第2章特殊三角形（復(fù)習(xí)講義）課標(biāo)要求：從生活實例抽象模型，通過推理掌握“等邊對等角”“三線合一”等核心性質(zhì)；中考命題：基礎(chǔ)題占比高，壓軸題聚焦動態(tài)等腰三角形存在性與等邊三角形綜合證明；備考關(guān)鍵：?

概念零混淆（腰≠底邊、SSA非判定）；?

證明嚴(yán)步驟（標(biāo)注定理+分類討論）；?

作圖保規(guī)范（尺規(guī)作圖中半徑一致，虛線表延長線）層級訓(xùn)練重點(diǎn)典型例題基礎(chǔ)層邊角計算、軸對稱作圖已知AB=AC，∠A=40°，求∠B。進(jìn)階層三線合一證明、等腰判定用“等角對等邊”證△ABC為等腰三角形。拓展層等邊三角形與全等綜合、動態(tài)存在性問題等邊△ABC中，D為AC中點(diǎn)，E在BC延長線上，CE=CD，證△BDE為等腰三角形知識點(diǎn)重點(diǎn)歸納常見易錯點(diǎn)等腰三角形性質(zhì)軸對稱性：對稱軸為頂角平分線所在直線等邊對等角：兩底角相等三線合一：頂角平分線、底邊中線、底邊高線重合未分類討論角的位置（如已知角80°未分頂角/底角）非等腰三角形誤用三線合一等腰三角形判定定義法：兩腰相等等角對等邊：兩底角相等推論：三角形一邊中線和高重合?等腰誤用SSA判定（如兩邊及一邊對角相等）忽略三角形存在性（如邊長3,3,6不成立）等邊三角形性質(zhì)三邊相等，三角均為60°四心合一（重心、內(nèi)心、外心、垂心）對稱性：三條對稱軸混淆重心與垂心位置求角度時未利用60°特性（如外角=120°）直角三角形性質(zhì)勾股定理：a2+b2=c2（c為斜邊）兩銳角互余：∠A+∠B=90°斜邊中線=斜邊一半混淆直角邊與斜邊（如求第三邊時未分類）誤用"HL"于非直角三角形成立直角三角形判定定義法：有一個角為90°勾股逆定理：若a2+b2=c2，則∠C=90°兩角互余：∠A+∠B=90°?∠C=90°勾股數(shù)記憶錯誤（如認(rèn)6,8,11是勾股數(shù)）忽略角度互余的隱含條件HL全等判定僅用于直角三角形：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等?全等本質(zhì)是SSA在直角△中的特例在非直角△中誤用HL未標(biāo)注"Rt△"直接使用HL題型題型一圖形軸對稱【例1】下列藝術(shù)字中，軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對稱圖形【分析】根據(jù)軸對稱圖形是指在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，這條直線就叫做對稱軸，結(jié)合圖形，找出對稱軸即可求解．【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義可得：A有對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意；B、C、D沒有對稱軸，不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的識別，理解軸對稱圖形的定義，結(jié)合圖形，找出對稱軸是關(guān)鍵．【變式11】世界環(huán)境日為每年的6月5日，它的確立反映了世界各國人民對環(huán)境問題的認(rèn)識和態(tài)度，表達(dá)了人類對美好環(huán)境的向往和追求．下列有關(guān)環(huán)境保護(hù)的圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對稱圖形【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【解答】解：選項A、B、D均不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形；選項C能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是找到軸對稱圖形的對稱軸．【變式12】請你用數(shù)學(xué)的眼光觀察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“白露”的作品，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對稱圖形【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；A，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式13】2024年11月29日，中央電視臺公布了2025年蛇年春晚主題“巳巳如意，生生不息”，設(shè)計了“巳巳如意紋”，以下四個如意放樣中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對稱圖形【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A：圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不符合題意；B：圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不符合題意；C：圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不符合題意；D：圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的識別，正確判斷是解題關(guān)鍵．題型二題型二最值問題【例2】如圖所示，軍官從軍營C出發(fā)先到河邊（河流用AB表示）飲馬，再去同側(cè)的D地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？你能解決這個著名的“將軍飲馬”問題嗎？下列給出了四個圖形，你認(rèn)為符合要求的圖形是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題【分析】由選項D中圖可知：作D點(diǎn)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D′，連接CD′交AB于點(diǎn)N，由對稱性可知，DN＝D′N，CN+DN＝CN+D′N≥CD′，據(jù)此判斷即可．【解答】解：作D點(diǎn)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D′，連接CD′交AB于點(diǎn)N，由對稱性可知，DN＝D′N，∴CN+DN＝CN+D′N≥CD′，當(dāng)C、N、D′三點(diǎn)共線時，CN+DN的距離最短，故C選項符合題意，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．【變式21】如圖，已知∠AOB＝a，C是∠AOB內(nèi)部的一點(diǎn)，且OC＝5，點(diǎn)D、E分別是OA、OB上的動點(diǎn)，若△CDE周長的最小值等于5，則∠a的值為（）A．45° B．40° C．30° D．35°【考點(diǎn)】軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題【分析】設(shè)點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為P，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為F，當(dāng)點(diǎn)E、F在射線PD上時，△CDE的周長為CD+CE+DE＝PF，此時周長最小，根據(jù)OC＝5可求出α的度數(shù)．【解答】解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)F，連接PF，交OA于D，OB于E．此時，△CDE的周長最小．連接OP，OF，CD，EF．∵點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠POA＝∠AOC，PD＝CD，OC＝OP，同理，可得∠FOB＝∠BOC，EF＝CE，OF＝OC．∴∠POF＝2α．又∵△CDE的周長＝CD+DE+EC＝PD+EF+ED＝PD＝5，∴OP＝OC＝OF＝5，∴△POF是等邊三角形，∴2α＝60°，∴α＝30°．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了最短路徑問題，本題找到點(diǎn)E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．【變式22】昆明市打算在某條街道新建一所中學(xué)，為了方便居民區(qū)A、B的學(xué)生上學(xué)，要使A、B兩小區(qū)到學(xué)校的距離之和最小，則學(xué)校C的位置應(yīng)該在（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題【分析】先作點(diǎn)A關(guān)于街道的對稱點(diǎn)A′，再連接A′B，與街道的所在直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，此時AC+CB＝A′C+CB＝A′B，滿足A、B兩小區(qū)到學(xué)校的距離之和最小，即可作答．【解答】解：∵要使A、B兩小區(qū)到學(xué)校的距離之和最小，∴先作點(diǎn)A關(guān)于街道的對稱點(diǎn)A′，再連接A′B，與街道的所在直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，學(xué)校C的位置如圖所示：此時AC+CB＝A′C+CB＝A′B，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了最短路徑，在直線L上的同側(cè)有兩個點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)，對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．【變式23】如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝6，△ABC的面積為18，BD平分∠ABC，若E，F(xiàn)分別是BD，BC上的動點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)】軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題；三角形的面積【分析】作點(diǎn)F關(guān)于BD的對稱點(diǎn)G，連接CG，交BD于E，作CH⊥AB于H，可得出CE+CF＝CG≥CH，進(jìn)一步得出結(jié)果．【解答】解：作點(diǎn)F關(guān)于BD的對稱點(diǎn)G，連接CG，交BD于E，作CH⊥AB于H，∴CE+CF＝CG，∵BD平分∠ABC，∴點(diǎn)G在AB上，∴CG≥CH，∴CE+EF的最小值為CH的長，∵12∴12∴CH＝6，∴CE+EF的最小值為：6，故選A．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”等模型．題型題型三等腰三角形性質(zhì)【例3】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中點(diǎn)，∠B＝32°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．58° B．56° C．54° D．62°【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【分析】首先根據(jù)三角形“三線合一”的性質(zhì)得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，AD為BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠B＝32°，∴∠BAD＝90°﹣32°＝58°，∴∠CAD＝∠BAD＝58°（等量代換），即∠CAD的度數(shù)為58°，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式31】已知△ABC是等腰三角形，它的兩條邊的長分別為2cm和5cm，則它的第三邊的長是（）A．2cm B．3cm C．2cm或5cm D．5cm【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系【分析】根據(jù)等腰三角形的定義及三角形三邊關(guān)系，確定第三邊的可能值．【解答】解：若腰長為2cm，則第三邊長2cm，此時三邊為2cm、2cm、5cm，∵2+2＝4，4＜5，不滿足兩邊之和大于第三邊，無法構(gòu)成三角形，舍去；若腰長為5cm，則第三邊為5cm，此時三邊為5cm、5cm、2cm，∵5+2＝7＞5，滿足條件，可構(gòu)成三角形．故第三邊的長為5cm，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形，熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵．【變式32】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，∠DAC＝∠ADC＝2∠B，AC＝3，AD＝2，則BC的長為（）A．7 B．6 C．5 D．4【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)【分析】根據(jù)∠DAC＝∠ADC得DC＝AC＝3，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)及已知條件證明∠B＝∠DAB，則BD＝AD＝2，由此可得出BC的長．【解答】解：∵∠DAC＝∠ADC，AC＝3，∴DC＝AC＝3，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠DAB，又∵∠ADC＝2∠B，∴2∠B＝∠B+∠DAB，∴∠B＝∠DAB，∴BD＝AD＝2，∴BC＝BD+CD＝2+3＝5．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式33】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，下述結(jié)論正確的有（）①BD平分∠ABC；②△BCD的周長等于AB+BC；③AD＝BD＝BC；④點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】①根據(jù)AB＝AC，∠A＝36°得∠ABC＝∠C＝72°，再根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得AD＝BD，進(jìn)而得∠DBA＝∠A＝36°，則∠DBA＝∠DBC＝36°，據(jù)此可對結(jié)論①進(jìn)行判斷；②根據(jù)AD＝BD得BD+DC＝AC＝AB，進(jìn)而得△BCD的周長等于BD+DC+BC＝AB+BC，據(jù)此可對結(jié)論②進(jìn)行判斷；③根據(jù)∠DBA＝∠A＝36°得∠BDC＝72°，則∠BDC＝∠C＝72°，進(jìn)而得BD＝BC，再根據(jù)AD＝BD即可對結(jié)論③進(jìn)行判斷；④假設(shè)點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)得AD＝2CD，進(jìn)而得BD＝BC＝2CD，但是，根據(jù)已知條件無法判定BD＝BC＝2CD，由此可對結(jié)論④進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．【解答】解：①在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠A）＝∵AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，∴∠DBA＝∠DBC＝36°，∴BD平分∠ABC，故結(jié)論①正確；②∵AD＝BD，∴BD+DC＝AD+DC＝AC，∴BD+DC＝AB，∴△BCD的周長等于BD+DC+BC＝AB+BC，故結(jié)論②正確；③∵∠DBA＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝72°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BD＝BC，又∵AD＝BD，∴AD＝BD＝BC，故結(jié)論③正確；④假設(shè)點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)，∵CD=13∴AC＝3CD，∴AD+CD＝3CD，∴AD＝2CD，∵AD＝BD＝BC，∴BD＝BC＝2CD，根據(jù)已知條件無法判定BD＝BC＝2CD，故結(jié)論④正確，綜上所述：正確的結(jié)論是①②③．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式34】“三等分角”是由古希臘人提出來，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA、OB組成．兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D、E在槽中滑動，若∠BDE＝84°，則∠O＝28°．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，由三角形外角的性質(zhì)得∠DCE＝2∠O，然后根據(jù)即可求解．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠O，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝84°，∴∠O＝28°．故答案為：28°．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，理清各個角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．題型題型四等腰三角形判定【例4】用一根長10cm的繩子圍成一個等腰三角形，其中腰和底的長度都為整數(shù)，則腰長為3cm或4cm．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；三角形三邊關(guān)系【分析】設(shè)腰長為xcm（x為整數(shù)），則底長為（10﹣2x）cm，根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”得：x+x＞10﹣2x＞0，求出該不等式組的解集，再取整數(shù)即可．【解答】解：設(shè)腰長為xcm（x為整數(shù)），則底長為（10﹣2x）cm，根據(jù)題意列不等式得：x+x＞10﹣2x＞0，整理得，2x＞10﹣2x＞0，解得52∵x為整數(shù)∴x＝3或4，所以腰長為3cm或4cm．故答案為：3cm或4cm．【點(diǎn)評】本題考查等腿三角形的判定，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵．【變式41】已知：如圖△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射線BA上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，則∠ACD的度數(shù)為70°或40°或20°．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定【分析】分三種情形分別求解即可；【解答】解：如圖，有三種情形：①當(dāng)AC＝AD時，∠ACD＝70°．②當(dāng)CD′＝AD′時，∠ACD′＝40°．③當(dāng)AC＝AD″時，∠ACD″＝20°，故答案為70°或40°或20°【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．【變式42】如圖，若∠B＝72°，∠C＝36°，AD平分∠BAC，則圖中共有3個等腰三角形．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定【分析】利用三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義求出各個角即可判斷．【解答】解：∵∠B＝72°，∠C＝36°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠B＝∠CAB＝72°，∴CA＝CB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝36°，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝72°＝∠B，∴AB＝AD，∵∠B＝∠CAD＝36°，∴DA＝DC，∴△ACB，△ADB，△ADC都是等腰三角形．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定方法．【變式43】如圖，已知P是射線ON上一動點(diǎn)，∠AON＝40°，當(dāng)∠A＝40°或70°或100°時，△AOP為等腰三角形．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理【分析】分AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三種情況，分別利用等腰三角形的兩底角相等可求得∠A的度數(shù)．【解答】解：分三種情況：①當(dāng)AO＝AP時，則∠O＝∠APO＝50°，∴∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝180°﹣40°﹣40°＝100°；②當(dāng)OA＝OP時，則∠A＝∠APO=12（180°﹣40°）＝③當(dāng)PO＝PA時，則∠A＝∠AON＝40°，綜上所述，當(dāng)∠A為40°或70°或100°時，△AOP為等腰三角形，故答案為：40°或70°或100°．【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式44】如圖，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點(diǎn)D，若△ABC的面積等于10，則△ADC的面積等于5．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積【分析】延長BD交AC于點(diǎn)E，則可知△ABE為等腰三角形，則S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC=12S△【解答】解：如圖，延長BD交AC于點(diǎn)E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，∠BAD∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC=12S△ABC=12故答案為：5【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解題的關(guān)鍵．題型題型五命題與定理【例5】下列命題：①若ab＞0，則a、b兩數(shù)符號相同；②銳角與直角的和一定是鈍角；③兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線垂直；④經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，其中是真命題的有①②④.（寫出所有真命題的序號）【考點(diǎn)】命題與定理；垂線；平行公理及推論；平行線的性質(zhì)【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，角的和差關(guān)系，平行線的判定，平行公理，逐一進(jìn)行判斷即可．【解答】解：根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，角的和差關(guān)系，平行線的判定，平行公理，逐一進(jìn)行判斷如下：若ab＞0，則a、b兩數(shù)符號相同，故①是真命題；銳角與直角的和一定是鈍角；故②是真命題；在同一平面內(nèi)，兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線平行；故③為假命題；經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；故④是真命題；故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查判斷命題的真假，正確記憶相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式51】把命題“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”改寫成“如果…，那么…”的形式：如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行．【考點(diǎn)】命題與定理【分析】一個命題都能寫成“如果…那么…”的形式，如果后面是題設(shè)，那么后面是結(jié)論．【解答】解：“兩直線平行，同位角相等”的條件是：“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，結(jié)論為：“兩直線平行”，∴寫成“如果…，那么…”的形式為：“如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行”，故答案為：如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行．【點(diǎn)評】本題考查了一個命題寫成“如果…那么…”的形式，如果后面是題設(shè)，那么后面是結(jié)論，難度適中．【變式52】寫出命題“平行四邊形的對邊相等”的逆命題：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，該逆命題是真命題（填“真”或“假”）．【考點(diǎn)】命題與定理【分析】交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得到其逆命題，然后根據(jù)平行四邊形的判定方法判定逆命題的真假即可．【解答】解：“平行四邊形的對邊相等”的逆命題是：“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，它是真命題．故答案為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，真．【點(diǎn)評】本題考查的是命題的真假判斷和逆命題的概念以及平行四邊形的判定，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．【變式53】寫出“對頂角相等”的逆命題相等的角是對頂角．【考點(diǎn)】命題與定理【分析】將原命題的條件及結(jié)論進(jìn)行交換即可得到其逆命題．【解答】解：∵原命題的條件是：如果兩個角是對頂角，結(jié)論是：那么這兩個角相等；∴其逆命題應(yīng)該為：如兩個角相等那么這兩個角是對頂角，簡化后即為：相等的角是對頂角．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對命題及逆命題的理解及運(yùn)用能力．題型題型六勾股定理【例6】在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，則下列等式正確的是（）A．a(chǎn)2＝b2+c2 B．a(chǎn)2＝2c2 C．c2＝2b2 D．b2＝2a2【考點(diǎn)】勾股定理；三角形內(nèi)角和定理【分析】先證明∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，再證明a＝b，a2+b2＝c2，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，∴a＝b，a2+b2＝c2，∴c2＝2b2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理以及三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握勾股定理和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式61】《勾股舉隅》為梅文鼎研究中國傳統(tǒng)勾股算術(shù)的著作，其中的主要成就是對勾股定理的證明和對勾股算術(shù)算法的推廣．書中的證明方法是將4個邊長分別為a、b、c的全等直角三角形拼成如圖所示的五邊形ABCDE，然后通過添加輔助線用面積法證明勾股定理．已知c＝4，4個直角三角形未覆蓋區(qū)域即白色部分的面積是10，那么BC的長是（）A．5 B．6 C．25 D．【考點(diǎn)】勾股定理的證明；三角形的面積【分析】根據(jù)題意由4個直角三角形未覆蓋區(qū)域即白色部分的面積為以c為邊長的正方形面積減去兩個直角三角形的面積，建立方程求解出ab的值，再利用完全平方公式變形即可解答．【解答】解：已知c＝4，4個直角三角形未覆蓋區(qū)域即白色部分的面積是10，根據(jù)題意：c2﹣2×12ab＝10，c＝則ab＝16﹣10＝6，∵BC＝a+b，a2+b2＝c2＝16，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16+12＝28，∴a+b＝27（負(fù)值舍去），即BC＝27，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查勾股定理的證明，三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理解決問題．【變式62】我國古代著作《周髀算經(jīng)》中記載了“趙爽弦圖”．如圖是用四個全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周長等于14，正方形ABCD的邊長是6，則正方形EFGH的面積為（）A．22 B．8 C．20 D．【考點(diǎn)】勾股定理的證明【分析】根據(jù)勾股定理并結(jié)合已知可得出AF+BF＝8，AF2+BF2＝36，根據(jù)完全平方公式變形可求出2AF?BF＝28，（AF﹣BF）2＝8，即可求解．【解答】解：已知Rt△ABF的周長等于14，正方形ABCD的邊長是6，∴AF+BF＝14﹣6＝8，AF2+BF2＝62＝36，∴2AF?BF＝（AF+BF）2﹣（AF2+BF2）＝82﹣36＝28，∴（AF﹣BF）2＝AF2+BF2﹣2AF?BF＝36﹣28＝8，∵AF＝BG，EF＝FG，∴AE＝BF，∴EF2＝（AF﹣AE）2＝8，∴正方形EFGH的面積為8，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．【變式63】已知Rt△ABC，斜邊AB=13，面積等于3，則AC+BC＝5【考點(diǎn)】勾股定理【分析】利用面積公式建立直角邊乘積的關(guān)系式ab＝6，利用勾股定理建立直角邊平方和的關(guān)系式a2+b2＝13，再通過完全平方公式將兩式結(jié)合，求出兩直角邊的和．【解答】解：設(shè)兩條直角邊分別為a和b，則ab＝6，a2∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，∴a+b＝5（負(fù)值已舍去）．即AC+BC＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評】本題主要考查直角三角形的面積公式，勾股定理，以及代數(shù)中完全平方公式的應(yīng)用．熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵．【變式64】如圖，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（圖1），后人稱其為“趙爽弦圖”、由圖1變化得到圖2，它是用八個全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S2＝4，則S1+S3的值為8．【考點(diǎn)】勾股定理的證明【分析】根據(jù)題意，△AEH，△BFE，△CGF，△DHG是4個全等的三角形，設(shè)每個的面積為S，由此可得S1﹣4S＝S3+4S＝S2，根據(jù)S1+S3＝（S1﹣4S）+（S3+4S）＝4+4＝8，即可求解．【解答】解：設(shè)每個三角形的面積為S，S2＝4，∴S1﹣4S＝S3+4S＝S2，∴S1+S3＝（S1﹣4S）+（S3+4S）＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查了以趙爽弦圖為背景的勾股定理的證明，理解正方形的面積，全等三角形面積相等是解題的關(guān)鍵．題型題型七直角三角形性質(zhì)【例7】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將∠B沿CD折疊，點(diǎn)B正好落在邊AC上的點(diǎn)E處，如果∠B＝65°，則∠ADE的度數(shù)是40°．【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)折疊得到∠BCD=∠DCE=12∠ACB=45°，∠BDC＝∠EDC【解答】解：∵折疊，∠ACB＝90°，∴∠BCD=∠DCE=12∠∵∠B＝65°，∴∠BDC＝∠EDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝70°，∴∠ADE＝180°﹣∠BDC﹣∠EDC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，即∠ADE的度數(shù)為40°，故答案為：40°．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式71】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D、E分別在AB、AC上，將△ADE沿DE折疊得△FDE，且滿足EF∥AB，則∠1＝76°．【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠F＝∠A，∠ADE＝∠FDE，由平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠BDF，由∠C＝90°，∠B＝62°，推出∠BDF＝28°，即可求出∠ADE=12∠ADF＝由三角形內(nèi)角和定理求出∠1的度數(shù)．【解答】解：∵△ADE沿DE折疊得△FDE，∴∠F＝∠A，∠ADE＝∠FDE，∵EF∥AB，∴∠F＝∠BDF，∴∠A＝∠BDF，∵∠C＝90°，∠B＝62°∴∠A＝90°﹣∠B＝28°，∴∠BDF＝28°，∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝152°，∴∠ADE=12∠ADF＝∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣28°﹣76°＝76°．故答案為：76°．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．【變式72】閱讀與思考．請認(rèn)真閱讀．并完成相應(yīng)的問題：“友愛三角形”的研究定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的12，我們稱這兩個角互為“友愛角”，這個三角形叫作“友愛三角形”例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A與∠B互為“友愛角”，△ABC是“友愛三角形”．（1）如圖1，△ABC是“友愛三角形”，且∠A與∠B互為“友愛角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°．則∠A＝60°，∠B＝30°；（2）如圖2，在（1）基礎(chǔ)上，作△ABC中AB邊上的高CD，請判斷△ACD和△BCD是不是“友愛三角形”，并說明理由．【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)【分析】（1）由“友愛三角形”的定義得到∠B=12∠A，由直角三角形的性質(zhì)得到∠B+∠A＝90°，即可求出∠A＝60°，∠B＝（2）由直角三角形的性質(zhì)得到∠B=12∠BCD，∠ACD=12∠A，判定△ACD和△BCD是【解答】解：（1）如圖1，∵△ABC是“友愛三角形”，∠A與∠B互為“友愛角”（∠A＞∠B），∴∠B=12∠∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠A＝60°，∠B＝30°，故答案為：60°，30°．（2）如圖2，△ACD和△BCD是“友愛三角形”，理由如下：由（1）知∠B＝30°，∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∴∠B=12∠BCD，∠ACD=1∴△ACD和△BCD是“友愛三角形”．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握“友愛三角形”的定義，直角三角形的兩銳角互余．題型題型八直角三角形全等判定【例8】如圖，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的條件是（）A．AC＝A'C'，BC＝B'C' B．∠A＝∠A'，AC＝A'C' C．AB＝A'B'，BC＝B'C' D．∠B＝∠B'，AB＝A'B'【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定【分析】斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，由此即可判斷．【解答】解：A、應(yīng)用SAS判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，不能應(yīng)用HL判定兩個三角形全等，故A不符合題意；B、應(yīng)用ASA判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，不能應(yīng)用HL判定兩個三角形全等，故B不符合題意；C、應(yīng)用HL判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，故C符合題意；D、應(yīng)用AAS判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，不能應(yīng)用HL判定兩個三角形全等，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形全等的判定，關(guān)鍵是掌握直角三角形全等的判定方法：HL．【變式81】17．如圖，BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，若BE＝CF，則Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定【分析】由直角三角形全等的判定方法“HL”，即可判斷．【解答】證明：∵BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，∴∠BEC＝∠BFC＝90°，在Rt△BCF和Rt△CBE中，BE=∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），∴Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是HL．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形全等的判定，關(guān)鍵是掌握直角三角形全等的判定方法：HL．【變式82】如圖，點(diǎn)A，B，C，D四個點(diǎn)在同一條直線上，∠BED＝∠CFA＝90°，且AB＝CD，若要使Rt△ACF≌Rt△DBE，則可以添加條件是CF＝BE（答案不唯一）（請寫出一個答案即可）．【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定【分析】先根據(jù)AC＝DB，然后根據(jù)“HL”添加條件即可．【解答】解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB，∵∠BED＝∠CFA＝90°，∴當(dāng)添加CF＝BE或AF＝DE時，Rt△ACF≌Rt△DBE（HL）．故答案為：CF＝BE（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．【變式83】如圖，在△ABE與△CBD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，CD⊥BD于點(diǎn)D，AB＝BC，BE＝CD．證明：Rt△ABE≌Rt△BCD．【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定【分析】根據(jù)題意利用HL判定Rt△ABE≌Rt△BCD即可得到本題答案．【解答】證明：∵AE⊥BD，CD⊥BD，∴∠AEB＝∠BDC＝90°，在Rt△ABE和Rt△BCD中，AB=∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．題型題型九等腰三角形綜合【例9】如圖1和2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得DA＝CD，這個性質(zhì)是角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等（2）問題解決：如圖2，求證AD＝CD；（3）問題拓展：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答；（2）作DE⊥BA交BA延長線于E，DF⊥BC于F，證明△DEA≌△DFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（3）在BC時截取BK＝BD，連接DK，根據(jù)（2）的結(jié)論得到AD＝DK，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到KD＝KC，結(jié)合圖形證明．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），故答案為：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；（2）如圖2，作DE⊥BA交BA延長線于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中，∠DEA∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；（3）如圖，在BC上截取BK＝BD，連接DK，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK=12∠ABC＝∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的結(jié)論得AD＝DK，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式91】在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，BD＝AD．（1）如圖1，求∠BAC的度數(shù)；（2）如圖2，E是AB的中點(diǎn)，連接ED并延長，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF．求證：AF＝AB+BC．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）設(shè)∠ABD＝x°，由條件結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可證明∠A＝x°，在△ABC中由三角形內(nèi)角和定理列出方程可求得x，可求得∠A；（2）證明EF是AB的垂直平分線，得AF＝BF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)利用線段的和差即可解決問題．【解答】（1）解：設(shè)∠ABD＝x°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝x°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x°，又∵BD＝AD，∴∠A＝x°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，∴∠BDC＝∠C＝2x°，∴BD＝BC，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得x＝36，∴∠A＝36°，∴∠BAC的度數(shù)為36°；（2）∵E是AB的中點(diǎn)，BD＝AD，∴EF是AB的垂直平分線，∴AF＝BF，∴∠FBA＝∠FAB＝72°，∴∠AFB＝∠FAC＝36°，∴CA＝CF，∴AB＝AC＝CF，∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等邊對等角是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理和方程思想的應(yīng)用．【變式92】（1）如圖1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC分別交AB、AC于E、F．①求證：OE＝BE；②若△ABC的周長是25，BC＝9，試求出△AEF的周長；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACB外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP，試探求∠BAC與∠PAC的數(shù)量關(guān)系式．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)【分析】（1）①由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)三角形的周長公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴OE＝BE；②△AEF的周長＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；（2）解：延長BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠FAP＝∠PAC，∴∠FAC＝2∠PAC，∵∠FAC+∠BAC＝180°，∴2∠PAC+∠BAC＝180°．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式93】已知在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α，作△ACD，使得CD＝AC．（1）如圖①，若∠ACD與∠BAC互余，則∠DCB＝12α（用含（2）如圖②，若∠ACD與∠BAC互補(bǔ)，過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，試說明：CH=12（3）若∠ACD與∠BAC相等，則△ABC與△ACD的面積滿足什么關(guān)系？若∠ACD與∠BAC互補(bǔ)，則上述關(guān)系還成立嗎？直接寫出結(jié)論．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；列代數(shù)式；余角和補(bǔ)角【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，兩角互余的概念，即可求解；（2）作AE⊥BC于E，由兩角互補(bǔ)的概念，可以證明△ACH≌△ACE（AAS），即可解決問題；（3）若∠ACD與∠BAC相等，則△ABC與△ACD的面積相等．作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，證明△ANB≌△CMD（AAS），得到BN＝DM，根據(jù)等底等高得出兩三角形面積相等；若∠ACD與∠BAC互補(bǔ)，則△ABC與△ACD的面積相等，成立．作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC延長線于G，證明△CGD≌△AFC（AAS），得到DG＝CF，根據(jù)等底等高得出兩三角形面積相等．【解答】（1）解：由條件可知∠ABC∵∠ACD與∠BAC互余，∴∠ACD＝90°﹣α，∴∠DCB故答案為：12（2）證明：作AE⊥BC于E，由條件可知∠EAC=12∠BAC，∠ACH=∴∠EAC+∠ACH=12(∠BAC+∠∵∠ACD與∠BAC互補(bǔ)，∴∠EAC∴∠ACE＝∠ACH，∵∠AHC＝∠AEC＝90°，AC＝AC，∴△ACH≌△ACE（AAS），∴CH=（3）解：若∠ACD與∠BAC相等，則△ABC與△ACD的面積相等．理由如下：如圖1，作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則∠ANB＝∠CMD＝90°，∵AB＝AC，CD＝AC，∴AB＝CD，∵∠BAC＝∠ACD，∴△ANB≌△CMD（AAS），∴BN＝DM，∴S△ABC＝S△ACD；若∠ACD與∠BAC互補(bǔ)，則△ABC與△ACD的面積相等，成立．理由如下：如圖2，作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC延長線于G，則∠DGC＝∠AFC＝90°，由條件可知∠DCG＝∠BAC，∵CD＝AC，∴△CGD≌△AFC（AAS），∴DG＝CF∵AB＝AC，CD＝AC，∴AB＝CD，∴S△ABC＝S△ACD．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，互余，互補(bǔ)的概念，關(guān)鍵是通過輔助線構(gòu)造全等三角形．題型題型十等特殊三角形綜合【例10】（1）如圖1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且∠ACE＝∠AEC，則∠DCE＝30°；（2）如圖2，若△ABC為一般三角形（AB＞AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且∠ACE＝∠AEC，求∠DCE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，若△ABC為鈍角三角形（∠ABC為鈍角，AB＜AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，點(diǎn)E是AB延長線上一點(diǎn)，且∠ACE＝∠AEC，請問（2）中的結(jié)論是否還成立？如果成立請給出證明；如果不成立，請說明理由．【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)；列代數(shù)式；角的計算【分析】（1）如圖1，∠ACE＝∠AEC，可得∠AEC=12(180°-∠A)=75°，由內(nèi)角和可求∠B＝60°，根據(jù)外角定理求∠ECB＝∠DEC﹣∠B＝15°，于是∠DCE＝∠（2）如圖，由∠ACE＝∠AEC，得∠AEC=12(180°-∠（3）如圖，由∠ACE＝∠AEC，得∠AEC=12(180°-∠【解答】解：（1）如圖1，∵∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠DEC＝∠B+∠ECB，∴∠ECB＝∠DEC﹣∠B＝75°﹣60°＝15°，∴∠DCE故答案為：30；（2）如圖，∵∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC∵∠AEC＝∠ECB+∠B，∴∠ECB∵CD平分∠ACB，∴∠DCB∴∠DCE（3）如圖，∵∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC∵∠ABC＝∠ECB+∠BEC，∴∠ECB∵CD平分∠ACB，∴∠DCB∴∠DCE【點(diǎn)評】本題考查角的計算，列代數(shù)式，直角三角形性質(zhì)，確定角之間的數(shù)量有關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式101】閱讀：如圖1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的長．小明的思路：如圖2，作BE⊥AC于點(diǎn)E，在AC的延長線上取點(diǎn)D，使得DE＝AE，連接BD，易得∠A＝∠D，△ABD為等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD為等腰三角形，依據(jù)已知條件可得AE和AB的長．解決下列問題：（1）圖2中，AE＝9，AB＝12；（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a、b、c．如圖3，當(dāng)3∠A+2∠B＝180°時，用含a，c式子表示b．【考點(diǎn)】勾股定理；線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】（1）作BE⊥AC于點(diǎn)E，在AC的延長線上取點(diǎn)D，使得DE＝AE，連接BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AB＝BD，∠A＝∠D，根據(jù)題意、三角形內(nèi)角和定理得到∠CBD＝∠A，根據(jù)勾股定理計算即可；（2）仿照（1）的作法解答．【解答】解：（1）如圖2，作BE⊥AC于點(diǎn)E，在AC的延長線上取點(diǎn)D，使得DE＝AE，連接BD，則BE是AD的垂直平分線，∴AB＝BD，∠A＝∠D，∵3∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，∴∠BCA＝2∠A，∵∠BCA＝∠D+∠CBD，∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A，∴∠CBD＝∠A，∴DC＝BC＝8，∴AD＝DC+AC＝8+10＝18，∴AE＝AD＝9，∴EC＝AD﹣CD＝9﹣8＝1．∴在直角△BCE和直角△AEB中，由勾股定理得到：BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即82﹣12＝AB2﹣92，解得，AB＝12，故答案為：9；12；（2）作BE⊥AC于點(diǎn)E，在AC的延長線上取點(diǎn)D，使得DE＝AE，連接BD，則BE是邊AD的垂直平分線，∴AB＝BD，∠A＝∠D．∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，∴2∠A+∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠D+∠DBC，∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC，∵∠A＝∠D，∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，即∠DCB＝∠DBC，∴DB＝DC＝c，由題意得，DE＝AE=b∴EC＝AE﹣AC=b+c在Rt△BEC中，BE2＝BC2﹣EC2，在Rt△BEA中，BE2＝BA2﹣EA2，∴BC2﹣EC2＝BA2﹣EA2，即a2﹣（c-b2）2＝c2﹣（b整理得，b=c【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．【變式102】如圖1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AM，BN分別是∠CAB與∠ABC的角平分線，且AM，BN相交于點(diǎn)O．（1）∠AOB的度數(shù)為135°．（2）求點(diǎn)O到AB邊的距離及△AON的面積．（3）如圖2，若過點(diǎn)C作CD⊥AB，分別交AM，BN于P，Q兩點(diǎn)，垂足為點(diǎn)D，求PQ的長．【考點(diǎn)】勾股定理；角平分線的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得到角之間的關(guān)系，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB的度數(shù)；（2）作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，OI⊥AB于I，連接OC，先根據(jù)面積關(guān)系求出點(diǎn)O到AB邊的距離；作NJ⊥AB于J，再根據(jù)面積比求出NA，從而得到△AON的面積；（3）先根據(jù)面積法求出CD，根據(jù)勾股定理求出AD，再證明出CN＝CQ，并求出CN，CQ，過P作PR⊥AC于R，根據(jù)面積法求出PD，進(jìn)而得到PQ的長度．【解答】解：（1）∵OA，OB分別平分∠BAC，∠ABC，∴∠OAB=12∠BAC，∠OBA=1∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠OAB+∠OBA=12∠BAC+12∠ABC=12（∠BAC+∠ABC在△AOB中，∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣45°＝135°．故答案為：135；（2）作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，OI⊥AB于I，連接OC．∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，∴OG＝OI，OH＝OI，設(shè)OG＝OI＝OH＝x，在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴根據(jù)勾股定理，得AB=∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB，∴12即12解得x＝1，∴O到AB的距離為1；如圖，作NJ⊥AB于J．∵BN平分∠ABC，NJ⊥AB，NC⊥BC，∴NJ＝NC，∴S△ABNS∴NANC=AB又∵NC+NA＝AC＝3，∴45NA+解得NA=∵O到AB的距離為1，∴S△AON=12NA×1=1（3）∵CD⊥AB，∴S△∴CD=在RtACD中，根據(jù)勾股定理，得AD=∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠CAD＝∠DCB，∵∠CQN＝∠DCB+∠NBC，∠CNQ＝∠CAB+∠ABN，且∠ABN＝∠NBC，∴∠CQN＝∠CNQ，∴CN＝CQ，由（2）知，NA=53∴CQ=如圖，過P作PR⊥AC于R．∵PD⊥AB，AP平分∠BAC，∴PR＝PD，∴S△∴ACAD=PC又∵PC+∴53解得PD=∴PQ=【點(diǎn)評】本題主要利用角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理以及三角形面積公式等知識求解．掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)和面積法是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測1．下列軸對稱圖形中，只有1條對稱軸的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對稱圖形；軸對稱的性質(zhì)【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A有3條對稱軸，不符合題意，B有6條對稱軸，不符合題意，C有1條對稱軸，符合題意，D有5條對稱軸，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱圖形及其性質(zhì)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，點(diǎn)D是CB延長線上一點(diǎn)，且AB＝BD，連接AD，則∠D的度數(shù)為（）A．70° B．60° C．35° D．30°【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【分析】由等腰三角形的性質(zhì)推出∠ABC＝∠C＝70°，∠D＝∠BAD，由三角形的外角性質(zhì)得到∠D=12∠ABC＝【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠C=12×（180°﹣40°∵AB＝BD，∴∠D＝∠BAD，∵∠D+∠BAD＝∠ABC，∴∠D=12∠ABC＝故選：C．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的兩個底角相等．3．如圖，陰影部分表示以直角三角形各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，則AB的長為（）A．213 B．219 C．231 D．237【考點(diǎn)】勾股定理【分析】根據(jù)勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根據(jù)扇形面積公式、完全平方公式計算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∵S1+S2＝12，∴12×π×（AC2）2+12π×（BC2）2+12AC×BC-1∴AC×BC＝24，AB=AC2故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．4．有下列六個命題：（1）如果一個數(shù)的算術(shù)平方根等于它本身，則這個數(shù)是1；（2）一個數(shù)的立方根等于它本身，則這個數(shù)是﹣1，0，1；（3）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；（4）從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段，叫作這點(diǎn)到這條直線的距離；（5）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（6）垂直于同一條直線的兩條直線互相平行．其中假命題的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】命題與定理；算術(shù)平方根；立方根；對頂角、鄰補(bǔ)角；垂線；點(diǎn)到直線的距離；同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；平行公理及推論；平行線的性質(zhì)；作圖—復(fù)雜作圖【分析】根據(jù)學(xué)過的相關(guān)性質(zhì)和定理等知識進(jìn)行逐項判斷即可．【解答】解：（1）如果一個數(shù)的算術(shù)平方根等于它本身，則這個數(shù)是0和1，原命題是假命題，符合題意；（2）一個數(shù)的立方根等于它本身，則這個數(shù)是﹣1，0，1，原命題是真命題，不符合題意；（3）在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，原命題是假命題，符合題意；（4）從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段，垂線段的長度叫作這點(diǎn)到這條直線的距離，原命題是假命題，符合題意；（5）兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，原命題是假命題，符合題意；（6）在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，原命題是假命題，符合題意．故假命題的個數(shù)為5個．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了真假命題的判斷，掌握相應(yīng)的定義是關(guān)鍵．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC，BC，AB為邊在三角形外部作正方形，若以AC和BC為邊的正方形面積分別為5和3，則以AB為邊的正方形面積S的值為8．【考點(diǎn)】勾股定理【分析】由勾股定理結(jié)合正方形的面積可得出結(jié)果．【解答】解：由勾股定理結(jié)合正方形的面積可知，以AB為邊的正方形面積S的值為AC2+BC2＝5+3＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，正方形的面積，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為17．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系【分析】等腰三角形兩邊的長為3和7，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．【解答】解：①當(dāng)腰是3，底邊是7時，3+3＜7，不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去．②當(dāng)?shù)走吺?，腰長是7時，3+7＞7，能構(gòu)成三角形，則其周長＝3+7+7＝17．故答案為：17．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題時注意：若沒有明確腰和底邊，則一定要分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD，CE分別是△ABC的中線和高．若∠ACE＝32°，則∠BAD的度數(shù)為29°．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【分析】由直角三角形的性質(zhì)求出∠CAE＝58°，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠BAD=12∠BAC＝【解答】解：∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣32°＝58°，∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝故答案為：29°．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)．8．如圖，在銳角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是5．【考點(diǎn)】軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題【分析】根據(jù)AD是∠BAC的平分線確定出點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B′在AC上，根據(jù)垂線段最短，過點(diǎn)B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點(diǎn)M即為使BM+MN最小的點(diǎn)，B′N＝BM+MN，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，利用三角形的面積求出BE，再根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等可得B′N＝BE，從而得解．【解答】解：如圖，∵AD是∠BAC的平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B′在AC上，過點(diǎn)B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由軸對稱確定最短路線問題，點(diǎn)M即為使BM+MN最小的點(diǎn)，B′N＝BM+MN，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，∵AC＝10，S△ABC＝25，∴12×10?BE＝解得BE＝5，∵AD是∠BAC的平分線，B′與B關(guān)于AD對稱，∴AB＝AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N＝BE＝5，即BM+MN的最小值是5．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質(zhì)，等腰三角形兩腰上的高相等的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)并準(zhǔn)確確定出點(diǎn)M的位置是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝42°，AH，BD分別是△ABC的高和角平分線，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，當(dāng)△BDE為直角三角形時，則∠CDE的度數(shù)為48°或24°．【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)．【分析】當(dāng)∠BED＝90°時，由三角形的外角性質(zhì)得到∠CDE＝48°；當(dāng)∠BDE＝90°時，由直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC＝48°，由角平分線定義求出∠CBD=12∠ABC＝24°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠BDC＝114°，即可得到∠CDE＝【解答】解：當(dāng)∠BED＝90°時，∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝90°﹣42°＝48°；當(dāng)∠BDE＝90°時，∵∠BAC＝90°，∠C＝42°時，∠ABC＝90°﹣42°＝48°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC＝∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝114°，∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝＝24°，∴當(dāng)△BDE為直角三角形時，∠CDE的度數(shù)為48°或24°．故答案為：48°或24°．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線定義，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．10．如圖所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH與AC相交于點(diǎn)E．仔細(xì)觀察圖形，回答以下問題：（1）寫出圖中所有的直角三角形？△AHE、△ACB、△DCE、△DHB．（2）直接寫出∠AEH和∠B是什么關(guān)系？（3）若∠B＝70°，求∠A和∠CED各是多少度？【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)垂直的定義、直角三角形的概念解答；（2）根據(jù)同角的余角相等得出結(jié)論；（3）根據(jù)直角三角形兩銳角互余、對頂角相等解答．【解答】解：（1）∵DH⊥AB，AC⊥BD，∴△AHE、△ACB、△DCE、△DHB為直角三角形，故答案為：△AHE、△ACB、△DCE、△DHB；（2）∠AEH＝∠B，理由如下：∵DH⊥AB，∴∠AEH+∠A＝90°，∵AC⊥BD，∴∠B+∠A＝90°，∴∠AEH＝∠B；（3）∵∠B＝70°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AEH＝∠B＝70°，∴∠CED＝∠AEH＝70°．【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC為銳角，作AD⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)D．（1）若∠D＝20°，求∠BAC的度數(shù)．（2）求證：∠BAC＝2∠D．（3）已知∠D＝22.5°，AC=2，求BC2【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)題意先求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)AB＝AC得出∠ACB＝∠B，據(jù)此可解決問題．（2）根據(jù)題意，得出∠BAC與∠B的關(guān)系及∠D與∠B的關(guān)系，據(jù)此可解決問題．（3）過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為M，根據(jù)∠D度數(shù)，得出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理及解決問題．【解答】（1）解：∵AD⊥AB，∴∠B+∠D＝90°．∵∠D＝20°，∴∠B＝90°﹣20°＝70°．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝70°，∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°．（2）證明：∵AD⊥AB，∴∠B+∠D＝90°．，即∠B＝90°﹣∠D．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠BAC＝180°﹣2∠B，即∠B＝90°-12∠∴90°﹣∠D＝90°-12∠∴∠BAC＝2∠D．（3）解：過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為M，∵∠D＝22.5°，∴∠BAC＝2×22.5°＝45°，∴△AMC是等腰直角三角形．∵AC=2∴AM＝MC＝1．∵AB＝AC=2∴BM=2在Rt△BCM中，BC2＝BM2+MC2＝（2-1）2+12＝4【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，熟知勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)．（1）如圖1，若AC＝BC＝2，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上一動點(diǎn)，求△CMD周長的最小值；（2）如圖2，若AC＝4，BC＝8，是否存在點(diǎn)D，使以A，D，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出線段CD的長度：若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)】軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題；等腰三角形的判定；勾股定理【分析】（1）作C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)E，連接DE交AB于M，此時，△CMD周長的值最小，連接BE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到AB=AC2+BC2=45，當(dāng)AD1＝AB時，△AD1B的等腰三角形，當(dāng)BD2＝AB＝45時，△AD2B的等腰三角形，當(dāng)AD3＝D3B時，△AD3B的等腰三角形，當(dāng)BD4＝AB＝【解答】解：（1）作C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)E，連接DE交AB于M，此時，△CMD周長的值最小，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BCE＝45°，連接BE，∴BC＝BE＝2，∴△CBE是等腰直角三角形，∴DE=B∴△CMD周長的最小值＝1+5（2）存在，∵AC＝4，BC＝8，∴AB=AC2當(dāng)AD1＝AB時，△AD1B的等腰三角形，∵AC⊥BC，∴CD1＝BC＝8；當(dāng)BD2＝AB＝45時，△AD2B的等腰三角形，∴CD2＝45-8當(dāng)AD3＝D3B時，△AD3B的等腰三角形，∴BD3＝8﹣CD3，∴AC2+CD32=BD∴42+CD32=（8﹣CD3）解得：CD2＝3，當(dāng)BD4＝AB＝45時，△AD4B的等腰三角形，∴CD4＝8+45，綜上所述，以A，D，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，線段CD的長度為8或45-8或3或8+45【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．能力提升進(jìn)階練能力提升進(jìn)階練1．如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，P為線段BD上一動點(diǎn)，Q為邊AB上一動點(diǎn)，當(dāng)AP+PQ的值最小時，∠APD的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【考點(diǎn)】軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題；角平分線的性質(zhì)【分析】在BC上截取BE＝BQ，連接PE，證明△PBQ≌△PBE（SAS），得出PE＝PQ，說明AP+PQ＝AP+PE，找出當(dāng)A、P、E在同一直線上，且AE⊥BC時，AP+PE最小，即AP+PQ最小，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)P，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出結(jié)果即可．【解答】解：在BC上截取BE＝BQ，連接PE，如圖1：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠∴△PBQ≌△PBE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP+PQ＝AP+PE，∴當(dāng)A、P、E在同一直線上，且AE⊥BC時，AP+PE最小，即AP+PQ最小，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)P，如圖2：∵∠AEB＝90°，∠ABE＝80°，∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝10°，∴∠APD＝∠ABP+∠BAP＝10°+40°＝50°，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使AP+PE最小時點(diǎn)P的位置．2．下列命題：①如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；②兩個銳角分別相等的兩個直角三角形全等；③如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等；④線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等．它們的逆命題是真命題的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【考點(diǎn)】命題與定理；直角三角形全等的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】根據(jù)乘法、全等三角形的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方、線段垂直平分線的判定分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：根據(jù)真假命題的定義逐項分析判斷如下：①原命題的逆命題是：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，故逆命題是真命題；②原命題的逆命題是：如果兩個直角三角形全等，那么兩個銳角分別相等，故逆命題是真命題；③原命題的逆命題是：如果兩個有理數(shù)平方相等，那么它們相等，故逆命題是假命題；④原命題的逆命題是：到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，故逆命題是真命題．正確的是①②④，故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了真假命題的判斷．熟練掌握該知識點(diǎn)是關(guān)鍵．3．如圖所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為8，正方形A的面積是15，B的面積是12，C的面積是17，則D的面積為（）A．16 B．18 C．20 D．22【考點(diǎn)】勾股定理【分析】由題意根據(jù)正方形的面積公式，運(yùn)用勾股定理可以證明四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積64，由此即可解決問題．【解答】解：如圖標(biāo)記圖中三個正方形分別為P、Q、M．根據(jù)勾股定理得到：C與D的面積的和是Q的面積；A與B的面積的和是P的面積；而P，Q的面積的和是M的面積．即A、B、C、D的面積之和為M的面積．∵M(jìn)的面積是82＝64（cm2），∴A、B、C、D的面積之和為64，設(shè)正方形D的面積為x，∴15+12+17+x＝64，∴x＝20，即D的面積為20cm2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．觀察并能夠發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形的面積．4．如圖，∠ABC的平分線BF，與△ABC的外角∠ACG的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DF∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BD＝8，CE＝6，則DE的長為（）A．4 B．2.5 C．2 D．1.5【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)【分析】根據(jù)已知條件，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACG，且DF∥BC，可得∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，根據(jù)等角對等邊得出BD＝FD＝8，EF＝CE＝6，根據(jù)DE＝DF﹣EF即可求得．【解答】解：由角平分線定義可知∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD＝8，EF＝CE＝6，∴DE＝DF﹣EF＝2，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，利用邊角關(guān)系并結(jié)合等量代換來推導(dǎo)證明是本題的特點(diǎn)．5．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射線CO上的動點(diǎn)，∠AOC＝60°．（1）當(dāng)PO＝AO時，AP＝3或1．（2）當(dāng)△PAB是直角三角形時，AP的長為3或7或1．【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)題意證明△BOP為等邊三角形，進(jìn)而可得AP；（2）分三種情況討論：①當(dāng)∠APB＝90°，點(diǎn)P在CO的延長線上時，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO＝BO，易得△BOP為等邊三角形，得AP的長；易得BP，利用勾股定理可得AP的長；②當(dāng)∠ABP＝90°，點(diǎn)P在CO的延長線上時，由對頂角的性質(zhì)可得∠AOC＝∠BOP＝60°，易得∠BPO＝30°，易得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；③當(dāng)∠APB＝90°，點(diǎn)P在CO上時，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1.1，當(dāng)PO＝AO時，∵AO＝BO，∴PO＝BO，∴∠APB＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP為等邊三角形，∵AB＝BC＝2，∴BP=12AB＝∴AP=3BP=如圖1.2，當(dāng)PO＝AO時，∵∠AOC＝60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP＝AO=12AB＝故答案為：3或1；（2）由（1）知：當(dāng)∠APB＝90°時，AP=3如圖2，當(dāng)∠ABP＝90°時，∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP=3OB=在直角三角形ABP中，AP=A如圖3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP＝AO＝1，綜上所述：當(dāng)△PAB是直角三角形時，AP的長為3或7或1．故答案為：3或7或1．【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，運(yùn)用分類討論，數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，連結(jié)AF交BD于點(diǎn)E，AF⊥AB，已知∠BAG＝∠ABC＝45°，且BC+（1）則AB的長是10；（2）若AE＝2EF，且∠AGD+∠BCD＝180°，則AF＝6．【考點(diǎn)】勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）延長AF交BC的延長線于點(diǎn)H，易得△ABH是等腰直角三角形，可證△ABG≌△HAC（SAS），所以BH＝BC+AG＝102，即可得解；（2）由條件易證△AGE≌△HCF（ASA），得到FH＝AE＝2x，所以AH＝5x＝10，即可求解．【解答】解：（1）延長AF交BC的延長線于點(diǎn)H，∵AF⊥AB，∴∠BAH＝90°，∵∠ABC＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴∠AHB＝45°＝∠BAG，AH＝AB，∵AC⊥BD，∴∠CAH＝∠ABG＝90°﹣∠AEG，在△ABG和△HAC中，∠BAG∵△ABG≌△HAC（SAS），∴C