1.3.2課時(shí)3基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問(wèn)題.(邏輯推理)2.能夠建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)建模)【自主預(yù)習(xí)】春天到了，學(xué)校決定用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的花圃.有以下兩種方案：圓形花圃，造價(jià)為12元/m；矩形花圃，造價(jià)為10元/m.1.你覺(jué)得哪個(gè)方案更省錢(qián)呢?(π≈1.772，結(jié)果保留整數(shù))2.假如現(xiàn)在只有36m的籬笆可用，怎樣設(shè)計(jì)才能使得矩形花圃的面積最大?1.某養(yǎng)鴨戶需要在河邊用圍欄圍起一個(gè)面積為200m2的矩形鴨子活動(dòng)場(chǎng)地，面向河的一邊敞開(kāi)不需要圍欄，則圍欄總長(zhǎng)最小需要().A.20mB.40mC.60mD.80m2.某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成正比.如果在距離車(chē)站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站().A.5千米處B.4千米處C.3千米處D.2千米處3.若在如圖所示的銳角三角形空地中，建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)_______m.

4.甲工廠承擔(dān)了某種產(chǎn)品的生產(chǎn)，當(dāng)以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)時(shí)(為保證質(zhì)量，要求1≤x≤10)，每小時(shí)消耗A材料(kx2+9)千克，已知當(dāng)每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí)，消耗A材料10千克.如果消耗A材料的總重量為y千克，那么要使生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗A材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度?此時(shí)消耗A材料多少千克?【合作探究】探究1利用基本不等式解決幾何的實(shí)際問(wèn)題問(wèn)題：將一根鐵絲切割成三段，做一個(gè)面積為2m2，形狀為直角三角形的框架.甲、乙、丙、丁四種鐵絲的長(zhǎng)度分別為6.5m，6.9m，7m，7.2m，選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的鐵絲是哪種?為什么?利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要審清題意，然后將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后運(yùn)用基本不等式解決問(wèn)題.例1如圖，某大學(xué)要修建一個(gè)面積為216m2的長(zhǎng)方形景觀水池，并且在景觀水池的四周要修建出寬為2m和3m的小路，則總占地面積的最小值為().A.321m2B.384m2C.392m2D.420m2【方法總結(jié)】利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般先建立關(guān)于目標(biāo)量的函數(shù)關(guān)系，再利用基本不等式求解目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值及取最大(小)值的條件.某鎮(zhèn)計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室.在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地.當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大?最大種植面積是多少?探究2生活中的最優(yōu)化問(wèn)題某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物900噸，現(xiàn)分次購(gòu)買(mǎi)，若每次購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為9萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.問(wèn)題1：如何求一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和的最小值?問(wèn)題2：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題要注意什么?在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意如下的思路和方法：(1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；(3)在自變量的取值范圍內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)根據(jù)實(shí)際背景寫(xiě)出答案.例2某種生產(chǎn)設(shè)備購(gòu)買(mǎi)時(shí)的費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年的設(shè)備管理費(fèi)共計(jì)0.9萬(wàn)元，這種生產(chǎn)設(shè)備使用x年的維修費(fèi)為z=0.1x2+0.1x(單位：萬(wàn)元).這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報(bào)廢最合算(使用多少年的年平均費(fèi)用最少)?【方法總結(jié)】對(duì)于應(yīng)用題，先弄清題意(審題)，建立數(shù)學(xué)模型(列式)，再用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題(求解)，最后要結(jié)合題意下結(jié)論(作答).使用基本不等式求最值，要注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立，若等號(hào)不成立，可考慮利用函數(shù)的圖象求解.某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算，若將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為(560+48x)元.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層?注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=購(gòu)地總費(fèi)用建筑總面積【隨堂檢測(cè)】1.某公司購(gòu)買(mǎi)了一批機(jī)器并投入生產(chǎn)，若每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)s(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t(單位：年，t∈N*)的關(guān)系為s=t2+22t64，若要使年平均利潤(rùn)最大，則每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間t為().A.10B.11C.7D.82.一批貨物隨17列火車(chē)從A市以v千米/時(shí)的速度勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長(zhǎng)400千米，為了安全，兩列火車(chē)的間距不得小于v202千米，若這批貨物全部運(yùn)到B市，則最快需要________小時(shí)3.某校為了美化校園環(huán)境，計(jì)劃在學(xué)校空地建設(shè)一個(gè)面積為24m2的長(zhǎng)方形草坪，如圖所示，草坪中間設(shè)計(jì)一個(gè)矩形區(qū)域ABCD種植花卉，矩形ABCD上、下各留1m，左、右各留1.5m的空間種植草.設(shè)草坪的長(zhǎng)度為x(單位：m)，寬度為y(單位：m)，矩形ABCD的面積為S(單位：m2).(1)試用x，y表示S；(2)求S的最大值，并求出此時(shí)x，y的值.

參考答案1.3.2課時(shí)3基本不等式的實(shí)際應(yīng)用自主預(yù)習(xí)·悟新知預(yù)學(xué)憶思1.圓形花圃：設(shè)圓形花圃的半徑為rm，周長(zhǎng)為Cm，面積為S圓m2，則S圓=πr2=100，解得r=10π，∴C=2πr=20π，故花費(fèi)為20π×12≈425(元)矩形花圃：設(shè)相鄰兩邊為xm，ym，則S矩形=xy=100，∴C=2(x+y)≥4xy=40，故當(dāng)x=y=10時(shí)花費(fèi)最少，最少為400元.故矩形花圃最省錢(qián).2.設(shè)矩形相鄰兩邊為xm，ym，由C=2(x+y)=36，得x+y=18.∵x+y≥2xy，∴18≥2xy，∴S=xy≤81，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí)，面積有最大值，最大值為81m2.自學(xué)檢測(cè)1.B【解析】設(shè)此矩形面向河的一邊的邊長(zhǎng)為xm，相鄰的一邊的邊長(zhǎng)為ym，則xy=200(x>0，y>0).設(shè)圍欄總長(zhǎng)為lm，則l=x+2y≥22xy=40，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)，取等號(hào)此時(shí)x=20，y=10，則圍欄總長(zhǎng)最小需要40m.2.A【解析】設(shè)y1=k1x，y2=k2x(x為倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離，x>0)，由題意得2=k110，8=10k2，得k1=20，k2=0.8，所以y1=20x，y2費(fèi)用之和y=y1+y2=20x+0.8x≥220x·0.8x當(dāng)且僅當(dāng)20x=0.8x，即x=5時(shí)，等號(hào)成立3.20【解析】設(shè)矩形花園的寬為ym(0<y<40)，由相似三角形性質(zhì)可得x40=40-y40，則y=40x，所以矩形花園的面積S=x(40x)≤x+40-x22=400，當(dāng)且僅當(dāng)x=40x，即x=20時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)x=20m4.【解析】由題意，得k+9=10，即k=1，生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品需要的時(shí)間是1000x小時(shí)所以生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品需消耗的A材料的重量為y=1000x(x2+9)=1000x+9x≥1000×2x·9x=6000，當(dāng)且僅當(dāng)x=9x，即x=3時(shí)，等號(hào)成立，且1<故工廠應(yīng)選取3千克/時(shí)的生產(chǎn)速度，此時(shí)消耗的A材料最少，最少為6000千克.合作探究·提素養(yǎng)探究1情境設(shè)置問(wèn)題：選用最合理的鐵絲是乙.設(shè)兩直角邊分別為am，bm，框架的周長(zhǎng)為lm，則12ab=2，∴ab=4，故l=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=4+22≈6.828(當(dāng)且僅當(dāng)所以乙夠用且浪費(fèi)最少.新知運(yùn)用例1B【解析】設(shè)水池的寬為xm，則長(zhǎng)為216xm則總占地面積y=(x+4)216x+6=240+6x+864x≥240+26x·864x當(dāng)且僅當(dāng)6x=864x，即x=12時(shí)取等號(hào)故總占地面積的最小值為384m2.鞏固訓(xùn)練【解析】設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為am，后側(cè)邊長(zhǎng)為bm，蔬菜的種植面積為Sm2，則ab=800，所以S=(a4)(b2)=ab4b2a+8=8082(a+2b)≤80842ab=648當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即a=40，b=20時(shí)，等號(hào)成立，則Smax=648.故當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40m，后側(cè)邊長(zhǎng)為20m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.探究2情境設(shè)置問(wèn)題1：由題意知，一年的總運(yùn)費(fèi)為900x·9=8100x∴一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為4x+又4x+8100x≥24x·8100x=360，當(dāng)且僅當(dāng)4x=8100x，即∴當(dāng)x=45時(shí)，一年的總費(fèi)用與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，最小值為360萬(wàn)元.問(wèn)題2：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后用基本不等式求解.新知運(yùn)用例2【解析】設(shè)使用x年的年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元.由題意得y=10+0.9x+0.1x2+0.1xx，即y=1+10x+由基本不等式知y≥1+210x·x10=3，當(dāng)且僅當(dāng)10x=x10因此，使用10年報(bào)廢最合算，其年平均費(fèi)用為3萬(wàn)元.鞏固訓(xùn)練【解析】由題意知，每平方米的平均購(gòu)地費(fèi)用為2160×1042000∴每平方米的平均綜合費(fèi)用y=560+48x+10800x=560+48x當(dāng)x+225x取最小值時(shí)，y取得最小值∵x≥10，∴x+225x≥2x·225當(dāng)且僅當(dāng)x=225x，即x=15時(shí)，等號(hào)成立∴當(dāng)x=15時(shí)，y取得最小值，最小值為2000元，即該樓房建為15層時(shí)，每平方米的平均綜合費(fèi)用最少.隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)1.D【解析】因?yàn)槊颗_(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)s(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t(單位：年)的關(guān)系為s=t2+22t64，所以年平均利潤(rùn)y=st=t64t+22=t+64t+22≤2t·64t+當(dāng)且僅當(dāng)t=8時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)8年時(shí)，獲得的年平均利潤(rùn)最大.故選D.2.8【解析】設(shè)這批貨物從A市全部運(yùn)到B市的時(shí)間為t小時(shí)，則t