26-2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

26.2.1函數(shù)y=a%2的圖象與性質(zhì)

課標要求

【知識與技能】

1?能夠利用描點法作出），=產(chǎn)的圖象，并能根據(jù)圖象認識和理解二次函數(shù)的性質(zhì).

2?能作出二次函數(shù)的圖象，并能夠比較與的圖象的異同，初步建立二次函

數(shù)表達式與圖象之間的聯(lián)系.

【過程與方法】

經(jīng)歷畫二次函數(shù)），=/的圖象和探索性質(zhì)的過程，獲得利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想，積累數(shù)學經(jīng)驗，為后續(xù)學習服務(wù).

【教學重點】

會畫），=加的圖象，理解其性質(zhì).

【教學難點】

結(jié)合圖象理解拋物線開口方向、對?稱軸、頂點坐標及基本性質(zhì)，并歸納總結(jié)出來.

教學過程

一、情景導(dǎo)入，初步認識

一次函數(shù)產(chǎn)依+〃和反比例函數(shù)產(chǎn)依W0）圖象是什么形狀？有哪些性質(zhì)呢？那么二次

函數(shù)），=62+云+?。工（））的圖象會是什么樣？通常怎樣面一個函數(shù)的圖象呢？—引入課題

【教學說明】

通過創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學生復(fù)習描點法，復(fù)習借助圖象分析性質(zhì)的過程中注意分類討

論、由特殊到一般的解決問題的方法，為學習二次函數(shù)的圖象奠定基礎(chǔ).

二、思考探究，獲取新知

（1）試著畫出y=x2的圖象

【教學說明】

讓學生自己經(jīng)歷畫），=f的圖象的過程進一步了解月描點法的方法畫圖象的基本步驟，

為將來畫其他函數(shù)的圖象奠定基礎(chǔ)，同時也培養(yǎng)了學生動手操作能力，經(jīng)歷了知識的形成過

程.

（2）探究的性質(zhì)

【教學說明】

讓學生自己去觀察去分析，過程讓學生自己去感受?結(jié)論讓學生自己去總結(jié)，實現(xiàn)學生

主動參與、探究新知的目的.

【歸納結(jié)論】

它有一條對?稱軸，且對稱軸和圖象有一個交點.

拋物線頂點概念：拋物線與它的對稱軸的交點叫做拋物線的頂點.

在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)與y=-f的圖象，觀察并比較兩個圖象，你發(fā)現(xiàn)

有什么共同點？又有什么區(qū)別？

【歸納結(jié)論】

??拋物線尸加（。7。）的對稱軸是），軸，頂點是原點；

?>o時?，拋物線），=加的開口向上，頂點是拋物線的最低點，。越大，拋物線的開口越

??；

。<0時，拋物線），=公2的開口向下.頂點是拋物線的最高點，〃越大，拋物線的開口越

大.

三、運用新知，深化理解

1?已知函數(shù)y=Q"-2）Mp—7是二次函數(shù)且開口向下?則加=.

解析：它是二次函數(shù)，所以“戶—7=2，得”?=+3，E.開口向下，所以m—2Vo，得m<2.

即：〃?=-3.

答案：一3

2?已知拋物線,），=加經(jīng)過點八（一2，-8）.

（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；

（2）判斷點B（一1，-4）是否在此拋物線上.

分析：（1）把〃的值求出即可；

（2）把4的坐標代入，等式成立則在此拋物線上，否則不在.

解：（1）把（一2,一8）代入y=加中得：。=一2.

???解析式為：y=~2^

把（一1，-4）代入y=—2片中等式不成立

點8（—1，-4）不在此拋物線上.

【教學說明】

學生獨立完成以后，讓他們發(fā)表自己的看法，教師更正、強調(diào).

四、師生互動，課堂小結(jié)

1?拋物線丁=加（。工。）的對稱軸是），軸，頂點是原點；

2?〃>（）時，拋物線產(chǎn)小的開口向上，頂點是拋物線的最低點。越大，拋物線的開口越

小；

3-"0M，拋物線y=aF的開口向下，頂點是拋物線的最高點。越人，拋物線的尸口越

大.

課后作業(yè)

成練習冊中本課時的練習.

教學反思

本節(jié)課的教學過程的設(shè)計符合新課程標準和課程改革的要求，通過教學情景創(chuàng)設(shè)和優(yōu)化

課堂教學設(shè)計，體現(xiàn)了在活動中學習數(shù)學，在活動中“做數(shù)學”，并利用教具使教學內(nèi)容形

象、直觀并具有親和力，彼大地調(diào)動了學生的學習積極性和熱情，培養(yǎng)了學生學習數(shù)學的興

趣.教學過程始終堅持讓學生自己去動腦、動手、動口'在分析、練習基礎(chǔ)上掌握知識.整

個教學過程都較好地落實了“學生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用”，讓學生體會到學習成功

的樂趣.

26?2.2二次函數(shù)y=ax2+/x+c的圖象與性質(zhì)

第1課時二次函數(shù)丁="2+。的圖象與性質(zhì)

課標要求

【知識與技能】

1?使學生能利用描點法正確作出函數(shù)＞，=』+2與），=/一2的圖象.

2?理解二次函數(shù)y=,/+c的性質(zhì)及它與函數(shù)），=02的關(guān)系.

【過程與方法】

讓學生經(jīng)歷二次函數(shù)y=aP+c性質(zhì)探究及性質(zhì)應(yīng)用的過程.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學生動手操作的能力及歸納總結(jié)與靈活應(yīng)用知識的能力.

【教學重點】

理解二次函數(shù)的性質(zhì)及它與函數(shù)y=ad的關(guān)系

【教學難點】

理解二次函數(shù)產(chǎn)加+c的性質(zhì)及它與函數(shù)尸加的關(guān)系

教學過程

一、情景導(dǎo)入，初步認識

I?二次函數(shù)），=/的圖象是，它的開口向，頂點坐標是:對

稱軸是，在對稱軸的左側(cè)隨X的增大而，在對稱軸的右側(cè)y隨工的增大

而，函數(shù)），=/在1=時，取最值，其最值是.

2?二次函數(shù)），=『十2的圖象與二次函數(shù)），=/的圖象開口方向、對稱軸和頂點坐標是

否相同？

【教學說明】

鞏固舊知，引出新知識.

二、思考探究，獲取新知

問題1對于前面提出的笫2個問題，你將采取什么方法加以研究？

問題2你能在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)），=/與y=f+2的圖象嗎？

【教學說明】

先讓學生回顧二次函數(shù)畫圖的三個步驟，按照畫圖步驟畫出函數(shù)圖象.觀察所畫圖象，

有什么異同？它們的開口方向、對稱軸、頂點坐標是什么？

【歸納結(jié)論】

函數(shù)）,=/+2的圖象上的點都是由函數(shù)），=/的圖象上的相應(yīng)點向上移動了兩個單位.

完成下表：

函數(shù)尸加+?4>0)

c>0c<0

圖象

開口方向

對稱軸

最值

頂點坐標

函數(shù)性質(zhì)

三、運用新知，深化理解

1?（1）函數(shù)）=4f+5的圖象可由y=4f的圖象向平移單位得到；

（2?=4/—11的圖象向平移個單位得到.

2?將函數(shù)），=-31+4的圖象向平移個單位可得），=一3/的圖象;

將），=*一7的圖象向平移個單位得到可），="的圖象；

將丁=『一7的圖象向平移個單位可得到）=f+2的圖象.

3?拋物線），=-3小+5的開口向，對稱軸是，頂點坐標是，

在對稱軸的左側(cè)，），隨x的增大而，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而，當x

=時，取得最值，這個值等于.

4?拋物線y=7?—3的開口向，對稱軸是，頂點坐標是，在

對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而，在對稱軸的右側(cè)，），隨工的增大而*當x=

時，取得最值，這個值等于.

5拋物線與）,=3f的形狀相同，且其頂點坐標是（0，1）則其表達式為

解：1.（1）上5（2）下11

2?下4』7>9

3?下y軸（0,5）增大減小0大5

4?上y軸（0?—3）減小增大0小一3

5-y=3』+I

【教學說明】

以上5題，是對本節(jié)課的知識點的復(fù)習鞏固，讓學生自主完成，教師做強調(diào).

四、師生互動，課堂小結(jié)

本節(jié)課你有何收獲？本節(jié)課你有何疑問

課后作業(yè)

完成練習冊中本課時的練習.

教學反思

函數(shù)的教學，尤其是二次函數(shù)是學生普遍感覺較為抽象難懂的知識.在教學過程中，除

了讓學生多動手畫圖象，加深學生對函數(shù)圖象的了解，加深他們對函數(shù)性質(zhì)的了解外，更重

要的是讓學生參與到函數(shù)圖象和性質(zhì)的探索中去.要利月一切可以利用的材料來幫助學生理

解所學的知識.本節(jié)中通過表格上函數(shù)值的變化讓學生猜想函數(shù)圖象的位置變化，給學生留

下較深刻的印象，普遍能較好的掌握圖象的平移規(guī)律.

第2課時二次函數(shù)）=〃（“一"）2的圖象與性質(zhì)

課標要求

【知識與技能】

會畫出.y=a（.i—力2這類函數(shù)的圖象，掌握這類函數(shù)的性質(zhì).

【過程與方法】

學生能通過圖象的觀察，對比分析發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而歸納性質(zhì).

【情感態(tài)度】

鍛煉學生的觀察、分析、歸納能力.

【教學重點】

掌握），=。（工一/?）2的性質(zhì).

【教學難點】

掌握y=a（x-/i）2的性質(zhì).

教學過程

一、情景導(dǎo)入，初步認識

我們己經(jīng)了解到，函數(shù)的圖象，可以由函數(shù)y=aF的圖象上下平移所得，那

么函數(shù)y=3（x—2尸的圖象，是否也可以由函數(shù)丫=*2.

平移而得呢？），=。（工一/爐的圖象是如何得到的呢？畫圖試一試，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律

嗎？

【教學說明】

小組代表闡述本組的觀點，全班交流，并提出本組的疑難問題，小組互助討論.教師在

學生發(fā)言的基礎(chǔ).上補充并展示.

二、思考探究，獲取新知

探究1:在同一宜角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

），=*，產(chǎn)/+1）2，尸/一1）2并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

觀察并歸納，它們的圖象有什么規(guī)律？

【歸納結(jié)論】

由拋物線），=%向左、向右平移一個單位得到的拋物線分別是產(chǎn)笈+1＞，產(chǎn)/一1）2

【教學說明】

通過作圖，訓練學生動手操作的能力.通過觀察、討論、交流，培養(yǎng)學生的觀察能力、

思維能力、歸納能力等.

三、運用新知，深化理解

解析：根據(jù)。的正負性確定它們的性質(zhì).

答案：D

2?二次函數(shù)），=2（-1）2的圖象可由y=2?的圖象得到（）

A?向左平移1個單位長度

B?向左平移1個單位長度

C-向右平移1個單位長度

D?向右平移2個單位長度

解析：左右平移是4的值發(fā)生改變.

答案：C

【教學說明】

應(yīng)用所學，加深理解，鞏固新知.

四、師生互動，課堂小結(jié)

1?二次函數(shù),y=a。一/?＞的圖象與性質(zhì).

2-平移的方法.

課后作業(yè)

完成練習冊中本課時的練習.

教學反思

本節(jié)課主要是通過讓學生自主學習，動手操作獲取經(jīng)驗，并從中獲得知識，本節(jié)課教師

主要處于引導(dǎo)地位，讓學生充當學習的主人，較好地體現(xiàn)了學生學習的主動性.

第3課時二次函數(shù)丁=以“―/1)2+1的圖象與性質(zhì)

課標要求

【知識與技能】

會畫出)，=〃(4一加2+2這類函數(shù)的圖象，掌握這類函數(shù)的性質(zhì).

【過程與方法】

學生能通過圖象的觀察，對比分析發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而歸納性質(zhì).

【情感態(tài)度】

鍛煉學生的觀察、分析、歸納能力.

【教學重點】

掌握y=a(x-h)2+k的性質(zhì).

【教學難點】

掌握y=a(x—h)2+k的性質(zhì).

教學過程

一、情景導(dǎo)入，初步認識

上一節(jié)課，我們已經(jīng)了解到，函數(shù))，="。一〃)2的圖象，可以由函數(shù))，=加的圖象左右平

移所得，那么)，=，(、-2)2+2的圖象，是否也可以由函數(shù)平移得到呢？)，=心一力戶+〃

的圖象是如何得到的呢？畫圖試一試，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

【教學說明】

小組代表闡述本組的觀點，全班交流，并提出本組的疑難問題，小組互助討論.教師在

學生發(fā)言的基礎(chǔ)上補充并展示.

二、思考探究，獲取新知

探究1在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

y=yyy=2(x-\)2i)2—2，并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

觀察三個圖象之間的關(guān)系.

【歸納結(jié)論】

由拋物線y=*向右平移一個單位可得到拋物線產(chǎn)梟一I)?，再向下平移2個單位可得

至Uy=T(x-l)2-2.

探究2：請依據(jù)探究1中的發(fā)現(xiàn)，說說拋物線y=a(x-h)2-^k是由拋物線y=aF通過怎

樣的平移得到的？并說說它的對稱軸和頂點坐標.

【歸納結(jié)論】

二次函數(shù)的圖象的上下平移，只影響二次函數(shù))，=。(工一”尸十而中k的值；左右平移，只

影響力的值.

在y=a(x-h)2-}-k中：

(1)當。＞0時，開口向上；當aVO時，開口向下；

(2)對稱軸是直線％=岳

(3)頂點坐標為(/?，k).

【教學說明】

通過作圖，訓練學生動手操作的能力.通過觀察、討論、交流，培養(yǎng)學生的觀察能力、

思維能力、歸納能力等.

三、運用新知，深化理解

1?拋物線），=一3。-2）2+4的開口方向、對稱軸、頂點坐標分別為（）

A?開口向下，對稱軸為x=-2＞頂點坐標為（一2，4）

B-開口向上，對稱粕為x=2，頂點坐標為（2，4）

C?開口向上，對稱如為x=2，頂點坐標為（2，-4）

D?開口向下，對稱軸為4=2，頂點坐標為（2?+4）

解析：根據(jù)F="（X—*）2+A的性質(zhì)可得出結(jié)果.

答案：D

2?把拋物線），=%向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位，得拋物線為（）

A?y=B（f+2x+2）

B?y=；（l+2x—l）

C?2x-1）

D?產(chǎn)於2—2x+1）

解析：二次函數(shù)的圖象的上下平移，只影響二次函數(shù)），=〃伏一萬）2+女中k的值；左右平

移，只影響力的值.

答案：B

【教學說明】

應(yīng)用所學，加深理解，鞏固新知.

四、師生互動，課堂小結(jié)

1?二次函數(shù)丁=。（工一"產(chǎn)+女的圖象與性質(zhì).

2?平移的方法.

課后作業(yè)

完成練習冊中本課時的練習.

教學反思

本節(jié)課主要是通過讓學牛.自主學習，動手操作獲取經(jīng)驗，并從中獲得知識，本節(jié)課教師

主要處于引導(dǎo)地位，讓學生充當學習的主人，較好地體現(xiàn)了學生學習的主動性.

第4課時二次函數(shù)y=Q/+公+。的圖象與性質(zhì)

課標要求

【知識與技能】

1?使學生掌握用描點法畫出函數(shù)），=以2+加+。的圖象.

2?使學生掌握用圖象或通過配方確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

【過程與方法】

讓學生通過繪畫、觀察二次函數(shù)），=加+云+。的圖象，理解二次函數(shù)y二口1十加十。的

開口方向、對稱軸和頂點坐標以及性質(zhì).

【情感態(tài)度】

通過建立二次函數(shù)的數(shù)學模型解決實際問題，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，提

高學生運用數(shù)學的意識.

【教學重點】

通過配方確定拋物線的對稱軸、頂點坐標.

【教學難點】

理解二次函數(shù)y=aP+法+c（aHO）的性質(zhì).

教學過程

一、情景導(dǎo)入，初步認識

由前面的知識，我們知道函數(shù)），=源的圖象，向上平移2個單位，可以得到函數(shù)尸2?

+2的圖象；函數(shù)的圖象，向右平移3個單位，可以得到函數(shù)），=2（》一3）2的圖象，那

么函數(shù)），=2『的圖象，如何平移，才能得到函數(shù)y=2（%—3>+2的圖象呢？

函數(shù)）=2（%—3）2+2具有哪些性質(zhì)？

【教學說明】

通過這些練習題，使學生對以前的知識加以復(fù)習鞏同，以便這節(jié)課的應(yīng)用.這幾個問題

可找層次較低的學生回答，由其它同學給予評價.

二、思考探究，獲取新知

探究：你能確定y=—*+4x+6的開口方向、對稱軸、頂點坐標嗎？具有哪些性質(zhì)？

學生討論得到：通過配方把二次函數(shù)），=ad+^+c轉(zhuǎn)化成

y=a（x-h）2-i-c的形式，確定拋物線y=一源+41+6的開口方向、對稱軸和頂點坐標，

再描點畫圖.

解：），=一2?+4葉6

=一2（金一21）+6

=-2（f-2x+1-1）+6

=-[2（X-1）2-2]+6

=-2（X-I）2+8

因此，拋物線開口向下，對稱軸是直線x=l，頂點坐標為（1，8）.

你能從上圖中總結(jié)出二次函數(shù)），=加+尿+《?！?）的性質(zhì)嗎？

【歸納結(jié)論】

二次函數(shù)產(chǎn)加+加+以“工。）的對稱軸是工=一方,頂點坐標是（一金、"）

【教學說明】

讓學生仔細觀察所畫圖形，相互交流得出結(jié)論.

三、運用新知，深化理解

I?函數(shù)），=/-2x+3的圖象的頂點坐標是（）

A?（1，-4）B.（一1，2）

C?（1，2）D.（0，3）

解析：方法一，直接用二次函數(shù)頂點坐標公式求.

方法二：將二次函數(shù)解析式由一般形式轉(zhuǎn)換為頂點式，即y=?（x—〃）2+%的形式，頂點

坐標即為（〃，k）5y=x2—2x+3=（x—l）2+2，所以頂點坐標為（I，2）.

答案：C

2?拋物線），=一；/+工一4的對稱軸是（）

A-x=—2B.x=2

C?x=-4D.x=4

解析：直接利用公式.

答案：B

3?已知二次函數(shù)法+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（）

A.ab>0*c>0B.ab<0，c<0

C?ab<0，c?>0D.ab<（），c<0

解析：由圖象，拋物線開口方向向下，

/.6?<0，拋物線對稱軸在y軸右側(cè)?/.—^>0.

又：。<0，.*.Z?>0?：,ab<0，拋物線與y軸交點坐標為（0，c）點，由圖知，該點在x軸

上方，???c>0.

答案C

4?把拋物線），=一源+以+1的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得的

拋物線的函數(shù)關(guān)系式是（）

A->*=-2（x—1）2+6B.y=—2（x-I）2—6

C-y=-2（x+l）2+6D.y=-2（x+l）2-6

解析：二次函數(shù)圖象的變化.拋物線），=-212+43+1=—2。-1）2+3的圖象向左平移2

個單位得到），=-2（工+1）2+3，再向上平移3個單位得到），=-2（%+1）2+6.

答案：C

【教學說明】

應(yīng)用所學，加深理解，鞏固新知

四、師生互動，課堂小結(jié)

二次函數(shù)產(chǎn)加+云+心^。）的對稱軸是尸一治，頂點坐標是（一昱，4"；/）.

課后作業(yè)

完成練習冊中本課時的練習.

教學反思

本節(jié)課的重點是用配方法確定拋物線的頂點和對稱軸.為了學生能在較復(fù)雜的題中順利

應(yīng)用配方法，教師首先出示了幾個較簡單的練習由學生完成，并來討論做題思路.這樣這個

重點和難點也就得到了自然地突破.

第5課時二次函數(shù)最值與面積問題

課標要求

【知識與技能】

經(jīng)歷探究圖形的最大面積問題的過程，進一步獲得利用數(shù)學方法解決實際問題的經(jīng)驗.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索問題的過程，獲得利用數(shù)學方法解決實際問題的經(jīng)驗，感受數(shù)學模型和數(shù)學應(yīng)

用的價值，通過觀察、比較、推理、交流等過程，獲得一些研究問題與合作交流的方法與經(jīng)

驗.

【情感態(tài)度】

通過動手實踐及同學之間的合作與交流，讓學生積累經(jīng)驗，發(fā)展學習動力.

【教學重點】

會根據(jù)不同的條件，利用二次函數(shù)解決生活中的實際問題

【教學難點】

從幾何背景及實際情景中抽象出函數(shù)模型.

教學過程

一、情景導(dǎo)入，初步認識

問題I：某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材

料總長（圖中所有粗線的長度和）是21米，怎樣設(shè)計窗戶才能使窗戶通過的光線最多？

問題2：某開發(fā)商計劃開發(fā)一塊三角形土地，它的底邊長100米，高80米.開發(fā)商要沿

著底邊修一座底面是矩形的大樓，這座大樓地基的最大面積是多少？

要解決這些實際問題，實際上也就是求面積最大的問題，在數(shù)學中也就是求最大值的問

題.這節(jié)課我們看能否用己學過的數(shù)學知識來解決以上問題.

【教學說明】

通過幾個實際情景設(shè)置懸念-引入新課.

二、思考探究，獲取新知

求下列函數(shù)的最大值或最小值.

（2）y=T-3x+4.

分析：由于函數(shù)y=2.r—3x—5和），=-x2—3x+4的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，

所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點，就可以確定函數(shù)有最大值或最小值.

解：(1)二次函數(shù)y=2d—3x-5中的二次項系數(shù)2>0，

因此拋物線1y=*一版一5有最低點，即函數(shù)有最小值.

349

2

所以當4時，函數(shù)yuZr-3x—5有最C小值是一二~.

(2)二次函數(shù))，=一/-33+4中的二次項系數(shù)一1V。，

因此拋物線)，=一『一3x+4有最高點，即函數(shù)有最大值.

因為y=—A2—3A+4=—

3?5

所以當x=一；Z時，函數(shù)zy=-f—3x+44有最大值是亍.

【歸納結(jié)論】

最大值或最小值的求法，第一步確定〃的符號，a>0有最小值，aVO有最大值；第二步

配方求頂點，頂點的坐標即為對應(yīng)的最大值或最小值.

【教學說明】

由于學習本節(jié)課所用的基本知識點是求二次函數(shù)的最值，因此首先和同學們一起復(fù)習二

次函數(shù)最值的求法；對于一般式，要求掌握配方法的同時，也能利用基本結(jié)論；對于頂點式，

要求能直接說出其最值及取得最值時自變量的值.

三、運用新知，深化理解

1?要用總長為20m的鐵欄桿，一面靠墻，圍成一個矩形的花圃，怎樣圍法才能使圍成

的花圃的面積最大？

分析：先寫出函數(shù)關(guān)系式，再求出函數(shù)的最大值

解：設(shè)矩形的寬A8為xm，

則矩形的長BC為(20-2X)m，

由于x>()，且20-2A>0，所以O(shè)VxVIO.

圍成的花圃面積y與工的函數(shù)關(guān)系式是)，=x(20—2x)

即>-=-2x+20x配方得)，=-2(A—5)2+50

所以當x=5時，函數(shù)取得最大值，最大值y=50.

因為x=5時，滿足0V%V10，這時20-2r=10.

所以應(yīng)圍成寬5m，長10m的矩形，才能使圍成的花圃的面積最大.

E

2?如圖在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形4BCD其中AB和4Q分別在兩直角邊上.如

果設(shè)矩形的一邊A3=xm，那么當x為多少時，矩形面枳最大？最大面積是多少？

解：由AB=xm，則CD=AB=xm.

由圖可得，AEDCsXEAF、

.也—”,即以2—工，解殍尸力_3「

-AE-AF即30—40解何即一下

3

.,.4D=30—

30A-

30-3O2

=20時，y有最大值5最大值為y*大值=z-6=300

4x(q)

2X

即：那么當x為20時，矩膨面積最大，最大面積是300m2.

【教學說明】

展示教材上的例題，和同學一起從問題中抽象出二次函數(shù)的模型，并求其最值，同時對

例題進行變式，訓練學生的發(fā)散思維能力.

四、師生互動、課堂小結(jié)

引導(dǎo)學生總結(jié)，確定問題的解次方法：在一些涉及到變量的最大值或最小值的應(yīng)用問題

中，可以考慮利用二次函數(shù)最值方面的性質(zhì)去解決步驟：

第一步：設(shè)自變量；

第二步：建立函數(shù)的表達式：

第三步：確定自變量的取值范圍；

第四步：根據(jù)頂點坐標公式或配方法求出最大值或最小值（在自變量的取值范圍內(nèi)）.

課后作業(yè)

完成練習冊中本課時的練習.

教學反思

在教學中一定要注意學生易錯地方：學生往往列出表達式后不根據(jù)背景寫出自變量的范

圍；求最值時，只知代入頂點坐標公式，不考慮自變量范圍.

第6課時二次函數(shù)與最大利潤問題

課標要求

【知識與技能】

能為一?些較簡單的生活實際問題建立二次函數(shù)模型、并在此基礎(chǔ)上，根據(jù)二次函數(shù)關(guān)系

式和圖象特點，確定二次函數(shù)的最大（?。┲?，從而解決實際問題.

【過程與方法】

經(jīng)歷探究二次函數(shù)最大（?。┲祮栴}的過程，體會函數(shù)的思想方法和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

【情感態(tài)度】

積極參加數(shù)學活動，發(fā)展解決問題的能力，體會數(shù)學的應(yīng)用價值.從而增強數(shù)學學習信

心，體驗成功的樂趣.

【教學重點】

探索銷售中最大利潤問題，從數(shù)學角度理解“何時獲得最大利潤”的意義.

【教學難點】

從實際問題中抽象出二次函數(shù)模型，以利用二次函數(shù)知識解決某些實際生活中的最大（?。?/p>

值問題

教學過程

一、情景導(dǎo)入，初步認識

問題：某商店經(jīng)營丁恤衫，已知成批購進時單價是20元.根據(jù)市場調(diào)杳，銷售量與銷

售單價滿足如下關(guān)系：在一段時間內(nèi)，單價是35元時，銷售量是600件，而單價每降低1

元，就可以多銷售200件.若設(shè)銷售單價為x（20V%V35的整數(shù)）元該商店所獲利潤為），元.請

你幫助分析，銷售單價是多少元時，可以獲利最多？

你能運用二次函數(shù)的知識解決這個問題嗎？

【教學說明】

用生活中的事例，更貼近實際生活，幫助學生理解題意，激發(fā)學生的學習熱情.

二、思考探究，獲取新知

1,教師提問：

（1）此題主要研究哪兩個變量之間的關(guān)系，哪個是自變量？哪個是因變量？

（2）銷售量可以表示為:俏售額（銷售總收入）可以表示為：所獲利潤與

銷售單價之間的關(guān)系式可以表示為.

（3）當銷售單價是元時，可以獲得最大利澗，最大利澗是元.

2?在解決第（3）問中，先引導(dǎo)學生觀察得出此函數(shù)為二次函數(shù)，再引導(dǎo)學生探索思考”何

時獲得最大利潤”的數(shù)學意義.

【教學說明】

在本章前面的學習中，學生已初步了解求特殊二次函數(shù)最大（?。┲档姆椒?鼓勵學生大

膽猜想、探索求此二次函數(shù)最大值的方法.

【歸納結(jié)論】

求二次函數(shù)最大（小）值的方法：

（1）配方化為頂點式求最大（?。┲担?/p>

（2）直接帶入頂點坐標公式求最大（?。┲?；

（3）利用圖象找頂點求最大（?。┲?

三、運用新知，深化理解

1?某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住

滿.當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑.賓館需對游客居住的每個

房間每天支出20元的各種費用.根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于340元.設(shè)每個房

間的房價每天增加x元（為10的正整數(shù)倍）.

（1）設(shè)一天訂住的房間數(shù)為），，直接寫出），與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；

（2）設(shè)賓館一天的利潤為W元，求W與.1的函數(shù)關(guān)系式；

（3）一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大刈潤是多少元？

分析：當每天的房價增加X元時，就會有奇?zhèn)€房間空閑.

???一天訂住的房間數(shù)為（50—木），每間房可獲利（180+X—20），從而可列出函數(shù)關(guān)系式.

解：（1）），=50—芯（0WxW160，且x是10的正整數(shù)倍）.

（2）W=（50—七，（180+工一20）=—?+34x+80（X）.

（3）W=+34x4-8000=一?一170）2+10890.

當x<170時，W隨x增大而增大，但OWxW160，

???當x=160時，Wm=10880.

當x=160時，y=50—=1=34.

答：一天訂住34個房間時，賓館的利泗最大，最大利泗是10880元.

2.某商店將每件進價8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件，該店想

通過降低售價，增加銷售量的辦法來提高利潤，經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低0.1

元，其銷售量可增加約10件.將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大？

分析：先寫出函數(shù)關(guān)系式，再求出函數(shù)的最大值

解：設(shè)每件商品降價1元（0VxV2），該商品每天的利泗為），元.

商品每天的利泗），與工的函數(shù)關(guān)系式是：

y=（IO-x-8）（IOO+lOOx）

即），=一100『+100.丫+200

配方得），=一100（工一4）+225

因為x=1/2時，滿足0VxV2.

所以當x=1/2時?函數(shù)取得最大值，最大值y=225.

所以將這種商品的售價降低1/2元時，能使銷售利泗最大.

3?某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，它的成本是2元，售價是3元，年銷售量為100萬件.為了

獲得更好的效益，公司準備拿出一定的資金做廣告.根據(jù)經(jīng)驗，每年投入的廣告費是M十萬

元）時，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的），倍，且），是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：

x（十萬元）012???

y11.51.8???

（1）求），與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費，試寫出年利潤S（十萬元）與廣告費

M十萬元）的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果投入的年廣告費為10?30萬元，問廣告費在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤隨

廣告費的增大而增大？

解：（1）設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為

c=I

由表中數(shù)據(jù)，得＜a+〃+c=1.5?

4a+2)+，=1.8.

解得5

所以所求二次函數(shù)關(guān)系式為>'=-j^A-2+|x+1.

(2)根據(jù)題意，得

S=IQy—(3—2)x=—f+5x+10.

(3)5=—f+5x+10=—(x—I)+與，

由于，所以當IWxW2.5時，5隨x的增大而增大.

【教學說明】

通過練習，前后呼應(yīng)，鞏固已學知識，并讓學生體會二次函數(shù)是解決實際問題的一類重

要數(shù)學模型.

四、師生互動，課堂小結(jié)

求二次函數(shù)最大(小)值的方法：

(1)配方化為頂點式求最大(小)值；

(2)直接帶入頂點坐標公式求最大(小)值：

(3)利用圖象找頂點求最大(小)值.

課后作業(yè)

完成練習冊中本課時的練習.

教學反思

在本課教學中，應(yīng)關(guān)注學生能否將實際問題表示為函數(shù)模型；是否能運用二次函數(shù)知識

解決實際問題并對結(jié)果進行合埋解釋；課堂中學生是否在教師引導(dǎo)下進行了獨立思考和積極

討論.并注意整個教學過程中給予學生適當?shù)脑u價和鼓勵.

26-2.3求二次函數(shù)的表達式

課標要求

【知識與技能】

經(jīng)歷確定二次函數(shù)表達式的過程，體會求二次函數(shù)表達式的思想方法，培養(yǎng)數(shù)學應(yīng)用意

識.

【過程與方法】

會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式.

【情感態(tài)度】

逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力引導(dǎo)學生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學

生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學習習慣.

【教學重點】

求二次函數(shù)的表達式.

【教學難點】

求二次函數(shù)的表達式.

教學過程

一、情景導(dǎo)入,初步認識

問題1如何求一次函數(shù)的表達式？至少需要幾個點的坐標？

問題2你能求二次函數(shù)的表達式嗎？如果要求二次函數(shù)的表達式需要幾個點的坐標？

【教學說明】

通過類比的思想，猜想求二次函數(shù)的表達式需要坐標點的個數(shù).

二、思考探究，獲取新知

問題

1?己知拋物線的頂點為(1，-3)，且與)，軸交于點(0，I)

分析：根據(jù)已知拋物線的頂點坐標，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為

y=t/（x+h『+八再根據(jù)拋物線與y軸的交點可求出。的值.

【歸納結(jié)論】

這種求二次函數(shù)表達式的方法稱為頂點式.

2?已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點40，-1）、B（1，0）、C（-l*2）

分析：可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為），=af+云+c，根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三個已知點，可得出

一個關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，從而可以求出a，〃，c的值

【歸納結(jié)論】

求二次函數(shù)的表達式?關(guān)鍵是確定“、從c的值.由已知條件可列出三

個方程，解此方程組，求出三個待定系數(shù)4，b，C?.這種方法稱為待定系數(shù)法.

三、運用新知，深化理解

1?已知一個二次函數(shù)的圖象過點（0*1），它的頂點坐標是（8，9）?求這個二次函數(shù)的關(guān)

系式.

分析：二次函數(shù)juaF+bx+c通過配方可得y=a（x+h）2-^-k的形式稱為頂點式，（一/?，

外為拋物線的頂點坐標，因為這個二次函數(shù)的圖象頂點坐標是（8，9），因此，可以設(shè)函藪關(guān)系

式為：），=a（x-8）2+9

由于二次函數(shù)的圖象過點（0，1），將（0，1）代入所設(shè)藥數(shù)關(guān)系式，即可求出。的值.

解：），=一上『+2丫+1

2?已知：二次函數(shù)），=加+笈+。的圖象與x軸交于A、8兩點，其中A點坐標為（一1，

0），點4（0，5），另外拋物線經(jīng)過點（I，8），求拋物線的表達式.

分析：應(yīng)用待定系數(shù)法求出a，〃，c的值.

解：依題意：

a-/?+c=0(a=-1

<c、=5解得jb=4

拋物線的表達式為y=—『+4'+5.

3?已知拋物線對稱軸是直線％=2，且經(jīng)過（3，1）和（0，-5）兩點，求二次函數(shù)的關(guān)系式.

分析：可設(shè)二次函數(shù)曠=加+云+。?已知兩點的坐標，可列兩個方程>再根據(jù)對稱軸x

=2列出一個方程，則可求出。C的值.因已知對