第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布

考綱解讀

1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重

要性。

2.理解超幾何分布及其推導(dǎo)過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

3.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解/次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并

能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

4.理解取有限個(gè)值的離散型變量均值，方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方

差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題。

5.利用實(shí)際問(wèn)題的頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。

命題趨勢(shì)探究

L高考命題中，該部分命題形式有選擇題、填空題，但更多的是解答題。

2.主要以離散型隨機(jī)變量分布列為主體命題，計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望和方差，其中二項(xiàng)

分布與超幾何分布為重要考點(diǎn)，難度中等以下。

3.有關(guān)正態(tài)分布的考題多為一道小題。

知識(shí)點(diǎn)精講

一、條件概率與獨(dú)立事件

（1）在事件A發(fā)生的條件下，時(shí)間B發(fā)生的概率叫做A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率，記作

/小\/I\

P（B|A）,條件概率公式為夕小網(wǎng)二了P（，A/B）

（2）若P（B|A）=R3）,即P（AB）=P（A）P（㈤，稱4與8為相互獨(dú)立事件。A與8相

互獨(dú)立，即A發(fā)生與否對(duì)B的發(fā)生與否無(wú)影響，反之亦然。即A8相互獨(dú)立，則有公式

P（AB）=P（A）P（B）o

（3）在〃次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件4發(fā)生攵（0工女工〃）次的概率記作勺（女），記A在其

中一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為P（A）=〃，則勺（〃）=￡：/（1一〃廣”.

二、離散型隨機(jī)變量分布列、期望、方差及其性質(zhì)

（1）離散型隨機(jī)變量J的分布列（如表13-1所示）.

表13-1

0???a

P

P1P1“3Pn

<1(1</<?,/GA^*)；

②P1+P2+…Pn=l?

(2)E：表示J的期望：與二。山+△〃2+…+當(dāng)〃”，反應(yīng)隨機(jī)變量的平均水平，若隨機(jī)變

量冷，〃滿足〃=々4+〃，貝U紇=〃&+〃?

(3)2表示J的方差：2=(芻￡)%+(3生丫〃2+??+(4-生丫p〃，反映隨機(jī)變量

J取值的波動(dòng)性。越小表明隨機(jī)變量越穩(wěn)定，反之越不穩(wěn)定。若隨機(jī)變量〃滿足

2

〃=若+h,則Dt/=aD：o

三、幾種特殊的分布列、期望、方差

件發(fā)生的概率為〃(0<〃<1),則

在〃次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生攵次概率〃(&=%)=&41-2)"飛=0,12..：

稱4服從參數(shù)為〃，〃的二項(xiàng)分布，記作J?8(〃,〃)，E廣np,Djp(l-p).

(3)幾何分布：若在一次實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為p(O<pvl),則在〃次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)

中，在第上次首次發(fā)生的概率為〃(々)=(1一〃)J〃，攵=1,2,...,2=藍(lán)。

(4)超幾何分布：總數(shù)為N的兩類物品，其中一類為M件，從N中取〃件恰含M中的〃

「m「n-m

件，m=0,1,2...,%,其中k為"與〃的較小者，=絲，稱J服從參

Cv

數(shù)為M例,〃的超幾何分布，記作/?H(N,M,Q,此時(shí)有公式q二等。

四、正態(tài)分布

(1)若X是正態(tài)隨機(jī)變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為/(x)=

XWR(其中■是參數(shù)，且(T>(),-<0<//<-KO)o

其圖像如圖13-7所示，有以下性質(zhì)：

①曲線在X軸上方，并且關(guān)于直線％對(duì)稱：

②曲線在x=〃處處于最高點(diǎn)，并且此處向左右兩邊延伸時(shí):逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩

邊低”的形狀；

③曲線的形狀由o■確定，o■越大，曲線越“矮胖”，o■越小，曲線越“高瘦”；

?/（x）圖像與"由之間的面積為1.

圖13-7

（2）里=〃，ZX=<T2，記作J?

當(dāng)〃=O,cr=l時(shí)，J服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作J~N（O,1）.

（3）J~則否在（〃-b,〃+b）,（〃-2G〃+2b）,（〃-3CF,〃+3（T）上

取值的概率分別為68.3%,95.4%,99.7%,這叫做正態(tài)分布的3。原則。

題型歸納及思路提示

題型”8概率的計(jì)算

思路提示

要分析題中事件是獨(dú)立事件、互斥事件還是對(duì)立事件，然后考慮用相應(yīng)的概率公式計(jì)算，若

A,B為獨(dú)立事件，則有尸（AB）=尸（A）P（國(guó)，若A,B為互斥事件，則

P（4D3）=尸（A）+P（6），若A,B為對(duì)立事件,則尸（A）+P（5）=l,如果為條件概

率，則需選用條件概率公式P（B|A戶書(shū)野計(jì)算（其中A,B為兩個(gè)事件，P（B|A）

表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率）。

例13.712016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的

投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234>5

保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:

一年內(nèi)險(xiǎn)次數(shù)01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

（I）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；

（II）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率;

（III）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.

變式1甲乙丙射手擊中目標(biāo)的概率分別為0.6,0.7,0.8,求：

（1）甲乙丙3人各射擊一次，恰一人擊中目標(biāo)的概率；

（2）3人各射擊一次，至少一次擊中目標(biāo)的概率；

（3）每人射擊3次，甲乙丙擊中次數(shù)依次為1、2、3次的概率（甲乙丙每次擊中目標(biāo)與否

相互獨(dú)立）。

變式2甲乙丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格

就簽約，乙丙則約定：兩人面試都合格就一周簽約，否則兩人都不簽約，設(shè)每人面試合格的

概率都是L，且面試是否合格互不影響，求：

2

（1）至少一人面試合格的概率；

（2）沒(méi)人簽約的概率。

例13.8如圖13-8所示，EFGH是以0為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨

機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在塌形

OHE（陰影部分）內(nèi)則（1）P（A）=;（2）P（B|A）=.

圖13-8

變式1從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A表示“取到的兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”,

事件B表示“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P（3|A）=（）

I121

AC

8-B.4-5-D.2-

題型179離散型隨機(jī)變量分布列、期望、方差

思路提示求離散型隨機(jī)變量概率分布列問(wèn)題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可取值有那

些？當(dāng)隨機(jī)變量取這些值時(shí)所對(duì)應(yīng)的事件的概率有是多少，計(jì)算出概率值后，列出離散型隨

機(jī)變量概率分布列，最后按照數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.；列出離散型隨機(jī)變量概率分

布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望.一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)

際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布（如二項(xiàng)分布Xp））,

則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種!ft型分布的期望公式（￡（X）=〃p）求得.

求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：

第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；

第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見(jiàn)的有古典概型公式、幾

何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等），

求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率：

第三步是“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布

列或某事件的概率是否正確；

第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些

實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布（如二項(xiàng)分布

X8（幾〃）），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式（￡（X）=叩）求

得.因此，應(yīng)熟記常見(jiàn)的典型分布的期望公式.

例13.912016高考山東理數(shù)】

甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，

如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人

都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得o分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是士，乙每輪猜對(duì)的概率是工；每輪

43

活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：

（I）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率；

（II）“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

變式1某市公租房的房源位于4、B、C三個(gè)片區(qū)。設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)

的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的。求該市的任意4位申請(qǐng)人中：

（D恰有2人申請(qǐng)八片區(qū)房源的概率；

（2）申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)&的分布列和期望。

例13.10【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相

互獨(dú)立，且在各路II遇到紅燈的概率分別為

234

(I)設(shè)乂表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(II)若有2輛車獨(dú)土地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

變式1

某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷。假定該畢業(yè)生

得到甲公司面試的概率為4,得到乙、丙兩公司面試的概率為P,且三個(gè)公司是否讓其面試

是和耳獨(dú)立的c記x為該畢業(yè)牛得到而試的公司個(gè)數(shù).若p(x=o)=-L,則隨機(jī)變量x的

1乙

數(shù)學(xué)期望E(X)=o

例13.11【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相

互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為

234

(I)設(shè)乂表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(II)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

變式1根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5,購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲

種保險(xiǎn)的概率為0.3o設(shè)各車主購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)相互獨(dú)立。

(1)求該地1位車主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；

(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的車主數(shù)，求X的期望，

變式212017淅江，8】已知隨機(jī)變.量媒滿足P(4=1)=p；,P(乙=0)=1—0，/=1,2.若

0<Pl<P2<—，則

2

AE&)<E&)，D《)<D&)B.E&)<E(4),D&)>D&)

C.E&)>E&)，D4)<D6)D.E&)>E&)，D&)>D&)

例13.12【2017山東，理18](本小題滿分12分)在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方

法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人，的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一

組接受甲種心理暗示，另?組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的

結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者人，A2,Aa,An4和4名女志

愿者6|,B?,必，&,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗不，另5人接受乙種心理暗不.

(D求接受甲種心理暗示的志愿者中包含4但不包含々的頻率。

(II)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.

變式1.某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試，以便確定工資級(jí)別。公司準(zhǔn)備了

兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為8飲料，

公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料。若4杯都選對(duì)，則月工資定

為3500元；若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2800元；否則月工資定為2100元。令X表示

此人選對(duì)4飲料的杯數(shù)。假設(shè)此人對(duì)4和8沒(méi)有鑒別能力。

(1)求X的分布列；

(2)求此員工月工資的期望。

例13.1312017課標(biāo)3,理18】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本

每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根

據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：C）有關(guān).如果最高氣溫不低于25,

需求量為50（）瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶：如果最高氣溫低于

20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)

據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列：

（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為丫（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)

貨量”（單位：瓶）為多少時(shí)，丫的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?

變式1經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出It該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售

出的產(chǎn)品，每It虧損30。元。根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需要量的頻率分布直方

圖，如圖13-11所示。經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品。以X(單位：t,

100勺區(qū)150)表示市場(chǎng)需要量，7?表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)。

(1)將7■表示為X的函數(shù)；

(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)了不少于37000元的概率；

(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間

的頻率作為需要量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若Xe[100,110),則取X=105,且X=105

的概率等于需求量落入[1D0,110)的頻率)，求丁的數(shù)學(xué)期望。

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

圖13-11

題型180正態(tài)分布

思路提示

正態(tài)分布概率密度函數(shù)/（x）=記為X~/V（N，b）概率計(jì)算

師

2

P（0<X<b）=<D（b）-<D（a）,期望E（X）=R,D（X）=Q,要明確密度函數(shù)曲線是關(guān)于直線尸R對(duì)稱,

曲線廠/（x）與x軸之間面積為lo

例13.14己知隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N（2,6）,且P?<4）=0.8,則P（0優(yōu)<2）=（）0

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

變式1隨機(jī)變量&?N（2,9）,P（^>c+l）=cP（5<-l）,c=）。

A.1B.2C.3D.4

例13.15某自動(dòng)打包機(jī)打包商品每包重Xkg,X-/V(100,1.22),共1500包。求:

(l)Xe(100-1.2,100+1.2),X有多少包？

(2)Xs(100-2x1.2,100+2x1.2),X有多少包?

變式1兩個(gè)正態(tài)分布Mg,。：），M（M，62）（6>0,6>0）的密度函數(shù)圖像如圖13T4所示,

則有（）。

A.門(mén)卬2，C1<CT2B.囚卬2，5>6C.內(nèi)>囚，D.6>6

圖13-14

變式212016高考天津理數(shù)】某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)

次數(shù)為123的人數(shù)分別為3,34.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).

（I）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4"，求事件A發(fā)生的概率；

（II）設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)

期望.

最有效訓(xùn)練題54（限時(shí)40分鐘）

1.設(shè)隨機(jī)變量自?8（8,則P（33）等于（）。

A7R373

16163232

2.在運(yùn)動(dòng)會(huì)上，小明參加了乒乓球和網(wǎng)球兩個(gè)項(xiàng)目的比賽，獲得乒乓球冠軍的概率是3,

4

獲得網(wǎng)球冠軍的概率是！，則小明獲得冠軍個(gè)數(shù)g的數(shù)學(xué)期望是（）。

2

A.-B.1C.2D.-

48

3.12017浙江,8】已知隨機(jī)變量。滿足K^,=1）=p..,P.{^=0）=1—p；,7=1,2.若（KR＜Q＜；,

則

〉

4E（^）＜E（^2）,D^,）＜D（^）B.EG）〈E（&）,D&）D&）

c.E（q）＞E（&）,D/）＜D（42）D.E&)>E6),D(q)>D&)

4.已知某一個(gè)隨機(jī)變量自的分布列如表13-5所示，且壇=6.3,則a的值為（）。

g4a9

p0.50.1b

5.設(shè)隨機(jī)變量《服從正態(tài)分布A/（0,1）,P（°D=p,則P（T*〈0）等于（）。

A.；B.1-pC.l-2pD.:一〃

22

6.甲、乙兩人下棋，甲單場(chǎng)獲勝的概率為0.6,沒(méi)有平局，H不同場(chǎng)次勝負(fù)相互獨(dú)立。規(guī)

定先勝3場(chǎng)者獲勝，現(xiàn)已知前兩場(chǎng)比賽甲、乙各勝一場(chǎng)，則甲最終獲勝的概率為（）。

A.0.432B.0.288C.0.648D.0.6

7.【2016年高考四川理數(shù)】同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就

說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是.

8.若隨機(jī)變量匕?8S,p）,且酸=鼻，=貝IJP?=2）=______o

J*7

9.12017課標(biāo)lb理13]一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有

放回地抽取100