(shù)，所以在上不可能是減函數(shù)，故錯誤；C：因為，所以是奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)，所以無最值，故錯誤；D：任意的，且，所以，因為，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，因為是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，無最大值，故正確.故選D.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性的綜合應(yīng)用，難度一般.奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同的，并且在對稱區(qū)間上如果有最值，則最值互為相反數(shù)；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，并且在對稱區(qū)間上如果有最值，則最值相等.4．函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值A(chǔ)．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)【答案】B【詳解】因為最值在中取，所以最值之差一定與無關(guān)，選B．【名師點睛】對于二次函數(shù)的最值或值域問題，通常先判斷函數(shù)圖象對稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合圖象，當(dāng)函數(shù)圖象開口向上時，若對稱軸在區(qū)間的左邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若對稱軸在區(qū)間的右邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)圖象頂點的縱坐標(biāo)為最小值，區(qū)間端點距離對稱軸較遠(yuǎn)的一端取得函數(shù)的最大值．5．已知函數(shù)，若，恒有，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)恒成立問題，直接求最值利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得；或利用參變分離法，利用基本不等式求最值即得.【詳解】解法一：若，恒有，只需，設(shè)函數(shù)在上的最小值為，則（1）當(dāng)，即時，，即，所以；（2）當(dāng)，即時，，即，所以此時不滿足題意；（3）當(dāng)，即時，，所以，即，得，則.綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選：B.解法二：若，恒有，即對任意恒成立，所以對任意的恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.6．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分和，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出函數(shù)的最大值，并結(jié)合得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.①當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；②當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，函數(shù)在或處取得最大值，由于，所以，，即，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故選D.【點睛】本題考查二次函數(shù)的最值問題，屬于定軸動區(qū)間型，解題時要分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，借助單調(diào)性求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、多選題7．已知函數(shù)和的零點所構(gòu)成的集合分別為M，N，若存在，，使得，則稱與互為“零點伴侶”．若函數(shù)與互為“零點伴侶”，則實數(shù)a的取值不能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【分析】首先確定函數(shù)的零點，然后結(jié)合新定義的知識得到關(guān)于a的等式，分離參數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，且，所以，結(jié)合“零點伴侶”的定義得，則，又函數(shù)在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上存在實數(shù)根，整理得，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以函數(shù)的值域為，所以實數(shù)a的取值范圍是．故選：AD．8．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．單調(diào)遞增區(qū)間為C．最大值為2 D．沒有最小值【答案】ABC【分析】先求出函數(shù)定義域，令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由已知解析式，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由得，即函數(shù)的定義域為，令，則的圖象是開口向下，對稱軸為x＝－1的拋物線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A，B正確；，當(dāng)x＝－3時，，當(dāng)x＝1時，，則，故C正確，D錯誤.故選：ABC.9．已知函數(shù)的定義域為A，若對任意，存在正數(shù)M，使得成立，則稱函數(shù)是定義在A上的“有界函數(shù)”.則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是（

）A．

B．C．

D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意計算每個函數(shù)的值域，再分析是否有界即可.【詳解】對于A，，由于，所以，所以，故不存在正數(shù)M，使得成立.對于B，令，則，，當(dāng)時，u取得最大值4，所以，所以，故存在正數(shù)2，使得成立.對于C，令，則，易得，所以，即，故存在正數(shù)5，使得成立.對于D，令，則，，則，易得，所以，故不存在正數(shù)M，使得成立.故選：BC10．以表示值域為的函數(shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)，存在一個正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間．例如，當(dāng)，時，，．則下列命題中正確的是：A．設(shè)函數(shù)的定義域為，則“”的充要條件是“，，”B．函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值C．若函數(shù)，的定義域相同，且，，則D．若函數(shù)有最大值，則【答案】ACD【分析】A選項中，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域的定義，轉(zhuǎn)化成用簡易邏輯語言表示出來；B選項中舉反例保證函數(shù)的值域為集合的子集，但值域是一個開區(qū)間，從而說明函數(shù)沒有最值；C選項中從并集的角度認(rèn)識函數(shù)值域，可以發(fā)現(xiàn)，從而發(fā)現(xiàn)命題正確；D選項中從極限的角度證明，均不成立，所以，再求出函數(shù)的值域為，從而得到命題D正確.【詳解】對A，“”即函數(shù)值域為，“，，”表示的是函數(shù)可以在中任意取值，故有：設(shè)函數(shù)的定義域為，則“”的充要條件是“，，”，命題A是真命題；對B，若函數(shù)，即存在一個正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間．．例如：函數(shù)滿足，則有，此時，無最大值，無最小值．命題B“若函數(shù)，則有最大值和最小值．”是假命題；對C，若函數(shù)，的定義域相同，且，，則值域為，，并且存在一個正數(shù)，使得，，則．命題C是真命題．對D，函數(shù)有最大值，假設(shè)，當(dāng)時，，，，則，與題意不符；

假設(shè)，當(dāng)時，，，，則，與題意不符.，即函數(shù)，當(dāng)時，，，即；當(dāng)時，；當(dāng)時，，，即．，即，故命題D是真命題．故選ACD.【點睛】本題以新定義概念為問題背景，考查函數(shù)值域的概念、基本不等式、充要條件、雙勾函數(shù)等知識的綜合，還考查了極限思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的綜合應(yīng)用，計算量較大，有一定的思維難度，屬于難題．三、填空題11．設(shè)函數(shù)若存在最小值，a的取值范圍___________.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值再求解即可.【詳解】若時，，∴；若時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：12．若函數(shù)與同在一個區(qū)間內(nèi)取同一個自變量時，同時取得相同的最小值，則稱這兩個函數(shù)為“兄弟函數(shù)”，已知函數(shù)與是定義在區(qū)間上的“兄弟函數(shù)”，那么在區(qū)間上的最大值是___________.【答案】【分析】利用基本不等式求出的最小值及對應(yīng)的的值，根據(jù)“兄弟函數(shù)”的定義可知在區(qū)間上最小值為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出、的值，即可得到的解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，當(dāng)時，取最小值．函數(shù)與同在一個區(qū)間內(nèi)取同一個自變量時，同時取得相同的最小值，則稱這兩個函數(shù)為“兄弟函數(shù)”，函數(shù)在區(qū)間上最小值為．點為拋物線的頂點．，．．在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．，，在區(qū)間上的最大值是．故答案為：．13．已知函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的值為____．【答案】或【分析】分類討論a的取值范圍，去掉絕對值符號，確定函數(shù)的最小值，解方程求得a的值.【詳解】當(dāng)，即時，，結(jié)合其圖象：可知，所以或（舍）;當(dāng)，即時，，則，所以或（舍）,綜上得或,故答案為：或14．已知函數(shù)，若是的最大值，則實數(shù)t的取值范圍是______．【答案】【分析】先求出時最大值為，再由是的最大值，解出t的范圍.【詳解】當(dāng)時，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在時取得最大值；當(dāng)時，，且是的最大值，所以，解得：.故答案為：15．已知函數(shù)有如下性質(zhì)：若常數(shù)，那么函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．若函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最小值為7，則實數(shù)m的值是______．【答案】6【分析】首先利用換元，令，求的值域，再分類討論的取值，利用函數(shù)的最小值，求的值.【詳解】令，則其在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，4]上是增函數(shù)，所以．令，則在區(qū)間[4，5]上的最小值為7．當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，（舍去）；當(dāng)時，．綜上，實數(shù)m的值是6．故答案為：616．已知函數(shù)，若對于，不等式恒成立，則正整數(shù)的最小值為__________.【答案】3034【分析】先利用定義判定函數(shù)在上的單調(diào)遞增，得到當(dāng)時，；并利用分子實數(shù)化變形和不等式放縮得到時，，進(jìn)而得到的取值范圍是，然后利用不等式恒成立的意義得到，從而求得的取值范圍，得到的最小值.【詳解】設(shè)，則，又∵，同理，∴，∴，即，∴在[1，+∞)上單調(diào)遞增，又∵，∴當(dāng)時，；又∵時，，∴時，，且當(dāng)趨近于時，無限趨近于，∵，∴的取值范圍是，為使不等式恒成立，必須且只需，∴，∴正整數(shù)的最小值為3034，故答案為：3034.【點睛】本題難點在于利用分子有理化方法進(jìn)行恒等變形，并利用放縮法得到有關(guān)不等關(guān)系，進(jìn)而證明函數(shù)的單調(diào)性和求得函數(shù)的值域.17．已知常數(shù)，函數(shù)、的表達(dá)式分別為、．若對任意，總存在，使得，則a的最大值為______．【答案】【分析】求出函數(shù)在上的最大值，分類探討函數(shù)在上的最大值，再根據(jù)給定條件列出不等式求解判斷作答.【詳解】依題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，因?qū)θ我?，總存在，使得，則存在，成立，則當(dāng)時，成立，而函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，在上的最大值只能在上取得而當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，，由解得，于是得，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，此時不存在使得成立，綜上得，即，所以a的最大值為.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)，，若，，有成立，則.四、解答題18．函數(shù),，，其中，記函數(shù)的最大值減去最小值的差為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象并指出的最小值．【答案】(1)(2)圖象見解析，最小值為.【分析】（1）分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最大、最小值后可得；（2）根據(jù)解析式作出圖象，根據(jù)圖象可求出最小值.(1),當(dāng)時，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，若，即時，，，若，即時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，綜上所述：.(2)圖象如圖：由圖可知，當(dāng)時，取得最小值為.19．已知函數(shù)有如下性質(zhì)：若常數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(1)已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；(2)對于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的值．【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，值域為．(2)【分析】（1）令，，將化為，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)區(qū)間和值域（2）由題意可得的值域是的值域的子集，結(jié)合（1）的值域和一次函數(shù)的單調(diào)性可得的值域，可得的不等式，解不等式可得所求范圍（1）．設(shè)，，則，．由已知性質(zhì)，得當(dāng)，即時，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)，即時，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．由，，，得的值域為．（2）因為在上單調(diào)遞減，所以．由題意，得的值域是的值域的子集，所以，所以．20．已知函數(shù)(常數(shù)).(1)若，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖像;(2)若該函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，且在上存在自變量，使得函數(shù)值為正，求整數(shù)的值.【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）先對函數(shù)化簡，再列表，描點，連線可得函數(shù)圖像，（2）由函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得，再由在上存在自變量，使得函數(shù)值為正，可得在上有解，從而可求出的范圍，進(jìn)而可得整數(shù)的值.（1）當(dāng)時，，列表如下：……0…………032……函數(shù)圖像如下：（2），任取，且，因為該函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，因為，所以，因為所以，得，因為在上存在自變量，使得函數(shù)值為正，所以在上有解，因為，所以在上有解，所以在上有解，所以，因為在上遞增，所以當(dāng)時，取得最小值為，所以，綜上，因為，所以或21．已知函數(shù).(1)當(dāng)，且時，求的取值范圍；(2)是否存在正實數(shù)a，，使得函數(shù)在上的取值范圍是.若存在，則求出a，b的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，，【分析】（1）根據(jù)條件得到的關(guān)系，代入消去得到關(guān)于的函數(shù)，求其最值即可；（2）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)a，b，且，分a，，a，，，討論，列方程組求解.(1)因為，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由且，可得且，故.令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍是.(2)存在滿足條件的實數(shù)a，b，理由如下：假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)a，b，且.①當(dāng)a，時，在上單調(diào)遞減，則由，即，解得ab=1，因為a，，故此時不存在符合條件的實數(shù)a，b.②當(dāng)a，時，在上單調(diào)遞增.則由，即，所以a，b是方程得或，所以，此時存在符合條件的實數(shù)，.③當(dāng)，時，由于，而，故此時不存在符合條件的實數(shù)a，b.綜上所述，存在符合條件的實數(shù)，.22．在①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面問題的橫線中，并求解該問題．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)若______，，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解其值域，（2）若選條件①，求出拋物線的對稱軸，分，和三種情況求出函數(shù)的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a的取值范圍，若選條件②，則，由拋物線的性質(zhì)可得或，從而可求出a的取值范圍.（1）當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，∴函數(shù)在區(qū)間上的值域為．（2）方案一：選條件①．由題意，得．若，即，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，解得，又，∴a＝4．若，即，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，解得，∴．若，即，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，解得，又，∴a＝－4．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．方案二：選條件②．∵，，∴，∵函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，最大值只可能在區(qū)間端點處取得．∴或，解得或，∴．故實數(shù)a的取值范圍為．23．已知函數(shù)（）.(1)當(dāng)時，求的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時，的最大值為，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為和(2)【分析】（1）當(dāng)時，分和兩種情況去絕對值，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析即可；（2）分和兩種情況去絕對值，再分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的最值分析即可（1）當(dāng)時，，因為的對稱軸為，當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞增，因為對稱軸為，當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以增區(qū)間：和；（2），①若，則；②若，則（i）當(dāng)時，即，所以，因為，所以舍去；當(dāng)時，，（ii）當(dāng)時