自動控制原理華中科技大學控制科學與工程系緒論自動控制系統(tǒng)基本概念及術(shù)語自動控制系統(tǒng)的分類對控制系統(tǒng)的基本要求本門課的內(nèi)容自動控制的發(fā)展簡史1.1什么是自動控制系統(tǒng)自動

不需要人的介入控制

達到人想要達到的某種目的自動控制

在脫離人的直接干預下，利用控制裝置，使被控對象按照預定的規(guī)律運行。自動控制系統(tǒng)將被控的對象和實現(xiàn)控制功能的控制裝置組合起來稱為自動控制系統(tǒng)1.2自動控制系統(tǒng)舉例水位人工控制系統(tǒng)控制目的：水箱的水位保持不變?nèi)斯た刂疲貉劬τ^察水位，大腦發(fā)命令，手調(diào)節(jié)閥1.2自動控制系統(tǒng)舉例1.2.1水位自動控制系統(tǒng)控制目的：水箱的水位保持不變生活中的例子： 茶水爐、鍋爐、儲料罐影響水位的因素： 物料的流入（主動控制） 物料的流出（負載變化）當流入流出不平衡時水位發(fā)生變化自動控制：儀器測量水位（浮子） 儀器發(fā)命令（控制器）儀器調(diào)節(jié)閥（氣動閥門）術(shù)語：水箱稱為被控對象，所有儀器合稱為控制裝置。1.2自動控制系統(tǒng)舉例1.2.2電動機速度自動控制系統(tǒng)一控制目的電動機的速度保持不變影響電動機速度的因素電機的電樞電壓決定電機的轉(zhuǎn)速，負載大小問題負載變化會改變轉(zhuǎn)速

電機及負載稱為被控對象生活中的例子： 機床（紡紗機、車床等），傳送帶1.2自動控制系統(tǒng)舉例1.2.3電動機速度自動控制系統(tǒng)二控制目的電動機的速度保持不變與系統(tǒng)一不同之處檢測電動機的速度希望解決的問題當負載發(fā)生變化時，速度不變自動控制測量速度，進行比較，改變電位器位置優(yōu)點當負載發(fā)生變化時，速度改變，能自動調(diào)節(jié)速度與系統(tǒng)一不同之處加入了測量速度，并送到輸入端1.2自動控制系統(tǒng)舉例1.2.4機器人控制系統(tǒng)控制目的：將工件放在正確的位置原理：測量（攝像機） 比較（控制器） 執(zhí)行（執(zhí)行器—機械手）總結(jié)系統(tǒng)組成：被控對象和控制裝置（測量儀表或執(zhí)行機構(gòu)或控制器）方框：代表功能模塊方框圖帶箭頭的線段：代表信號傳遞方向控制器執(zhí)行器被控對象被控參數(shù)參考輸入控制系統(tǒng)通常用方框圖表示典型的控制系統(tǒng)方框圖：被控對象（也稱被控過程、被控系統(tǒng)）通常是一個設(shè)備，多數(shù)由一些機器零件有機地組合在一起，完成特定的操作。被控參數(shù)（也稱為系統(tǒng)輸出）體現(xiàn)系統(tǒng)控制目的的物理量。（水位、速度等）控制參數(shù)由控制器改變的量，對被控參數(shù)有較好的調(diào)節(jié)能力。（閥門開度、電樞電壓等）系統(tǒng)輸入作用于被控對象或系統(tǒng)輸入端，并可使系統(tǒng)具有預定功能或預定輸出的物理量。（給定水位，電位器滑桿位置）擾動是一種對系統(tǒng)的輸出量產(chǎn)生影響的信號。（水箱出水、負載等）1.3

基本概念

1.3.1

術(shù)語和定義回顧電動機速度自動控制系統(tǒng)一開環(huán)控制：輸出量對輸入量(控制作用)沒有影響的系統(tǒng)。電動機速度控制系統(tǒng)二與系統(tǒng)一的區(qū)別是：對系統(tǒng)輸出進行了測量，而且將測量的輸出送到輸入端，并與參考輸入形成偏差，通過偏差進行控制。1.3.2開環(huán)控制和閉環(huán)控制電位器功率放大器電動機電樞電壓電位器電壓電位器滑桿位置轉(zhuǎn)速電位器測速發(fā)電機電樞電壓電位器電壓滑桿位置轉(zhuǎn)速控制器電動機電位器轉(zhuǎn)速給定值功率放大器負反饋：反饋的加入，使偏差越來越小。正反饋：反饋的加入，使偏差越來越大。（振蕩發(fā)生器）最大的特點： 消除偏差； 使系統(tǒng)對參數(shù)不敏感。將輸出量反送到輸入端，與輸入端形成偏差稱之為反饋閉環(huán)控制

將輸出量與參考輸入量進行比較，并且將它們的偏差作為控制手段，以保持兩者之間預定關(guān)系的系統(tǒng)。也稱為反饋控制系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)中主要采用負反饋。1.3.2開環(huán)控制和閉環(huán)控制開環(huán)控制和閉環(huán)控制的比較性能開環(huán)控制閉環(huán)控制有無反饋無有精度低高穩(wěn)定性不改變穩(wěn)定性可能改變穩(wěn)定性經(jīng)濟型成本低成本高實例交通紅綠燈電機速度系統(tǒng)一水位控制電機速度系統(tǒng)二溫度控制1.3.2開環(huán)控制和閉環(huán)控制1.4.1按結(jié)構(gòu)分閉環(huán)控制系統(tǒng)復合控制系統(tǒng)開環(huán)控制系統(tǒng)1.4控制系統(tǒng)的分類被控參數(shù)參考輸入控制器執(zhí)行器被控對象被控對象偏差被控參數(shù)參考輸入控制器執(zhí)行器測量儀表控制器偏差被控參數(shù)測量儀表參考輸入擾動信號執(zhí)行器被控對象補償裝置定值控制：參考輸入為一個恒定的值。如水位控制、速度控制等。程序控制：參考輸入為一個已知的時間函數(shù)。如全自動洗衣機、熱處理過程等，隨動控制：參考輸入為一個隨機變化的函數(shù)?；鹋诟櫹到y(tǒng)等1.4.2按輸入信號的變化規(guī)律分1.4.3按系統(tǒng)中傳遞信號的特點分連續(xù)系統(tǒng)：系統(tǒng)中傳遞的信號都是時間軸上連續(xù)的信號。離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中某一處或幾處信號為脈沖序列或時間軸上不連續(xù)的信號。典型的如計算機控制系統(tǒng)。1.4控制系統(tǒng)的分類線性系統(tǒng):

組成系統(tǒng)的所有元件或子系統(tǒng)都是線性的。非線性系統(tǒng)： 系統(tǒng)中至少有一個元件或子系統(tǒng)是非線性的。1.4.4按系統(tǒng)特點分1.4控制系統(tǒng)的分類1.4.5按系統(tǒng)輸入輸出數(shù)量分單輸入單輸出（經(jīng)典控制理論）多輸入多輸出（現(xiàn)代控制理論）1.4.6按系統(tǒng)功能分溫度控制、速度控制、位置控制1.4.7按組成元件的特點分機械系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)1.4.8按控制規(guī)律分古典控制、現(xiàn)代控制系統(tǒng)、模糊系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)1.4控制系統(tǒng)的分類建立控制系統(tǒng)的目的保證系統(tǒng)輸出具有控制輸入指定的數(shù)值保證系統(tǒng)輸出盡量不受擾動的影響對系統(tǒng)的具體要求1、系統(tǒng)穩(wěn)定性2、系統(tǒng)動態(tài)快速性1.5自控系統(tǒng)的要求和本門課程的任務(wù)K=1K=41.5自控系統(tǒng)的要求和本門課程的任務(wù)3、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的準確性1.5自控系統(tǒng)的要求和本門課程的任務(wù)本課程的任務(wù)：研究一種方法（或理論）來指導構(gòu)筑一個控制系統(tǒng)具體：設(shè)計控制裝置以達到改變原系統(tǒng)的目的本課程的內(nèi)容安排反過來看：3、設(shè)計控制器（系統(tǒng)設(shè)計或系統(tǒng)綜合）2、了解某種控制器對系統(tǒng)輸出的影響（系統(tǒng)分析）1、了解各種元器件或子系統(tǒng)的運動規(guī)律、動力學方程（建立數(shù)學模型）1.5自控系統(tǒng)的要求和本門課程的任務(wù)第二章建立數(shù)學模型第三章——第五章三種系統(tǒng)分析方法（時域分析、根軌跡、頻域）第六章系統(tǒng)設(shè)計1.6本課程的內(nèi)容最初的閉環(huán)自動控制裝置是1788年瓦特（J.Watt）發(fā)明的飛錘調(diào)速器的研究。四個階段：經(jīng)典控制理論階段現(xiàn)代控制理論階段大系統(tǒng)控制理論階段智能控制階段

1.7自動控制的發(fā)展簡史1868年麥克斯韋爾（J.C.Maxwell）基于微分方程描述從理論上給出了它的穩(wěn)定性條件。1877年勞斯（E.J.Routh）,1895年霍爾維茨（A.Hurwitz）分別獨立給出了高階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)；1892年，李雅普諾夫（A.M.Lyapunov）給出了非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。在同一時期，維什哥熱斯基（I.A.Vyshnegreskii）也用一種正規(guī)的數(shù)學理論描述了這種理論。1922年米羅斯基(N.Minorsky)給出了位置控制系統(tǒng)的分析，并對PID三作用控制給出了控制規(guī)律公式。1942年，齊格勒（J.G.Zigler）和尼科爾斯(N.B.Nichols)又給出了PID控制器的最優(yōu)參數(shù)整定法。上述方法基本上是時域方法。經(jīng)典控制理論階段（以傳遞函數(shù)作為系統(tǒng)數(shù)學模型）

1932年柰奎斯特(Nyquist)提出了負反饋系統(tǒng)的頻率域穩(wěn)定性判據(jù)。1940年，波德(H.Bode)進一步研究通信系統(tǒng)頻域方法，提出了頻域響應(yīng)的對數(shù)坐標圖描述方法。頻域分析法主要用于描述反饋放大器的帶寬和其他頻域指標。1943年，霍爾(A.C.Hall)利用傳遞函數(shù)（復數(shù)域模型）和方框圖，把通信工程的頻域響應(yīng)方法和機械工程的時域方法統(tǒng)一起來，人們稱此方法為復域方法。1948年伊文斯（W.Evans）又進一步提出了屬于經(jīng)典方法的根軌跡設(shè)計法，它給出了系統(tǒng)參數(shù)變換與時域性能變化之間的關(guān)系?？偨Y(jié)：經(jīng)典控制理論的分析方法為復數(shù)域方法,以傳遞函數(shù)作為系統(tǒng)數(shù)學模型，優(yōu)點:可通過試驗方法建立數(shù)學模型，物理概念清晰，。缺點:只適應(yīng)單變量線性定常系統(tǒng)，對系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)缺少了解。返回1954年貝爾曼(R.Bellman)的動態(tài)規(guī)劃理論，1956年龐特里雅金(L.S.Pontryagin)的極大值原理，1960年卡爾曼（R.E.Kalman）的多變量最優(yōu)控制和最優(yōu)濾波理論?，F(xiàn)代頻域方法，自適應(yīng)控制理論和方法、魯棒控制方法等。總結(jié)狀態(tài)空間方法屬于時域方法，其核心是最優(yōu)化技術(shù)。它以狀態(tài)空間描述（實質(zhì)上是一階微分或差分方程組）作為數(shù)學模型，。適應(yīng)于多變量、非線性、時變系統(tǒng)返回現(xiàn)代控制理論階段（以狀態(tài)空間表達式為模型）20世紀70年代，隨著控制理論應(yīng)用范圍的擴大，人們開始了對大系統(tǒng)理論的研究。大系統(tǒng)理論是過程控制與信息處理相結(jié)合的綜合自動化理論基礎(chǔ)，是動態(tài)的系統(tǒng)工程理論，具有規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復雜、功能綜合、目標多樣、因素眾多等特點。它是一個多輸入、多輸出、多干擾、多變量的系統(tǒng)。大系統(tǒng)理論目前仍處于發(fā)展和開創(chuàng)性階段。返回大系統(tǒng)控制理論階段智能控制依據(jù)人的思維方式和處理問題的技巧，解決那些目前需要人的智能才能解決的復雜的控制問題。被控對象的復雜性體現(xiàn)為:模型的不確定性，高度非線性，分布式的傳感器和執(zhí)行器，動態(tài)突變，多時間標度，復雜的信息模式，龐大的數(shù)據(jù)量，以及嚴格的特性指標等。環(huán)境的復雜性則表現(xiàn)為變化的不確定性和難以辨識。試圖用傳統(tǒng)的控制理論和方法去解決復雜的對象，復雜的環(huán)境和復雜的任務(wù)是不可能的。智能控制的方法包括模糊控制，神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)控制，專家控制等方法。返回智能控制階段本章首先介紹了什么是自動控制，介紹了自動控制理論中常用的術(shù)語：被控對象，參考輸入信號（給定值信號），擾動、偏差信號、被控量、控制量和自動控制系統(tǒng)等。開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)。本章還介紹了自動控制系統(tǒng)的若干分類方法本章介紹了對自動控制系統(tǒng)的性能要求，即穩(wěn)定性、快速性和準確性。本章最后一節(jié)介紹了自動控制理論發(fā)展的四個階段，即經(jīng)典控制理論，現(xiàn)代控制理論，大系統(tǒng)理論和智能控制理論階段。本章小結(jié)ThankYou!自動控制原理華中科技大學控制科學與工程系2

線性系統(tǒng)的數(shù)學模型

系統(tǒng)的微分方程非線性數(shù)學模型的線性化線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.1系統(tǒng)的微分方程

在實際應(yīng)用中，絕大多數(shù)控制系統(tǒng)在一定的限制條件下，都可以用線性微分方程來描述。用解析法列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟為：根據(jù)實際工作情況，確定系數(shù)和各元件的輸入、輸出變量。從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理、化學定理，列寫出動態(tài)方程，一般為微分方程。消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程。標準化。例2-1

設(shè)一彈簧、質(zhì)量塊、阻尼器組成的系統(tǒng)如圖所示，當外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運動。試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的微分方程。kF(t)mfy(t)解：若彈簧恢復力F2(t)和阻尼器阻力F1(t)與外力F(t)不能平衡，則質(zhì)量塊將產(chǎn)生加速運動，其速度和位移發(fā)生變化。根據(jù)牛頓定理有:式中f—阻尼系數(shù),k—彈性系數(shù)由以上所列方程中消去中間變量：2.2非線性數(shù)學模型的線性化在一定條件下或在一定范圍內(nèi)把非線性的數(shù)學模型化為線性模型的處理方法稱為非線性數(shù)學模型的線性化。飽和非線性xy在工程實際中，控制系統(tǒng)都有一個額定的工作狀態(tài)和工作點，當變量在工作點附近作小范圍的變化,且變量在給定的區(qū)域間有各階導數(shù)時，便可在給定工作點的鄰域?qū)⒎蔷€性函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，忽略級數(shù)中高階無窮小項后，就可得到只包含偏差的一次項的線性方程。這種線性化方法稱為小偏差法。例如，設(shè)非線性函數(shù)y=f(x)如圖所示，其輸入量為x，輸出量為y，如果在給定工作點y0=f(x0)處各階導數(shù)均存在，在y0=f(x0)附近將y展開成泰勒級數(shù)：y=f(x)y0x0xy小偏差線性化示意圖如果偏差Δx=x-x0很小，則可忽略級數(shù)中高階無窮小項，上式可寫為

K表示y=f(x)曲線在(x0,y0)處切線的斜率。因此非線性函數(shù)在工作點處可以用該點的切線方程線性化。2.3.1傳遞函數(shù)的定義

線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。若線性定常系統(tǒng)的微分方程為在初始條件為零時，對上式進行拉氏變換，得2.3線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2.3.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)

1.傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號的能力，反映系統(tǒng)本身的動態(tài)特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號和初始條件無關(guān)。

2.傳遞函數(shù)是復變量s的有理分式函數(shù)，其分子多項式的次數(shù)m低于或等于分母多項式的次數(shù)n，即m≤n。且系數(shù)均為實數(shù)。

3.在同一系統(tǒng)中，當選取不同的物理量作為輸入、輸出時，其傳遞函數(shù)一般也不相同。傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)。

4.傳遞函數(shù)的定義只適用于線性定常系統(tǒng)。常把傳遞函數(shù)分解為一次因式的乘積式中的K稱為傳遞函數(shù)的增益或傳遞系數(shù)（放大系數(shù)）。zj(j=1.2.…m)為分子多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點。Pi(1.2.…n)為分母多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點。傳遞函數(shù)的分母多項式就是相應(yīng)微分方程式的特征多項式，令該分母多項式等于零，就可得到相應(yīng)微分方程的特征方程。2.3.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量的變化。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)。其數(shù)學方程為式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量，K為放大系數(shù)（或增益）。1.比例環(huán)節(jié)2.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其輸入、輸出間的微分方程為式中T為時間常數(shù)，K為比例系數(shù)慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時間上延遲，時間常數(shù)愈大慣性愈大，延遲時間也愈長，時間常數(shù)T表征了該環(huán)節(jié)的慣性。

在單位階躍輸入時慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函數(shù)變化的。當t=3T～4T時，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。3.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的微分方程是積分環(huán)節(jié)的輸出量是與其輸入量的積分成比例的。由積分環(huán)節(jié)的微分方程求得其單位階躍響應(yīng)為

c(t)=Kt單位階躍響應(yīng)的斜率為K，如右圖所示。c(t)t0式中K=1/T，稱為積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，T稱為積分時間常數(shù)。4.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是當輸入為單位階躍函數(shù)時，可用拉氏反變換求得環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)，如右圖所示。c(t)10t式中T--時間常數(shù)，

--阻尼比，對振蕩環(huán)節(jié)有0≤<15.微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的微分方程為式中為微分時間常數(shù)。理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為這是一個強度為的理想脈沖。在實際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。6.純滯后環(huán)節(jié)

當輸入作用到環(huán)節(jié)以后，其輸出量要等待一段時間后，才能復現(xiàn)輸入信號，在時間0到的時間內(nèi)，輸出量為零，這種具有延時效應(yīng)的環(huán)節(jié)稱為純滯后環(huán)節(jié)。純滯后環(huán)節(jié)的數(shù)學表達式為

式中為純滯后時間。當輸入信號為下圖(a)所示的單位階躍函數(shù)時，其響應(yīng)曲線如下圖(b)所示。r(t)1t0(a)tc(t)10

(b)2.3.4控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

對于簡單控制系統(tǒng)，在求取傳遞函數(shù)時，可采用直接計算法。即先列寫系統(tǒng)的微分方程，再由拉氏變換求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解

根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式例2-2設(shè)下圖所示電路中，輸入電壓為ur,輸出電壓為u0，試寫出其傳遞函數(shù)。uru0C1i2R1i1iR2C2在零初始條件下，對上式進行拉氏變換，得消去中間變量，得到輸入、輸出的微分方程式由此得出該電路的傳遞函數(shù)為在上述計算過程中，如果先對所列寫的微分方程組作拉氏變換，再消去中間變量，可簡化計算。在零初始條件下，對方程組取拉氏變換，得到消去中間變量可得)(1)()()()()()]()([)()]()([1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr+=+=-=-=2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學圖形，它表示系統(tǒng)中各變量所進行的數(shù)學運算和輸入、輸出之間的因果關(guān)系。采用結(jié)構(gòu)圖，不僅能方便地求取復雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而且能形象直觀地表明信號在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。2.4.1結(jié)構(gòu)圖的組成

把各環(huán)節(jié)或元件的傳遞函數(shù)填在系統(tǒng)原理方塊圖的方塊中，并把相應(yīng)的輸入、輸出信號分別以拉氏變換來表示，就可以得到傳遞函數(shù)方塊圖，這種圖形既說明了信號之間的數(shù)學物理關(guān)系，又描述了系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)，因此稱之為系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，簡稱為結(jié)構(gòu)圖。

信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，且信號只能單向傳輸。

方塊單元：即一個元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)方塊圖，該方塊可以對信號進行數(shù)學變換，其變換關(guān)系為

G(s)xr(s)xc(s)方塊單元

信號比較點：表示兩個或多個信號在此代數(shù)相加。信號比較點的運算關(guān)系為xr2xr1(s)xr3(s)xc(s)±±±

信號引出點：表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同。x(s)x(s)2.4.2結(jié)構(gòu)圖的畫法

繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟如下：

1.列寫出系統(tǒng)各元件的微分方程。在建立方程時應(yīng)分清各元件的輸入量、輸出量，同時應(yīng)考慮相鄰元部件之間是否有負載效應(yīng)。

2.在零初始條件下，對各微分方程進行拉氏變換，并將變換式寫成標準形式。

3.由標準變換式利用結(jié)構(gòu)圖的四個基本單元，分別畫出各元部件的結(jié)構(gòu)圖。

4.按照系統(tǒng)中信號的傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，便可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。例2-3在例2－2所示的濾波電路中，若以電壓ur為輸入，電壓uc為輸出，試畫出其結(jié)構(gòu)圖。

urR1R2ucC2C1i1i2例2-2題電路圖解2、將上述方程整理1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)---3.按照信號傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。2.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換1.串聯(lián)連接方式的等效變換

前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量的連接稱為環(huán)節(jié)的串聯(lián)。如下圖所示:G1(s)G2(s)G3(s)R1(s)R2(s)R3(s)R4(s)G(s)R1(s)R4(s)2.并聯(lián)連接方式的等效變換輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱為并聯(lián)。如下圖所示:G1(s)G2(s)G3(s)C2(s)C3(s)+++C(s)R(s)C1(s)并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)3.反饋連接方式的等效變換

將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出反饋到輸入端與輸入信號進行比較，就構(gòu)成了反饋連接。G(s)H(s)E(s)B(s)-R(s)C(s)4.分支點的移動規(guī)則將分支點跨越元件方塊圖移動時，必須遵循移動前后所得的分支信號保持不變的等效原則。G(s)1/G(s)BR(s)C1(s)C2(s)移動前后的分支輸出信號不變，達到了等效變換的目的。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)G(s)G(s)AR(s)C1(s)C2(s)

分支點移動的規(guī)則為：若分支點從一個方塊圖的輸入端移到其輸出端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。若分支點從一方塊圖的輸出端移到其輸入端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)5.比較點的移動規(guī)則如圖(a)所示，當比較點在A處時，總輸出量為

C(s)=G(s)[R1(s)-R2(s)]當比較點移到B處時，必須使兩個輸入都經(jīng)過元件方塊圖后再相加，如圖(b)所示，此時

C(s)=G(s)R1(s)-G(s)R2(s)與移動前相等，因而兩圖是等效的。G(s)AR1(s)R2(s)-C(s)BG(s)G(s)R1(s)R2(s)BC(s)-(a)(b)

當綜合點之間相互移動時，如下圖所示，因為三者輸出都為

C(s)=R1(s)-R2(s)-R3(s)故它們都是等效的。R2(s)R1(s)R2(s)R3(s)--E1C(s)R1(s)R3(s)R1(s)R3(s)R2(s)----C(s)C(s)(a)(b)(c)可見，互換綜合點的位置，不會影響總的輸入輸出關(guān)系。2.4.4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化

例2-4

簡化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)--++R(s)C(s)解這是一個沒有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱為局部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡化時不需要將分支點和綜合點作前后移動?？砂春唵未?、并聯(lián)和反饋連接的簡化規(guī)則，從內(nèi)部開始，由內(nèi)向外逐步簡化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)--C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)梅遜公式一般形式為2.4.5用梅遜(S.J.Mason)公式求傳遞函數(shù)式。條前向通路的特征余子余下的部分，稱為第所在項除去后所條前向通路接觸的回路中，將與第—在—條前向通路傳遞函數(shù)?！凇?。路的回路傳遞函數(shù)乘積—所有三個互不接觸回—之和。路的回路傳遞函數(shù)乘積—所有兩兩互不接觸回—數(shù)之和?！胁煌芈穫鬟f函—其中稱為特征式，且為待求的總傳遞函數(shù)。式中kkkPkkDD????例2-5用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC----解圖中共有四個不同回路，其回路傳遞函數(shù)分別為故∑Li=L1+L2+L3+L4

在上述四個回路中，互不接觸回路有：L2、L3，它們之間沒有重合的部分，因此有∑LiLj=L2L3=(-G2G3H2)(－G4G5H3)=G2G3G4G5H2H3

圖中沒有三個互不接觸回路，故∑LiLjLK=0可得特征式圖中只有一條前向通路，且該前向通路與四個回路均接觸，所以注意

應(yīng)用梅遜公式可以方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而不必進行結(jié)構(gòu)圖變換。但當結(jié)構(gòu)圖較復雜時，容易遺漏前向通路、回路或互不接觸回路。因此在使用時應(yīng)特別注意。2.5反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5.1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)定義反饋信號B(s)與偏差信號E(s)之比，稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，（簡稱開環(huán)傳遞函數(shù)）。

Gk(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s)G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)B(s)-

2.5.2閉環(huán)傳遞函數(shù)

1.r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

在下圖(a)所示的反饋系統(tǒng)中，為求取r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，可令n(t)=0。G1(s)G2(s)H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)C(s)(a)G1(s)H(s)G2(s)R(s)B(s)C(s)-(b)

由圖(b)求得輸出C(t)和輸入r(t)之間的傳遞函數(shù)為Φr(s)為輸入信號r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。此時系統(tǒng)輸出的拉氏變換式為

2.擾動n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

在下圖(a)所示系統(tǒng)中，為求取n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，可令r(t)=0，此時圖(a)可簡化為圖(b)。

Φn(s)為擾動信號n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。此時，系統(tǒng)輸出的拉氏變換式為

G1(s)G2(s)H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)C(s)(a)G1(s)G2(s)H(s)C(s)(b)N(s)-ThankYou!自動控制原理華中科技大學控制科學與工程系3控制系統(tǒng)的時域分析

引言一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。一旦獲得合理的數(shù)學模型，就可以采用不同的分析方法來分析系統(tǒng)的性能。經(jīng)典控制理論中常用的工程方法有

時域分析法根軌跡法頻率特性法分析內(nèi)容瞬態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定性3-1引言

由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng),典型閉環(huán)控制一階系統(tǒng)如圖所示.其中是積分環(huán)節(jié)，T為它的時間常數(shù)。一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖C(s)-R(s)典型的一階系統(tǒng)是一個慣性環(huán)節(jié),輸出為在零初始條件下，利用拉氏反變換或直接求解微分方程，可以求得一階系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。3.2一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t),其拉氏變換為,則輸出的拉氏變換為3.2.1單位階躍響應(yīng)3.2.2單位斜坡響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位斜坡函數(shù)r(t)=t，其拉氏變換為

則輸出的拉氏變換為

（t≥0）

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位脈沖函數(shù)r(t)=δ(t),其拉氏變換為R(s)=1,則輸出響應(yīng)的拉氏變換為（t≥0）對上式進行拉氏反變換，求得單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)對某種輸入信號導數(shù)的響應(yīng)，等于對該輸入信號響應(yīng)的導數(shù)；對某種輸入信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分。3.2.3單位脈沖響應(yīng)C(t)R(t)_C(t)

二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

設(shè)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)改寫成如下形式無阻尼自然振蕩角頻率阻尼系數(shù)3.3二階系統(tǒng)的時域響3.3.1二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

系統(tǒng)具有兩個不相等的負實數(shù)極點j0[s]

過阻尼時極點分布穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量包含兩個衰減指數(shù)項，曲線單調(diào)上升。C(t)to1過阻尼響應(yīng)1.過阻尼（ζ>1）的情況[s]o

欠阻尼時的極點分布系統(tǒng)具有一對在S平面的左半部的共軛復數(shù)極點，

稱為阻尼自振頻率2.欠阻尼（<0ζ<1）的情況3.3.1二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

系統(tǒng)具有兩個相等的負實數(shù)極點，如圖所示。o[s]臨界阻尼時極點的分布t1oC(t)

臨界阻尼響應(yīng)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零開始單調(diào)上升，最后達到穩(wěn)態(tài)值1，響應(yīng)曲線如圖。是輸出響應(yīng)的單調(diào)和振蕩過程的分界，通常稱為臨界阻尼狀態(tài)。3.3.1二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

3.臨界阻尼（ζ＝1）的情況

系統(tǒng)有一對共軛純虛數(shù)極點,它們在S平面上的位置如圖所示。[s]o(a)

無阻尼時的極點分布和響應(yīng)C(t)(b)1to系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是無阻尼的等幅振蕩過程，其振蕩頻率為將代入4.無阻尼（ζ=0）的情況3.3.1二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為對應(yīng)的響應(yīng)曲線如圖所示。由上式和圖所示曲線來定義系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標，同時討論性能指標與特征量之間的關(guān)系。超調(diào)量C(t)上升時間峰值時間調(diào)節(jié)時間誤差帶穩(wěn)態(tài)誤差o1.0t控制系統(tǒng)性能指標3.3.2二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標1.上升時間tr響應(yīng)曲線從零開始上升，第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間，稱為上升時間。2.峰值時間tp響應(yīng)曲線C(t)從零開始到達第一個峰值所需時間，稱為峰值時間。3.3.2二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標3.超調(diào)量在響應(yīng)過程中，輸出量C（t）超出其穩(wěn)態(tài)值的最大差量與穩(wěn)態(tài)值之比稱為超調(diào)量。3.3.2二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標4.調(diào)節(jié)時間

響應(yīng)曲線到達并停留在穩(wěn)態(tài)值的±5%（或±2%)誤差范圍內(nèi)所需的最小時間稱為調(diào)節(jié)時間（或過渡過程時間）。3.3.2二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標設(shè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

假設(shè)系統(tǒng)所有零點、極點互不相同，且極點中q個實數(shù)極點和r對復數(shù)極點，零點中只有實數(shù)零點，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為式中將上式展開成部分分式，得3.4

高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)對上式進行拉氏反變換，求得系統(tǒng)在零初始條件下的單位階躍響應(yīng)為

高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組成。

各瞬態(tài)分量在過渡過程中所起作用的大小，將取決于它們的指數(shù)、的值和相應(yīng)項的系數(shù)、、的大小。如果系統(tǒng)所有極點都分布在S平面的左半部分，即所有極點均具有負實部，那么，當t趨于無窮大時，式中的指數(shù)項都趨于零，系統(tǒng)的響應(yīng)達到穩(wěn)態(tài)值。3.4

高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

在瞬態(tài)過程中，某衰減項的指數(shù)或的值越大，則該項衰減越快，反之亦然。而和就是系統(tǒng)的極點到虛軸的距離，因此，如果分布在S平面左半部分的極點離虛軸越遠，則它對應(yīng)的分量衰減越快。顯然，對系統(tǒng)過渡過程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點。

各衰減項的系數(shù)不僅與相應(yīng)的極點在S平面中的位置有關(guān)，而且還與零點的位置有關(guān)。極點的位置距原點越遠，則相應(yīng)分量的系數(shù)越小，該分量對系統(tǒng)過渡過程的影響就越小。如果某極點與零點很靠近，則相應(yīng)分量的系數(shù)也很小，這對零極點對系統(tǒng)過度過程的影響也將很小。3.4

高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

高階系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中那些靠近虛軸而又遠離零點的極點來決定。如果高階系統(tǒng)有一個極點（或一對共軛復數(shù)極點）離虛軸最近，且其附近又無零點存在，而其他所有極點與虛軸的距離都在此極點與虛軸的距離的五倍以上，則可近似的認為系統(tǒng)的瞬態(tài)特性由這個（或這對）極點來確定，而其它極點的影響可以忽略不計，這個（或這對）極點就稱為高階系統(tǒng)的主導極點。高階系統(tǒng)的主導極點常常是共軛復數(shù)極點，因此高階系統(tǒng)可以常用主導極點構(gòu)成的二階系統(tǒng)來近似。相應(yīng)的性能指標可按二階系統(tǒng)的各項指標來估計。在設(shè)計高階系統(tǒng)時，常利用主導極點的概念來選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預期的一對共軛復數(shù)主導極點，這樣，就可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標來設(shè)計系統(tǒng)。3.4

高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.5.1穩(wěn)定的概念和定義

在自動控制理論中，有多種穩(wěn)定性的定義，這里只討論其中最常用的一種，即漸近穩(wěn)定性的定義。圖aAf圖b圖cdfcA圖c中，小球在C、D范圍內(nèi)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故可以認為該系統(tǒng)是條件穩(wěn)定系統(tǒng)。圖a為穩(wěn)定的系統(tǒng)。圖b為不穩(wěn)定系統(tǒng)。3.5.2穩(wěn)定的充要條件線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義：如果線性定常系統(tǒng)受到擾動的作用，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當擾動消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的（簡稱為穩(wěn)定）。否則，稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時，輸入一個理想單位脈沖，這相當于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下，受到一個擾動信號的作用，如果當t趨于時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)C(t)收斂到原來的零平衡狀態(tài)，即該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。

如果特征方程的所有根互不相同，且有q個實數(shù)根和r對共軛復數(shù)根,則在單位脈沖函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換可表示為將上式用部分分式法展開并進行拉氏反變換得

式中設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為如果特征根中有一個或一個以上具有正實部，則該根對應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時有，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。上式表明當系統(tǒng)特征方程的根都具有負實部時，則各瞬態(tài)分量都是衰減的，且有，此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負實部，即閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點均位于為S平面的左半部分（不包括虛軸）。如果特征根中具有一個或一個以上的零實部根，而其余的特征根均有負實部，則C（t）趨于常數(shù)或作等幅振蕩，這時系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，稱為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對于大多數(shù)實際系統(tǒng)，當它處于臨界狀態(tài)時，也是不能正常工作的，所以臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。1、穩(wěn)定的必要條件

設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

若該方程的特征根為（1,2,….n）,

則上式可改寫成為

……3.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)由此可見，如果特征方程的根都具有負實部，則上式的所有系數(shù)必然都大于零。故系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項系數(shù)均為正，即

根據(jù)必要條件，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負數(shù)或等于零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是，當特征方程滿足穩(wěn)定的必要條件時，并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，為了進一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以使用勞斯判據(jù)。2.勞斯判據(jù)應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，可按下述方法進行。將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標準形式將方程各項系數(shù)組成勞斯表…………………………………………1d2d3d4d

計算勞斯表的各系數(shù)……

系數(shù)的計算一直進行到其余的b值全部等于零為止。用同樣的前兩行系數(shù)交叉相乘的方法，可以計算c,d,……e,f,g各行的系數(shù)。這個計算過程一直進行到n+1行為止。為了簡化運算，可以用一個正整數(shù)去乘或除其一行的各項，不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。……………………勞斯穩(wěn)定判據(jù)（1）勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零的情況

如果勞斯表中第一列的系數(shù)都具有相同的符號，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且不穩(wěn)定根的個數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。2例3-1已知系統(tǒng)的特征方程為

試用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解列勞斯表114106172

勞斯表第一列的系數(shù)符號相同，故系統(tǒng)的是穩(wěn)定的。由于判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定只與勞斯表中第一列系數(shù)的符號有關(guān)，而把勞斯表中某一行系數(shù)同乘以一個正數(shù)不會改變第一列系數(shù)的符號，所以為簡化運算，常把勞斯表的某一行同乘以以一個正數(shù)后，再繼續(xù)運算。本例中，勞斯表可按如下方法計算：

114

10

6172

6758(同乘以6)

791134（同乘以67）

36900（同乘以791）

134由于第一列系數(shù)的符號相同，故系統(tǒng)穩(wěn)定，結(jié)論與前面一致。(2)勞斯表某行的第一列系數(shù)等于零，而其余各項不全為零的情況

當勞斯表某一行的第一列系數(shù)為零，而其余項不全為零，可用一個很小的正數(shù)代替第一列的零項，然后按照通常方法計算勞斯表中的其余項。例3-2

已知系統(tǒng)的特征方程為

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由特征方程列出勞斯表1251205

當?shù)娜≈底銐蛐r，

將取負值，故勞斯表第一列系數(shù)變號兩次，由勞斯判據(jù)可知，特征方程有兩個根具有正實部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例如，，等等。顯然，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。此時，為了確定根的分布情況，可按下列步驟處理：(3)勞斯表某行所有系數(shù)均為零的情況

如果勞斯表中某一行（如第K行）各項為零，這說明在S平面內(nèi)存在以原點為對稱的特征根。

*利用第K-1行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程。*求輔助方程對s的導數(shù)，將其系數(shù)代替原全部為零的K行，繼續(xù)計算勞斯表。*特征方程中以原點為對稱的根可由輔助方程求得。

1820162121621216000由上表看出，行的各項全為零，為了求出～各行，由行的各項系數(shù)構(gòu)成輔助方程將輔助方程對s求導得用上式各項系數(shù)作為行的各系數(shù)繼續(xù)計算勞斯表得例3-3

已知系統(tǒng)的特征方程為

分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解由特征方程列勞斯表

1

8

20

16

2

12

16

2

12

16

8

24

6

16

8/3

16

由于勞斯表第一列系數(shù)符號都相同，因此，可以確定沒有特征方程根分布在S平面的右半部分。但由于行的各項均為零，這表明系統(tǒng)有共軛虛根，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，共軛虛根可由輔助方程求得，即由3.6.1穩(wěn)態(tài)誤差的定義

系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為輸出量的希望值與實際值之差。對圖示典型系統(tǒng)，其誤差定義有兩種形式：R(s)-B(s)N(s)+C(s)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（1）從系統(tǒng)輸出端定義

式中，

為系統(tǒng)輸出量的希望值，C(t)為輸出量的實際值。R(s)-E(s)N(s)+C(s)3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（2）從輸入端定義

系統(tǒng)輸出量的希望值是給定輸入r(t)，輸出量的實際值為系統(tǒng)主反饋信號b(t)。通常H（s）是測量裝置的傳遞函數(shù)，此時誤差是給定輸入與測量裝置輸出量之差。b(t)可以測量，因而具有實用性。

對于單位反饋系統(tǒng)，要求輸出量C(t)的變化規(guī)律與給定輸入r(t)的變化規(guī)律完全一致，所以給定輸入r(t)也就是輸出量的希望值，即R(s)-B(s)N(s)+C(s)E(s)穩(wěn)態(tài)誤差的定義：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，以表示。3.6.2輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

如果不計擾動輸入的影響，可求得系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差。此時，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)-稱為給定輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。1、

單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

對于單位階躍輸入，R(s)=1/s,

求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

因此，在單位階躍輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，令稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。2、單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

對于單位斜坡輸入，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。3、單位拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

對于單位拋物線輸入，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令穩(wěn)態(tài)誤差可表示為對于0型系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差可表示為3.6.3擾動穩(wěn)態(tài)誤差

——擾動輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。

擾動穩(wěn)態(tài)誤差的大小，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。系統(tǒng)對于某種形式的給定輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，但對同一形式的擾動輸入其穩(wěn)態(tài)誤差則不一定為零。R(s)-B(s)N(s)+C(s)E(s)由前面誤差信號的定義可得擾動輸入引起的誤差為ThankYou!自動控制原理華中科技大學控制科學與工程系第四章根軌跡法繪制根軌跡的規(guī)則4-2廣義根軌跡

4-3線性系統(tǒng)的根軌跡分析法4-4根軌跡的基本概念4-15-5§4.1根軌跡的概念

4.1.1根軌跡圖根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點）隨開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無窮大時在S平面上的變化軌跡。

4.1.2開環(huán)零、極點與閉環(huán)零、極點之間的關(guān)系§4.1根軌跡的概念系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 為系統(tǒng)的開環(huán)增益， 為開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益， 為開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)， 為開環(huán)系統(tǒng)的極點數(shù)。(4-1)§4.1根軌跡的概念由第三章，系統(tǒng)的開環(huán)增益（或開環(huán)放大倍數(shù)）為

（4-2）式中是開環(huán)傳遞函數(shù)中含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，由它來確定該系統(tǒng)是零型系統(tǒng)（）,Ⅰ型系統(tǒng)（）或Ⅱ型系統(tǒng)（）等。將（4-1）代入（4-2）可得§4.1根軌跡的概念§4.2繪制根軌跡的規(guī)則系統(tǒng)的特征方程為當系統(tǒng)有m個開環(huán)零點和n個開環(huán)極點時，特征方程可寫成稱為根軌跡方程4.2.1繪制根軌跡的依據(jù)根軌跡方程是一個向量方程，用模和相角的形式表示由此可得到滿足系統(tǒng)特征方程的幅值條件和相值條件為幅值條件：相角條件：§4.2繪制根軌跡的規(guī)則設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為滿足幅值條件的表達式為 或滿足相角條件的表達式為§4.2繪制根軌跡的規(guī)則根軌跡的基本規(guī)則

(1)根軌跡的起點與終點

(2)根軌跡的分支數(shù)(3)實軸上的根軌跡(4)根軌跡的漸近線

(5)根軌跡在實軸上的分離點

(6)根軌跡的起始角和終止角

(7)根軌跡與虛軸的交點通常，我們把以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌跡）。繪制普通根軌跡的基本規(guī)則主要有7條：§4.2繪制根軌跡的規(guī)則 幅值條件可寫成當，必須有 此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)極點相同(重合)，我們把開環(huán)極點稱為根軌跡的起點，它對應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益。當，必須有 此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)零點相同(重合)，我們把開環(huán)零點稱為根軌跡的終點，它對應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益。

規(guī)則1根軌跡的起點和終點§4.2繪制根軌跡的規(guī)則分三種情況討論：

1．當m=n時，即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)相同時，根軌跡的起點與終點均有確定的值。

2．當m<n時，即開環(huán)零點數(shù)小于開環(huán)極點數(shù)時，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(稱為有限零點)外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠點(稱為無限零點),如例4-1。

3．當m>n時，即開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)極點數(shù)時，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(稱為有限極點)外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠點(稱為無限極點)?！?.2繪制根軌跡的規(guī)則根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點；如果開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m，則有n-m

條根軌跡終止于S平面的無窮遠處(無限零點)，如果開環(huán)零點數(shù)m大于開環(huán)極點數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于S平面的無窮遠處(無限極點)?！?.2繪制根軌跡的規(guī)則結(jié)論：根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。當由零到無窮大連續(xù)變化時，描述系統(tǒng)特征方程根的復變量s在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，根軌跡是n條連續(xù)的曲線。由于實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù)，若它的特征方程有復數(shù)根，一定是對稱于實軸的共軛復根，因此，根軌跡總是對稱于實軸的。

結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線。

規(guī)則2根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性§4.2繪制根軌跡的規(guī)則規(guī)則3實軸上的根軌跡若實軸上某線段右側(cè)的開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)則該線段是實軸上的根軌跡?！?.2繪制根軌跡的規(guī)則規(guī)則4漸近線當開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m時，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠處，這n-m

條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，浙近線也有n-m

條，且它們交于實軸上的一點。漸近線與實軸的交點位置和與實軸正方向的交角分別為§4.2繪制根軌跡的規(guī)則系統(tǒng)的特征方程可寫成

,上式稱為分離點方程。分離點方程的另一種形式為式中，為開環(huán)零點的數(shù)值，為開環(huán)極點的數(shù)值。規(guī)則5根軌跡的分離點§4.2繪制根軌跡的規(guī)則規(guī)則6起始角與終止角當開環(huán)傳遞函數(shù)中有復數(shù)極點或零點時，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復數(shù)極點或進入開環(huán)復數(shù)零點的呢？這就是所謂的起始角和終止角問題,先給出定義如下：⑴起始角根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處在切線方向與實軸正方向的夾角。參看圖4-1（a）中的和。⑵終止角根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角。參看圖4-1（b）中的和?！?.2繪制根軌跡的規(guī)則圖4-1(a)根軌跡的起始角和終止角

圖4-1(a)根軌跡的起始角和終止角§4.2繪制根軌跡的規(guī)則圖4-1(b)根軌跡的起始角和終止角§4.2繪制根軌跡的規(guī)則規(guī)則7根軌跡與虛軸的交點

根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實部為零）。這時，用代入特征方程可得

即§4.2繪制根軌跡的規(guī)則由此可得虛部方程和實部方程為解虛部方程可得角頻率，即根軌跡與虛軸的交點的坐標值；用代入實部方程，可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）變?yōu)椴环€(wěn)定（或穩(wěn)定）的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。它對如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。§4.2繪制根軌跡的規(guī)則§4.3廣義根軌跡前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪制規(guī)則是以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)的，大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況。但有時候，為了分析系統(tǒng)方便起見，或著重研究某個系統(tǒng)參數(shù)(如時間常數(shù)、反饋系數(shù)等)對系統(tǒng)性能的影響，也常常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪制根軌跡，我們把以非開環(huán)根軌增益作為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做參數(shù)根軌跡(或廣義根軌跡)。4.3.1參數(shù)根軌跡4.3.2正反饋系統(tǒng)的根軌跡

正反饋系統(tǒng)的特征方程是

(4-3)即 (4-4)

由此可得到繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件分別為

(4-5)

(4-6)

與負反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件相比知，正反饋系統(tǒng)和負反饋系統(tǒng)的幅值條件相同；§4.3廣義根軌跡負反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循180°相角條件，而正反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循0°相角條件。故正反饋系統(tǒng)根軌跡又稱為零度根軌跡。由于相角條件不同，在繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡時，須對前面介紹的繪制負反饋系統(tǒng)普通根軌跡的七條基本規(guī)則中與相角條件有關(guān)的三條規(guī)則作相應(yīng)修改，這些規(guī)則是：

⑴正反饋系統(tǒng)根軌跡的漸近線與實軸正方向的夾角應(yīng)為

(4-7)§4.3廣義根軌跡⑵正反饋系統(tǒng)在實軸上的根軌跡是那些在其右側(cè)的開環(huán)實零點和開環(huán)實極點的總數(shù)為偶數(shù)或零的線段。⑶正反饋系統(tǒng)的起始角和終止角應(yīng)為下面通過示例進一步說明正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法?！?.3廣義根軌跡4.4線性系統(tǒng)的根軌跡分析法根軌跡法是在已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點分布的基礎(chǔ)上，研究某—個和某些參數(shù)的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點分布的影響的一種圖解方法。由于根軌跡圖直觀、完整地反映系統(tǒng)特征方程的根在S平面上分布的大致情況，通過一些簡單的作圖和計算，就可以看到系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點的影響趨勢。這對分析研究控制系統(tǒng)的性能和提出改善系統(tǒng)性能的合理途徑都具有重要意義。下面通過示例簡要介紹用根軌跡分析控制系統(tǒng)的方法。§4.4線性系統(tǒng)的根軌跡分析法例4-1已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和計算閉環(huán)主導極點具有阻尼比時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。解⑴先根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖(圖4-2)。系統(tǒng)的特征方程是或§4.4線性系統(tǒng)的根軌跡分析法圖4-2例4-1的根軌跡圖⑵系統(tǒng)穩(wěn)定性分析由根軌跡圖知，有兩條從S平面左半部穿過虛軸進入S平面右半部，它們與虛軸的交點，且交點處對應(yīng)的臨界開環(huán)根軌跡增益。由開環(huán)根軌跡增益與系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K之間的關(guān)系可求出系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界開環(huán)放大系數(shù)為§4.4線性系統(tǒng)的根軌跡分析法⑶系統(tǒng)動態(tài)性能指標首先求出滿足阻尼比時系統(tǒng)的主導極點的位置（假定、滿足主導極點的條件）。方法是作等阻尼比線oA，使oA與實軸負方向的夾角等阻尼比線oA與根軌跡的交點即為滿足阻尼比系統(tǒng)的一個閉環(huán)極點。測得在s平面上的坐標位置為,由根軌跡的對稱性得到另一共軛復數(shù)極點為?！?.4線性系統(tǒng)的根軌跡分析法將、和代入特征方程，由根和系數(shù)之間關(guān)系很容易得到另外兩個閉環(huán)極點、，它們也是一對共軛復數(shù)極點由此可計算出由幅值條件可求出閉環(huán)極點所對應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益為共軛復數(shù)極點與虛軸的距離是共軛復數(shù)極點與虛軸的距離的九倍，且閉環(huán)極點附近無閉環(huán)零點，這說明、滿足主導極點的條件?！?.4線性系統(tǒng)的根軌跡分析法該系統(tǒng)可近似成由閉環(huán)主導極點構(gòu)成的一個二階系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為此時對應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)§4.4線性系統(tǒng)的根軌跡分析法過渡過程時間超調(diào)量峰值時間

由此可求出系統(tǒng)的各項動態(tài)指標如下：§4.4線性系統(tǒng)的根軌跡分析法ThankYou!自動控制原理華中科技大學控制科學與工程系第五章線性系統(tǒng)的時域分析典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制5-2

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制5-3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5-4頻率特性的概念5-1控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5-5輸入信號的拉氏變換線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為輸入信號為

§5.1 頻域特性的概念系統(tǒng)的傳遞函數(shù)通?？梢詫懗捎纱说玫捷敵鲂盘柕睦献儞Q

§5.1 頻域特性的概念系統(tǒng)的輸出為

(5-1)

對穩(wěn)定系統(tǒng),s1,s2,….sn都具有負實部，當時間t趨于無窮大時，上式的暫態(tài)分量將衰減至零。因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

(5-2)

其中待定系數(shù)b和可按下式計算

(5-3)(5-4)

§5.1 頻域特性的概念

G(jω)用模和幅角可表示為

(5-5)

(5-6)

§5.1 頻域特性的概念(5-8)或(5-9)式中為穩(wěn)態(tài)輸出信號的幅值。

§5.1 頻域特性的概念上式表明，線性定常系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是與正弦輸入信號同頻率的正弦信號；輸出信號的振幅是輸入信號振幅的倍；輸出信號相對輸入信號的相移為；輸出信號的振幅及相移都是角頻率的函數(shù)。

(5-10)

稱為系統(tǒng)的頻率特性，它反映了在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號的關(guān)系。

§5.1 頻域特性的概念其中(5-11)

稱為系統(tǒng)的幅頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號作用下，輸出穩(wěn)態(tài)幅值與輸入信號幅值的比值，即系統(tǒng)的放大（或衰減）特性。

(5-12)稱為系統(tǒng)的相頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號的作用下，輸出信號相對輸入信號的相移。系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。

§5.1 頻域特性的概念

§5.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制以角頻率ω為參變量，根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性在復平面上繪制出的頻率特性叫做幅相特性曲線或頻率特性的極坐標圖。它是當角頻率ω從0到無窮變化時，矢量的矢端在平面上描繪出的曲線。曲線是關(guān)于實軸對稱的。5.2.1典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線

1.放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）

放大環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其對應(yīng)的頻率特性是

（5-13）

（5-14）其幅頻特性和相頻特性分別為.0K圖5-1放大環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)

§5.2.1典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線2.積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的頻率特性幅頻特性和相頻特性分別為

頻率特性如圖所示。圖5-2積分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)積分環(huán)節(jié)對正弦輸入信號有900的滯后作用；其幅頻特性等于，是ω的函數(shù)，

§5.2.1典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線

3.慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性和相頻特性分別為.010.5圖5-3慣性環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)當ω由零至無窮大變化時，慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是正實軸下方的半個圓周。

§5.2.1典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線4.振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是

（5-15）其頻率特性是

幅頻特性和相頻特性分別為