2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試題及答案(福建漳州)一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.設事件A和B滿足P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(A-B)=0.3，則P(A∪B)為（）A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9答案：B解析：因為P(A-B)=P(A)-P(AB)，已知P(A)=0.6，P(A-B)=0.3，所以P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.6-0.3=0.3。根據(jù)概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.4-0.3=0.7。2.設隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1，則λ等于（）A.1B.2C.3D.4答案：A解析：對于泊松分布，E(X)=D(X)=λ。先將E[(X-1)(X-2)]展開得E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2。又因為E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2，所以E(X2)-3E(X)+2=λ+λ2-3λ+2=λ2-2λ+2。已知E[(X-1)(X-2)]=1，即λ2-2λ+2=1，化簡為λ2-2λ+1=0，根據(jù)完全平方公式可得(λ-1)2=0，解得λ=1。3.設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布N(0,1)，則Z=X+Y服從（）A.N(0,1)B.N(0,2)C.N(1,1)D.N(1,2)答案：B解析：若X~N(μ?,σ?2)，Y~N(μ?,σ?2)，且X與Y相互獨立，則X+Y~N(μ?+μ?,σ?2+σ?2)。已知X~N(0,1)，Y~N(0,1)，所以Z=X+Y~N(0+0,1+1)=N(0,2)。4.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,?,X?是來自總體X的樣本，\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\)，則\(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)服從（）A.N(0,1)B.t(n-1)C.\(\chi^{2}(n-1)\)D.F(n-1,n-1)答案：A解析：根據(jù)正態(tài)分布的性質，若總體X~N(μ,σ2)，樣本均值\(\bar{X}\)服從正態(tài)分布\(\bar{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)，對\(\bar{X}\)進行標準化，令\(Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)，則Z服從標準正態(tài)分布N(0,1)。5.設隨機變量X的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則P(0.2<X<0.8)為（）A.0.6B.0.36C.0.64D.0.8答案：C解析：根據(jù)概率密度函數(shù)求概率，\(P(0.2\ltX\lt0.8)=\int_{0.2}^{0.8}f(x)dx\)。已知\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，所以\(P(0.2\ltX\lt0.8)=\int_{0.2}^{0.8}2xdx=x^{2}\big|_{0.2}^{0.8}=0.8^{2}-0.2^{2}=0.64-0.04=0.6\)。6.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為||Y=0|Y=1||---|---|---||X=0|0.1|0.2||X=1|0.3|0.4|則P(X=1,Y=1)為（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案：D解析：由聯(lián)合分布律的表格可知，P(X=1,Y=1)=0.4。7.設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則P(a<X≤b)等于（）A.F(a)-F(b)B.F(b)-F(a)C.F(a)+F(b)D.1-[F(a)+F(b)]答案：B解析：根據(jù)分布函數(shù)的性質，P(a<X≤b)=F(b)-F(a)。8.設總體X的均值為μ，方差為σ2，X?,X?,X?是來自總體X的樣本，則下列統(tǒng)計量中是μ的無偏估計量的是（）A.\(\frac{1}{2}X_{1}+\frac{1}{3}X_{2}+\frac{1}{6}X_{3}\)B.\(\frac{1}{2}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+\frac{1}{4}X_{3}\)C.以上都是D.以上都不是答案：C解析：若\(\hat{\theta}\)是參數(shù)\(\theta\)的估計量，且E(\(\hat{\theta}\))=\(\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計量。對于選項A，\(E(\frac{1}{2}X_{1}+\frac{1}{3}X_{2}+\frac{1}{6}X_{3})=\frac{1}{2}E(X_{1})+\frac{1}{3}E(X_{2})+\frac{1}{6}E(X_{3})\)，因為\(X_{1},X_{2},X_{3}\)是來自總體X的樣本，所以\(E(X_{1})=E(X_{2})=E(X_{3})=\mu\)，則\(\frac{1}{2}E(X_{1})+\frac{1}{3}E(X_{2})+\frac{1}{6}E(X_{3})=\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{3}\mu+\frac{1}{6}\mu=\mu\)。對于選項B，\(E(\frac{1}{2}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+\frac{1}{4}X_{3})=\frac{1}{2}E(X_{1})+\frac{1}{4}E(X_{2})+\frac{1}{4}E(X_{3})=\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{4}\mu+\frac{1}{4}\mu=\mu\)。所以選項A和選項B中的統(tǒng)計量都是μ的無偏估計量。9.設隨機變量X服從參數(shù)為n=10，p=0.3的二項分布，則E(X)為（）A.3B.7C.10D.30答案：A解析：若隨機變量X服從參數(shù)為n和p的二項分布，即X~B(n,p)，則E(X)=np。已知n=10，p=0.3，所以E(X)=10×0.3=3。10.設總體X服從均勻分布U(0,θ)，X?,X?,?,X?是來自總體X的樣本，則θ的矩估計量為（）A.\(2\bar{X}\)B.\(\bar{X}\)C.\(\frac{1}{2}\bar{X}\)D.\(\frac{1}{\bar{X}}\)答案：A解析：對于均勻分布U(0,θ)，其均值\(E(X)=\frac{0+\theta}{2}=\frac{\theta}{2}\)。用樣本均值\(\bar{X}\)估計總體均值E(X)，即\(\bar{X}=E(X)=\frac{\theta}{2}\)，解得\(\hat{\theta}=2\bar{X}\)，所以θ的矩估計量為\(2\bar{X}\)。11.設隨機變量X的方差D(X)=4，隨機變量Y的方差D(Y)=9，且X與Y的相關系數(shù)\(\rho_{XY}=0.5\)，則D(X+Y)為（）A.13B.19C.25D.37答案：B解析：根據(jù)方差的性質\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}\)。已知D(X)=4，D(Y)=9，\(\rho_{XY}=0.5\)，則\(D(X+Y)=4+9+2×0.5×\sqrt{4×9}=4+9+2×0.5×6=4+9+6=19\)。12.設樣本X?,X?,?,X?來自總體X~N(μ,σ2)，\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}\)，則\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服從（）A.N(0,1)B.t(n-1)C.\(\chi^{2}(n-1)\)D.F(n-1,n-1)答案：C解析：根據(jù)抽樣分布的知識，若總體X~N(μ,σ2)，\(S^{2}\)是樣本方差，則\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服從自由度為n-1的\(\chi^{2}\)分布，即\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)。13.設隨機變量X服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}\lambdae^{-\lambdax},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}\)，則E(X)為（）A.\(\frac{1}{\lambda}\)B.\(\lambda\)C.\(\frac{1}{\lambda^{2}}\)D.\(\lambda^{2}\)答案：A解析：對于指數(shù)分布\(X\simE(\lambda)\)，其期望\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)?？赏ㄟ^期望的定義\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{+\infty}x\lambdae^{-\lambdax}dx\)，利用分部積分法求解，令\(u=x\)，\(dv=\lambdae^{-\lambdax}dx\)，則\(du=dx\)，\(v=-e^{-\lambdax}\)，\(\int_{0}^{+\infty}x\lambdae^{-\lambdax}dx=-xe^{-\lambdax}\big|_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-\lambdax}dx\)，\(-xe^{-\lambdax}\big|_{0}^{+\infty}=0\)，\(\int_{0}^{+\infty}e^{-\lambdax}dx=-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambdax}\big|_{0}^{+\infty}=\frac{1}{\lambda}\)，所以E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。14.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為\(f(x,y)=\begin{cases}e^{-(x+y)},&x\gt0,y\gt0\\0,&其他\end{cases}\)，則X與Y（）A.不獨立B.獨立C.相關D.以上都不對答案：B解析：先求X的邊緣概率密度函數(shù)\(f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)，當\(x\gt0\)時，\(f_{X}(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-(x+y)}dy=e^{-x}\int_{0}^{+\infty}e^{-y}dy=e^{-x}\)；當\(x\leq0\)時，\(f_{X}(x)=0\)，即\(f_{X}(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}\)。同理可求Y的邊緣概率密度函數(shù)\(f_{Y}(y)=\begin{cases}e^{-y},&y\gt0\\0,&y\leq0\end{cases}\)。因為\(f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)\)，所以X與Y相互獨立。15.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，H?:μ=μ?，H?:μ≠μ?，在顯著水平α下，拒絕域為（）A.\(\vert\bar{X}-\mu_{0}\vert\gtz_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)B.\(\vert\bar{X}-\mu_{0}\vert\gtz_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)C.\(\bar{X}-\mu_{0}\gtz_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)D.\(\bar{X}-\mu_{0}\gtz_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)答案：A解析：對于正態(tài)總體N(μ,σ2)，當方差σ2已知時，檢驗假設H?:μ=μ?，H?:μ≠μ?，采用Z檢驗。檢驗統(tǒng)計量\(Z=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}\)，在顯著水平α下，雙側檢驗的拒絕域為\(\vertZ\vert\gtz_{\frac{\alpha}{2}}\)，即\(\vert\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}\vert\gtz_{\frac{\alpha}{2}}\)，等價于\(\vert\bar{X}-\mu_{0}\vert\gtz_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.設事件A和B相互獨立，則下列結論正確的有（）A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.P(A-B)=P(A)-P(AB)D.P(A|B)=P(A)答案：ACD解析：若事件A和B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)，選項A正確；P(A-B)=P(A)-P(AB)是概率的基本公式，與A、B是否獨立無關，選項C正確；根據(jù)條件概率公式\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)，因為P(AB)=P(A)P(B)，所以\(P(A|B)=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)\)，選項D正確；而P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，只有當A、B互斥（即AB=?，P(AB)=0）時才有P(A∪B)=P(A)+P(B)，所以選項B錯誤。2.設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0,1)，則下列結論正確的有（）A.X+Y服從正態(tài)分布B.X-Y服從正態(tài)分布C.X2+Y2服從\(\chi^{2}\)分布D.\(\frac{X}{Y}\)服從t分布答案：ABC解析：若X~N(μ?,σ?2)，Y~N(μ?,σ?2)，且X與Y相互獨立，則X+Y~N(μ?+μ?,σ?2+σ?2)，X-Y~N(μ?-μ?,σ?2+σ?2)。已知X~N(0,1)，Y~N(0,1)，所以X+Y~N(0+0,1+1)=N(0,2)，X-Y~N(0-0,1+1)=N(0,2)，選項A和B正確；若X~N(0,1)，Y~N(0,1)且相互獨立，則X2+Y2服從自由度為2的\(\chi^{2}\)分布，選項C正確；\(\frac{X}{\sqrt{\frac{Y^{2}}{1}}}\)服從t(1)分布，而\(\frac{X}{Y}\)不服從t分布，選項D錯誤。3.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,?,X?是來自總體X的樣本，則下列統(tǒng)計量中是統(tǒng)計量的有（）A.\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\)B.\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}\)C.\(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)D.\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)答案：AB解析：統(tǒng)計量是樣本的不含未知參數(shù)的函數(shù)。選項A中的\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\)和選項B中的\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}\)都是樣本\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\)的函數(shù)，且不含有未知參數(shù)，所以是統(tǒng)計量；選項C中的\(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)含有未知參數(shù)μ和σ，選項D中的\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)含有未知參數(shù)σ，所以它們不是統(tǒng)計量。4.設隨機變量X服從泊松分布，其概率分布律為\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)，k=0,1,2,?，則下列結論正確的有（）A.E(X)=λB.D(X)=λC.當λ較大時，X近似服從正態(tài)分布D.泊松分布是二項分布的極限分布答案：ABCD解析：對于泊松分布\(X\simP(\lambda)\)，其期望E(X)=λ，方差D(X)=λ，選項A和B正確；根據(jù)中心極限定理，當λ較大時，泊松分布近似服從正態(tài)分布，選項C正確；當n很大，p很小，且np=λ時，二項分布B(n,p)近似服從泊松分布P(λ)，即泊松分布是二項分布的極限分布，選項D正確。5.設總體X的概率密度函數(shù)為\(f(x;\theta)\)，X?,X?,?,X?是來自總體X的樣本，\(\hat{\theta}_{1}\)和\(\hat{\theta}_{2}\)是參數(shù)θ的兩個估計量，則下列說法正確的有（）A.若\(E(\hat{\theta}_{1})=E(\hat{\theta}_{2})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}_{1}\)和\(\hat{\theta}_{2}\)是θ的無偏估計量B.若\(D(\hat{\theta}_{1})\ltD(\hat{\theta}_{2})\)，則稱\(\hat{\theta}_{1}\)比\(\hat{\theta}_{2}\)更有效C.若\(\lim_{n\rightarrow+\infty}P(\vert\hat{\theta}_{1}-\theta\vert\lt\varepsilon)=1\)，則稱\(\hat{\theta}_{1}\)是θ的一致估計量D.以上說法都不對答案：ABC解析：若估計量\(\hat{\theta}\)滿足\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是θ的無偏估計量，所以若\(E(\hat{\theta}_{1})=E(\hat{\theta}_{2})=\theta\)，則\(\hat{\theta}_{1}\)和\(\hat{\theta}_{2}\)是θ的無偏估計量，選項A正確；在無偏估計量中，方差越小越有效，若\(D(\hat{\theta}_{1})\ltD(\hat{\theta}_{2})\)，則稱\(\hat{\theta}_{1}\)比\(\hat{\theta}_{2}\)更有效，選項B正確；若對于任意的\(\varepsilon\gt0\)，有\(zhòng)(\lim_{n\rightarrow+\infty}P(\vert\hat{\theta}-\theta\vert\lt\varepsilon)=1\)，則稱\(\hat{\theta}\)是θ的一致估計量，選項C正確。三、解答題（共55分）1.（10分）設事件A和B滿足P(A)=0.7，P(B)=0.6，P(A∪B)=0.9，求：（1）P(AB)；（2）P(A-B)；（3）P(\(\overline{A}\overline{B}\))。解：（1）根據(jù)概率的加法公式\(P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)，已知P(A)=0.7，P(B)=0.6，P(A∪B)=0.9，則\(P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.7+0.6-0.9=0.4\)。（2）根據(jù)概率的性質\(P(A-B)=P(A)-P(AB)\)，已知P(A)=0.7，P(AB)=0.4，所以\(P(A-B)=0.7-0.4=0.3\)。（3）因為\(\overline{A}\overline{B}=\overline{A∪B}\)，所以\(P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A∪B})=1-P(A∪B)=1-0.9=0.1\)。2.（10分）設隨機變量X的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}Ax,&0\ltx\lt2\\0,&其他\end{cases}\)，求：（1）常數(shù)A；（2）P(1<X<2)；（3）E(X)。解：（1）根據(jù)概率密度函數(shù)的性質\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，已知\(f(x)=\begin{cases}Ax,&0\ltx\lt2\\0,&其他\end{cases}\)，則\(\int_{0}^{2}Axdx=1\)。計算\(\int_{0}^{2}Axdx=\frac{A}{2}x^{2}\big|_{0}^{2}=2A\)，由\(2A=1\)，解得\(A=\frac{1}{2}\)。（2）\(P(1\ltX\lt2)=\int_{1}^{2}f(x)dx\)，因為\(A=\frac{1}{2}\)，所以\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x,&0\ltx\lt2\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(1\ltX\lt2)=\int_{1}^{2}\frac{1}{2}xdx=\frac{1}{4}x^{2}\big|_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2^{2}-1^{2})=\frac{3}{4}\)。（3）根據(jù)期望的定義\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)，\(E(X)=\int_{0}^{2}x\cdot\frac{1}{2}xdx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}x^{2}dx=\frac{1}{6}x^{3}\big|_{0}^{2}=\frac{4}{3}\)。3.（15分）設總體X服從正態(tài)分布N(μ,4)，X?,X?,?,X??是來自總體X的樣本，\(\bar{X}=\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}X_{i}\)，已知\(P(\vert\bar{X}-\mu\vert\ltk)=0.95\)，求常數(shù)k。解：因為總體\(X\simN(\mu,4)\)，樣本容量\(n=16\)，則樣本均值\(\bar{X}\simN(\mu,\frac{4}{16})=N(\mu,0.25)\)。對\(\bar{X}\)進行標準化，令\(Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{0.25}}=\frac{\bar{X}-\mu}{0.5}\)，則\(Z\simN(0,1)\)。已知\(P(\vert\bar{X}-\mu\vert\ltk)=0.95\)，即\(P(\vert\frac{\bar{X}-\mu}{0.5}\vert\lt\frac{k}{0.5})=0.95\)，也就是\(P(\vertZ\vert\lt\frac{k}{0.5})=0.95\)。因為\(P(\vertZ\vert\ltz_{\frac{\alpha}{2}})=1-\alpha\)，這里\(1-\alpha=0.95\)，則\(\alpha=0.05\)，\(z_{\frac{\al