一、選擇題1.若a＞b，則下列不等式中一定成立的是()A.a＞2b B.－eq\f(b,a)＞－1C.2a＞2b D.lg(a－b)＞1解析∵y＝2x(x∈R)是增函數(shù)，又a＞b，∴2a＞2b.答案C2.若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，則下列結(jié)論不正確的是()A.a2＜b2 B.ab＜b2C.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2 D.|a|－|b|＝|a－b|解析法一(特殊值法)：令a＝－2，b＝－3，代入A、B、C、D中，知D不正確.法二由eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，得b＜a＜0，所以b2＞ab＞a2，故A、B正確.又由eq\f(b,a)＞0，eq\f(a,b)＞0，且eq\f(b,a)≠eq\f(a,b)，得eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2，從而C正確.對于D，由b＜a＜0得|a|＜|b|，即|a|－|b|＜0，而|a－b|＞0，故D錯.答案D3.若x，y∈R，且滿足x＋3y＝2，則3x＋27y＋1的最小值是()A.3eq\r(3,9) B.1＋2eq\r(2)C.6 D.7解析3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2eq\r(3x·33y)＋1＝2eq\r(3x＋3y)＋1＝2×3＋1＝7，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時，等號成立，取得最小值7.答案D4.設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)，以下不等式恒成立的序號為()①eq\r(ab)＞eq\f(2ab,a＋b)；②a＞|a－b|－b；③a2＋b2＞4ab－3b2；④ab＋eq\f(2,ab)＞2.A.①③ B.①④ C.②③ D.②④解析對于①，eq\r(ab)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(\r(ab)（a＋b）－2ab,a＋b)＝eq\f(\r(ab)（a＋b－2\r(ab)）,a＋b)＝eq\f(\r(ab)（\r(a)－\r(b)）2,a＋b)≥0，①不合題意，則應(yīng)排除A，B；④正確，故選D.答案D5.eq\f(|2x－1|－2,|x＋3|)＞0的解集為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞\f(3,2)或x＜－\f(1,2)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)＜x＜\f(3,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞\f(3,2)或x＜－\f(1,2)，且x≠－3))D.{x|x∈R，且x≠－3}解析eq\f(|2x－1|－2,|x＋3|)＞0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|＞2，,x＋3≠0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＞2或2x－1＜－2，,x≠－3))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞\f(3,2)或x＜－\f(1,2)，,x≠－3.))答案C6.若關(guān)于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[1，＋∞) B.[2，＋∞)C.(3，＋∞) D.[4，5]解析設(shè)f(x)＝x＋|x－1|，則f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≥1，,1，x＜1，))所以f(x)的最小值為1，所以當(dāng)a≥1時，f(x)≤a有解，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞).答案A7.若不等式|ax＋2|≤6的解集為(－1，2)，則實(shí)數(shù)a等于()A.8 B.2C.－4 D.－8解析由|ax＋2|＜6得－8＜ax＜4.當(dāng)a＞0時，－eq\f(8,a)＜x＜eq\f(4,a).∵不等式的解集是(－1，2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(8,a)＝－1，,\f(4,a)＝2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝8，,a＝2.))兩值矛盾.當(dāng)a＜0時，eq\f(4,a)＜x＜－eq\f(8,a).則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＝－1，,－\f(8,a)＝2.))解得a＝－4.綜上得，a＝－4.答案C8.設(shè)6＜a＜10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范圍是()A.9＜c＜30 B.0≤c≤18C.0≤c≤30 D.15＜c＜30解析因?yàn)閑q\f(a,2)≤b≤2a，所以eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a.又因?yàn)?＜a＜10，所以eq\f(3a,2)＞9，3a＜30.所以9＜eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a＜30，即9＜c＜30.答案A9.設(shè)集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}.若A?B，則實(shí)數(shù)a，b必滿足()A.|a＋b|≤3 B.|a＋b|≥3C.|a－b|≤3 D.|a－b|≥3解析A＝{x|a－1＜x＜a＋1，x∈R}，B＝{x|x＞b＋2或x＜b－2，x∈R}.若A?B，則需滿足a＋1≤b－2或a－1≥b＋2，即a－b≤－3或a－b≥3，故|a－b|≥3.答案D10.對于實(shí)數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，則|x－2y＋1|的最大值為()A.5 B.2 C.4 D.3解析|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值為5.答案A二、填空題11.若△ABC的內(nèi)角滿足sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，則cosC的最小值是________.解析利用正弦定理將角化為邊，再利用余弦定理和均值不等式求cosC的最小值.由sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，結(jié)合正弦定理得a＋eq\r(2)b＝2c.由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(2)b,2)))\s\up12(2),2ab)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(1,2)b2－\f(\r(2)ab,2),2ab)≥eq\f(2\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b2)))－\f(\r(2)ab,2),2ab)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，故eq\f(\r(6)－\r(2),4)≤cosC＜1，故cosC的最小值為eq\f(\r(6)－\r(2),4).答案eq\f(\r(6)－\r(2),4)12.定義運(yùn)算“?”：x?y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)，當(dāng)x＞0，y＞0時，x?y＋(2y)?x的最小值為________.解析先利用新定義寫出解析式，再利用重要不等式求最值.因?yàn)閤?y＝eq\f(x2－y2,xy)，所以(2y)?x＝eq\f(4y2－x2,2xy).又x＞0，y＞0，故x?y＋(2y)?x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(4y2－x2,2xy)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)≥eq\f(2\r(2)xy,2xy)＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)y時，等號成立.答案eq\r(2)13.不等式1＜|2x＋1|≤3的解集為________.解析原不等式可化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x＋1|≤3，①,|2x＋1|＞1.②))解不等式①，得－3≤2x＋1≤3，∴－2≤x≤1.解不等式②，得2x＋1＞1或2x＋1＜－1，∴x＞0或x＜－1.∴原不等式的解集為{x|－2≤x≤1}∩{x|x＞0或x＜－1}＝{x|0＜x≤1或－2≤x＜－1}.答案{x|0＜x≤1或－2≤x＜－1}14.不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋x＋\f(x2,2)))＜1的解集為________.解析eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋x＋\f(x2,2)))＜1?－1＜1＋x＋eq\f(x2,2)＜1?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋4＞0?x∈R，,x2＋2x＜0?－2＜x＜0.))∴原不等式的解集為(－2，0).另解：1＋x＋eq\f(x2,2)＝eq\f(1,2)(x2＋2x)＋1＝eq\f(1,2)(x＋1)2＋eq\f(1,2)＞0，∴原不等式即1＋x＋eq\f(x2,2)＜1.即x2＋2x＜0，∴－2＜x＜0.答案(－2，0)三、解答題15.設(shè)a，b，c＞0，求證：eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3).證明因?yàn)閍，b，c＞0，由算術(shù)—幾何平均不等式可得eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥3eq\r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3))，即eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥eq\f(3,abc)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立).所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥eq\f(3,abc)＋abc.而eq\f(3,abc)＋abc≥2eq\r(\f(3,abc)·abc)＝2eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)a2b2c2＝3時，等號成立)，所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\r(6,3)時，等號成立).16.解不等式：(1)|eq\r(2x－1)－x|＜2；(2)|x＋3|＋|x－3|＞8.解(1)當(dāng)eq\r(2x－1)－x＞0時，可化為(x－1)2＜0，x不存在，當(dāng)eq\r(2x－1)－x≤0時，x∈R，原不等式轉(zhuǎn)化為x－eq\r(2x－1)＜2可化為x2－6x＋5＜0，解集{x|1＜x＜5}.(2)當(dāng)x＜－3時，不等式化為－2x＞8，解得x＜－4，當(dāng)－3≤x＜3時，不等式為x＋3－x＋3＞8，解得x∈?，當(dāng)x≥3時，不等式為x＋3＋x－3＞8，解得x＞4，所以不等式的解集為{x|x＜－4或x＞4}.17.設(shè)關(guān)于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)＞a.(1)當(dāng)a＝1時，解這個不等式；(2)當(dāng)a為何值時，這個不等式的解集為R?解(1)當(dāng)a＝1時，lg(|x＋3|＋|x－7|)＞lg10，|x＋3|＋|x－7|＞10，設(shè)y＝|x＋3|＋|x－7|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋4，x＜－3，,10，－3≤x＜7，,2x－4，x≥7.))解得x＜－3或x＞7，∴當(dāng)a＝1時不等式的解集為(－∞，－3)∪(7，＋∞).(2)由(1)知，|x＋3|＋|x－7|≥10，∴l(xiāng)g(|x＋3|＋|x－7|)≥1，若不等式的解集為R時，只須a＜1即可.故a＜1時不等式的解集為R.18.是否存在常數(shù)C，使得不等式eq\f(x,2x＋y)＋eq\f(y,x＋2y)≤C≤eq\f(x,x＋2y)＋eq\f(y,2x＋y)對任意正數(shù)x、y恒成立？試證明你的結(jié)論.解當(dāng)x＝y(tǒng)時，可由不等式得出C＝eq\f(2,3).下面分兩個方面證明.先證eq\f(x,2x＋y)＋eq\f(y,x＋2y)≤eq\f(2,3)，此不等式?3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)