專題11勾股定理的實際應(yīng)用模型勾股定理將圖形與數(shù)量關(guān)系有機(jī)結(jié)合起來，在解決實際問題和幾何應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。運用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）從實際問題中抽象出幾何圖形（建模）；（2）確定要求的線段所在的直角三角形；（3）確定三邊，找準(zhǔn)直角邊和斜邊：①若已知兩邊,則根據(jù)勾股定理直接計算第3邊；②若已知一邊,則根據(jù)勾股定理列方程間接求解。（挖掘兩個未知邊之間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)出一邊為未知數(shù)，把另一邊用含有未知數(shù)的式子表示出來）。模型1、梯子滑動模型相關(guān)模型背景：梯子滑動、繩子移動等。解題關(guān)鍵：梯子的長度為不變量、墻與地面垂直。梯子滑動模型解題步驟：1）運用勾股定理求出梯子滑動之前在墻上或者地面上的距離；2）運用勾股定理求出梯子滑動之后在墻上或者地面上的距離；3）兩者相減即可求出梯子在墻上或者地面上滑動的距離。

(1)求這個梯子頂端A距地面有多高；(2)上下移動梯子的過程中，小明發(fā)現(xiàn)梯子上總有一個定點到墻角O的距離始終是不變，你能說出這個點并說明其中的道理嗎？(3)若梯子頂端A下滑的距離為，底端B向左滑動的距離為，小亮認(rèn)為a與b的值始終相等，小明認(rèn)為b可能比a的值大，也可能比a的值小，也有可能相等．你認(rèn)為他們兩個誰說的正確，請說明理由．【分析】（1）直接利用勾股定理計算即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解答即可；（2）此定點為梯子的中點，道理為：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（3）小明說的對，理由是：設(shè)梯子下滑至的位置，【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，抓住直角三角形，利用好勾股定理是解題的關(guān)鍵．【答案】D【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求有關(guān)線段的長度的方法．例3．（2023秋·河南鄭州·八年級?？计谀﹫D中的兩個滑塊A，B由一個連桿連接，分別可以在垂直和水平的滑道上滑動．開始時，滑塊A距O點20厘米，滑塊B距O點15厘米．問：當(dāng)滑塊A向下滑13厘米時，滑塊B滑動了厘米．【答案】9【分析】根據(jù)勾股定理求出的長，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，繼而求出滑塊B滑動的距離．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·重慶·八年級專題練習(xí)）位于沈陽周邊的紅河峽谷漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點A拉回點B的位置（如圖）．在離水面高度為8m的岸上點C，工作人員用繩子拉船移動，開始時繩子AC的長為17m，工作人員以0.7米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過10秒后游船移動到點D的位置，問此時游船移動的距離AD的長是多少？【答案】游船移動的距離AD的長是9米開始時繩子AC的長為17m，拉了10秒后，繩子CD的長為177=10米，答：游船移動的距離AD的長是9米．【點睛】本題主要考查勾股定理的運用，屬于綜合題，難度一般，熟練掌握勾股定理解三角形是解決本題的關(guān)鍵．模型2、輪船航行模型相關(guān)模型背景：輪船航行等。解題關(guān)鍵：輪船航行的模型要注意兩船終點之間的距離通常為直角三角形的斜邊長。航行模型解題步驟：1）根據(jù)航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根據(jù)航行速度和時間表示出直角三角形兩直角邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解航行角度、速度或距離。例1．（2023秋·重慶·八年級專題練習(xí)）如圖，某港口O位于東西方向的海岸線上，有甲，乙兩艘輪船同時離港，各自沿著一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小時30海里，乙船沿北偏東方向航行，每小時40海里，2小時后，兩船分別到達(dá)A，B處，此時兩船相距多少海里？

【答案】兩船相距100海里．【詳解】解：∵甲船沿北偏西方向航行，每小時30海里，乙船沿北偏東方向航行，每小時40海里，2小時后，兩船分別到達(dá)A，B處，例2．（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）如圖，我軍巡邏艇正在處巡邏，突然發(fā)現(xiàn)在南偏東方向距離12海里的處有一艘走私船，以18海里/小時的速度沿南偏西方向行駛，我軍巡邏艇立刻沿直線追趕，半小時后在點處將其追上，求我軍巡邏艇的航行速度是多少？

【答案】海里/小時答：我軍巡邏艇的航行速度是海里/小時．

例3．（2023秋·山東東營·八年級?？计谀┤鐖D，甲，乙兩條輪船同時從港口A出發(fā)，甲輪船以每小時30海里的速度向東北方向航行，乙船以每小時15海里的速度沿著北偏東方向航行，1小時后，甲船接到命令要與乙船會合，于是甲船在B處改變航向，沿南偏東方向航行，結(jié)果甲，乙兩船在小島C處相遇．假設(shè)乙船的速度和航向保持不變，求：（結(jié)果保留根號）

(1)港口A與小島C之間的距離；(2)甲船從B處行至小島C的速度．

答：甲船從B處行至小島C的速度為海里/時．【點睛】本題主要考查了與方向角有關(guān)的計算題，涉及勾股定理的應(yīng)用、含30°角的直角三角形等知識點，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解“方向角”．模型3、信號站（中轉(zhuǎn)站）選擇模型相關(guān)模型背景：信號塔、中轉(zhuǎn)站等。解題關(guān)鍵：信號塔和中轉(zhuǎn)站模型要注意兩個目的地到信號塔或中轉(zhuǎn)站的距離是相等的。信號塔、中轉(zhuǎn)站模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出未知量（一般求誰設(shè)誰），并根據(jù)設(shè)出的未知量表示出兩個直角三角形的直角邊長；2）在兩個直角三角形中分別用勾股定理表示出斜邊長；3）根據(jù)斜邊長相等建立方程求解。例1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）11世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”問題：小溪邊長著兩課棕櫚樹，恰好隔岸相望，一棵棕櫚樹CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB與CD樹干間的距離是10米．每棵樹的樹頂上都停著一只鳥．忽然，兩只鳥同時看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，它們立刻以相同的速度飛去抓魚，并且同時到達(dá)目標(biāo)E．問：這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根C有多遠(yuǎn)？【答案】4米【分析】設(shè)EC為x米，BE為（10﹣x）米，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．【詳解】解：∵AB=4，DC=6，BC=10，設(shè)EC為x米，則BE為（10﹣x）米，在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2=AB2+BE2=42+（10﹣x）2，DE2=DC2+EC2=62+x2，又∵AE=DE，∴x2+62=（10﹣x）2+42，x=4，答：這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根4米．【點睛】本題考查了勾股定理的正確運用；善于挖掘題目的隱含信息是解決本題的關(guān)鍵．【答案】20cm【分析】由題意知：BC=AC，設(shè)BC=xcm，則OC=（36x）cm．在Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意BC=AC是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·廣東八年級課時練習(xí)）如圖鐵路上A，B兩點相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應(yīng)距A點（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無法確定【答案】B【詳解】解：設(shè)AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D兩村到煤棧的距離相等，模型4、臺風(fēng)（噪音）、爆破模型相關(guān)模型背景：有爆破、臺風(fēng)（噪音）等。解題關(guān)鍵：通常會用到垂線段最短的原理。臺風(fēng)、爆破模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計算爆破點或臺風(fēng)中心到目的地的最短距離；2）將計算出的最短距離跟爆破或臺風(fēng)的影響范圍的半徑作比較；3）若最短距離大于影響半徑則不受影響，若最短距離小于半徑則受影響。例1．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機(jī)灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機(jī)沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為600m和800m，又AB＝1000m，飛機(jī)中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響．（1）著火點C受灑水影響嗎？為什么？（2）若飛機(jī)的速度為10m/s，要想撲滅著火點C估計需要13秒，請你通過計算判斷著火點C能否被撲滅？【答案】（1）著火點C受灑水影響，理由見解析；（2）能，理由見解析（2）以點為圓心，500m為半徑作圓，交于點，勾股定理求得，進(jìn)而求得的長，根據(jù)飛機(jī)的速度得到飛行時間，再根據(jù)題意求得滅火時間，即可解決問題．【詳解】（1）著火點C受灑水影響，理由如下，（2）如圖，以點為圓心，500m為半徑作圓，交于點【點睛】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．

【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的長度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，則∠CAD=90°，即可得到答案；（2）過點D作DE⊥AB，然后作點A關(guān)于DE的對稱點F，連接DF，由軸對稱的性質(zhì)，得到DF=DA=100，則只要求出AF的長度，即可得到答案.（2）過點D作DE⊥AB，然后作點A關(guān)于DE的對稱點F，連接DF，如圖：

由軸對稱的性質(zhì)，得DF=DA=100，AE=EF，由（1）知，∠BAD=135°，∴∠DAE=45°，【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理求出所需邊的長度，從而進(jìn)行計算.例3．（2023·廣東八年級課時練習(xí)）如圖，有兩條公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向離兩條公路的交叉處O點80米的A處有一所希望小學(xué)，當(dāng)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時，路兩旁50米內(nèi)會受到噪音影響，已知有兩臺相距30米的拖拉機(jī)正沿ON方向行駛，它們的速度均為5米/秒，問這兩臺拖拉機(jī)沿ON方向行駛時給小學(xué)帶來噪音影響的時間是秒．【答案】18【分析】過點A作AC⊥ON，求出AC的長，第一臺到B點時開始對學(xué)校有噪音影響，第一臺到C點時，第二臺到B點也開始有影響，第一臺到D點，第二臺到C點，直到第二臺到D點噪音才消失．【詳解】如圖，過點A作AC⊥ON于N，∵∠MON＝30°，OA＝80米，∴AC＝40米，當(dāng)?shù)谝慌_拖拉機(jī)到B點時對學(xué)校產(chǎn)生噪音影響，此時AB＝50米，第一臺拖拉機(jī)到D點時噪音消失，所以CD＝30米，由于兩臺拖拉機(jī)相距30米，則第一臺到D點時第二臺在C點，還須前行30米后才對學(xué)校沒有噪音影響．所以影響時間應(yīng)是：90÷5＝18（秒）．答：這兩臺拖拉機(jī)沿ON方向行駛給小學(xué)帶來噪音影響的時間是18秒．故答案為：18．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東梅州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向240km的O處，以每小時40km的速度向南偏東60°的OB方向移動，距臺風(fēng)中心130km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．（1）A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到臺風(fēng)的影響，求出受臺風(fēng)影響的時間有多長？【答案】（1）A城受到這次臺風(fēng)的影響，見解析；（2）2.5小時．【分析】（1）點到直線的線段中垂線段最短，故應(yīng)由A點向OB作垂線，垂足為H，若AH＞130則A城不受影響，否則受影響；（2）點A到直線OB的長為200千米的點有兩點，分別設(shè)為R、T，則△ART是等腰三角形，由于AH⊥OB，則H是RT的中點，在Rt△ARH中，解出RH的長，則可求RT長，在RT長的范圍內(nèi)都是受臺風(fēng)影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時間．【詳解】（1）如圖，作AH⊥OB于H．在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，OA=240km，∠AOH=30°，∴AH=OA=120km，∵120＜130，∴A城受到這次臺風(fēng)的影響．∴RT=100km，∴受臺風(fēng)影響的時間有=2.5小時．【點睛】此題考查輔助線在題目中的應(yīng)用，勾股定理，點到直線的距離及速度與時間的關(guān)系等，較為復(fù)雜.模型5、超速模型相關(guān)模型背景：有汽車超速、信號干擾、測河寬等。解題關(guān)鍵：要將速度統(tǒng)一單位后再進(jìn)行比較。超速模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計算行駛的距離；2）根據(jù)行駛距離和時間求出實際行駛速度；3）比較實際行駛速度和規(guī)定速度。

【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）用路程除以時間求出速度，與限速進(jìn)行比較即可．【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型．例2．（2023秋·重慶·八年級專題練習(xí)）小王與小林進(jìn)行遙控賽車游戲，終點為點A，小王的賽車從點C出發(fā)，以4米/秒的速度由西向東行駛，同時小林的賽車從點B出發(fā)，以3米/秒的速度由南向北行駛（如圖）．已知賽車之間的距離小于或等于25米時，遙控信號會產(chǎn)生相互干擾，AC＝40米，AB＝30米．出發(fā)3秒鐘時，遙控信號是否會產(chǎn)生相互干擾？【答案】不會【分析】根據(jù)題意可分別求出出發(fā)3秒鐘時小王和小林的賽車行駛的路程，從而可分別求出他們的賽車距離終點的距離，再結(jié)合勾股定理即可求出出發(fā)3秒鐘時他們賽車的距離，和遙控信號會產(chǎn)生相互干擾的距離小于或等于25米作比較即可得出答案．∵AC=40米，AB=30米，∴AC1=28米，AB1=21米，∴出發(fā)3秒鐘時，遙控信號不會產(chǎn)生相互干擾．【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用．讀懂題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，某人劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達(dá)地點B25米，結(jié)果他在水中實際劃了65米，求該河流的寬度．【答案】該河流的寬度為60米【分析】從實際問題中找出直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計算即可得到該河流的寬度．【詳解】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由勾股定理可得：【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型．模型6、風(fēng)吹蓮動模型相關(guān)模型背景：蓮花、蘆葦、吸管、筷子、秋千等。解題關(guān)鍵：“蓮花”高度為不變量。風(fēng)吹蓮動模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“水深”或者“蓮花”的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023春·廣西桂林·八年級校考階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲校鏊怀撸绺鞍?，適與岸齊．問水深幾何．”（丈、尺是長度單位，1丈尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺【答案】B【點睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．【答案】答：繩索的長度是．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【答案】B【分析】吸管露出杯口外的長度最少，即在杯內(nèi)最長，可用勾股定理解答．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，所述問題是一個生活中常見的問題，與勾股定理巧妙結(jié)合，可培養(yǎng)同學(xué)們解決實際問題的能力．模型7、折竹抵地模型相關(guān)模型背景：竹子、旗桿（風(fēng)箏）拉繩等。解題關(guān)鍵：“竹子”高度為不變量。折竹抵地模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“竹子”折斷之前或者折斷之后距離地面的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷后離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）【答案】D例2．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．(1)求旗桿距地面多高處折斷（）；(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1m的點D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險？（2）先畫好圖形，再求解，，再利用勾股定理可得答案．【點睛】本題考查的是勾股定理的實際應(yīng)用，熟練的從實際問題中構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．A．7 B．8 C． D．【答案】A【分析】設(shè)風(fēng)箏下降到點M處，連接，利用勾股定理分別求得、，即可求解．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，利用勾股定理求得、是解答的關(guān)鍵．模型8、不規(guī)則圖形面積模型相關(guān)模型背景：有草坪面積、土地面積、網(wǎng)格等。解題關(guān)鍵：一般所求圖形面積為不規(guī)則的四邊形，要注意轉(zhuǎn)換為兩個直角三角形的面積進(jìn)行求解。面積模型解題步驟：1）連接兩點作輔助線，將四邊形分為兩個直角三角形；2）根據(jù)已知條件運用勾股定理求出所連線段長度；3）運用勾股定理逆定理判定另一個三角形為直角三角形；4）分別求出兩個直角三角形的面積相加或相減即為所求四邊形面積。例1．（2022·山東聊城·八年級期末）聊城市在創(chuàng)建“全國文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費用為150元，試計算綠化這片空地共需花費多少元？【答案】綠化這片空地共需花費17100元【分析】連接AC，直接利用勾股定理得出AC，進(jìn)而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面積求法得出答案．【詳解】解：連接AC，如圖∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∴S△DAC＝×AD?AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB?AC＝×9×12＝54（m2），∴S四邊形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），答：綠化這片空地共需花費17100元．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理以及勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵．例2．（2022·江蘇蘇州中學(xué)八年級期中）如圖，每個小方格都是邊長為1的正方形．（1）求圖中格點四邊形ABCD的面積；（2）求四邊形ABCD的周長；（3）求∠ADC的度數(shù)．【分析】（1）四邊形ABCD的面積等于大正方形的面積減去4個直角三角形的面積；（2）由勾股定理求出AD、AB、BC、CD，即可得出四邊形ABCD的周長；（3）求出AD2+CD2=AC2，由勾股定理的逆定理即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：四邊形ABCD的面積=5×5×3×3×2×3×2×4×2×1=12.5；（3）∵AD2+CD2=5+20=25，AC2=52=25，∴AD2+CD2=AC2，∴三角形ADC為直角三角形，∠ADC=90°．【點睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形和四邊形面積的計算；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇鹽城·八年級階段練習(xí)）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處）．如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上；思維拓展：(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為、、，請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的△ABC．并求出它的面積．探索創(chuàng)新：(3)若△ABC三邊的長分別為a、2a、a（a＞0），請利用圖③的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．【分析】（1）利用分割法求三角形的面積即可；（2）利用網(wǎng)格圖，構(gòu)造三角形，利用分割法求解即可；（3）利用網(wǎng)格圖，構(gòu)造三角形，利用分割法求解即可；（4）構(gòu)造長方形，利用分割法求解即可．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了勾股定理及作圖的知識，解答本題關(guān)鍵是仔細(xì)理解問題背景，熟練掌握勾股定理，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．課后專項訓(xùn)練21．（2022春·四川涼山·八年級校考階段練習(xí)）如圖所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得DB的長0.5米，則梯子頂端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1【答案】A【分析】在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的長度不變，在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的頂端下滑了0.5米．∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題時注意梯子的長度不變，分別運用勾股定理求得AC和CE的長是解題的關(guān)鍵．【答案】D【點睛】本題主要考查勾股定理的運用，掌握勾股定理的運算方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江八年級課時練習(xí)）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，甲船沿北偏西方向，以每小時12海里的速度航行；乙船沿北偏東方向，以每小時16海里的速度航行．1小時后兩船分別位于點A與B處，此時兩船相距（）A．12海里 B．16海里 C．20海里 D．24海里【答案】C【分析】先利用勾股定理求出的長度，然后根據(jù)題意求出的長度，進(jìn)而即可求出的長，進(jìn)一步計算即可求解．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．【答案】106．（2023春·重慶忠縣·八年級校考階段練習(xí)）在一棵大樹距地面10米的地方有兩只猴子，一只猴子往上爬到樹頂后，再沿直線由樹頂跳到地面的池塘邊喝水，另一只猴子沿樹干滑到樹底，再沿地面爬到同一地方喝水，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過的路程都為15米，則大樹的高為．【答案】12米/12m【分析】設(shè)樹高為x米，則可用x分別表示出，利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，可求得x的值．【詳解】解：如圖，

【點睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，用樹的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解題的關(guān)鍵．

【分析】根據(jù)杯子內(nèi)筷子的長度取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案．在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長是等于杯子斜邊長度，【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長是等于杯子斜邊長度是解題的關(guān)鍵．【答案】【分析】設(shè)繩子長為，再根據(jù)直角三角形的勾股定理列方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)繩子長為，【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握勾股定理，運用勾股定理解決問題．9．（2023春·河南信陽·八年級統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為（

）【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為尺，再利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為尺，

【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．

【答案】8【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長，比較即可得到結(jié)果．【點睛】此題主要考查學(xué)生對勾股定理在實際生活中的運用能力，同時也增強(qiáng)了學(xué)生們要愛護(hù)草地的意識．11．（2023春·海南?？凇ぐ四昙壓煾街行？计谀┤鐖D，一漁船由西往東航行，在A點測得海島C位于北偏東的方向，前進(jìn)20海里到達(dá)B點，此時，測得海島C位于北偏東的方向，求海島C到航線的距離．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，難度適中，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，利用銳角三角函數(shù)的定義求解．12．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）一款名為超級瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個高為10米的高臺A后，利用旗桿頂部的繩索，劃過90°到達(dá)與高臺A水平距離為17米，高為3米的矮臺B．(1)求旗桿的高度OM；(2)瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度MN．【答案】(1)米(2)2米【詳解】（1）如圖：答：瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度為2米．【點睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．【答案】1米故此時人頭頂離測溫儀的距離為1米．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段的長度．14．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，某人從點A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C離欲到達(dá)點B有45m，已知他在水中實際劃了75m，求該河流的寬度AB．【答案】60m【分析】從實際問題中找出直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計算即可得到該河流的寬度．【詳解】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由勾股定理可得：【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．15．（2022秋·廣東佛山·八年級校考階段練習(xí)）有一輛載有集裝箱的卡車，高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)如圖所示的上邊是半圓，下邊是長方形的橋洞，已知半圓的直徑為2米，長方形的另一條邊長是2.3米．這輛卡車能否通過此橋洞？通過計算說明理由．【答案】能通過，理由見解析.【分析】首先畫出卡車的橫截面圖，OE的長度為貨車寬的一半，根據(jù)勾股定理可求出CE的長度．如果BC的長度大于2.5貨車可以通過，否則不能通過．【詳解】能通過．【點睛】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意化出圖形.16．（2023春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一個水池，水面是一邊長為6尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，求這根蘆葦?shù)拈L度．

【答案】這根蘆葦?shù)拈L度為5尺．【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為尺，根據(jù)勾股定理解答．答：這根蘆葦?shù)拈L度為5尺．【點睛】本題考查正確運用勾股定理．從實際問題抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．

【答案】(1)風(fēng)箏的高度CE為16.6米(2)他應(yīng)該往回收線7米．【分析】（1）利用勾股定理求出CD的長，再加上DE的長度，即可求出CE的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．答：風(fēng)箏的高度CE為16.6米；【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·重慶·八年級專題練習(xí)）如圖，在甲村到乙村的公路一旁有一塊山地正在開發(fā)．現(xiàn)A處需要爆破，已知點A與公路上的停靠站B，C的距離分別為400m和300m，且ACAB．為了安全起見，如果爆破點A周圍半徑260m的區(qū)域內(nèi)不能有車輛和行人，問在進(jìn)行爆破時，公路BC段是否需要暫時封閉？為什么?【答案】需要封閉，理由見解析【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，利用等面積法求解直角三角形斜邊上的高，掌握“等面積法求解直角三角形斜邊上的高”是解題的關(guān)鍵.20．（2022春·廣西玉林·八年級統(tǒng)考期中）如圖，A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，以20千米/時的速度向北偏西60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．(1)A市是否會受到臺風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并給予說明；(2)如果A市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時間有多長？【答案】(1)A市會受臺風(fēng)影響，理由見解析(2)5【分析】（1）是否會受到影響，需要求得點A到臺風(fēng)所走路線的最短距離，根據(jù)垂線段最短，即作AD⊥BF于D，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算比較；（2）需要計算出受影響的總路程，再根據(jù)時間=路程÷速度進(jìn)行計算．【詳解】（1）會．理由如下：如圖所示，過點A作AD⊥BF于D，又∵AD＝150千米＜200千米，∴A市會受臺風(fēng)影響；

（2）設(shè)C點剛好受臺風(fēng)影響，E點剛好不受臺風(fēng)影響，則AC＝AE＝200千米【點睛】此題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．21．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，甲、乙兩船同時從港口O出發(fā)，甲船以海里/小時的速度沿北偏東60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，航行了兩小時，甲船到達(dá)A處，并觀測到乙船恰好在其正西方向的B處，求乙船的速度．【答案】乙船速度8海里/小時．【分析】本題可以求出甲船行進(jìn)的距離，根據(jù)勾股定理可求出，就可以求出乙船的速度．答：乙船的速度為8海里小時．【點睛】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，解題的關(guān)鍵是理解方向角的概念．22．（2022·北京市初二期中）如圖，每個小正方形的邊長為1．（1）直接寫出四邊形ABCD的面積；（2）求證：∠BCD=90°．【答案】（1）四邊形ABCD的面積為14.5；（2）證明見解析．【分析】（1）用四邊形ABCD所在長方形的面積減去4個小三角形的面積，列出算式計算即可求得四邊形ABCD的面積；利用勾股定理分別求出AB、BC、CD、AD，即可求得四邊形ABCD的周長；（2）求出BD2，利用勾股定理的逆定理即可證明；【解析】（1）四邊形ABCD的面積=5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2=14.5；∴BC2+CD2=BD2，∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°．【點睛】本題考查割補(bǔ)法求面積，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【答案】木柱的長為尺．【分析】根據(jù)題意得，繩索，木樁形成直角三角形，根據(jù)勾股定理，即可求出繩索長．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，運用勾股定理解決實際問題．24．（2022秋·河南平頂山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一機(jī)器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機(jī)器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點C處截住了小球．如果小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少？【答案】25cm【分析】小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，運動時間相等，得出BC=AC，由勾股定理可求得BC的長．【詳解】解：∵小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，運動時間相等，即BC=CA，設(shè)AC為x，則OC=45﹣x，由勾股定理可知OB2+OC2=BC2，又∵OA=45，OB=15，把它代入關(guān)系式152+（45﹣x）2=x2，解方程得出x=25（cm）．答：如果小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是25cm．【點睛】本題主要考查勾股定理的實際應(yīng)用．【答案】學(xué)校會受到噪聲影響；理由見解析；學(xué)校受影響的時間為10秒【點睛】本題是直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，考查了含30度角直角三角形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是本題的關(guān)鍵與難點．26．（2023秋·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5米．（1）梯子的長是多少？（2）求小巷的寬．【答案】（1）2.5米；（2）2.7米【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB的長度，（2）由（1）知梯子AB的長度，利用勾股定理求出BD的長，即可得到答案.答：梯子的長是2.5米【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求有關(guān)線段的長度的方法．27．（2023·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖所示，MN以左為我國領(lǐng)海，以右為公海，上午9時50分我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時13海里的速度偷偷向我國領(lǐng)海開來，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時間進(jìn)入我國海域？【答案】走私艇最早在10時41分進(jìn)入我國領(lǐng)海．【分析】先判斷出△ABC是直角三角形，再用面積相等計算出BD，在Rt△BCD中，由勾股定理計算出CD，算出走私艇行駛的時間，即可求出進(jìn)入我國領(lǐng)海的時刻．【點睛】本題是與航海有關(guān)的實際應(yīng)用題，考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，用面積相等計算直角三角形斜邊上的高是常用的方法．28．（2023·江蘇八年級期中）南海是我國的南大門，如圖所示，某天我國一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域正在進(jìn)行常態(tài)化巡航，在A處測得北偏東30°方向上，距離為20海里的B處有一艘不明身份的船只正在向正東方向航行，便迅速沿北偏東75°的方向以20海里/小時的速度前去攔截．問：經(jīng)過多少小時，海監(jiān)執(zhí)法船恰好在C處成功攔截．【分析】過點C作CD⊥AB交線段AB延長線于點D，證△ACD是等腰直角三角形，得AD＝CD，由勾股定理得AC＝CD，AD＝CD＝BD，然后由AD?BD＝AB求出BD，進(jìn)而求出AC，再利用路程＝速度×?xí)r間即可求解．【詳解】解：如圖，過點C作CD⊥AB交線段AB延長線于點D，∵∠BAC