專題10概率、統(tǒng)計與分布列一、單選題1．（2022·湖北·襄陽五中高三階段練習）對于正方體6個面的中心，甲，乙兩人分別從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先確定甲，乙兩人分別從這6個點中任意選兩個點連成直線的所有結(jié)果的個數(shù)，再確定所得兩條直線相互垂直的選法數(shù)，利用古典概型概率公式求概率.【詳解】因為從正方體6個面的中心中任取兩點連成直線，可得條直線，如圖所示：設正方體的邊長為2，則，，,,由正方體性質(zhì)可得平面,平面,平面,四邊形,四邊形，四邊形均為正方形，故當甲選時,乙選或或或或或時，甲，乙所選的點的連線垂直，甲選時，乙選或或時，甲，乙所選的點的連線垂直，所以甲，乙兩人分別從這6個點中任意選兩個點連成直線共有種選法，所以甲選相對兩個面的中心時，甲乙所選的點的連線垂直的選法有種，若甲選相鄰兩個側(cè)面的中心時，滿足甲乙所選的點的連線垂直的選法有種，故甲，乙所選的點的連線垂直的選法共有54種，所以事件甲乙所選的點的連線垂直的概率,故選：A.2．（2022·河南·高三開學考試（理））某車間打算購買2臺設備，該設備有一個易損零件，在購買設備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個120元．在設備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件時，價格為每個280元．在使用期間，每臺設備需更換的零件個數(shù)X的分布列為X678P0.40.50.1若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，則在使用期間，這2臺設備另需購買易損零件所需費用的期望為（

）．A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元【答案】D【分析】由題意2臺設備使用期間需更換的零件數(shù)可能取值為12、13、14、15、16，再求出它們對應的概率，進而求2臺設備另需購買易損零件所需費用可能值及其概率，最后求期望即可.【詳解】記Y表示2臺設備使用期間需更換的零件數(shù)，則Y的可能取值為12，13，14，15，16，，，，，．若購買2臺設備的同時購買易損零件13個，在使用期間，記這2臺設備另需購買易損零件所需費用為Z元，則Z的可能取值為0，280，560，840，，，，，．故選：D3．（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）“雙減”政策落實下倡導學生參加戶外活動，增強體育鍛煉，甲、乙、丙三位同學在觀看北京冬奧會后，計劃從冰球、短道速滑、花樣滑冰三個項目中各自任意選一項進行學習，每人選擇各項運動的概率均為，且每人選擇相互獨立，則至少有兩人選擇花樣滑冰的前提下甲同學選擇花樣滑冰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別計算“至少有兩人選擇花樣滑冰”和“甲同學選擇花樣滑冰的同時，乙、丙至少有一人選擇花樣滑冰”的概率，即可求出條件概率．【詳解】記事件為“至少有兩人選擇花樣滑冰”，事件為“甲同學選擇花樣滑冰則”，，，所以，．故選：D.4．（2022·遼寧葫蘆島·一模）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，…，，其中，c為非零常數(shù)，則（

）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同 B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本眾數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同【答案】A【分析】由方差、平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的定義依次判斷即可.【詳解】因為原來樣本平均數(shù)，新樣本平均數(shù)，C錯誤；原來方差為，新樣本方差為，A正確；設原樣本眾數(shù)為，則新樣本眾數(shù)為，B錯誤；設原樣本中位數(shù)為，則新樣本中位數(shù)為，D錯誤.故選：A.5．（2022·內(nèi)蒙古通遼·二模（理））某市為推進“垃圾分類”這項工作的實施，開展了“垃圾分類進校園”的活動.現(xiàn)對該市某學校高二年級示范班級學生進行考核，從該班男生?女生中各隨機選出5名進行考核打分，滿分為100分，評分后得到這10人得分的莖葉圖如圖所示，則選出的男生?女生得分的方差分別為（

）A．8；6 B．6；8 C．64；36 D．36；64【答案】A【分析】利用平均值和方差公式，即可求解.【詳解】男生得分的平均值為，方差為；女生得分的平均值為，方差為.故選：A.6．（2022·河北·模擬預測）圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今已有四千多年歷史，蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國際比賽中，中國派出包含甲?乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個小組，其中一個小組有3位，另外一個小組有2位，則甲和乙不在同一個小組的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】這5名棋手分別記為：甲，乙，，利用列舉法寫出基本事件，最后利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】這5名棋手分別記為:：甲，乙，，分組情況有：（甲乙A，BC），（甲乙B，AC），（甲乙C，AB），（甲AB，乙C），（甲AC，乙B）（甲BC，乙A），（乙AB，甲C），（乙AC，甲B），（乙BC，甲A），（ABC，甲乙）共10種，其中甲和乙不在同一人組的有6種，分別為：（甲AB，乙C），（甲AC，乙B）（甲BC，乙A），（乙AB，甲C），（乙AC，甲B），（乙BC，甲A），所以甲和乙不在同一個小組的概率為.故選：C.7．（2022·全國·高三專題練習（文））已知與之間的實驗數(shù)據(jù)如下，12345345672.534.56且關于的線性回歸方程為.現(xiàn)從這5組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組，則至少有一組的的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由線性回歸方程必過樣本點中心可求出的值，然后求出總的基本事件數(shù)和符合條件的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由已知條件得，，由線性回歸方程必過樣本點中心，將代入線性回歸方程可得，設事件“至少有一組的”，其中的數(shù)據(jù)為和，則.故選:.8．（2022·湖北武漢·高三期末）在次獨立重復試驗中，每次試驗的結(jié)果只有A，B，C三種，且A，B，C三個事件之間兩兩互斥.已知在每一次試驗中，事件A，B發(fā)生的概率均為，則事件A，B，C發(fā)生次數(shù)的方差之比為（

）A．5：5：4 B．4：4：3 C．3：3：2 D．2：2：1【答案】C【分析】事件A，B，C發(fā)生次數(shù)均服從二項分布，然后分別求出二項分布，再分別計算二項分布的方差即可【詳解】根據(jù)事件的互斥性可得：每一次試驗中，事件發(fā)生的概率為設事件A，B，C發(fā)生的次數(shù)為分別隨機變量，則有：則事件A，B，C發(fā)生次數(shù)的方差分別為：，，故事件A，B，C發(fā)生次數(shù)的方差之比為：故選：C9．（2022·云南師大附中高三階段練習（理））根據(jù)氣象學上的標準，連續(xù)5天的日平均氣溫低于即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)；②平均數(shù)且極差小于或等于3；③平均數(shù)且標準差；④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．則4組樣本中一定符合入冬指標的共有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】B【分析】舉反例否定①；反證法證明②符合要求；舉反例否定③；直接法證明④符合要求.【詳解】①舉反例：，，，，，其平均數(shù)．但不符合入冬指標；②假設有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3可知，則此組數(shù)據(jù)中的最小值為，此時數(shù)據(jù)的平均數(shù)必然大于7，與矛盾，故假設錯誤.則此組數(shù)據(jù)全部小于10.符合入冬指標；③舉反例：1，1，1，1，11，平均數(shù)，且標準差.但不符合入冬指標；④在眾數(shù)等于5且極差小于等于4時，則最大數(shù)不超過9.符合入冬指標.故選：B．10．（2022·全國·高三專題練習）隨機變量的分布列是（

）246A． B．C． D．【答案】A【分析】由均值的定義求出均值,由方差公式計算出方差做差比較可得.【詳解】，故選：A【點睛】1．均值與方差的一般計算步驟(1)理解的意義，寫出的所有可能取的值；(2)求取各個值的概率，寫出分布列；(3)根據(jù)分布列，由均值的定義求出均值，進一步由公式求出11．（2021·全國·高三專題練習）甲乙兩人進行乒乓球賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每局比賽都沒有平局（必須分出勝負），且每一局甲贏的概率都是，隨機變量表示最終的比賽局數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合二項分布可計算隨機變量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求其范圍.【詳解】隨機變量可能的取值為..，故的分布列為：23故因為，故，而，故A、B錯誤.而，令，因為，故，此時，必成立，故C錯誤，D正確.故選：D.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列、期望、方差的計算以及函數(shù)的值域的求法，計算分布列時可借助常見的分布列（如二項分布等）來計算，估計方差的范圍時，注意利用換元法把高次函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題.12．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量ξ的分布列，則下列說法正確的是A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．對任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤C．對任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>【答案】C【分析】表示出期望與方差，利用基本不等式證明不等關系?！驹斀狻拷猓阂李}意可得，因為所以即故，錯誤；即，故成立；故錯誤故選：【點睛】本題考查簡單隨機變量的分布列中期望和方差的運算，屬于難題。二、填空題13．（2021·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學研究室高三開學考試）袋中有4個紅球，m個黃球，現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球個數(shù)為.若取出的兩個球都是紅球的概率為，則______.【答案】【分析】由即可求出的值，則可求出，的值，即可求出答案.【詳解】由題意知：，所以，，所以.故答案為：14．（2022·湖北·荊州中學高三開學考試）由6個實數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)的方差為，將其中一個數(shù)5改為2，另一個數(shù)4改為7，其余的數(shù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)的方差為，則________．【答案】2【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義進行求解即可.【詳解】因為將其中一個數(shù)5改為2，另一個數(shù)4改為7，其余的數(shù)不變，所以這6個實數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，設為，設沒有變化的4個數(shù)與平均數(shù)差的平方和為，所以，故答案為：15．（2017·河南洛陽·二模（文））已知，，，，動點滿足且，則點到點的距離大于的概率為______．【答案】【詳解】由題意得，因為，所以動點滿足且，所以，則點到點的距離為，作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖所示，因為點到點的距離大于，所以，則對應的部分為陰影部分，由，即點，則,所以正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為.點睛：本題主要考查了幾何概型及其概率的計算問題，其中解答中涉及到向量的數(shù)量積的運算，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，簡單的線性規(guī)劃的應用，幾何概型及其概率的計算公式等知識點的綜合應用，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，本題的解答中利用向量的數(shù)量積的運算，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃求解是解答的關鍵.16．（2018·河南鄭州·高三階段練習（文））點是正方體的體對角線上靠近點的四等分點，在正方體隨機取一點，則點滿足的概率為________.【答案】【詳解】設正方體棱長為4，以為原點建立空間直角坐標系，則，則，設，根據(jù)條件，即，整理得：，所以點的軌跡是以為球心，為半徑的球的體積的，體積為，所以根據(jù)幾何概型，所求