課時分層作業(yè)四十二空間幾何體的表面積與體積一、選擇題(每小題5分,共35分)1.某幾何體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格的邊長為1個單位),其中俯視圖為扇形,則該幾何體的體積為 ()A.2π3 B.4π3 C.14【解析】選B.由三視圖知幾何體是圓錐的一部分,由俯視圖可得:底面扇形的圓心角為120°,又由側(cè)視圖知幾何體的高為3,底面圓的半徑為2,所以幾何體的體積V=120360×13×π×22×3=2.已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是邊長為6的正三角形,若這個空間幾何體存在唯一的一個內(nèi)切球(與該幾何體各個面都相切),則這個幾何體的表面積是 ()A.183 B.36 C.453 D.54【解析】選D.由三視圖知,幾何體為正三棱柱.因為俯視圖是邊長為6的正三角形,所以幾何體的內(nèi)切球的半徑R=6×32×13=3,所以三棱柱的側(cè)棱長為2所以幾何體的表面積S=2×12×6×6×32+3×6×23=543.已知某幾何體的外接球的半徑為3,其三視圖如圖所示,圖中均為正方形,則該幾何體的體積為()A.16 B.163 C.83 【解析】選C.由該三視圖可知:該幾何體是一個正方體,切去四個角所得的正四面體,其外接球等同于該正方體的外接球,設(shè)正方體的棱長為a,則有3a2=3,a=2,故該正四面體的體積為V=2313×4×12×2【變式備選】已知三棱錐的三視圖如圖所示,其中側(cè)視圖是邊長為3的正三角形,則該幾何體的外接球的體積為 ()A.16π3 B.32π3 C.4【解析】選B.由已知中的三視圖,可得該幾何體的直觀圖如圖所示:取AB的中點F,AF的中點E,由三視圖可得:AB垂直平面CDE,且平面CDE是邊長為3的正三角形,AB=1+3=4,所以AF=BF=2,EF=1,所以CF=DF=12故F即為棱錐外接球的球心,半徑R=2,故外接球的體積V=43πR3=324.已知在長方體ABCDA1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點A1到截面AB1D1的距離是A.83 B.38 C.43 【解析】選C.設(shè)點A1到截面AB1D1的距離是h,由VA1-AB1D1=VA-A【一題多解】選C.取B1D1的中點E1,連接A1E1,AE1,根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可知,作A1H⊥AE1,垂足為H,A1H⊥平面AB1D1,A1H即為所求.A1E1=2,A1A=4,A1A⊥A1E1,A1H=【變式備選】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥底面ABCD,M,N分別為AB,PC的中點,PD=AD=2,AB=4.則點A到平面PMN的距離為____________.

【解析】取PD的中點E,連接AE,NE,則因為四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分別為AB,PC的中點,所以NE∥AM,NE=AM,所以四邊形AENM是平行四邊形,所以AE∥MN,所以點A到平面PMN的距離等于點E到平面PMN的距離,設(shè)為h,在△PMN中,PN=5,PM=23,MN=5,所以S△PMN=12×23×2=6,由VEPMN=VMPEN,可得13×6h=13×12×1×2×2,答案:6【方法技巧】求點到平面的距離(1)能作出高線的則直接作出高線,轉(zhuǎn)化為求線段的長度;(2)不能直接求時,①可轉(zhuǎn)化為與平面平行的直線上一點到平面的距離.②或利用等體積法求解.5.已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點,若三棱錐OABC體積的最大值為36,則球O的表面積為 ()導(dǎo)學(xué)號A.36π B.64πC.144π D.256π【解析】選C.如圖所示,當(dāng)點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐OABC的體積最大,設(shè)球O的半徑為R,此時VOABC=VCAOB=13×12R2×R=16R3=36,故R=6,則球O的表面積為6.某幾何體的三視圖如圖所示,其內(nèi)切球的體積為 ()A.8627π B.62π C.6π 【解析】選A.根據(jù)圖示可得幾何體為正八面體,內(nèi)切球心為O,過O作OH垂直AD于點H,連接S1H,作OR垂直S1H,OR即為內(nèi)切球O的半徑.所以R=63,V0=87.如圖,在透明塑料制成的長方體ABCDA1B1C1D1容器內(nèi)灌進一些水(未滿),現(xiàn)將容器底面一邊BC固定在底面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下列四種說法①水的部分始終呈棱柱狀;②水面四邊形EFGH的面積為定值;③棱A1D1始終與水面EFGH平行;④若E∈AA1,F∈BB1,則AE+BF是定值.則其中正確命題的個數(shù)是 ()導(dǎo)學(xué)號A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解析】選C.結(jié)合題設(shè)中提供的圖形信息可知:當(dāng)容器底面一邊BC固定時,BC∥FG∥A1D1,故由線面平行的判定定理可知結(jié)論“棱A1D1始終與水面EFGH平行”成立;同時由于四邊形ABFE≌四邊形DCGH,且互相平行,則由棱柱的定義可知結(jié)論“水的部分始終呈棱柱狀”正確;如圖,由于水平放置時,水的高度是定值,所以當(dāng)一部分上升的同時,另一面下降相同的高度,因為BF=hFD,AE=h+D1E且FD=D1E,所以BF+AE=hFD+h+D1E=2h(定值),即結(jié)論“若E∈AA1,F∈BB1,則AE+BF是定值”是正確的;因為水面四邊形EFGH的邊長在變化,因此其面積是變化的,故結(jié)論“水面四邊形EFGH的面積為定值”的說法不正確.即命題①③④是正確的.【題目溯源】本題來源于人教A版必修2P29A組第4題.【變式備選】水平桌面上放置著一個容積為V的密閉長方體玻璃容器ABCDA1B1C1D1,其中裝有12V的水,①把容器一端慢慢提起,使容器的一條棱BC保持在桌面上,這個過程中,水的狀態(tài)始終是柱體;②在①中的運動過程中,水面始終是矩形;③把容器提離桌面,隨意轉(zhuǎn)動,水面始終過長方體內(nèi)一個定點;④在③中的轉(zhuǎn)動中水與容器的接觸面積始終不變.以上說法正確的是__________.(把所有正確命題的序號都填上)

【解析】①水的部分始終呈棱柱狀;從棱柱的特征及平面ABFE平行平面DCGH即可判斷①正確;如圖,②在①中的運動過程中,水面四邊形EFGH的對邊始終保持平行,且EF⊥FG,故水面始終是矩形,②是正確的;③由于始終裝有12V的水,而平分長方體體積的平面必定經(jīng)過長方體的中心,即水面始終過長方體內(nèi)一個定點;所以結(jié)論③④在③中的轉(zhuǎn)動中水與容器接觸時,由于水的體積是定值,所以水與容器的接觸面的面積是正方體表面積的一半,故始終保持不變,所以④正確.答案:①②③④二、填空題(每小題5分,共15分)8.如圖直三棱柱ABCA1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上,AB=AC,側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形,則側(cè)面ABB1A1的面積為【解析】由題意知,球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上,BC為截面圓的直徑,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圓圓心N是BC的中點,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中點.設(shè)正方形BCC1B1的邊長為x.在Rt△OMC1中,OM=x2,MC1=x2,OC所以x22+即x=2,則AB=AC=1,所以S矩形ABB1A1答案:29.(2016·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是______cm2,體積是________cm3.

【解析】幾何體為兩個相同長方體組合而成,長方體的長、寬、高分別為4,2,2,所以體積為2×(2×2×4)=32(cm3),由于兩個長方體重疊部分為一個邊長為2的正方形,所以表面積為2(2×2×2+2×4×4)2×2×2=72(cm2).答案:723210.一個圓錐的表面積為π,它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形,則該圓錐的高為__________.

【解析】設(shè)圓錐底面半徑是r,母線長為l,所以πr2+πrl=π,即r2+rl=1,根據(jù)圓心角公式23π=2πrl,即l=3r,所以解得r=12,l=32答案:2【變式備選】已知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為90°,則該圓錐的底面半徑與母線長的比為__________.

【解析】設(shè)圓錐的母線長是R,則扇形的弧長是90πR180=設(shè)底面半徑是r,則πR2=2πr,所以r=R所以圓錐的底面半徑與母線長的比為1∶4.答案:11.(5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為 ()A.18+365 B.54+185C.90 D.81【解題指南】根據(jù)三視圖作出原幾何體是關(guān)鍵.【解析】選B.根據(jù)三視圖可知原幾何體是一個斜四棱柱,上下底面為邊長為3的正方形,左右為寬為3,長為35的矩形,前后為底邊長為3,且底邊上的高為6的平行四邊形,所以S=9+9+18+18+95+95=54+185.2.(5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得,則該幾何體的體積為 ()A.90π B.63π C.42π D.36π【解析】選B.由三視圖知,該幾何體為一個底面半徑為3,高為4的圓柱和一個底面半徑為3,高為6的圓柱的一半,故其體積為V=12×π×32×6+π×32×63π.3.(10分)已知一個平放的各棱長為4的三棱錐內(nèi)有一個小球,現(xiàn)從該三棱錐頂端向錐內(nèi)注水,小球