2025年統(tǒng)計學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與數(shù)據(jù)分析實戰(zhàn)試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.從一個包含N個單元的總體中，采用等概率抽選k個單元組成樣本，且每次抽選后不放回，這種抽樣方式稱為（）。A.簡單隨機抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.整群抽樣2.在其他條件不變的情況下，提高抽樣比例，則會（）。A.降低抽樣平均誤差B.提高抽樣平均誤差C.對抽樣平均誤差沒有影響D.抽樣平均誤差可能提高也可能降低3.抽樣估計的置信度是指（）。A.抽樣誤差B.抽樣平均誤差C.可能犯第一類錯誤的概率D.可能犯第二類錯誤的概率4.在分層抽樣中，若按比例分配樣本量，則每一層的樣本量應(yīng)與（）成正比。A.總體規(guī)模B.總體方差C.層內(nèi)方差D.層間方差5.整群抽樣的主要優(yōu)點是（）。A.便于實施B.抽樣誤差最小C.樣本分布最均勻D.節(jié)約抽樣費用6.樣本方差是總體方差的無偏估計量，記為s2，其計算公式為（）。A.s2=∑(x?-x?)2/nB.s2=∑(x?-x?)2/(n-1)C.s2=∑x?2/nD.s2=∑x?2/(n-1)7.當(dāng)總體分布未知或未知分布類型時，利用樣本數(shù)據(jù)推斷總體分布是否近似正態(tài)分布，常采用的檢驗方法是（）。A.t檢驗B.χ2檢驗C.F檢驗D.經(jīng)驗分布函數(shù)檢驗8.在對一個總體的均值進行區(qū)間估計時，影響置信區(qū)間寬度的因素有（）。A.樣本量的大小B.總體方差的大小C.置信水平的高低D.以上所有因素9.已知樣本容量n=100，樣本均值x?=50，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=5，欲構(gòu)造總體均值μ的95%置信區(qū)間（假設(shè)總體服從正態(tài)分布），則置信區(qū)間的下限約為（）。（附：1.96）A.48.02B.49.90C.50.10D.51.9810.在假設(shè)檢驗中，犯第一類錯誤的概率記為α，犯第二類錯誤的概率記為β，則（）。A.α+β=1B.α+β<1C.α+β>1D.α+β=β二、簡答題（每小題5分，共25分）1.簡述抽樣調(diào)查與普查相比的主要特點。2.解釋什么是無偏估計量，并說明樣本均值和樣本比例是否為總體均值和總體比例的無偏估計量。3.簡述影響抽樣誤差的主要因素。4.在什么情況下適用整群抽樣？它與簡單隨機抽樣相比，抽樣誤差可能如何變化？5.解釋假設(shè)檢驗中p值的意義。三、計算題（每小題10分，共30分）1.某工廠生產(chǎn)一批零件，隨機抽取200個零件進行檢驗，發(fā)現(xiàn)合格品為190個。要求：(1)計算樣本合格率p的估計值；(2)在95%的置信水平下，估計該批零件合格率的置信區(qū)間。（附：1.96）(3)若要求抽樣極限誤差不超過0.03（即|p?-P|≤0.03），在95%置信水平下，至少應(yīng)抽取多少個零件？（提示：用p?≈p近似）2.某地區(qū)想估計平均畝產(chǎn)量，隨機抽取了100畝地塊進行測量，得到樣本平均畝產(chǎn)量x?為800公斤，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s為50公斤。假設(shè)畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布。(1)計算總體平均畝產(chǎn)量μ的95%置信區(qū)間；(2)若希望將抽樣極限誤差縮小一半，其他條件不變，樣本量需要擴大到原來的多少倍？3.某研究者想調(diào)查某城市居民對公共交通的滿意度（用1-5分打分，1分最不滿意，5分最滿意）。隨機抽取200名居民進行調(diào)查，得到樣本滿意度得分的樣本均值x?=4.0，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=0.8。要求：(1)計算總體平均滿意度的95%置信區(qū)間；(2)檢驗該市居民總體滿意度得分是否顯著高于3分（α=0.05）。四、分析與論述題（15分）假設(shè)你作為一名統(tǒng)計分析師，某公司想要了解其線上廣告對潛在客戶轉(zhuǎn)化率的影響。你獲得了一個包含1000個潛在客戶記錄的隨機樣本（非抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)），其中包含是否點擊廣告（是/否）、是否轉(zhuǎn)化為實際客戶（是/否）以及一些人口統(tǒng)計學(xué)信息。請簡述你將如何運用所學(xué)的統(tǒng)計方法分析這個數(shù)據(jù)集，以回答公司的問題。你的分析步驟應(yīng)包括：1.數(shù)據(jù)的初步整理與描述性分析（至少提及要計算的指標(biāo)和可能的圖表）；2.點擊廣告與轉(zhuǎn)化客戶之間的關(guān)系分析（提及可能的方法）；3.你認(rèn)為還需要考慮哪些因素？如何進行分析？4.如何根據(jù)分析結(jié)果為公司提供初步的建議？試卷答案一、選擇題1.A*解析：簡單隨機抽樣是指從總體N個單元中，按照完全隨機的方式抽取n個單元構(gòu)成樣本，每個單元被抽中的概率相等。題目描述的是等概率不重復(fù)抽樣，這是簡單隨機抽樣的典型方式。2.B*解析：抽樣平均誤差的大小與樣本量n、總體方差σ2以及抽樣方法有關(guān)。在其他條件不變時，樣本量n越大，抽樣平均誤差越??；樣本量n越小，抽樣平均誤差越大。提高抽樣比例通常意味著需要更大的樣本量n，從而降低抽樣平均誤差。3.C*解析：置信度（通常用1-α表示）是指在重復(fù)抽樣過程中，構(gòu)造的置信區(qū)間包含總體真參數(shù)的概率。它反映了我們能夠以多大的把握相信估計結(jié)果覆蓋了真實的總體參數(shù)，這個把握就是1減去犯第一類錯誤（拒絕真假設(shè)）的概率α。4.A*解析：在比例分配的分層抽樣中，從第i層抽取的樣本量n?與該層單元數(shù)N?成正比，即n?=(N?/N)*n。這里的N是總體規(guī)模，N?是第i層的規(guī)模。因此，每一層的樣本量與總體規(guī)模（或其比例）成正比。5.A*解析：整群抽樣的優(yōu)點在于組織抽樣和收集數(shù)據(jù)方便、節(jié)省成本。由于群內(nèi)單元通常同質(zhì)性較高，群間差異較大，其抽樣誤差可能比簡單隨機抽樣大，但便利性是其主要吸引力。6.B*解析：樣本方差的定義是為了得到總體方差的無偏估計。公式∑(x?-x?)2/(n-1)計算得到的量是無偏的，因為它考慮了樣本均值x?是樣本數(shù)據(jù)線性組合的結(jié)果，自由度應(yīng)調(diào)整為n-1。7.B*解析：χ2檢驗（卡方檢驗）的一種應(yīng)用是擬合優(yōu)度檢驗，用于檢驗樣本數(shù)據(jù)分布是否與某個理論分布（如正態(tài)分布）吻合。通過比較樣本頻數(shù)分布與理論期望頻數(shù)，可以判斷總體分布是否近似正態(tài)。8.D*解析：總體均值的置信區(qū)間公式為x?±(t或z)*(s/√n)。從公式可知，置信區(qū)間的寬度與樣本均值x?無關(guān)，與置信水平（決定t或z值）成正比，與總體標(biāo)準(zhǔn)差（或樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，反映變異程度）成正比，與樣本量n的平方根成反比。因此，所有因素都會影響置信區(qū)間的寬度。9.A*解析：總體均值μ的95%置信區(qū)間為x?±z*(s/√n)=50±1.96*(5/√100)=50±1.96*0.5=50±0.98。因此，置信區(qū)間為[49.02,50.98]。下限為49.02。10.B*解析：犯第一類錯誤的概率α是當(dāng)原假設(shè)H?為真時，錯誤地拒絕H?的概率。犯第二類錯誤的概率β是當(dāng)原假設(shè)H?為假時，錯誤地接受H?的概率。α和β描述的是兩種相互排斥的錯誤決策，它們的和取決于檢驗的功效和其他因素，并不一定等于1。通常，在固定樣本量的情況下，減小α?xí)黾应?，反之亦然。二、簡答題1.答：抽樣調(diào)查與普查相比，主要特點包括：(1)調(diào)查范圍有限，只調(diào)查總體中一部分單位，而非全部單位。(2)調(diào)查成本較低，耗時較短，組織工作相對簡單。(3)調(diào)查方法相對靈活多樣。(4)由于只調(diào)查部分單位，可能存在抽樣誤差，但普查存在非抽樣誤差（如登記誤差、漏登誤差等），且普查規(guī)模大，非抽樣誤差往往更值得關(guān)注。(5)適用于破壞性調(diào)查或?qū)r效性要求高的調(diào)查。2.答：無偏估計量是指用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)時，樣本統(tǒng)計量的期望值等于總體參數(shù)。即E(統(tǒng)計量)=參數(shù)。樣本均值x?是總體均值μ的無偏估計量，因為E(x?)=μ。樣本比例p?（樣本合格率）是總體比例P的無偏估計量，因為E(p?)=P。3.答：影響抽樣誤差的主要因素有：(1)總體變異程度：總體單位標(biāo)志值的差異越大（總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大），抽樣誤差越大。(2)樣本量的大?。簶颖玖縩越大，抽樣誤差越??；樣本量n越小，抽樣誤差越大。(3)抽樣方法：不同的抽樣方法（如簡單隨機抽樣、分層抽樣、整群抽樣）有不同的抽樣誤差，通常分層抽樣誤差最小，整群抽樣誤差可能較大（取決于群內(nèi)同質(zhì)性）。(4)抽樣組織方式：抽樣過程的組織是否科學(xué)、規(guī)范也會影響實際產(chǎn)生的誤差。4.答：當(dāng)總體單位數(shù)很大、分布廣泛，但可以劃分為若干個互不重疊、涵蓋全部總體的群組，且群內(nèi)單位同質(zhì)性較高、群間差異較大時，適用整群抽樣。與簡單隨機抽樣相比，整群抽樣的抽樣誤差可能更大，因為整群抽樣是以群為單位抽選，群內(nèi)單位相似性可能導(dǎo)致樣本代表性不如簡單隨機抽樣。但整群抽樣的優(yōu)點是便于組織、實施和節(jié)省成本?？梢酝ㄟ^增加樣本量（增加群數(shù)或每個群內(nèi)單位數(shù)）來控制或減小整群抽樣的誤差。5.答：p值是在原假設(shè)H?為真的前提下，樣本觀測結(jié)果或更極端結(jié)果出現(xiàn)的概率。它是衡量樣本結(jié)果與原假設(shè)吻合程度的一個度量。p值越小，說明在H?為真時，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果的可能性越小，因此拒絕H?的證據(jù)越強。通常，當(dāng)p值小于預(yù)設(shè)的顯著性水平α?xí)r，拒絕原假設(shè)。三、計算題1.解：(1)樣本合格率p的估計值p?=190/200=0.95。(2)置信水平95%，對應(yīng)z值1.96。抽樣平均誤差SE(p?)=√[p?(1-p?)/n]=√[0.95(1-0.95)/200]=√[0.0475/200]≈0.0153。置信區(qū)間=p?±SE(p?)=0.95±1.96*0.0153≈0.95±0.0301。即[0.9199,0.9801]。(3)要求SE(p?)≤0.03。使用p?≈p近似，SE(p?)=√[p?(1-p?)/n]≤0.03。√[0.95(1-0.95)/n]≤0.03。0.95(0.05)/n≤0.032。0.0475/n≤0.0009。n≥0.0475/0.0009≈52.78。由于n必須為整數(shù)，且要滿足條件，n至少應(yīng)取53。2.解：(1)總體服從正態(tài)分布，已知x?=800,s=50,n=100。置信水平95%，對應(yīng)z值1.96。抽樣平均誤差SE(μ)=s/√n=50/√100=5。置信區(qū)間=x?±SE(μ)=800±1.96*5=800±9.8。即[790.2,809.8]。(2)新的抽樣極限誤差E'=0.5*0.03=0.015。由于總體方差已知且分布正態(tài)，新的樣本量n'=(z*σ/E')2=(1.96*50/0.015)2=(9800/0.015)2=(650000)2=422500000。原來的樣本量n=100。需要的倍數(shù)=n'/n=422500000/100=4225000。樣本量需要擴大到原來的4225倍。3.解：(1)總體分布未知，但n=200較大，可考慮中心極限定理。樣本均值x?=4.0,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=0.8。置信水平95%，對應(yīng)z值1.96。抽樣平均誤差SE(μ)=s/√n=0.8/√200≈0.8/14.14≈0.0566。置信區(qū)間=x?±SE(μ)=4.0±1.96*0.0566≈4.0±0.1112。即[3.8888,4.1112]。(2)檢驗假設(shè)H?:μ≤3；H?:μ>3(右側(cè)檢驗)。檢驗統(tǒng)計量z=(x?-μ?)/SE(μ)=(4.0-3)/0.0566=1/0.0566≈17.64。顯著性水平α=0.05，臨界值z臨界=1.645。由于檢驗統(tǒng)計量z=17.64遠(yuǎn)大于臨界值1.645，或p值遠(yuǎn)小于0.05（p<0.0001），因此拒絕原假設(shè)H?。結(jié)論：有充分證據(jù)表明該市居民總體滿意度得分顯著高于3分。四、分析與論述題答：1.數(shù)據(jù)的初步整理與描述性分析：*檢查數(shù)據(jù)完整性，處理缺失值（如刪除或填充）。*計算點擊廣告人數(shù)、未點擊廣告人數(shù)、轉(zhuǎn)化為客戶人數(shù)、未轉(zhuǎn)化客戶人數(shù)等基本頻數(shù)和比例。*計算轉(zhuǎn)化率（轉(zhuǎn)化為客戶人數(shù)/總樣本量）。*計算點擊轉(zhuǎn)化率（轉(zhuǎn)化為客戶人數(shù)/點擊廣告人數(shù)）。*繪制餅圖展示點擊/未點擊比例，繪制餅圖或條形圖展示轉(zhuǎn)化/未轉(zhuǎn)化比例。*對人口統(tǒng)計學(xué)信息（如年齡、性別等）進行描述性統(tǒng)計，如計算均值、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，繪制直方圖或箱線圖。2.點擊廣告與轉(zhuǎn)化客戶之間的關(guān)系分析：*比較點擊廣告組的轉(zhuǎn)化率與未點擊廣告組的轉(zhuǎn)化率。計算兩組的轉(zhuǎn)化率差異。*進行卡方檢驗（Chi-squaretestfor