2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫——抽樣調(diào)查方法案例分析題庫與答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某市衛(wèi)健委希望了解該市18-45歲人群參與體育鍛煉的普及率及其影響因素，計(jì)劃進(jìn)行一項(xiàng)抽樣調(diào)查。請分析以下兩種抽樣方案設(shè)計(jì)的優(yōu)劣：1.方案A：從全市所有注冊登記的體育場館中，隨機(jī)抽取100家體育場館，然后調(diào)查到訪這些場館的18-45歲人群的參與體育鍛煉情況。2.方案B：將全市按行政區(qū)劃劃分為若干層（如按城區(qū)、郊區(qū)），然后在每個(gè)層內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣的方式抽取一定數(shù)量的社區(qū)，再對抽中社區(qū)的所有18-45歲居民進(jìn)行調(diào)查。請比較兩種方案的抽樣框、抽樣方法、潛在偏差（如無回答偏倚、選擇偏倚等）以及適用性。二、某快餐連鎖店想要估計(jì)其在全國3000家分店中，某款新推出產(chǎn)品的平均日銷售量。已知該產(chǎn)品在類似門店的歷史銷售量標(biāo)準(zhǔn)差約為50份/天，如果希望以95%的置信水平估計(jì)，要求誤差范圍不超過10份/天，并且考慮到分店間的銷售量差異較大，決定采用分層抽樣方法，按照門店的地理位置（東部、中部、西部）進(jìn)行分層。已知各層門店數(shù)量比例為東部60%、中部25%、西部15%。請問：1.若采用按比例分配樣本量的分層抽樣方法，至少需要抽取多少家門店進(jìn)行調(diào)查？2.請簡述按比例分配樣本量的優(yōu)缺點(diǎn)，并說明如果允許誤差可以稍微增大（例如擴(kuò)大到12份/天），是否可以減少樣本量？如何調(diào)整樣本量分配可能更有效？三、一家市場研究公司欲調(diào)查某城市居民對生活垃圾分類政策的支持程度。初步估計(jì)支持率在60%到80%之間，要求調(diào)查結(jié)果的置信水平為95%，且允許的抽樣誤差不超過5%。由于調(diào)查成本限制，初步計(jì)劃采用電話調(diào)查的方式進(jìn)行抽樣。請回答：1.若采用簡單隨機(jī)抽樣，理論上需要抽取多少名居民？2.考慮到實(shí)際執(zhí)行中，電話號碼可能無法接通、無人接聽或拒絕參與調(diào)查等情況，實(shí)際需要的樣本量應(yīng)大于理論計(jì)算值。請說明可能導(dǎo)致無回答的主要原因，并簡述在抽樣設(shè)計(jì)階段可以采取哪些措施來減少無回答偏倚。3.電話調(diào)查本身可能存在哪些局限性，這些局限性是否會(huì)影響調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性？請結(jié)合抽樣調(diào)查的原理進(jìn)行分析。四、某農(nóng)場有奶牛2000頭，為估計(jì)其平均產(chǎn)奶量，農(nóng)場主決定采用整群抽樣進(jìn)行調(diào)查。他將奶牛按生產(chǎn)日期和批次分為40群，每群50頭。隨機(jī)抽取了8群，并對抽中的8群所有奶牛進(jìn)行了產(chǎn)奶量記錄。記錄數(shù)據(jù)顯示，這8群奶牛的平均產(chǎn)奶量為每頭每天25公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為每頭每天3公斤。請計(jì)算：1.根據(jù)此次抽樣結(jié)果，農(nóng)場2000頭奶牛的平均產(chǎn)奶量的點(diǎn)估計(jì)值是多少？2.請計(jì)算該估計(jì)值的抽樣平均誤差（假設(shè)采用不重復(fù)抽樣的公式）。3.若置信水平仍為95%，請給出農(nóng)場奶牛平均產(chǎn)奶量95%的置信區(qū)間估計(jì)。4.與同樣樣本量的簡單隨機(jī)抽樣相比，整群抽樣在什么情況下可能更經(jīng)濟(jì)？其主要的缺點(diǎn)是什么？五、一項(xiàng)關(guān)于大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)購物行為的調(diào)查，研究者欲比較城市和農(nóng)村大學(xué)生在月均網(wǎng)絡(luò)購物花費(fèi)上的差異?，F(xiàn)有兩個(gè)抽樣方案：方案C：從全國所有高校中，采用分層抽樣方法（按城市和農(nóng)村院校分層）抽取100所高校，再從每所抽中高校的在校生中，隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。方案D：先在某個(gè)大型綜合性城市大學(xué)和一所位于農(nóng)村地區(qū)的高校中，分別隨機(jī)抽取500名學(xué)生和300名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。請分析：1.這兩個(gè)方案在抽樣方法（概率抽樣或非概率抽樣）、樣本代表性、成本效率以及對結(jié)果推斷方面各有哪些特點(diǎn)？2.如果研究者主要關(guān)注全國范圍內(nèi)城市與農(nóng)村大學(xué)生的群體差異，哪個(gè)方案更合適？為什么？3.如果研究者希望快速獲得初步印象，且預(yù)算非常有限，哪個(gè)方案更合適？為什么？試卷答案一、方案A分析：*抽樣框：全市注冊登記的體育場館。局限性在于可能無法覆蓋所有進(jìn)行體育鍛煉的人群，如公園跑步者、家庭健身者等，存在嚴(yán)重的抽樣框偏倚。*抽樣方法：隨機(jī)抽取場館，再到訪者調(diào)查。屬于非概率抽樣（方便抽樣或判斷抽樣，取決于是否按特定時(shí)間到訪）。*潛在偏差：*無回答偏倚：到訪者可能不完全代表該市所有18-45歲人群，如主要為有強(qiáng)烈健身意識(shí)或消費(fèi)能力的人群。*選擇偏倚：到訪特定場館的人群本身可能就與不去該場館的人群存在特征差異。*測量偏倚：自我報(bào)告的鍛煉情況可能存在夸大或低估。*適用性：方便易行，成本較低，但結(jié)果外推到全市18-45歲人群的可靠性差，科學(xué)性不高。方案B分析：*抽樣框：市內(nèi)所有18-45歲居民。理論上更完整，但實(shí)踐中獲取完整名單可能困難。*抽樣方法：分層抽樣（按社區(qū)）+簡單隨機(jī)抽樣。屬于概率抽樣。*潛在偏差：*無回答偏倚：社區(qū)居民調(diào)查仍可能存在無回答問題，但分層抽樣有助于確保不同區(qū)域人群都被覆蓋。*測量偏倚：同方案A。*適用性：抽樣框相對全面，采用概率抽樣，結(jié)果科學(xué)性較強(qiáng)，能夠較好地反映全市不同社區(qū)人群的鍛煉情況，外推可靠性較高。但實(shí)施復(fù)雜度更高，成本也相對較高。二、1.樣本量計(jì)算：采用分層比例抽樣，樣本量$n=n_H=n_M=n_W$。總體$N=3000$，比例$h=0.6,m=0.25,w=0.15$。誤差范圍$\Delta=10$，置信水平為95%，查Z表得$Z_{\alpha/2}=1.96$。總體方差未知，可用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)$\sigma^2=50^2=2500$。按比例分配時(shí)，每層樣本量$n_h=Nh=3000\times0.6=1800$。所需樣本量$n=n_h+n_m+n_w=1800+750+450=3000$。但這是總體規(guī)模等于樣本量的情況，通常需調(diào)整。使用調(diào)整公式：$n=\frac{NZ_{\alpha/2}^2\sigma^2}{N\Delta^2+Z_{\alpha/2}^2\sigma^2}=\frac{3000\times1.96^2\times2500}{3000\times10^2+1.96^2\times2500}\approx\frac{3000\times3.8416\times2500}{3000\times100+3.8416\times2500}\approx\frac{29412000}{300000+9604}\approx\frac{29412000}{309604}\approx94.9$。由于計(jì)算結(jié)果遠(yuǎn)小于總體，且按比例分配計(jì)算出的每層樣本量（1800,750,450）遠(yuǎn)超簡單隨機(jī)抽樣的理論值，這表明題目給定的條件（$\sigma=50$,$\Delta=10$）與總體規(guī)模（N=3000）對于比例抽樣來說導(dǎo)致樣本量異常大，這在現(xiàn)實(shí)中可能不合理或提示需要更精確的方差估計(jì)。若嚴(yán)格按計(jì)算，需至少抽取約95家門店。考慮到題目可能期望基于比例計(jì)算，但結(jié)果不合理，實(shí)際教學(xué)中可能需要調(diào)整題目參數(shù)或解釋為需要抽取的門店數(shù)為各層樣本量之和（3000），但這與N相等，表明誤差要求過高或標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)過大。此處按計(jì)算過程得出約95家門店，但需注意該結(jié)果的現(xiàn)實(shí)合理性。2.按比例分配優(yōu)缺點(diǎn)與調(diào)整：*優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡單，保證各層在樣本中的比例，在各層方差相近時(shí)，效率較高。*缺點(diǎn)：未考慮層內(nèi)差異大小，若層內(nèi)方差大，層間方差小，按比例分配會(huì)浪費(fèi)樣本，導(dǎo)致整體精度不高。對于變異程度大的層，分得的樣本量可能過少，無法準(zhǔn)確估計(jì)。*減少樣本量可能性：可以通過增大允許誤差（Δ）來減少所需樣本量。*更有效調(diào)整：可以采用最優(yōu)分配或奈曼分配，根據(jù)各層方差$\sigma_h^2$和層權(quán)$h$來調(diào)整樣本量分配，向方差大的層傾斜分配更多樣本，從而在總樣本量不變的情況下提高估計(jì)精度。三、1.簡單隨機(jī)抽樣理論樣本量：使用公式$n=\frac{Z_{\alpha/2}^2\hat{p}(1-\hat{p})}{\Delta^2}$。置信水平95%，$Z_{\alpha/2}=1.96$。預(yù)估支持率$p$在60%-80%之間，選擇使$n$最大的$\hat{p}=0.75$，$(1-\hat{p})=0.25$，$\hat{p}(1-\hat{p})=0.5625$。允許誤差$\Delta=5\%=0.05$。$n=\frac{1.96^2\times0.5625}{0.05^2}=\frac{3.8416\times0.5625}{0.0025}=\frac{2.1626}{0.0025}=865.04$。理論上至少需要抽取866名居民。2.無回答問題與減少措施：*主要原因：*時(shí)間不合適：調(diào)查時(shí)間與被訪者工作、休息時(shí)間沖突。*電話線路問題：占線、無法接通。*身份識(shí)別疑慮：不相信調(diào)查員、擔(dān)心隱私泄露。*不感興趣或不方便：被訪者認(rèn)為調(diào)查不重要或占用時(shí)間過長。*拒絕合作：情緒不佳或根本不想?yún)⑴c。*減少措施：*多輪嘗試：在不同時(shí)間段多次致電。*輔助抽樣框：結(jié)合其他名單（如戶籍）進(jìn)行補(bǔ)充。*禮品/報(bào)酬：提供小禮品或現(xiàn)金激勵(lì)提高參與率。*優(yōu)化問卷：設(shè)計(jì)簡潔明了、時(shí)長合理的問卷。*明確告知：清晰說明調(diào)查目的、保密原則。*培訓(xùn)調(diào)查員：提高溝通技巧和應(yīng)對拒絕的能力。*后續(xù)追訪：對未應(yīng)答戶進(jìn)行后續(xù)聯(lián)系。3.電話調(diào)查局限性分析：*無法覆蓋固定電話/未入網(wǎng)人群：數(shù)字鴻溝導(dǎo)致部分人群（如老年人、低收入群體）被排除在外。*存在拒訪率：拒絕接聽電話的情況普遍。*無回答偏倚：應(yīng)答者可能與未應(yīng)答者在特征或態(tài)度上存在差異（如年輕人、外出的活躍人群可能更愿意接聽）。*接觸困難：現(xiàn)代社會(huì)電話常處于移動(dòng)或靜音狀態(tài)。*測量誤差：通過電話交流可能不如面對面深入，容易產(chǎn)生理解偏差。*倫理問題：隱私擔(dān)憂可能更高。*抽樣框質(zhì)量：電話號碼簿可能過時(shí)或遺漏。*影響準(zhǔn)確性：這些局限性都可能導(dǎo)致樣本無法完全代表目標(biāo)總體，從而影響調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性和推論的有效性。特別是無回答偏倚，會(huì)系統(tǒng)性地改變調(diào)查結(jié)果。四、1.平均產(chǎn)奶量點(diǎn)估計(jì)值：點(diǎn)估計(jì)值=總體平均產(chǎn)奶量$\hat{\mu}=\frac{\text{樣本平均群內(nèi)產(chǎn)奶量}}{\text{群內(nèi)個(gè)體數(shù)}}=\frac{25}{50}=0.5$公斤/頭/天。2.抽樣平均誤差：整群抽樣不重復(fù)抽樣平均誤差公式：$SE_{\bar{y}_c}=\sqrt{\frac{\sigma_c^2}{n_c}\left(1-\frac{n_c}{N}\right)}$其中，$\sigma_c^2$為群內(nèi)方差，$n_c$為抽中群數(shù)，$N$為總?cè)簲?shù)。題目給出的是樣本（8群）平均產(chǎn)奶量標(biāo)準(zhǔn)差為3公斤/頭/天，但這不完全等于群內(nèi)方差$\sigma_c^2$。通常需要樣本群內(nèi)方差估計(jì)值。若題目意圖是使用該標(biāo)準(zhǔn)差，可能需假設(shè)其平方即為群內(nèi)方差，或題目條件有誤。為完成計(jì)算，暫假設(shè)群內(nèi)方差$\sigma_c^2\approx3^2=9$（此假設(shè)需注意其合理性）。$n_c=8$,$N=40$。$SE_{\bar{y}_c}=\sqrt{\frac{9}{8}\left(1-\frac{8}{40}\right)}=\sqrt{\frac{9}{8}\left(1-0.2\right)}=\sqrt{\frac{9}{8}\times0.8}=\sqrt{\frac{7.2}{8}}=\sqrt{0.9}\approx0.949$公斤/頭/天。3.95%置信區(qū)間：置信區(qū)間=$\hat{\mu}\pmZ_{\alpha/2}\timesSE_{\bar{y}_c}$$Z_{\alpha/2}=1.96$置信區(qū)間=$0.5\pm1.96\times0.949$置信區(qū)間=$0.5\pm1.865$置信區(qū)間約為(0.5-1.865,0.5+1.865)=(-1.365,2.365)公斤/頭/天。*注意：此區(qū)間包含負(fù)值，這在實(shí)際應(yīng)用中不合理，通常意味著群內(nèi)差異極大或方差估計(jì)/計(jì)算存在問題。*4.整群抽樣優(yōu)缺點(diǎn)與適用性：*更經(jīng)濟(jì)：管理上更方便，只需聯(lián)系群單元，無需聯(lián)系每個(gè)個(gè)體，尤其適用于地理分散的總體。*缺點(diǎn)：通常比簡單隨機(jī)抽樣或其他抽樣方法（如分層抽樣）效率低（方差通常更大），因?yàn)槿簝?nèi)個(gè)體相似性較高，群間差異可能較大。*適用情況：當(dāng)缺乏完整個(gè)體列表（抽樣框）時(shí)；管理上需要按區(qū)域或單位組織調(diào)查時(shí)；總體呈地理或邏輯聚集狀態(tài)時(shí)。五、1.方案比較：*方案C：*抽樣方法：概率抽樣（分層抽樣）。*樣本代表性：理論上能較好代表全國城市和農(nóng)村大學(xué)生，若分層合理且各層內(nèi)抽樣充分，可保證樣本的代表性。*成本效率：成本相對較高，需要覆蓋全國多所高校并聯(lián)系大量學(xué)生。*結(jié)果推斷：推斷到全國城市和農(nóng)村大學(xué)生群體較為可靠。*方案D：*抽樣方法：概率抽樣（整群抽樣，非完全隨機(jī)）。*樣本代表性：樣本僅來自兩所特定高校，無法代表全國大學(xué)生，樣本代表性差。兩所高?？赡艽嬖谔厥庑再|(zhì)（如城市