2023屆松江區(qū)高三二模考試數(shù)學(xué)試卷

2023.04

一、填空題

r21

1.已知集合4={1,2,3,4},B=<x\->\\,則=.

I尤J

2.若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3-4i,則|彳|=.

3.已知空間向量4=(1,2,3),3=(2,-2,0),c=(1,1,2)，若d_L(2〃+加，則4=

4.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0』)，若尸(X<-1.96)=0.03,則尸(|X]<1.96)=

JT4

5.己知一<。<乃，且cos6=——，則tan26=

25

8

6.在二項(xiàng)式x的展開式中，含/的項(xiàng)的系數(shù)是(結(jié)果用數(shù)字作答)

7.將右圖所示的圓錐形容器內(nèi)的液體全部倒入底面半徑為50mm的直立的圓柱形容器內(nèi)，則液面高度為

8.從4名男生和3名女生中抽取兩人加入志愿者服務(wù)隊(duì)。用4表示事件”抽到的兩名學(xué)生性別相同”，用B

表示事件“抽到的兩名學(xué)生都是女生”，則P(8|A)=(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)

9.參考《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”問題，提出：一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4

節(jié)的容積共2升，下面3節(jié)的容積共3升，則第5節(jié)的容積為升.

(乃、14

10.已知0=,則一^十二一的最小值為_____.

I2Jsin-xcos-x

11.已知函數(shù)y=/(x)為R上的奇函數(shù)；且/(6+/(2—同=0,當(dāng)—l<x<0時(shí)，f(x)=口,則

’2023)

7(2023)+/

12.已知點(diǎn)A、8是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于)，軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|O4|=2a(a>0).若存在小，使得

第1頁(yè)共10頁(yè)

〃滔B+OA與"B+OB垂直，且|（，〃48+04）-5"+。8）|=。，則同目的最小值為

二、選擇題

13.已知直線/1：ar+y+l=0與直線/2：工+什一2=0,則“4〃，2”是“。=1”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)杳了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:

收入X（萬(wàn)元）8.28.610.011.311.9

支出了（萬(wàn)元）6.27.58.08.59.8

根據(jù)上表可得回歸直線方程＞=&￥+/；,其中&=0.76,/；二歹一應(yīng)i,據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為15

萬(wàn)元家庭年支出為（）

A.11.4萬(wàn)元B.11.8萬(wàn)元C.12.0萬(wàn)元D.12.2萬(wàn)元

15.若方程/*）送*）=0的解集為則以下結(jié)論一定正確的是（）

(1)M={：Af(x)=0}U{x|^(A)=0)(2)M={JAf(x)=0}Pl{x|^(x)=0}

(3)Mq{N/(x)=0}J{Ng(x)=0}<4)MO{A|/(X)=0}{Xg(x)=0}

A.(1)(4)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(1)(3)(4)

16.已知函數(shù))，一/一3工+。，在區(qū)間?一3,1+5)上有最大值，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是()

A.-6<r<0B.-6<r<0C.-6<t<2D.-6</<2

三、解答題

17.在銳角二ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為〃、b、c,且2/?sin4=J5a.

（1）求角8;

（2）求cosA+cosB+cosC"的最大值.

18.如圖，在四棱錐P—A3CO中，底面ABCD為平行四邊形，。是AC與8。的交點(diǎn)，Z4ZX?=45°,

AD=AC=2,P0上平面ABCD,PO=2,歷是PO的中點(diǎn).

A

（I）證明：08〃平面ACM

（2）求直線AM與平面A8CO所成角的大小.

19.某城市響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，積極調(diào)整能源結(jié)構(gòu)，推出多種價(jià)位的新能源電動(dòng)汽車.根據(jù)前期市場(chǎng)調(diào)研，有購(gòu)買

第2頁(yè)共10頁(yè)

新能源車需求的約有2萬(wàn)人，他們的選擇意向統(tǒng)計(jì)如下:

車型ABCDEF

價(jià)格9萬(wàn)元12萬(wàn)元18萬(wàn)元24萬(wàn)元30萬(wàn)元40萬(wàn)元

占比5%15%25%35%15%5%

（1）如果有購(gòu)車需求的這些人今年都購(gòu)買了新能源車，今年新能源車的俏售額預(yù)計(jì)約為多少億元？

（2）車企推出兩種付款方式：

全款購(gòu)車：購(gòu)車時(shí)一次性付款可優(yōu)惠車價(jià)的3%；

分期付款：無(wú)價(jià)格優(yōu)惠，購(gòu)車時(shí)先付車價(jià)的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付車價(jià)的

8

①某位顧客現(xiàn)有〃萬(wàn)元現(xiàn)金，欲購(gòu)買價(jià)值〃萬(wàn)元的某款車，付款后剩余的資金全部用于購(gòu)買半年期的理財(cái)產(chǎn)品

（該理財(cái)產(chǎn)品半年期到期收益率為1.8%）,到期后，可用資金（含理財(cái)收益）繼續(xù)購(gòu)買半年期的理財(cái)產(chǎn)品，問：

顧客選擇哪一種付款方式收益更多？（計(jì)算結(jié)果精確到0.0001）

②為了激勵(lì)購(gòu)買理財(cái)產(chǎn)品，銀行對(duì)采用分期付款方式的顧客，贈(zèng)送價(jià)值1888元的大禮包，試問：這■措施對(duì)

哪些車型有效？（計(jì)算結(jié)果精確到0.0001）

2222

20.已知橢圓G：］■十表"=1的左、右焦點(diǎn)分別為6、鳥，離心率為q；雙曲線。2：與一%=1的左、右焦

點(diǎn)分別為巴、瑪，離心率為4,90=與.過(guò)點(diǎn)"作不垂直于），軸的直線/交曲線G于點(diǎn)八、8,點(diǎn)、M為

線段的中點(diǎn)，直線。M交曲線C?于P、Q兩點(diǎn).

（1）求G、的方程；

⑵若4后=3￡乩求直線PQ面積的最小值；

（3）求四邊形AP8Q面積的最小值。

21.已知x>0,記f（x）=ex,g（x）=xx,h（x）=Ing（x）.

（1）試將y=/（x）、y=g（x）、y=中的一個(gè)函數(shù)表示為另外兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)：

（2）借助（1）的結(jié)果，求函數(shù)y=g（2x）的導(dǎo)函數(shù)和最小值；

（3）記⑴+X+4,。是實(shí)常數(shù)，函數(shù)y=H（x）的導(dǎo)函數(shù)是y=H'a）.已知函數(shù)

有三個(gè)不相同的零點(diǎn)X、々、￡?求證：X^X2-X3<\

第3頁(yè)共10頁(yè)

18、【答案】（1）見解析（2）arctan-——

5

【小問1詳解】

連接在平行四邊形ABC。中，

因?yàn)椤锳C與30的交點(diǎn)，

所以。為B。的中點(diǎn)，

又M為例的中點(diǎn)，所以P3//MO.

因?yàn)槭?<z平面ACM,MOu平面ACM,

所以28〃平面ACM.

【小問2詳解】

取。。中點(diǎn)N,連接MV,AN,

因?yàn)镸為。。的中點(diǎn)，所以MN//PO,且MN=1PO=1,

2

由P0工平面ABC。，得MN_L平面ABC。，

所以/MAN是直線AM與平面A8CO所成的角.

因?yàn)榈酌鍭8CQ為平行四邊形，且NAOC=45"，AD=AC=2,

所以NACO=45，則ND4C=90，

在Rt_Z）AO中,A。=2,A。=1,所以石，從而AN

22

因?yàn)镸NJ_平面ABC。，ANu平面ABC。，「.MNJ.AN,

第5頁(yè)共10頁(yè)

"n...,IanNMAN=----=-產(chǎn)~=----?r八"

用以在Rt^4VriM中，AN加5,，：乙zM4ANe0,y

T

o/c

所以直線AM與平面ABCD所成角大小為arctan—.

5

19、【答案】（1）43.3億元

（2）①顧客選擇全款購(gòu)車方式收益更多.②這一措施對(duì)購(gòu)買4B,C車型有效.

【小問1詳解】

銷任一輛車的價(jià)格的數(shù)學(xué)期望E為：

E=9x5%+12xl5%+18x25%+24x35%+30xl5%+40x5%=21.65

20000xE=433000（萬(wàn)元）=43.3（億）

所以，今年新能源車的銷售額預(yù)計(jì)約為43.3億元

【小問2詳解】

①全款購(gòu)車兩年后資產(chǎn)總額為：?x3%x（l+1.8%）4=0.0322a（萬(wàn)元）.

分期付款購(gòu)車兩年后資產(chǎn)總額為：

11111\

a-xl.0184——x1.018’——xl.0182——xl.018——

(28888J

-xl.0184--x(l.0183+1.0182+1.018+1

(281

1-1.0184、

a—xl.0184-—x

(281-1.018)

=0.0233。（萬(wàn)元）

因?yàn)?.0322〃>0.0233。.所以顧客選擇全款購(gòu)車方式收益更多.

②由①得：0.032%一0.0233〃=0.0089〃<0.1888,所以tz<21.2134.

所以，這一措施對(duì)購(gòu)買A3,C車型有效.

丫2丫2||

20、【答案】(1)一+y2=1,-——y2=1(2)y=一一工或＞=一工(3)2

22“22

【小問1詳解】

由題意可知：,

V2-V2

4

a-PJ亞-/.，2+/J—G

丹丁以g?e,=-------------=-------=—?

1-222

解得：從=1,

第6頁(yè)共10頁(yè)

所以橢圓方程為三+），2=1，雙曲線方程為：--/=1.

22?

【小問2詳解】

由（1）知耳（一1,0）,因?yàn)橹本€不垂直與）'軸，設(shè)直線的方程為：x=my-\f設(shè)

點(diǎn)冬不,卜網(wǎng)巧,為），則=（一1一%，一乂），￡。二（%+1,%），

由微=3KB，則一X=3y2，即弘=-3y2，

x=my

2

聯(lián)立：\x2,可得：（"22+2b2―2根），-1二0,

A=4〃F+46/+2)=8僅[2+1]>0,

2m

)f2二F一

"I+2

由韋達(dá)定理可得:

-1

m+2

-tn

將）,1=一3%代入得：，?解得加=±1，

必-3（/?2+2）

（21、1

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，弦A3的中點(diǎn)M,此時(shí)直線PQ的方程為：y=--x；

\J/2

當(dāng)，〃=-1時(shí)，弦48的中點(diǎn)加［一|,一：），此時(shí)直線PQ的方程為：y=^x.

所以直線PQ的方程為y=一；1或＞=gx.

【小問3詳解】

設(shè)AB的中點(diǎn)〃（4，九），由（2）可得

人卻=Jl+m-+y2\-4y,?必=-----—，

m~+2

r,m,-2...（-2tn

m+2優(yōu)+24-2m4-27

nim

即0=心的二一7，直線產(chǎn)。的方程為：）'=一耳工，

第7頁(yè)共10頁(yè)

m

一龍A2

聯(lián)立〈可得：-7,),2二一J,且2一機(jī)2>。,

X2212-nr72-m2

Ty=1

m-m

由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取點(diǎn)P、Q

、J2-~—m~)

二十2+m2

所以點(diǎn)P到直線A8的距離為：，\l2-m2_\[2-m2

4=?

Ji+m2x]1+in

,,2+m22+nr.

1+j---.+1

點(diǎn)。到直線A3的距離為：yjl-nv>

\J\+m2J1+〃/

2(2+m2}

4+&=//

\j2—m2>J\+nr

所以四邊形APBQ的面積為s=3A8|(d+(］、，可+爐_212?。阂?2;〃.)

21I—2772^7

=2&J—因?yàn)?<2—m2<2,

\2-nr

所以當(dāng)2-=2,即〃?=0時(shí)，四邊形AP3Q的面積取最小值2.

21、【答案】(1)g(x)=/(〃(x))

(2)g'(2x)=2(2x)2'(ln2x+l),最小值為仕丫

(3)見解析.

【小問1詳解】

y=/(/7(A))=e，Hx)=e%3=a*=ev,nv=xv=g(x)

【小問2詳解】

利用更合函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得g\2x)=2(2x)2x(ln2A+1),

第8頁(yè)共10頁(yè)

令g'(2x)=2(2x)2A(ln2A+1)=0，可求得：

令g'(2x)=0,-.?%>0,/.(2x)2x>0,所以ln2_r+l=0,

解得2K=L當(dāng)0<2大<_!?時(shí)，短(2幻<0,此