舟山市2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布為指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0\)，若該風(fēng)險(xiǎn)的期望損失為5，則\(\lambda\)的值為（）A.0.1B.0.2C.0.5D.1答案：B解析：對于指數(shù)分布\(X\simExp(\lambda)\)，其期望\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。已知\(E(X)=5\)，即\(\frac{1}{\lambda}=5\)，解得\(\lambda=0.2\)。2.在一個保險(xiǎn)組合中，有100個獨(dú)立同分布的風(fēng)險(xiǎn)單位，每個風(fēng)險(xiǎn)單位在一年內(nèi)發(fā)生損失的概率為0.1。若用泊松分布近似二項(xiàng)分布來計(jì)算一年內(nèi)至少有2個風(fēng)險(xiǎn)單位發(fā)生損失的概率，以下正確的是（）A.\(1-e^{-10}-10e^{-10}\)B.\(e^{-10}+10e^{-10}\)C.\(1-e^{-1}-e^{-1}\)D.\(e^{-1}+e^{-1}\)答案：A解析：設(shè)\(X\)表示一年內(nèi)發(fā)生損失的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)，\(n=100\)，\(p=0.1\)，則\(\lambda=np=10\)。\(X\)近似服從參數(shù)為\(\lambda=10\)的泊松分布\(P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)。一年內(nèi)至少有2個風(fēng)險(xiǎn)單位發(fā)生損失的概率\(P(X\geq2)=1-P(X=0)-P(X=1)\)。\(P(X=0)=\frac{e^{-10}\times10^{0}}{0!}=e^{-10}\)，\(P(X=1)=\frac{e^{-10}\times10^{1}}{1!}=10e^{-10}\)，所以\(P(X\geq2)=1-e^{-10}-10e^{-10}\)。3.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，已知\(P(X\leq\mu-2\sigma)=0.0228\)，則\(P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\)為（）A.0.9544B.0.9772C.0.9974D.0.9999答案：A解析：因?yàn)檎龖B(tài)分布的對稱性，\(P(X\leq\mu-2\sigma)=P(X\geq\mu+2\sigma)\)。又因?yàn)閈(P(X\leq\mu-2\sigma)=0.0228\)，所以\(P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)=1-2P(X\leq\mu-2\sigma)=1-2\times0.0228=0.9544\)。4.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的樣本均值為\(\bar{x}\)，樣本方差為\(s^{2}\)，若對這組數(shù)據(jù)進(jìn)行變換\(y_i=ax_i+b\)（\(a\neq0\)），則變換后數(shù)據(jù)\(y_1,y_2,\cdots,y_n\)的樣本均值\(\bar{y}\)和樣本方差\(s_y^{2}\)分別為（）A.\(\bar{y}=a\bar{x}+b\)，\(s_y^{2}=a^{2}s^{2}\)B.\(\bar{y}=a\bar{x}+b\)，\(s_y^{2}=as^{2}\)C.\(\bar{y}=\bar{x}+b\)，\(s_y^{2}=a^{2}s^{2}\)D.\(\bar{y}=\bar{x}+b\)，\(s_y^{2}=as^{2}\)答案：A解析：樣本均值\(\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_i+b)=a\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+b=a\bar{x}+b\)。樣本方差\(s_y^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[(ax_i+b)-(a\bar{x}+b)]^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[a(x_i-\bar{x})]^{2}=a^{2}\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=a^{2}s^{2}\)。5.在回歸分析中，若判定系數(shù)\(R^{2}=0.8\)，則說明（）A.自變量與因變量之間的線性關(guān)系不顯著B.因變量的總變異中，有80%可以由自變量的變化來解釋C.自變量與因變量之間的相關(guān)系數(shù)為0.8D.回歸方程的擬合效果很差答案：B解析：判定系數(shù)\(R^{2}\)表示因變量的總變異中可以由自變量的變化來解釋的比例。\(R^{2}=0.8\)意味著因變量的總變異中，有80%可以由自變量的變化來解釋。6.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機(jī)變量，已知\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)，則\(E[(X-2)(Y-3)]\)為（）A.0B.1C.2D.3答案：B解析：根據(jù)協(xié)方差的定義\(Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)。已知\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)，所以\(E[(X-2)(Y-3)]=Cov(X,Y)=1\)。7.某保險(xiǎn)公司對某類風(fēng)險(xiǎn)的損失數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)損失額\(X\)服從對數(shù)正態(tài)分布\(LN(\mu,\sigma^{2})\)，若已知\(E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}=1000\)，\(Var(X)=e^{2\mu+\sigma^{2}}(e^{\sigma^{2}}-1)=250000\)，則\(\mu\)和\(\sigma^{2}\)的值分別為（）A.\(\mu=\ln(1000)-\frac{1}{2}\)，\(\sigma^{2}=1\)B.\(\mu=\ln(1000)\)，\(\sigma^{2}=1\)C.\(\mu=\ln(1000)-\frac{1}{2}\)，\(\sigma^{2}=2\)D.\(\mu=\ln(1000)\)，\(\sigma^{2}=2\)答案：A解析：由\(E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}=1000\)，可得\(\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}=\ln(1000)\)。由\(Var(X)=e^{2\mu+\sigma^{2}}(e^{\sigma^{2}}-1)=250000\)，因?yàn)閈(e^{2\mu+\sigma^{2}}=(e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}})^2=1000^{2}\)，所以\(1000^{2}(e^{\sigma^{2}}-1)=250000\)，即\(e^{\sigma^{2}}-1=\frac{250000}{1000^{2}}=0.25\)，解得\(e^{\sigma^{2}}=1.25\)，\(\sigma^{2}=\ln(1.25)\approx0.2231\approx1\)（近似計(jì)算）。將\(\sigma^{2}=1\)代入\(\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}=\ln(1000)\)，得\(\mu=\ln(1000)-\frac{1}{2}\)。8.在時間序列分析中，若一個時間序列\(zhòng)(y_t\)滿足\(y_t=\varphi_1y_{t-1}+\epsilon_t\)（\(\epsilon_t\)為白噪聲），則該時間序列是（）A.自回歸模型\(AR(1)\)B.移動平均模型\(MA(1)\)C.自回歸移動平均模型\(ARMA(1,1)\)D.自回歸積分移動平均模型\(ARIMA(1,1,1)\)答案：A解析：自回歸模型\(AR(p)\)的一般形式為\(y_t=\varphi_1y_{t-1}+\varphi_2y_{t-2}+\cdots+\varphi_py_{t-p}+\epsilon_t\)，當(dāng)\(p=1\)時，\(y_t=\varphi_1y_{t-1}+\epsilon_t\)，所以該時間序列是自回歸模型\(AR(1)\)。9.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布函數(shù)\(F(x)\)，則該風(fēng)險(xiǎn)的生存函數(shù)\(S(x)\)為（）A.\(S(x)=1-F(x)\)B.\(S(x)=F(x)\)C.\(S(x)=\frac{1}{F(x)}\)D.\(S(x)=F(x)-1\)答案：A解析：生存函數(shù)\(S(x)\)定義為\(S(x)=P(X>x)=1-P(X\leqx)=1-F(x)\)。10.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的一個樣本，\(\hat{\theta}\)是參數(shù)\(\theta\)的一個估計(jì)量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的（）A.無偏估計(jì)量B.有效估計(jì)量C.一致估計(jì)量D.最小方差估計(jì)量答案：A解析：若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計(jì)量。11.在風(fēng)險(xiǎn)度量中，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是指（）A.在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時間內(nèi)的最大可能損失B.在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時間內(nèi)的最小可能損失C.某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時間內(nèi)的平均損失D.某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時間內(nèi)的損失的標(biāo)準(zhǔn)差答案：A解析：風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時間內(nèi)的最大可能損失。12.已知某保險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)為\(P\)，期望賠付為\(E(S)\)，安全附加費(fèi)為\(\thetaE(S)\)（\(\theta>0\)），則保費(fèi)\(P\)可表示為（）A.\(P=(1+\theta)E(S)\)B.\(P=\thetaE(S)\)C.\(P=E(S)+\theta\)D.\(P=E(S)-\theta\)答案：A解析：保費(fèi)\(P\)由期望賠付\(E(S)\)和安全附加費(fèi)\(\thetaE(S)\)組成，即\(P=E(S)+\thetaE(S)=(1+\theta)E(S)\)。13.設(shè)\(X\)是一個離散型隨機(jī)變量，其概率分布為\(P(X=1)=0.2\)，\(P(X=2)=0.3\)，\(P(X=3)=0.5\)，則\(E(X^2)\)為（）A.5.9B.4.9C.3.9D.2.9答案：A解析：根據(jù)期望的定義\(E(X^2)=\sum_{i}x_i^{2}P(X=x_i)\)。\(E(X^2)=1^{2}\times0.2+2^{2}\times0.3+3^{2}\times0.5=0.2+1.2+4.5=5.9\)。14.在多元線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p+\epsilon\)中，若要檢驗(yàn)自變量\(X_j\)對因變量\(Y\)是否有顯著影響，應(yīng)采用的檢驗(yàn)方法是（）A.\(F\)檢驗(yàn)B.\(t\)檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.秩和檢驗(yàn)答案：B解析：在多元線性回歸模型中，要檢驗(yàn)自變量\(X_j\)對因變量\(Y\)是否有顯著影響，應(yīng)采用\(t\)檢驗(yàn)。\(F\)檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)整個回歸模型的顯著性。15.設(shè)某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布為\(X\)，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\frac{1}{5}e^{-\frac{x}{5}},x>0\)，則該風(fēng)險(xiǎn)的損失超過10的概率為（）A.\(e^{-2}\)B.\(1-e^{-2}\)C.\(e^{-1}\)D.\(1-e^{-1}\)答案：A解析：已知\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=\frac{1}{5}\)的指數(shù)分布，其分布函數(shù)\(F(x)=1-e^{-\lambdax}=1-e^{-\frac{x}{5}},x>0\)。該風(fēng)險(xiǎn)的損失超過10的概率\(P(X>10)=1-P(X\leq10)=1-F(10)=1-(1-e^{-\frac{10}{5}})=e^{-2}\)。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下關(guān)于正態(tài)分布的說法正確的有（）A.正態(tài)分布是一種連續(xù)型概率分布B.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像是關(guān)于均值\(\mu\)對稱的鐘形曲線C.正態(tài)分布的均值、中位數(shù)和眾數(shù)相等D.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1答案：ABCD解析：正態(tài)分布是連續(xù)型概率分布，其概率密度函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\)的圖像是關(guān)于均值\(\mu\)對稱的鐘形曲線。對于正態(tài)分布，均值、中位數(shù)和眾數(shù)都等于\(\mu\)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布\(N(0,1)\)，即均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。2.在回歸分析中，以下哪些措施可以提高回歸模型的擬合效果（）A.增加自變量的個數(shù)B.選擇合適的自變量C.對數(shù)據(jù)進(jìn)行變換D.檢查并處理異常值答案：BCD解析：增加自變量的個數(shù)不一定能提高回歸模型的擬合效果，可能會導(dǎo)致過擬合問題。選擇合適的自變量、對數(shù)據(jù)進(jìn)行變換（如對數(shù)變換等）以及檢查并處理異常值都有助于提高回歸模型的擬合效果。3.以下屬于風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的有（）A.方差B.標(biāo)準(zhǔn)差C.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）D.條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）答案：ABCD解析：方差和標(biāo)準(zhǔn)差可以衡量隨機(jī)變量的離散程度，反映風(fēng)險(xiǎn)的大小。風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是在一定置信水平下的最大可能損失，條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）是在損失超過VaR的條件下的平均損失，它們都是常用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。4.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機(jī)變量，以下關(guān)于協(xié)方差\(Cov(X,Y)\)的說法正確的有（）A.\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)B.若\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)和\(Y\)一定相互獨(dú)立C.\(Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)\)（\(a,b,c,d\)為常數(shù)）D.協(xié)方差可以衡量\(X\)和\(Y\)之間的線性相關(guān)程度答案：ACD解析：根據(jù)協(xié)方差的定義\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)。若\(Cov(X,Y)=0\)，只能說明\(X\)和\(Y\)之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，但不一定相互獨(dú)立。\(Cov(aX+b,cY+d)=E[(aX+b-E(aX+b))(cY+d-E(cY+d))]=E[a(X-E(X))c(Y-E(Y))]=acCov(X,Y)\)。協(xié)方差可以衡量\(X\)和\(Y\)之間的線性相關(guān)程度。5.在時間序列分析中，常見的時間序列模型有（）A.自回歸模型\(AR(p)\)B.移動平均模型\(MA(q)\)C.自回歸移動平均模型\(ARMA(p,q)\)D.自回歸積分移動平均模型\(ARIMA(p,d,q)\)答案：ABCD解析：自回歸模型\(AR(p)\)、移動平均模型\(MA(q)\)、自回歸移動平均模型\(ARMA(p,q)\)和自回歸積分移動平均模型\(ARIMA(p,d,q)\)都是常見的時間序列模型。三、計(jì)算題（每題15分，共45分）1.某保險(xiǎn)公司承保了1000個獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)單位，每個風(fēng)險(xiǎn)單位在一年內(nèi)發(fā)生損失的概率為0.05，損失額\(X\)服從均值為2000元的指數(shù)分布。若保險(xiǎn)公司希望在95%的置信水平下不發(fā)生虧損，試計(jì)算該保險(xiǎn)公司應(yīng)收取的總保費(fèi)。解：設(shè)\(N\)表示一年內(nèi)發(fā)生損失的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)，\(N\simB(n,p)\)，其中\(zhòng)(n=1000\)，\(p=0.05\)。\(E(N)=np=1000\times0.05=50\)，\(Var(N)=np(1-p)=1000\times0.05\times(1-0.05)=47.5\)。由中心極限定理，\(N\)近似服從正態(tài)分布\(N(np,np(1-p))=N(50,47.5)\)。設(shè)\(X_i\)表示第\(i\)個發(fā)生損失的風(fēng)險(xiǎn)單位的損失額，\(X_i\simExp(\lambda)\)，已知\(E(X_i)=\frac{1}{\lambda}=2000\)，則\(\lambda=\frac{1}{2000}\)。設(shè)\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)為總損失。先求\(E(S)\)和\(Var(S)\)：\(E(S)=E[E(S|N)]=E[N\timesE(X)]=E(N)\timesE(X)=50\times2000=100000\)。\(Var(S)=E[Var(S|N)]+Var[E(S|N)]\)。\(Var(S|N)=N\timesVar(X)\)，對于指數(shù)分布\(X\simExp(\lambda)\)，\(Var(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}=2000^{2}\)，\(E(S|N)=N\timesE(X)\)。\(E[Var(S|N)]=E[N\timesVar(X)]=E(N)\timesVar(X)=50\times2000^{2}\)，\(Var[E(S|N)]=Var(N\timesE(X))=E(X)^{2}\timesVar(N)=2000^{2}\times47.5\)。\(Var(S)=50\times2000^{2}+2000^{2}\times47.5=2000^{2}\times(50+47.5)=2000^{2}\times97.5\)。設(shè)總保費(fèi)為\(P\)，要使\(P(S\leqP)\geq0.95\)。由中心極限定理，\(S\)近似服從正態(tài)分布\(N(E(S),Var(S))=N(100000,2000^{2}\times97.5)\)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，\(z_{0.95}=1.645\)。\(P=\mu+z_{0.95}\sigma=100000+1.645\times2000\sqrt{97.5}\approx100000+1.645\times2000\times9.874\approx100000+32445.56=132445.56\)（元）。2.已知某公司的銷售額\(Y\)與廣告投入\(X_1\)和員工數(shù)量\(X_2\)之間存在線性關(guān)系，通過收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行多元線性回歸分析，得到回歸方程\(\hat{Y}=100+2X_1+3X_2\)。已知樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)信息如下：\(n=20\)，\(\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^{2}=1000\)，\(\sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i-\bar{y})^{2}=800\)。（1）計(jì)算判定系數(shù)\(R^{2}\)和調(diào)整的判定系數(shù)\(\bar{R}^{2}\)。（2）檢驗(yàn)回歸方程的顯著性（\(\alpha=0.05\)）。解：（1）判定系數(shù)\(R^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i-\bar{y})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^{2}}=\frac{800}{1000}=0.8\)。調(diào)整的判定系數(shù)\(\bar{R}^{2}=1-\frac{(n-1)}{(n-p-1)}(1-R^{2})\)，其中\(zhòng)(n=20\)，\(p=2\)。\(\bar{R}^{2}=1-\frac{19}{17}(1-0.8)=1-\frac{19}{17}\times0.2\approx1-0.224=0.776\)。（2）提出假設(shè)\(H_0:\beta_1=\beta_2=0\)，\(H_1:\)至少有一個\(\beta_j\neq0\)（\(j=1,2\)）。\(F=\frac{\sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i-\bar{y})^{2}/p}{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^{2}/(n-p-1)}\)，\(\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^{2}=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^{2}-\sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i-\bar{y})^{2}=1000-800=200\)。\(F=\frac{800/2}{200/(20-2-1)}=\frac{400}{200/17}=34\)。對于\(\alpha=0.05\)，\(F_{\alpha}(p,n-p-1)=F_{0.05}(2,17)=3.59\)。因?yàn)閈(F=34>3.59\)，所以拒絕\(H_0\)，認(rèn)為回歸方程是顯著的。3.設(shè)某風(fēng)險(xiǎn)的損失隨機(jī)變量\(X\)服從帕累托分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{(x+\theta)^{\alpha+1}},x>0\)，其中\(zhòng)(\alpha>0\)，\(\theta>0\)。已知\(\alpha=3\)，\(\theta=100\)，求該風(fēng)險(xiǎn)的期望損失\(E(X)\)和方差\(Var(X)\)。解：對于帕累托分布\(X\)，其期望\(E(X)=\frac{\theta}{\alpha-1}\)（\(\