人教版9年級數(shù)學上冊【旋轉(zhuǎn)】綜合測試考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題30分）一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）1、在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2、下列四個圖形中，中心對稱圖形是（

）A． B． C． D．3、如圖，在鈍角中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點，的對應點分別為，，連接．則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．平分4、如圖，矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到矩形AB'C′D'，此時點B′恰好在DC邊上，若∠B'BC=15°，則α的大小為（）A．15° B．25° C．30° D．45°5、某校舉辦了“送福迎新春，剪紙慶佳節(jié)”比賽．以下參賽作品中，是中心對稱圖形的是（

）．A． B． C． D．6、如圖，四邊形是菱形，，且，為對角線（不含點）上任意一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，當取最小值時的長（

）A． B．3 C．1 D．27、下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．8、下列圖形中既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．9、如圖，在中，，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點A，B的對應點分別為D，E，連接．當點A，D，E在同一條直線上時，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．10、在下列面點烘焙模具中，其圖案是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題70分）二、填空題（10小題，每小題4分，共計40分）1、如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點C和點E是對應點，若∠CAE=90°，AB=1，則BD=_________．2、在平面直角坐標系中點M（2，﹣4）關(guān)于原點對稱的點的坐標為_____．3、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點D在線段BC上，BD＝3，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，EF⊥AC，垂足為點F．則AF的長為________．4、下列4種圖案中，是中心對稱圖形的有_____個．5、將圖1剪成若干小塊，再圖2中進行拼接平移后能夠得到①、②、③中的__________．6、如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形OAB，，點O為坐標原點，點B在x軸上，點A的坐是（1，1）．若將繞點O順時針方向依次旋轉(zhuǎn)45°后得到，，，…，可得，，，…，則的坐標是______．7、如圖，在Rt△ABC，∠B＝90°，∠ACB＝50°．將Rt△ABC在平面內(nèi)繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，連接CC′．若AB∥CC′，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_____°．8、如圖，將的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到AE，直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AF，連結(jié)EF．若，，且，則_____．9、如圖，已知點的坐標是，，點的坐標是，，菱形的對角線交于坐標原點，則點的坐標是______．10、點與點關(guān)于原點對稱，則點的坐標是_________．三、解答題（6小題，每小題5分，共計30分）1、問題情境：數(shù)學活動課上，老師讓同學們以“三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學活動，△ABC和△DEC是兩個全等的直角三角形紙片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解決問題：（1）如圖1，智慧小組將△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)當點D恰好落在AB邊上時，DE∥AC，請你幫他們證明這個結(jié)論；（2）縝密小組在智慧小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，當△DEC繞點C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時，連接AE、AD、BD，他們提出S△BDC＝S△AEC，請你幫他們驗證這一結(jié)論是否正確，并說明理由．2、在平面直角坐標系中已知拋物線經(jīng)過點和點，點為拋物線的頂點．(1)求拋物線的表達式及點的坐標；(2)將拋物線關(guān)于點對稱后的拋物線記作，拋物線的頂點記作點，求拋物線的表達式及點的坐標；(3)是否在軸上存在一點，在拋物線上存在一點，使為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點坐標，若不存在，請說明理由．3、（1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大??；（提示：將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處）．（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點，且∠EAF＝45°．求證：EF2＝BE2+FC2；（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，點O為△ABC內(nèi)一點，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝，求OA+OB+OC的值．4、如圖，在等邊中，D為BC邊上一點，連接AD，將沿AD翻折得到，連接BE并延長交AD的延長線于點F，連接CF．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的大小；（3）猜想CF，BF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．5、如圖，已知線段BC繞某定點O順時針旋轉(zhuǎn)得到線段EF，其中點B的對應點是E．(1)請確定點O的位置（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的情況下，點A位于BC上方，點D位于EF右側(cè)，且△ABC，△DEF均為等邊三角形．求證：△DEF是由△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到．6、在中，，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點A、B的對應點分別是D、E．(1)當點E恰好在AC上時，如圖1，求的大??；(2)若時，點F是邊AC中點，如圖2，求證：四邊形BEDF是平行四邊形（請用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）-參考答案-一、單選題1、D【解析】【分析】先依據(jù)，即可得出點P所在的象限，再根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴點在第二象限，∴點關(guān)于原點對稱點在第四象限.故選D．【考點】本題主要考查了關(guān)于原點對稱的兩個點的坐標特征，明確關(guān)于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標均互為相反數(shù)是解答的關(guān)鍵．2、D【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念結(jié)合各圖形的特點求解．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；B、不是中心對稱圖形，不符合題意；C、不是中心對稱圖形，不符合題意；D、是中心對稱圖形，符合題意．故選：D．【考點】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．3、D【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，結(jié)合∠BAC=35°，可知∠BAE=35°，則可證得△CAB≌△EAB，即可作答．【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=70°-35°=35°，AC=AE，AB=AD，BC=DE，∠ABC=∠ADE，故A、B錯誤，∴∠CAB=∠EAB，∵AC=AE，AB=AB，∴△CAB≌△EAB，∴△EAB≌△EAD∴∠BEA=∠DEA，∴AE平分∠BED，故D正確，∴AD+BE=AB+BE＞AE=AC，故C錯誤，故選：D．【考點】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，求出∠BAE=35°是解答本題的關(guān)鍵．4、C【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)，可知∠ABC＝90°，再由旋轉(zhuǎn)，可知△ABB’為等腰三角形，根據(jù)內(nèi)角和求解即可.【詳解】解：連接BB′．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠CBB′=15°，∴∠ABB′=90°-15°=75°，∵AB=AB′，∴∠ABB′=∠AB′B=75°，∴∠BAB′=180°-2×75°=30°，∴α=30°，故選：C．【考點】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．5、D【解析】【詳解】解：選項A，B，C中的圖形不是中心對稱圖形，選項D中的圖形是中心對稱圖形，故選D【考點】本題考查的是中心對稱圖形的識別，中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)后能夠與自身重合，則這個圖形是中心對稱圖形，掌握“中心對稱圖形的定義”是解本題的關(guān)鍵.6、D【解析】【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”，當E,F,G,C共線時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長．【詳解】解：如圖：∵將ΔABG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到ΔEBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴ΔBFG是等邊三角形，∴BF=BG=FG，∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根據(jù)“兩點之間線段最短”，∴當E,F,G,C共線時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，過E點作EH⊥BC交CB的延長線于H，如上圖所示：∴∠EBH=60°，∵，∴，EH=3，∴EC=2EH=6，∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴,故選：D．【考點】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短路線問題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7、B【解析】【分析】利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項判斷即可．【詳解】A．是軸對稱圖形不是中心對稱圖形．故A不符合題意．B．是軸對稱圖形也是中心對稱圖形．故B符合題意．C．是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形．故C不符合題意．D．不是中心對稱圖形也不是軸對稱圖形．故D不符合題意．故選：B【考點】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，根據(jù)選項靈活判斷其圖形是否符合題意是解本題的關(guān)鍵．8、B【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：B．【考點】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．9、D【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)可知，即可求出，由于，則可判斷，即A選項錯誤；由旋轉(zhuǎn)可知，由于，即推出，即B選項錯誤；由三角形三邊關(guān)系可知，即可推出，即C選項錯誤；由旋轉(zhuǎn)可知，再由，即可證明為等邊三角形，即推出．即可求出，即證明，即D選項正確；【詳解】由旋轉(zhuǎn)可知，∵點A，D，E在同一條直線上，∴，∵，∴，故A選項錯誤，不符合題意；由旋轉(zhuǎn)可知，∵為鈍角，∴，∴，故B選項錯誤，不符合題意；∵，∴，故C選項錯誤，不符合題意；由旋轉(zhuǎn)可知，∵，∴為等邊三角形，∴．∴，∴，故D選項正確，符合題意；故選D．【考點】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的判定．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．10、D【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)得出圖形旋轉(zhuǎn)180°，與原圖形能夠完全重合的圖形是中心對稱圖形，分別判斷得出即可．【詳解】解：A.不是中心對稱圖形，不符合題意；B.不是中心對稱圖形，不符合題意；C.不是中心對稱圖形，不符合題意；D.是中心對稱圖形，符合題意；故選：D．【考點】此題主要考查了中心對稱圖形的性質(zhì)，根據(jù)中心對稱圖形的定義判斷圖形是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題1、【解析】【詳解】∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)的到△ADE，點C和點E是對應點，∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°，∴BD===.故答案為:.2、【解析】【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，若兩點關(guān)于原點對稱，則這兩點的橫縱坐標均互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】解：點M（2，﹣4）關(guān)于原點對稱的點的坐標為故答案為：【考點】本題主要考查了兩點關(guān)于坐標原點對稱的特征，熟練掌握在平面直角坐標系中，若兩點關(guān)于原點對稱，則這兩點的橫縱坐標均互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．3、1【解析】【分析】根據(jù)勾股定理先求出BC邊長，再求出DC長，過點D作DM垂直AC，可證，即AF=DM，在等腰直角△DMC中可求DM，即可直接求解．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，根據(jù)勾股定理得，AB2+AC2=BC2，∴．又∵BD=3，∴DC＝BC?BD＝．過點D作DM⊥AC于點M，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DAE=90°，AD＝AE，∴∠DAC+∠EAF=90°．又∵∠DAC+∠ADM=90°，∴∠ADM=∠EAF．在Rt△ADM和Rt△EAF中，．∴（AAS），∴AF=DM．在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得，DM2+MC2=DC2，∴DM=1，∴AF=DM=1．故答案為：1．【考點】本題主要考查等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ADM≌△EAF是解答本題的關(guān)鍵．4、2【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念即可求解.【詳解】第1個圖形，是中心對稱圖形，符合題意；第2個圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；第3個圖形，是中心對稱圖形，符合題意；第4個圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意.故答案為：2.【考點】本題考查了中心對稱圖形，掌握好中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.5、①②##②①【解析】【詳解】解：根據(jù)圖形1可得剪成若干小塊，再圖2中進行拼接平移后能夠得到①、②，不能拼成③，故答案為：①②．6、【解析】【分析】根據(jù)題意求出：，，，，，的坐標，推導出每旋轉(zhuǎn)8次為一個循環(huán)，再由，求出對應的點坐標即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，，，，，，，…，∴可推導一般性規(guī)律：點坐標的變化每旋轉(zhuǎn)8次為一個循環(huán)，∵，∴的坐標是．故答案為：．【考點】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，點坐標的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于推導出一般性規(guī)律．7、100【解析】【分析】由，可得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由三角形內(nèi)角和定理得，計算求解即可．【詳解】解：∵∴∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∴∴故答案為：100．【考點】本題考查了平行的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角，等邊對等角，三角形的內(nèi)角和定理等知識．解題的關(guān)鍵在于找出旋轉(zhuǎn)角．8、【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求EF的長．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，且，，，，故答案為．【考點】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，靈活運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．9、【解析】【分析】根據(jù)菱形具有的平行四邊形基本性質(zhì)，對角線互相平分，且交點為坐標原點，則，關(guān)于原點對稱，因此在直角坐標系中兩點的坐標關(guān)于原點對稱，橫坐標與橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標與縱坐標互為相反數(shù)便可得.【詳解】∵四邊形是菱形，對角線相交于坐標原點∴根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，和；和均關(guān)于原點對稱根據(jù)直角坐標系上一點關(guān)于原點對稱的點為可得已知點的坐標是，則點的坐標是.故答案為：.【考點】本題旨在考查菱形的基本性質(zhì)及直角坐標系中關(guān)于原點對稱點的坐標的知識點，熟練理解掌握該知識點為解題的關(guān)鍵.10、（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．【詳解】∵點A（2，1）與點B關(guān)于原點對稱，∴點B的坐標是（﹣2，﹣1），故答案為（﹣2，﹣1）．【考點】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標．三、解答題1、（1）證明見解析；（2）正確，理由見解析【解析】【分析】（1）如圖1中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD＝60°，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行進行解答；（2）如圖2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延長線于N．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．【詳解】解：（1）如圖1中，∵△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；（2）結(jié)論正確，理由如下：如圖2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延長線于N．∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S△BDC＝S△AEC．【考點】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合應用，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2、(1)(2)(3)存在，【解析】【分析】（）利用待定系數(shù)法將兩個已知點坐標代入拋物線方程之后解二元一次方程組即可求出解析式，再利用頂點坐標公式求出拋物線的頂點坐標；（）先將點關(guān)于點的對稱點的坐標求出來，由與關(guān)于點對稱可得的開口向下，所以的，再設(shè)頂點坐標公式后求出對稱后的拋物線的解析式；（）分類討論當為四邊形的對角線時和當為平行四邊形的邊時的情況．(1)把和代入有得：L1的函數(shù)表達式為，頂點D的坐標為．(2)與關(guān)于點對稱，的頂點的坐標為，點坐標為，L2的函數(shù)表達式為；(3)存在，理由如下：如下圖所示，當為四邊形的對角線時，點與點關(guān)于點對稱，點為平行四邊形的對稱中心，當與重合時，點為關(guān)于的對稱點，此時點坐標為．②當為平行四邊形的邊時，過點作軸于點，過點作軸的平行線，過點作軸的平行線，兩線交于一點，四邊形是平行四邊形，，此時容易證明和全等，得出，即點的縱坐標為，把代入得，解得：，，此時點的坐標，，綜上所述點共有三個，坐標分別是．【考點】本題主要考查二次函數(shù)解析式求解、利用尺規(guī)作關(guān)于中心對稱的圖形，平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)，明確對稱中心的位置，分別找出原圖中各個關(guān)鍵點的坐標是解決本題的關(guān)鍵．3、（1）150°；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）根將△APB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，全等三角形對應角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理即可得到結(jié)論；（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，從而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得證；（3）將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BOO′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．【詳解】解：（1）如圖1，將△APB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，∴△ACP′≌△ABP，∴AP′=AP=8、CP′=BP=15、∠AP′C=∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′=60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′=AP=8，∠AP′P=60°，∵PP′2+P′C2=82+152=172=PC2，∴∠PP′C=90°，∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；（2）如圖2，把△ABE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，則AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠CAF=∠CAF+∠CAE′=∠FAE′=45°，∴∠EAF=∠E′AF，且AE=AE'，AF=AF，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠ACB+∠ACE′=90°，∴∠FCE′=90°，∴E′F2=CF2+CE′2，∴EF2=BE2+CF2；（3）如圖3，將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，∠ABC=30°，∴AB=，∴BC==，∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴△A′O′B如圖所示；∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，∴A′B=AB=，BO=BO′，A′O′=AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，∴C、O、A′、O′四點共線，在Rt△A′BC中，A′C=，∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．【考點】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．4、（1）20°；（2）；（3）AF=CF+BF，理由見解析【解析】【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，得到AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由折疊的性質(zhì)可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，則∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，，∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；（2）同（1）求解即可；（3）如圖所示，將△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACG，先證明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC，然后證明∠AFE=∠AFC=60°，得到∠BFC=120°，即可證明F、C、G三點共線，得到△AFG是等邊三角形，則AF=GF=CF+CG=CF+BF．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由折疊的性質(zhì)可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，∴，∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°，由折疊的性質(zhì)可知，，AC=AE，∴，AB=AE，∴，∴；（3）AF=CF+BF，理由如下：如圖所示，將△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACG，∴AF=AG，∠FAG=60°，∠ACG=∠ABF，BF=CG在△AEF和△ACF中，，∴△AEF≌△ACF（SAS），∴∠AFE=∠AFC，∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°，∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°，∴∠BFD=∠ACD=60°，∴∠AFE=∠AFC=60°，∴∠BFC=120°，∴∠BAC+∠BFC=180°，∴∠ABF+∠ACF=180°，∴∠ACG+∠ACF=180°，∴F、C、G三點共線，∴△AFG是等邊三角形，∴AF=GF=CF+CG=CF+BF．【考點】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理