第1章二次函數(shù)

1.4二次函數(shù)的應(yīng)用（九大題型）

分層練習(xí)

基礎(chǔ)練

題型目錄

考查題型一圖形問題

考查題型二圖形運(yùn)動問題

考查題型三拱橋問題

考查題型四銷售問題

考查題型五投球問題

考查題型六噴水問題

考查題型七增長率問題

考查題型八其他問題

考查題型九二次函數(shù)的綜合

考查題型一圖形問題

1.（2022秋?安徽阜陽?九年級?？计谥校┤鐖D，曉波家的院墻一邊靠墻處，用60米長的鐵柵欄圍成了三個

相連的養(yǎng)殖小院子，總面積為y平方米，為方便喂養(yǎng)這些不同類的動物，在各個養(yǎng)殖院子之間留出了1米寬

的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門.若設(shè)=x米，則V關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式

為（）

//〃/〃〃/////〃/〃〃〃//〃/

A

B

A.y=x(60-4x)B.y=x(63-2x)

C.y=x(60-2x)D.y=x(63-4x)

【答案】D

【分析】如圖所示（見詳解），設(shè)米，則可求出8。的長，根據(jù)矩形的面枳公式即川-求解.

【詳解】解：如圖所示，

〃〃〃/〃〃〃//〃〃〃〃〃/〃

IID

B―?――?—c

設(shè)48=x米，貝ij8C=60—2x—2(工一1)+1=63—4x,

又小院子的總面積為y,

/.y=x(63-4x),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，理解圖形面積的計算方法，掌握數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確列出函數(shù)關(guān)系式

是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?天津?統(tǒng)考中考真題)如圖，要圍一個矩形菜園ABCD,共中一邊力。是墻，且AD的長不能超過26m,

其余的三邊力民8。,。。用籬笆，且這三邊的和為40m.有下列結(jié)論：

①的長可以為6m；

②44的長有兩個不同的值滿足菜園4BCO面積為192m2；

③菜園面積的最大值為20Dn?.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()

/〃////////////////〃/

AD

菜園

鳥!-------------------------1c

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】設(shè)44的長為加，矩形48。的面積為Ji/,則4C的長為(40-2x)m,根據(jù)矩形的面積公式列二

次函數(shù)解析式，再分別根據(jù)的長不能超過26m,二次函數(shù)的最值，解一元二次方程求解即可.

【詳解】設(shè)48的長為xm,矩形44CO的面積為vn?,則8c的長為(40-2x)m,由題意得

y=x(40-2x)=-2x2+40,r=-2(x-10)2+200,

其中0<40-2X426,KP7<X<20,

①力〃的長不可以為6m,原說法錯誤：

③菜園/8C。面積的最大值為200m2,原說法正確；

②當(dāng)卜二一2。-10y+200=192時，解得x=8或x=12,

???48的長有兩個不同的值滿足菜園4次第面枳為192m2,說法正確;

綜上，正確結(jié)論的個數(shù)是2個，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解一元二次方程，準(zhǔn)確理解題意，列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)

鍵.

3.(2023?上海?九年級假期作業(yè))如圖，有一矩形紙片，長、寬分別為8厘米和6厘米，現(xiàn)在長寬上分別剪

去寬為x厘米(x<6)的紙條，則剩余部分(圖中陰影部分)的面積，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為

【答案】〉=/-14工+48(0<%<6)

【分析】陰影部分的長方形的的長為(8-x)cm,寬為(6-x)cm,然后根據(jù)長方形的面積公式即可求解.

【詳解】陰影部分的長方形的的長為(8-x)cm,寬為(6-x)cm,

所以面積V=(8-x)(6-x)=V-14x+48(0<x〈6).

【點(diǎn)睛】本題考查了利用長方形的面枳公式列出函數(shù)關(guān)系式，其中根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系是解

決問題的關(guān)鍵.

4.(2023?四川成都?統(tǒng)考二模)如圖是某小區(qū)大門上方拱形示意圖，其形狀為拋物線，測得拱形水平橫梁寬

度為8m,拱高為2m,在五一節(jié)到來之際，擬在該拱形上懸掛燈籠(高度為1m),要求相鄰兩盞燈籠的水

平間距均為1m,掛滿后不擦橫梁且成軸對稱分布，則最多可以懸掛個燈籠.

【答案】6

【分析】以拋物線狀拱形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，即設(shè)拋物線的解析式為：y=結(jié)合圖象求

出拋物線解析式為：y=-1x2,當(dāng)y=-l時，可得x=±2啦，如圖，CD=2V2-(-2V2)=4V25.7m,問

題隨之得解.

【詳解】如圖，以拋物線狀拱形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，即設(shè)拋物線的解析式為：

根據(jù)題意可知：力（4,-2）,

將4（4,一2）代入^=奴2中，有-2=4x4、

解得：

O

則拋物線解析式為：y=-1x2,

O

當(dāng)y=T時，y=-^-x:=-1,解得：x=±272>

8

如圖，CD=2V2-（-2V2）=4>/2?5.7m,

???相鄰兩盞燈籠的水平間距均為1m,且按軸對稱的方式擺放，

???共計最多可以掛6盞燈籠，

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造合適的直角坐標(biāo)系，求出二次函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)

鍵.

5.（2023春?廣東廣州?九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，用總長為40m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖雞棚,

⑴如果這個矩形雞棚與墻平行的一邊8c長為。m,求雞棚與墻垂直的一邊4B的長（用含。的式子表示）

⑵設(shè)雞棚與墻垂直的一邊48的長為xm,求這個矩形雞棚面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值

范圍

⑶試探索，這個矩形雞棚的面積S能否等于250m2,若可以，求出此時4?的長，若不行，請說明理由.

【答案】（1）力〃

(2)$=-2X2+40X?7.5<X<20

⑶這個矩形雞棚的面積S不能等二250m2

【分析】(1)根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；

(2)由題意可知40=(40-2x)m,然后根據(jù)矩形面積可進(jìn)行求解；

(3)由(2)及根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解.

40-67(1、

【詳解】(1)解：由題意得：^=^-=l20--67jm：

(2)解：由題意得：S=X(40-2X)=-2X2+40X,

V0<40-2x^25,

???7.5^x<20；

(3)解：由(2)可欠口：一2/十403=250，

化簡得一一20.丫+125=0，

VA=/?2-4ac=400-4x125=-100<0，

,該方程無實數(shù)解，

即這個矩形雞棚的面積S不能等于250mL

【點(diǎn)睛】本題主要考杳一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)

的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

考查題型二圖形運(yùn)動問題

1.(2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考一模)如圖，在中，/彳=60。，4c=48=2,點(diǎn)P,。分別從點(diǎn)8和

點(diǎn)C同時出發(fā)，以相同的速度沿射線C8向左勻速運(yùn)動，過點(diǎn)P作夕HJ.4C,垂足為〃，連接設(shè)點(diǎn)P

運(yùn)動的距離為x(0<xK2),AC"。的面枳為S,則能反映S與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為()

P

BQ

ss

【答案】A

【分析】過點(diǎn)〃作。“JL5C于點(diǎn)。，根據(jù)題意可得ABC是等邊三角形，從而得到C尸=8C+8P=2+x,

NCHD=30。,然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得C〃=gw=等，DH=；PH=*（2+x）.再根據(jù)三角

形的面積公式可得S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)”作。HJ.BC于點(diǎn)。,

A

VZJ=60°,AC=AB=2,

???是等邊三角形，

AZC=60°,BC=AB=2,

：.CP=BC+BP=2+x,NC〃Q=300,

*：PH1AC,即//WC=90。，

:.ZP=30°,

.?Ogp二等

，PH=\ICP2-CH2=

，=、

DHPH=x),

2

S=gDHxCQ=gx?(2+x)x=個x?+—^x(0<x

???s與》之間的函數(shù)關(guān)系的圖象為拋物線的一部分，且開口向匕

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象，根據(jù)題意準(zhǔn)確

得到S與工之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?河南鄭州?九年級校考期木）如圖①，在Rt△川中，=90°,Z/1=30°,點(diǎn)P是月8邊

上一動點(diǎn)，過點(diǎn)?作。。/48,交邊4。（或8C）于點(diǎn)Q.設(shè)/P=x,△力尸。的面積為V,如圖②是V與

》的函數(shù)關(guān)系的大致圖像，則8c的長為（）

圖①圖②

C.4734石

"T"

【答案】D

【分析】先確定y與x的函數(shù)關(guān)系式，判斷△/尸。的面積與力。的關(guān)系，分類討論：點(diǎn)。在/c上時，點(diǎn)。在

8c上時，點(diǎn)。在點(diǎn)C上時，由此即可求解.

【詳解】解：在中，ZACB=90°.ZA=30°,AP=x.

2x=裊X，

???△力夕。的面積為夕=54尸?夕0=5；^

當(dāng)y=2有時，近一=2百，則再=-26（舍去），xS

，當(dāng)x=2G時，。0=^x26=2,

當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)A到點(diǎn)C時，△力尸。的面積隨的增大而增大;

當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)、C到點(diǎn)8時，如圖所示,

^BPQ=90°,

.??N3QP=30。，BP=AB-x,

，P0=^（”7），

&PQ的面積J，=；ABPQ-1PBPQ=^PQ（AB-PB）=^PQx,此時V隨x的增大而減小,

???當(dāng)點(diǎn)。到點(diǎn)C處，△?尸。的面積最大，且「。;PC=2,如圖所示，

???在RtaBCP中，ZB=60°,/BPC=90。,Z5CP=30°,

?__2734x/3

33

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形與動點(diǎn)問題，理解動點(diǎn)運(yùn)動圖像的變換，結(jié)合面積圖像的最大值是解題的關(guān)

鍵.

3.（2022春?九年級課時練習(xí)）在線段4G上取點(diǎn)C,分別以8C、CG為邊在8G的同一側(cè)構(gòu)造正方形/4C。

和正方形ECG尸，點(diǎn)P、。分別是8C、E廣的中點(diǎn),連接?。，若8G=8,則線段尸。的最小值為

【答案】4

【分析】過點(diǎn)。作。垂足為〃，求出物,設(shè)CG=2九利用勾股定理表示出「。，根據(jù)x的值即

可求出外?的最小值.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作0H~L8G,垂足為從則，為CG中點(diǎn),

AG=8,

/.PII=4,

設(shè)CG=2x,則C〃=HG=EQ=X,Q〃=2x,

PQ=yjPH2+QH2=^42+(2X)：=V16+4x2，

則當(dāng)x=0時，尸。最小，最小值為4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，線段最值問題，解題的關(guān)鍵是表示出尸。的長.

4.(2022秋?貴州黔東南?九年級?？茧A段練習(xí))如圖，拋物線二夕工-2『+1的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)0是該拋物

線上一點(diǎn)，若將拋物線y=g(x-2)2+i向左平移得到一條新拋物線，其中點(diǎn)尸，。(加，4),平移后的對應(yīng)點(diǎn)分

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)P，再根據(jù)題意求出產(chǎn)產(chǎn)'=5,最后結(jié)合二次函數(shù)的平移即

可求解.

【詳解】解：???拋物線y=g(x-2)2+l的頂點(diǎn)為點(diǎn)?，

AP(2,1),

曲線段尸。掃過的面積=(“-4卜尸產(chǎn)=3Pp=15,

則尸P=5,

故拋物線向左平移5個單位，則J=*-2+5)2+1=；(X+3)2+1,

故答案為：》=g(x+3)z+1.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和二次函數(shù)的平移，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵.

5.(2023秋吶蒙占通遼?九年級?？计谥?已知：如圖所示，在。中，DS=90a,AB=5cm,BC=7

cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿4B邊向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)、C以2cm/s的速

度移動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.

Q

//F

AfSB

⑴如果P、。分別從48同時出發(fā)，那么幾秒后，△PB。的面積等于4cm2?

（2），秒時，△尸。8的面積最大？清說明理由.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，A。"。的面積等于4cm，，根據(jù)點(diǎn)F從4點(diǎn)開始沿*6邊向點(diǎn)，以lcm/s的速

度移動，點(diǎn)0從8點(diǎn)開始沿8c邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，表示出8P和80的長可列方程求解.

（2）設(shè)經(jīng)過/秒以后△尸08面積最大，用含，的式子表示△尸QB的面積，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過x秒以后△尸5。面積為4cm2,則

ix（5-x）x2x=4,

整理得：V-5x+4=0，

解得：玉=1,馬=4,

:當(dāng)x=4時，2x=8cm>7cm,

x=4不合題意，

答：1秒后△尸8。的面積等于4cm:

（2）解：當(dāng)秒時，△PQ5面積最大.理由如卜.：

設(shè)經(jīng)過/秒以后△尸06面積最人，則

I15Y25

S.PQB=yx（5-r）x2z=-/2+5r=-|/--+—,

.?.當(dāng)f=T秒時，APOB面積最大.

【點(diǎn)睛】此題主要考查r?元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語“APB。的面積最大，得出等量關(guān)系是解決問

題的關(guān)鍵.

考查題型三拱橋問題

1.（2023?山西大同?大同一中?？寄M預(yù)測）如圖，有一個截面邊緣為拋物線型的水泥門洞.門洞內(nèi)的地面

寬度為8m,兩側(cè)距地面4m高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為6m,則這個門洞內(nèi)部頂端離地面的距離

【答案】D

【分析】建立直角坐標(biāo)系，得到二次函數(shù)，門洞高度即為二次函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo).

【詳解】解：如圖，以地面為x軸，門洞中點(diǎn)為。點(diǎn)，畫出y軸，建立直角坐標(biāo)系,

由題意可知各點(diǎn)坐標(biāo)為4（T0）,5（4,0）,￡＞（-3,4）,

設(shè)拋物線解析式為N=加+c（0工0）把仄D兩點(diǎn)帶入解析式,

_4

16a+c=0~7

解得:

9a+c=464

T

4八4(64、

???解析式為7=-#+9則C0,三

所以這個門洞內(nèi)部頂端離地面的距崗為亍m,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的簡單應(yīng)用，能夠建立直角坐標(biāo)系解出二次函數(shù)解析式是本題關(guān)鍵.

2.（2023?浙江?九年級假期作業(yè)）某市新建一座景觀橋.如圖，橋的拱肋/D5可視為拋物線的一部分，橋面

可視為水平線段，橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接，拱肋的跨度為40米，橋拱的最大高

度C〃為16米（不考慮燈桿和拱肋的粗細(xì)），則與的距離為5米的景觀燈桿的高度為〔）

【答案】C

【分析】以/出所在直線為x軸、。。所在直線為y軸建立坐標(biāo)系，可設(shè)該拋物線的解析式為歹=。/+16,

將點(diǎn)8坐標(biāo)代入求得拋物線解析式，再求當(dāng)x=5時歹的值即可.

【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線表達(dá)式為y=or2+16,

由題意可知,5的坐標(biāo)為（20,0）,

A40067+16=0,

1

25

???當(dāng)x=5時，?=15.

答：與CO距離為5米的景觀燈桿朋N的高度為15米，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式的知識，建立合適的平面直角坐

標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?江西吉安?統(tǒng)考一模）如圖1,某地大橋橋拱形狀近似拋物線，其高度約為20米，跨度為120米,

以橋底部（正好為水面）所在直線為x軸，以橋拱最高點(diǎn)到水面的垂線的垂足為原點(diǎn)。建立如圖2所示的

平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的表達(dá)式為.

圖1

【答案】---X2+20

y=180

【分析】設(shè)拋物線解析式為y=d+c（"0）,根據(jù)題意可得c=20,拋物線與X軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（60,0）、

（-60,0）,代入即可求出.

【詳解】解：設(shè)拋物線解析式為產(chǎn)d+c（"0）,

由題意可知：c=20,拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（60,0）、（-60,0）,

e=0

把c=20、（60,0）,代入尸分+c（。/0）得：，

3600a+c=0

解得…-高

???拋物線解析式為y=-高，+20,

故答案為：=—袁云/+20.

180

【點(diǎn)睛】本題考查了求拋物線解析式，止確設(shè)出解析式和確定點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

4.（2023秋?山東濱州?九年級統(tǒng)考期末）如圖是拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為O,8.以點(diǎn)。為

原點(diǎn)，水平直線。〃為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可以近似看成拋物線y=-0.01（x-20『+4,

橋拱與橋墩的交點(diǎn)。恰好位于水面，且4C1X軸，若。1=5米，則橋面離水面的高度4c為

【答案】2.25米

【分析】根據(jù)。4=5知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-5,據(jù)此求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)即可得出答案.

【詳解】解：..FC_Lx軸，。1=5米，

???點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-5,

當(dāng)二二-5時，y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25,

:.。（-5,-2.25）,

???橋面離水面的高度AC為2.25米.

故答案為：2.25米.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是明確題意找出所求問題需要的條件.

5.（2023?河南鄭州??？既＃┮蛔鶔佄锞€型拱橋如圖所示，當(dāng)橋下水面寬度為20米時，拱頂點(diǎn)。距

離水面的高度為4米.如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以橋面所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

⑴求拋物線的解析式；

⑵汛期水位上漲，一艘寬為5米的小船裝滿物資，露出水面部分的高度為3米（橫截面可看作是長為5米,

寬為3米的矩形），若它恰好能從這座拱橋下通過，求此時水面的寬度（結(jié)果保留根號）.

【答案】⑴該拋物線的解析式尸-《以

⑵水面寬度為5小米.

【分析】（1）由題意可以寫出A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為歹=52,把*A的坐標(biāo)代入求出a,c的值即可;

（2）把x=2.5代入拋物線解析式，求出對應(yīng)函數(shù)值y,再把y=-3.25代入計算即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為

???橋下水面寬度為20米，拱頂距離水面高度OC為4米，

???點(diǎn)4-10,-4）,

-4=100a,解得：a=一~—,

25

，該拋物線的解析式），=-《一；

（2）解：??,船寬5米，

，當(dāng)x=2.5時，^=--X2.52=0.25,

25

若該漁船能安全通過，此時水面高為0+也25）米，

.?.當(dāng)丁=一3.25時，-3.25=—

25

解得x=：g,

2

工水面寬度為5J萬米.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，運(yùn)用二次函數(shù)解實際問題的運(yùn)用，解答時求

出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

考查題型四銷售問題

1.（2023春?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）2022年新冠病毒變異株奧密克戎來勢洶洶，為了更好地讓顧客做

好防護(hù)，某商場銷售一款升級版的KN95口罩，市場信息顯示，銷售這種口.罩，每天所獲的利潤），（元）與

售價x（元/個）之間關(guān)系式滿足），=--+云+°,第一天將售價定為16元/個，當(dāng)天獲利132元，第二天將

售價定為20元/個，當(dāng)天獲利18c元.則這種口罩的成本價是多少元/個？（單位利潤=售價-成本價）（）

A.10B.12C.14D.15

【答案】A

【分析】根據(jù)題意列方程組求出二次函數(shù)的解析式，再列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由題意知：當(dāng)x=16時，y=132：當(dāng)x=20時，?=180代入夕=一一+6+。中，

-162+16Z）+C=132

得〈7，

-202+20/）+C=180

b=48

解得：

c=-380

:.y=-x~+48x-380,

當(dāng)每天利潤為0元時，售價即為成本價.令歹=-￥+48工-380=0,

解得：玉=10,X2=38,

由題意可知38不符合條件，

.\x=10,

???這種口罩的成本價是10元/個；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江?九年級假期作業(yè)）某種商品每件進(jìn)價為20元，調(diào)查表明：在某段時間內(nèi)若以每件x元

（20<x<30,且N為整數(shù)）出售，可賣出（30-力件，要使利潤最大，每件的售價應(yīng)為（）

A.24元B.25元C.28元D.30元

【答案】B

【分析】設(shè)利潤為卬根據(jù)利潤等干利潤單價乘以數(shù)量列出函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解即可得到答案；

【詳解】解：設(shè)利潤為w,由題意可得，

w=（x-20）（30-.r）=-X2+50r-600=-（x-25）2+25.

V-l<0,20<^<30,

???當(dāng)x=25時卬最大，

故選B；

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解決銷售利潤問題中最值問題，解題的關(guān)鍵是列出函數(shù)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解.

3.（2023?上海?九年級假期作業(yè)）中國的新冠疫苗受到世界各國的高度認(rèn)可，中國人民完全免費(fèi)接種，但對

國外要收取費(fèi)用?已知出口某國的疫苗原價是400元/劑，每冏可出口400000劑，在該國懇請刈其優(yōu)惠銷售

的條件下，每劑的售價每降低10元,每周可多出口100000劑，設(shè)出I」疫苗的銷售收入為K元,銷售價格為x

元/劑，則V與x之間的函數(shù)表達(dá)式為.

【答案】y=-10000x2+4400000.v

【分析】根據(jù)利潤=每件利澗x銷量求解.

【詳解】解：由題意得N=x400000+100000x40^-X=-10000^+4400000）,

故答案為：JV=-10000.V2+44000CO.V.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)解析式.

4.（2022秋?北京?九年級北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┠撤b店銷售一批服裝，平均每天可售出20件,

每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)市場調(diào)杳發(fā)現(xiàn)，如果一

件衣服每降價1元，商店平均每天可多售出2件，則每件衣服降價元時，服裝店每天盈利最多.

【答案】15

【分析】根據(jù)總利潤=單價利潤x銷售數(shù)最，列出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【詳解】解：設(shè)每件衣服降價工元，獲得的總利潤為N元，

由題意得:y=（40r）（20+2x）,

22

整理得：y=-2x+60x+800=-2（X-15）+1250,

???當(dāng)K-15時，V取得最大值；

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用：銷售問題.根據(jù)總利泡=單價利潤x銷售數(shù)量準(zhǔn)確的列出函數(shù)解析

式是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?安徽合肥??？家荒＃┠呈泄簿纸痪ш犜谌蟹秶鷥?nèi)開展"一盔一帶"安全守護(hù)行動，某商場的

頭盔銷量不斷增加，該頭盔銷售第x天與該天銷售量V（件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式為：y=20x+200（l<x<30

且）為整數(shù)），為減少庫存，該商場將此頭盔的價格不斷下調(diào)，其銷售單價z（元）與第x天成一次函數(shù)關(guān)系，

當(dāng)％=1時，z=98,當(dāng)x=2時，z=96.已知該頭盔進(jìn)價為40元/件.

⑴求z與x之同的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求這30天中第幾天銷售利潤最大，并求出最大利潤；

（3）在實際銷售的前15天，為配合，,騎乘人員佩戴頭盔專題周”活動的開展，商場決定將每個頭盔的單價在原

來價格變化的基上再降價〃元（?>2）銷售，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前8天中，每天的利潤隨時間工（天）

的增大而增大，試求。的取值范圍.

【答案】⑴z與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z=-2x+100（l<x<30）

⑵第10天利潤最大，最大值為16000元

⑶。的取值范圍為2<aW8

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解;

（2）根據(jù)題意，設(shè)總利潤為w元，可得出總利潤與第x天的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式即可求解;

（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)即可求解..

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)z=〃w+〃，當(dāng)x=l時，z=98,當(dāng)x=2時，2=96,

〃?+〃=98,m=-2

**?必，解得：?

2m+n=96[〃=100

?,.2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z=-2x+100（14x430）.

（2）解：設(shè)總利潤為卬元，則

vv=y（z-40）=（20x+200）（-2x+60）=-40（x-10）2+16000,

當(dāng)工=10時，w取得最大值，

工第10天利潤最大,最大值為:=16000（元）.

（3）解：由題意可設(shè)第％天的銷售利潤為嗎元，則

叫=（20x+200）（-20x4-60-a）

=-40x2+（800-20a）x+200（60-<7）,

800—20。⑺1

???對稱軸為、=一百畫二*丁

又知前8天中，每天的利潤隨時間x（天）的增大而增大，

???10/aZ8即“W8,

4

又a>2,

A2<a<8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查銷售問題，理解題目中數(shù)量關(guān)系，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考查題型五投球問題

1.（2023?上海?九年級假期作業(yè)）如圖，若被擊打的小球《行高度力（單位：m）與飛行時間/（單位：s）

具有函數(shù)關(guān)系為〃=24-4尸，則小球從飛出到落地的所用時間為（）

A.3sB.4sC.5sD.6s

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題.

【詳解】解；依題意，令]?=0得，）-24一”,

得424-力)=0,

解得f=0(舍去)或f=6,

即小球從飛出到落地所用的時間為6s,故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.(2023?山東棗莊?統(tǒng)考一模)足球運(yùn)動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條

拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度/?(單位：m)與足球被踢出后經(jīng)過的時間單位：S)

之間的關(guān)系如下表：

01234567......

h08141820201814......

G

下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度為20.25m；②足球飛行路線的對稱軸是直線/=：；③足球被踢出

8s時落地；④足球被踢出1.5s時，距離地面的高度是其中正確的結(jié)論有()個

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由題意,拋物線經(jīng)過(0,0),(9,0),所以可以假設(shè)拋物線的解析式為〃把(1,8)代入可得

a=-l,可得〃=T2+9/=-(，-4.5『+20.25,由此即可一一判斷.

【詳解】解：???當(dāng)，=4和1=5時，h的值相同，

???拋物線的對稱軸為直線》=等二|,故②正確；

???當(dāng)1=0時，h=0,

.??當(dāng)，=9時，h=0,即足球被踢出9s時落地，故③錯誤；

???可設(shè)拋物線的解析式為。=〃(—9),

把。，8)代入得8=。。-9)

解得。二一1,

A=-/2+9/=-(/-4.5)2+20.25,

???足球距離地面的最大高度為20.25m,故①正確,

???足球被踢出9s時落地，故③錯誤，

??1=1.5時，〃=11.25,故④正確.

???正確的有①②④，共3個，故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題)如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y(單位：m)與水平距離x(單

位：m)之間的關(guān)系是y=—\(x-10)(x+4),則鉛球推出的距離m.

-------\

oAx/m

【答案】10

【分析】令尸0,則0=-如-10)*+4),再解方程，結(jié)合函數(shù)圖象可得答案.

【詳解】解：令八0,則0=-卷*一10)5+4),

解得：Xj=10,x,=-4,

OA=\0,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，理解題意令丁=0求解方程的解是解本題的關(guān)鍵.

4.(2023秋?浙江湖州?九年級統(tǒng)考期末)教練對小明推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分析，建立平面直角坐標(biāo)系(如

圖)，發(fā)現(xiàn)鉛球與地面的高度y(m)和運(yùn)動員出手點(diǎn)的水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系為》=-

由此可知鉛球的落地點(diǎn)與運(yùn)動員出手點(diǎn)的水平距離是m.

【分析】根據(jù)鉛球落地時，高度)=0,實際問題可理解為當(dāng)歹=。時，求x的值即可;

i4

【詳解】y=一行/+2

1UJ

當(dāng)丁=0時，得：

1、4

-----x2+—x+2=0,

105

解得：玉=10,x,=-2（舍去）

即鉛球的落地點(diǎn)與運(yùn)動員出手點(diǎn)的水平距離是10m

故答案為：10

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用y=o時求出x的值是解題關(guān)鍵.

5.（2023?河南周口?統(tǒng)考三模）科技進(jìn)步促進(jìn)了運(yùn)動水平的提高.某運(yùn)動員練習(xí)定點(diǎn)站立投籃，他利用激光

跟蹤測高儀測量籃球運(yùn)動中的高度.圖1所示拋物線的?部分是某次投籃訓(xùn)練中籃球飛行的部分軌跡，建

立加圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.已知籃球每一次投出時的出手點(diǎn)。到地面的距離。。都為2.25m.當(dāng)球運(yùn)

行至點(diǎn)尸處時，與出手點(diǎn)。的水平距離為2.5m,達(dá)到最大高度為3.5m.

圖1圖2

⑴求該拋物線的表達(dá)式.

（2）在球出手后，未達(dá)到最高點(diǎn)時，被防守隊員攔截卜.來稱為蓋帽，但球到達(dá)最高點(diǎn)后，處于下落過程時，

防守隊員再出手?jǐn)r截，屬于犯規(guī).在（1）的條件下，防守隊員前來蓋帽，已知防守隊員的最大摸球高度為

3.05m,則他應(yīng)在運(yùn)動員前面什么范圍內(nèi)跳起攔截才能蓋帽成功？

【答案】（l）y=_!（x_2.5『+3.5

⑵應(yīng)在運(yùn)動員前面范圍內(nèi)跳起攔截才能蓋帽

【分析】（1）根據(jù)題意得出0（0,225）,尸（2.5,3.5）,設(shè)y=“尤-2.5）2+3.5,待定系數(shù)法求解析式即可求解.

（2）根據(jù)題意，令y=3.05,解方程即可求解.

【詳解】（1）解：???。到地面的距離。。都為225m.當(dāng)球運(yùn)行至點(diǎn)/處時,與出手點(diǎn)。的水平距離為2.5m,

達(dá)到最大高度為3.5m

"(0,2.25),/(2.5,3.5),

設(shè)拋物線解析式為y=“x-2.5)2+3.5,

將點(diǎn)0(0,2.25)代入得，2.25=6.25。+3.5,

解得:0=4，

???拋物線解析式為》=-1(X一2.5)”+3.5,

(2)將卜=3.05代入解析式，3.05=-1(X-2.5)2+3.5,

解得：X=1或x=4(舍去)，

答：應(yīng)在運(yùn)動員前面XW1范圍內(nèi)跳起攔截才能蓋帽.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考查題型六噴水問題

1.(2023春?湖南長沙?八年級校聯(lián)考期末)為了使居住環(huán)境更加美觀，某小區(qū)建造了一個小型噴泉，水流從

地面上的點(diǎn)。噴出，在各個方向上沿形狀相同的拋物線落到地面，某方向上拋物線的形狀如圖所示，落點(diǎn)

A到點(diǎn)O的距離為4,水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式歹=奴？+_則水

流噴出的最大高度為()

D.6m

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離為4,得到力(4,0),代入)，=ar2+yx求得a,再將解析式化為頂點(diǎn)式即可

得解；

【詳解】點(diǎn)力到點(diǎn)。的距離為4,

.?.44,0),

把題4,0)代入丁=/+?7工4得

16i?+—x4=0,

a=—6,

5

「?水流噴"1；的最大局度為—，

故選擇：A

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江?九年級假期作業(yè)）我校辦公樓前的花園是一道美麗的風(fēng)景，現(xiàn)計劃在花園里再加上一噴水裝

置，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是

拋物線歹=-/+5工（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是（）

伊米）

//、

1_______________\

0式米）

A.4.5米B.5米C.6.25米D.7米

【答案】C

【分析】將拋物線解析式配方為頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)解題即可.

【詳解】解：丁=一一+5^=一（/一5工+多多=一（又一}+M，

4424

<525、

所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

4

即水噴出的最大高度是今25，

4

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的配方是解題的關(guān)鍵.

3.12023?吉林長春?統(tǒng)考二模）我校辦公樓前的花園是一道美麗的風(fēng)景，現(xiàn)計劃在花園里再加上一噴水裝置,

水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋

物線y=-f+5x（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是米.

y（米）

9x（米）

25

【答案】y

【分析】將拋物線解析式配方為頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)解題即可.

【詳解】解：y=-x2+5x=-fx2-5x+-l=-fx--T+—,

I44JI2j4

,525、

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

即水噴出的最大高度是r25米，

4

25

故答案為：V-

4

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值，將二次函數(shù)由一般式變形為頂點(diǎn)式，是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?上海?九年級假期作業(yè)）要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安裝

一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱如圖所示.現(xiàn)以水管與地面交點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地處所在直線

為I軸，水管所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，噴出的拋物線水柱對應(yīng)的函數(shù)解析式是歹=-：*-1）2+3,

4

則水管長為m.

【分析】由題意令x=o,得到的y值即為水管的長.

【詳解】解：在kT—中,

?9

令x=0,得y=-：(0-i)2+3=；,

44

...水管的長為99九

4

9

故答案為：7-

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解水管的長即是x=0時歹的值.

5.(2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考一模)如圖1為某居民小區(qū)計劃修建的圓形噴水池的效果圖，在池中心需安裝一個

柱形噴水裝置，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高高度為3m.水柱落地處

離池中心的水平距離為3m.小剛以柱形噴水裝置04與地面交點(diǎn)O為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地處所在直線為x

軸，柱形噴水裝置所在的直線為J軸，建立平面直角坐標(biāo)系.水柱噴出的高度Mm)與水平距離x(m)之間的

函數(shù)關(guān)系如圖2.

⑴求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

⑵若不計其他因素，求柱形噴水裝置的高度.

【答案】⑴拋物線函數(shù)表達(dá)式為了=一1aX-1)2+3(0工工43)或歹=一a［一+?；工+9；(0?143)

4424

(2)1m

4

【分析】(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=〃(x-l)2+3(0KxW3),由題意得，該拋物線經(jīng)

過點(diǎn)(3,0),待定系數(shù)法求解析式即可求解.

(2)當(dāng)x=0時，代入解析式，解得y=29.

4

【詳解】(1)解：由于點(diǎn)(1,3)為拋物線的頂點(diǎn)，

因此可設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-1)2+3(0<X<3),

由題意得，該拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3,0),可得0=。(3-1)2+3,

解得°=一3,

4

???該拋物線函數(shù)表達(dá)式為y=_：(x_l)2+3(0WxW3)或,=_:/+：1+4(0工工工3).

39

(2)當(dāng)x=0時，；；=—(0-1)2+3,解得歹=一.

44

9

答:柱形噴水裝置的高度為

4

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意求得解析式是解題的關(guān)鍵.

考查題型七增長率問題

1.(2023?福建?統(tǒng)考中考真題)根據(jù)福建省統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022

年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元.設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為心根據(jù)題意可列方程

()

A.43903.89(1+x)=53109.85B.43903.89(1+xj2=53109.85

C.43903.89/=53109.85D.43903.89(1)=53109.85

【答案】B

【分析】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解.

【詳解】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意可列方程

43903.89(1+4=53109.85,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

2.(2022秋?浙江紹興?九年級?？茧A段練習(xí))據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，某省2019年第二個月G力。總值約為

7.9億元人民幣，若該省第四個月GAP總值為歹億元人民幣，平均每個月GQ夕增長的百分率為x,則y關(guān)于

x的函數(shù)表達(dá)式是()

A.^=7.9(1+2.Y)B.y-7.9(1-x)2

C.y=7.9(l+x『D.j=7.9+7.9(l+x)+7.9(l+x)2

【答案】C

【分析】根據(jù)平均每個月GO尸增長的百分率為x,可得第三月的GO尸總值為7.9(l+x),第叫月的GQ尸總

值為7.9(1+X)2,即可解答.

【詳解】解：設(shè)平均每個月GOP增長的百分率為x,

???第二個月GOP總值約為7.9億元人民幣，

???第三月的GDP總值為7.9(1+%),

???第四月的GDP總值為7.9(1+x)：,

???)關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是:y=Z9(l+x)2,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，正確理解增長率問題的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.(2023春?浙江杭州?八年級?？计谥?為了讓農(nóng)民能種植高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子，某農(nóng)科實驗基地大力開展

種子實驗.該實驗基地兩年前有100種種子，經(jīng)過兩年不斷地努力，現(xiàn)在已有144種種子.若培育的種子

平均每年的增長率為X,則x的值為.

【答案】20%

【分析】利用該實驗基地現(xiàn)在擁