[核心必知]1．度量角的單位制(1)角度制規(guī)定周角的eq\f(1,360)為1度的角，用度作為單位度量角的單位制叫角度制．(2)弧度制在以單位長為半徑的圓中，單位長度的弧所對的圓心角稱為1弧度的角，它的單位符號是rad，讀作弧度．這種以弧度作單位度量角的單位制，叫作弧度制．2．角度與弧度的互化(1)角度制與弧度制的互化(換算)180°＝π_rad；1°＝eq\f(π,180)rad＝0.01745rad；1rad＝eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(180°,π)))＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°225°270°315°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(5π,4)eq\f(3π,2)eq\f(7π,4)2π(3)任意角的弧度數(shù)與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系任一正角的弧度數(shù)都是一個正數(shù)；任一負(fù)角的弧度數(shù)都是一個負(fù)數(shù)；零角的弧度數(shù)是0．3．扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，α為其圓心角，則度量單位類別α為角的度數(shù)α為角的弧度數(shù)扇形的弧長l＝eq\f(|α|πr,180)l＝|α|r扇形的面積S＝eq\f(|α|πr2,360)S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2[問題思考]1．半徑不同的圓中，相同的圓心角所對的角的弧度數(shù)是否相同？提示：相同．在公式|α|＝eq\f(l,r)中，角的弧度數(shù)的大小與所在圓的半徑的大小無關(guān)，只與圓心角的大小有關(guān)．2．2°與2弧度的角是否表示同一個角？提示：不是同一個角.2°是角度制，2是弧度制，2rad約為115°.3．390°可以寫成360°＋eq\f(π,6)嗎？提示：不可以，在同一表達(dá)式中角度與弧度不能混用．講一講1．(1)把112°30′化為弧度；(2)－eq\f(5π,12)rad化為度．[嘗試解答](1)∵1°＝eq\f(π,180)rad，∴112°30′＝112.5°＝112.5×eq\f(π,180)rad＝eq\f(5π,8)rad.(2)∵1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，∴－eq\f(5π,12)rad＝－eq\f(5π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－75°.1．將角度制化為弧度制，當(dāng)角度制中含有“分”“秒”單位時，應(yīng)先將它們統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為“度”，再利用1°＝eq\f(π,180)rad化為弧度便可．2．以弧度為單位表示角時，常把弧度寫成多少π的形式，如無特殊要求，不必把π寫成小數(shù)．練一練1．將下列角度與弧度互化．(1)20°；(2)eq\f(11π,12)；(3)8rad解：(1)20°＝20×eq\f(π,180)＝eq\f(π,9)，(2)eq\f(11π,12)＝eq\f(11,12)×180°＝165°.(3)8rad＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈8×57.30°＝458.40°.講一講2．把下列角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，指出它是第幾象限角并寫出與α終邊相同的角的集合．(1)－eq\f(46π,3)；(2)－1485°.[嘗試解答](1)－eq\f(46π,3)＝－8×2π＋eq\f(2π,3)，它是第二象限角，與eq\f(2π,3)終邊相同的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).(2)－1485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋eq\f(7π,4)，它是第四象限角，與eq\f(7π,4)終邊相同的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z)))).用弧度制表示角的集合時應(yīng)注意：(1)利用弧度制與角度制之間的關(guān)系將有關(guān)角化為弧度數(shù)；(2)π的倍數(shù)是偶數(shù)，α的范圍是[0，2π)(3)在表示角的集合時要使用統(tǒng)一的度量單位．練一練2．(1)用弧度表示終邊落在x軸的非正、非負(fù)半軸上，y軸的非正、非負(fù)半軸上，x軸上，y軸上的角的集合；(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合．解：(1)終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合為{β|β＝2kπ＋π，k∈Z}；終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{β|β＝2kπ，k∈Z}；終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))；終邊落在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{β|β＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}；所以，終邊落在x軸上的角的集合為{β|β＝kπ，k∈Z}；終邊落在y軸上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).(2)第一象限角為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ<β<2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))；第二象限角為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)<β<2kπ＋π，k∈Z))))；第三象限角為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π<β<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))；第四象限角為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)<β<2kπ＋2π，k∈Z)))).講一講3．(1)已知扇形的半徑為1cm，圓心角為30°，求扇形的弧長和面積．(2)已知扇形的周長為6cm，面積為2cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)．[嘗試解答](1)∵α＝30°＝eq\f(π,6)，∴l(xiāng)＝|α|×r＝eq\f(π,6)×1＝eq\f(π,6)(cm)S＝eq\f(1,2)|α|×r2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,6)×12＝eq\f(π,12)(cm2)故扇形的弧長為eq\f(π,6)cm，面積為eq\f(π,12)cm2.(2)設(shè)扇形的弧長為l，所在圓的半徑為r，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝6，,\f(1,2)lr＝2，))消去l并整理得，r2－3r＋2＝0，解得r＝1或r＝2.當(dāng)r＝1時，l＝4，圓心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,1)＝4；當(dāng)r＝2時，l＝2，圓心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,2)＝1.故扇形的圓心角為1弧度或4弧度．1．涉及扇形的周長、弧長、圓心角和面積等的計算，關(guān)鍵是要弄清題目中已知哪些量求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程組解決．2．解題過程中，常常用到方程的思想及等價轉(zhuǎn)化的思想．練一練3．扇形的周長C一定時，它的圓心角θ取何值才能使該扇形的面積S最大，最大值是多少？解：設(shè)扇形的半徑為R，則扇形的弧長為C－2R，∵S＝eq\f(1,2)(C－2R)×R＝－R2＋eq\f(C,2)R＝－(R－eq\f(C,4))2＋(eq\f(C,4))2，∴當(dāng)R＝eq\f(C,4)，即θ＝eq\f(C－2R,R)＝2時，扇形有最大面積eq\f(C2,16).用弧度表示終邊落在圖中的陰影部分內(nèi)的角的集合如圖(不包括邊界角)．[錯解](1)圖①中，S1＝{θ|2kπ＋330°<θ<2kπ＋75°，k∈Z}；(2)圖②中，S2＝{θ|2kπ＋225°<θ<2kπ＋135°，k∈Z}；(3)圖③中，S3＝{θ|2kπ＋30°<θ<2kπ＋90°或2kπ＋210°<θ<2kπ＋270°，k∈Z}．[錯因]上面解答犯了兩個錯誤：一是角的大小沒分清，如(1)中330°>75°，(2)中，225°>135°，其實寫出的集合S1，S2中不含任何元素；二是角度與弧度在同一表達(dá)式中混用．[正解](1)圖①中以O(shè)B為終邊的角為330°，可看成為－30°，化為弧度，即－eq\f(π,6)，而75°＝75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，∴所求集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)<θ<2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).(2)圖②中以O(shè)B為終邊的角225°，可看成是－135°，化為弧度，即－eq\f(3π,4)，而135°＝eq\f(3π,4)，∴所求集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)<θ<2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))).(3)圖③中，∵30°＝eq\f(π,6)，210°＝eq\f(7π,6)，∴所求集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)<θ<2kπ＋))\f(π,2)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(7π,6)<θ<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)<θ<2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(（2k＋1）π＋\f(π,6)<θ<（2k＋1）π＋\f(π,2)，k∈Z)))).1．下列說法不正確的是()A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同制度B．1度的角是圓周的eq\f(1,360)所對的圓心角，1弧度的角是圓周的eq\f(1,2π)所對的圓心角C．根據(jù)弧度的定義，180°一定等于πradD．不論是用角度制還是弧度制度量角，它們都與圓的半徑長短有關(guān)解析：選D根據(jù)角、弧度的定義，可知無論角度制還是弧度制，角的大小都與圓的半徑長短無關(guān)，而與弧長與半徑的比值有關(guān)，所以D錯誤．2．若α＝1920°，則該角的弧度數(shù)為()A.eq\f(16,3)B.eqB.eq\f(32,3)C.eq\f(16π,3)D.eqD.\f(32π,3)解析：選D∵1°＝eq\f(π,180)弧度，∴1920°＝1920×eq\f(π,180)rad＝eq\f(32π,3)rad.3．－eq\f(29π,12)的終邊所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選D－eq\f(29π,12)＝－2π－eq\f(5π,12)，因為－eq\f(5π,12)是第四象限角，所以－eq\f(29π,12)是第四象限角．4．已知半徑為10cm的圓上，有一條弧的長是40cm，則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)是________．解析：由l＝|α|×r，得弧度數(shù)為4.答案：45．已知一扇形的圓心角是72°，半徑為20cm，則扇形的面積是________．解析：設(shè)扇形的弧長為l.∵72°＝72×eq\f(π,180)rad＝eq\f(2π,5)rad，∴l(xiāng)＝|α|×r＝eq\f(2π,5)×20＝8π(cm)，∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×8π×20＝80π(cm2)．答案：80πcm26．(1)把－1480°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β與(1)中α的終邊相同，求β.解：(1)∵－1480°＝－eq\f(1480π,180)＝－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16π,9)，又0≤eq\f(16π,9)<2π，∴－1480°＝eq\f(16π,9)－2×5π＝eq\f(16π,9)＋2×(－5)π.(2)由(1)可知α＝eq\f(16π,9).∵β與α終邊相同，∴β＝2kπ＋eq\f(16π,9)，k∈Z.又∵β∈[－4π，0]，令k＝－1，則β＝－eq\f(2π,9)，令k＝－2，則β＝－eq\f(20π,9)，∴β的值是－eq\f(2π,9)，－eq\f(20π,9).一、選擇題1．下列命題中，真命題是()A．1弧度是1度的圓心角所對的弧B．1弧度是長度為半徑的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角之和D．1弧度的角是長度等于半徑長的弧所對的圓心角解析：選D由弧度制定義知D正確．2．α＝－2rad，則α的終邊在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選C∵－π<－2<－eq\f(π,2)，∴α的終邊落在第三象限，故選C.3．時鐘的分針在1時到3時20分這段時間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A.eq\f(14π,3)B．－eq\f(14π,3)C.eq\f(7π,18)D．－eq\f(7π,18)解析：選B顯然分針在1時到3時20分這段時間里，順時針轉(zhuǎn)過了2eq\f(1,3)周，其弧度數(shù)為－(2π×eq\f(7,3))＝－eq\f(14π,3)rad.4．設(shè)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋（－1）k×\f(π,2)，k∈Z))))，B＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\o(\s\up7(,)))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，則集合A與B之間的關(guān)系為()A．ABB．ABC．A＝BD．A∩B＝?解析：選C對于集合A，當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，x＝2nπ＋eq\f(π,2)，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，x＝2nπ＋π－eq\f(π,2)＝2nπ＋eq\f(π,2)∴A＝B，故選C.二、填空題5．在半徑為2的圓內(nèi)，弧長為eq\f(2π,3)的圓心角的度數(shù)為________．解析：設(shè)所求的角為α，角α＝eq\f(\f(2π,3),2)＝eq\f(π,3)＝60°.答案：60°6．終邊落在直線y＝x上的角的集合用弧度表示為S＝________．解析：S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))∪{α|α＝eq\f(π,4)＋(2k＋1)π，k∈Z}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋nπ，n∈Z)))).答案：{α|α＝eq\f(π,4)＋nπ，n∈Z}7．已知θ∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋（－1）k×\f(π,4)，k∈Z))))，則角θ的終邊所在的象限是________．解析：當(dāng)k為偶數(shù)時，α＝2nπ＋eq\f(π,4)，終邊在第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時，α＝(2n＋1)π－eq\f(π,4)＝2nπ＋eq\f(3,4)π，終邊在第二象限．答案：第一、二象限8．已知扇形的面積為25，圓心角為2rad，則它的周長為________．解析：設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，則由S＝eq\f(1,2)αr2＝25，得r＝5，l＝αr＝10，故扇形的周長為20.答案：20三、解答題9．用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在圖中的陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界)．解：(1)圖①中，以O(shè)A為終邊的角為eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為－eq\f