課時(shí)分層作業(yè)四十八利用向量求空間角和距離一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若直線l的方向向量與平面α的一個(gè)法向量的夾角等于120°,則直線l與平面α所成的角等于 ()A.120°B.60°C.30°D.60°或30°【解析】選C.設(shè)直線l與平面α所成的角為β,直線l與平面α的法向量的夾角為γ.則sinβ=|cosγ|=|cos120°|=12又因?yàn)?°≤β≤90°,所以β=30°.2.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,BB1的中點(diǎn),G為棱A1B1上的一點(diǎn),且A1G=λ(0≤λ≤1),則點(diǎn)G到平面D1EFA.3 B.22 C.2λ3 【解析】選D.如圖所示,以射線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則G(1,λ,1),E1,D1(0,0,1),F1,1,12=(0,1,0),=-1,0,12.過點(diǎn)G向平面D1EF作垂線,垂足為H,由于點(diǎn)H在平面D1EF內(nèi),故存在實(shí)數(shù)x,y,使=+x+y=-y由于GH⊥EF,GH⊥ED1,所以解得x=λ,y=所以||=55,即點(diǎn)G到平面D1EF的距離是553.(2018·贛州模擬)已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為 ()A.45° B.135°C.45°或135° D.90°【解析】C.cosC.cos<m,n>=QUOTEm·n|m||n|=11×2=22,即<m,所以兩平面所成的二面角為45°或135°.【變式備選】(2018·合肥模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為A.12 B.23 C.33 【解析】選B.以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)棱長(zhǎng)為1.則A1(0,0,1),E1,所以=(0,1,1),=1,0,-設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1=(1,y,z),所以有即y-z所以n1=(1,2,2).因?yàn)槠矫鍭BCD的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1),所以cos<n1,n2>=23×1=2即所成的銳二面角的余弦值為234.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DNA.30° B.45°C.60° D.90°【解析】選D.以A為原點(diǎn),以AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AA1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)棱長(zhǎng)為1,則A1(0,0,1),M12D(0,1,0),N1,1,12,=12cos<,>=12-1所以A1M與DN所成的角的大小是90°【一題多解】連接D1M,A1D1⊥平面CC1D1D,則A1D1⊥DN,DN⊥D1M,A1D1∩D1M=D1,所以DN⊥平面A1D1M,A1M?平面A1D1【誤區(qū)警示】用直線的方向向量的夾角求異面直線的夾角時(shí),注意區(qū)別:當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí),就是此異面直線所成的角;當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí),其補(bǔ)角才是異面直線所成的角.【變式備選】將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起,當(dāng)以A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí),異面直線AD與BC所成的角為 ()A.π6 B.π4 C.π3 【解析】選C.不妨以△ABC為底面,則由題意,當(dāng)以A,B,C,D為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大,即點(diǎn)D到底面△ABC的距離最大時(shí),平面ADC⊥平面ABC,取AC的中點(diǎn)O,連接BO,DO,則易知DO,BO,CO兩兩互相垂直,所以分別以,,所在直線為z,x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系,令BO=DO=CO=1,則有O(0,0,0),A(0,1,0),D(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),=(0,1,1),=(1,1,0),所以cos<,>==12×2=12,所以異面直線AD與BC5.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,正方體棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是正方體的面AA1D1D上一點(diǎn),且CF⊥B1E,則點(diǎn)F的軌跡是 ()A.線段 B.圓的一部分C.橢圓的一部分 D.拋物線的一部分【解析】選A.設(shè)F(0,y,z)由已知可得E(1,0,0),B1(2,0,2),C(2,2,0),所以=(1,0,2),=(2,y2,z).因?yàn)镃F⊥B1E,所以·=0,即22z=0,即z=1.故F的軌跡是直線的一部分,線段.二、填空題(每小題5分,共15分)6.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)角線BD1上,記D1∠APC為鈍角時(shí),λ的取值范圍是________.

【解析】以,,為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),則=(1,1,1),得=λ=(λ,λ,λ),所以=+=(1λ,λ,λ1),=+=(λ,1λ,λ1).顯然∠APC不是平角,所以∠APC為鈍角等價(jià)于cos∠APC=cos<,>=<0,·<0,即(1λ,λ,λ1)·(λ,1λ,λ1)=(λ1)(3λ1)<0,得13<λ<1.所以λ的取值范圍是1答案:17.如圖所示,四邊形ABCD,ABEF都是矩形,它們所在的平面互相垂直,AD=AF=1,AB=2,點(diǎn)M,N分別在它們的對(duì)角線AC,BF上,且CM=BN=a(0<a<5),當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí),a的值為________.

【解析】如圖所示,作MO⊥AB,垂足為O,連接ON,因?yàn)樗倪呅蜛BCD,ABEF都是矩形,點(diǎn)M,N分別在它們的對(duì)角線AC,BF上,且CM=BN=a(0<a<5),所以O(shè)N⊥AB,OM1=5-a5,所以O(shè)M=5-a5因?yàn)镺M⊥ON,所以MN=5=2a-5所以a=52答案:58.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且A1F∥平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系,令A(yù)B=1,則A(0,0,0),E1,1,12A1(0,0,1),F(1,t,s),平面D1AE的法向量為n=(x,y,z),則=(1,t,s1),=1,0,-12,=(0,1,1),所以·n=0,·n=0,即x-12z=0,y+z=0,令z=2,則x=1,y=-2,z=2,所以n=(1,2,2).又因?yàn)锳1F∥平面D1AE,所以·n=0,即12t+2(s1)=0,即s1=t12,所以=記與平面BCC1B1所成角為α,則sinα=12t2-t+所以tanα=12t2-t+14,因?yàn)閟=t+12≤1,所以t≤1所以tanα∈[2,22].答案:[2,22]三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018·鄭州模擬)在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=1,AA1=2,D為AA1的中點(diǎn),BD與AB1交于點(diǎn)O,CO⊥側(cè)面ABB1(1)證明:BC⊥AB1.(2)若OC=OA,求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值.【解析】(1)由題意tan∠ABD=ADAB=2tan∠AB1B=ABBB1注意到0<∠ABD<π2,0<∠AB1B<π所以∠ABD=∠AB1B,所以∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=π2所以AB1⊥BD,又CO⊥側(cè)面ABB1A1所以AB1⊥CO.又BD與CO交于點(diǎn)O,所以AB1⊥平面CBD,又因?yàn)锽C?平面CBD,所以BC⊥AB1.(2)如圖,以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)D,OB1,OC所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,因?yàn)镈為AA1的中點(diǎn),所以O(shè)AOB1=AD所以O(shè)C=OA=13AB1=13(則A0,-33,0B10,23又因?yàn)?2,所以C163,2所以=-63,33,=66,設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則根據(jù)·n=0,·n=0可取n=(1,2,2)是平面ABC的一個(gè)法向量,設(shè)直線C1D與平面ABC所成的角為α,則sinα==3555510.在三棱錐VABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).(1)求證:VB∥平面MOC.(2)求證:平面MOC⊥平面VAB.(3)求三棱錐VABC的體積.【解析】(1)因?yàn)镺,M分別為AB,VA的中點(diǎn),所以O(shè)M∥VB.又因?yàn)閂B?平面MOC,所以VB∥平面MOC.(2)因?yàn)锳C=BC,O為AB的中點(diǎn),所以O(shè)C⊥AB.又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC,且OC?平面ABC,所以O(shè)C⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2,所以AB=2,OC=1.所以等邊三角形VAB的面積S△VAB=3.又因?yàn)镺C⊥平面VAB,所以三棱錐CVAB的體積等于13OC·S△VAB=3又因?yàn)槿忮FVABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等,所以三棱錐VABC的體積為331.(5分)在三棱錐PABC中,AB=PC=2,AC=PB=3,BC=PA=2,則異面直線PA與BC所成角的余弦值為 ()A.12 B.13 C.14 【解析】選C.在△PAB中,由余弦定理,得cos<,>=22+(3)在△PAC中,由余弦定理,得cos<,>=22+(2)2-(3)22×22=342.因?yàn)椤?·()=··,又·||·||cos<,>=22×342=32,·=||·||cos<,>=23×543=52,所以·=3252=1.事實(shí)上·=||||cos<,>=4cos<,>,于是cos<,>=14,從而,異面直線PA與BC所成角的余弦值為14.2.(5分)在四面體PABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PA=PB=PC=a,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為 ()A.23a B.33a C.63a 【解析】選B.根據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz,則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).過點(diǎn)P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于點(diǎn)H,則PH的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面ABC的距離.因?yàn)镻A=PB=PC,所以H為△ABC的外心.又因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以H為△ABC的重心,可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為a3所以PH=0-a3【變式備選】在三棱錐PABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,則點(diǎn)P到△ABC的重心G的距離為________.

【解析】PA,PB,PC兩兩垂直,以P為坐標(biāo)原點(diǎn),PA,PB,PC所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,且PA=1,PB=2,PC=3,所以P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),△ABC的重心G的坐標(biāo)為13=13-0所以點(diǎn)P到△ABC的重心G的距離是143答案:143.(5分)已知平行六面體ABCDA1B1C1D1,AC1與平面A1BD,CB1D1交于E,F兩點(diǎn).給出以下命題,其中真命題有________.(寫出所有正確命題的序號(hào)①點(diǎn)E,F為線段AC1的兩個(gè)三等分點(diǎn);②=23+13+13;③設(shè)A1D1的中點(diǎn)為M,CD的中點(diǎn)為N,則直線MN與面A1DB有一個(gè)交點(diǎn);④E為△A1BD的內(nèi)心;⑤設(shè)K為△B1CD1的外心,則VK【解析】①連接A1C1,A1C,AC,設(shè)AC1與A1C交于O點(diǎn),連接A1E并延長(zhǎng)交AC于H點(diǎn),由平行四邊形對(duì)角線互相平分得OA=OC1,又A1H是面A1DB與面A1AC的交線,所以H為AC與BD的交點(diǎn),即為中點(diǎn),從而E為△A1E=2EH,AE=2OE,又OE=OF,從而AE=EF,同理可得C1F=2OF,所以點(diǎn)E,F為線段AC1的兩個(gè)三等分點(diǎn),故①正確;②==23=23×12(+)=13()13()=23+2313,所以②不對(duì);③取DD1的中點(diǎn)K,連接KM,KN,則KM∥A1D,KN∥A1B,由面面平行的判定定理得面KMN∥面A1BD,再由面面平行的性質(zhì)定理得MN∥面A1BD,即MN與面A1BD沒有交點(diǎn),故③錯(cuò);④由①的分析可得:E為△A1BD的重心,故④錯(cuò);⑤A1D∥B1C,BD∥B1D1,由面面平行的判定定理可得:面A1BD∥面B1CD1,所以K,F到面A1BD的距離相等,設(shè)為h,VKBED=13hS△BED,VA1-BFD=VF-A1BD=13所以VK-BEDVA答案:①⑤4.(12分)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn),D為B1C(1)證明:A1D⊥平面A1BC.(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值.【解析】(1)取BC的中點(diǎn)E,連接A1E,AE,DE,由題意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE,因?yàn)锳B=AC,所以AE⊥BC,故AE⊥平面A1BC,由D,E分別是B1C1,BC的中點(diǎn),得DE∥B1B且DE=B1B,所以DE∥A1所以四邊形A1AED是平行四邊形,故A1D∥AE,又因?yàn)锳E⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥BD,且A1F∩BD=F,連接B由AE=BE=2,∠A1EA=∠A1EB=90°,得A1B=A1A由A1D=B1D,A1B=B1B,得△A1DB≌△B1DB,由A1F⊥BD,得B1F⊥BD,因此∠A1FB1為二面角A1BDB由A1D=2,A1B=4,∠DA1B=90°,得BD=32,A1F=B1F=43,由余弦定理得cos∠A1FB1【一題多解】本題(2),還可以有如下解法:以CB的中點(diǎn)E為原點(diǎn),分別以EA,EB,EA1為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系Exyz,如圖所示.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:A1(0,0,14),B(0,2,0),D(2,0,14),B1(2,2,14).因此=(0,2,14),=(2,2,14),=(0,2,0).設(shè)平面A1BD的法向量為m=(x1,y1,z1),平面B1BD的法向量為n=(x2,y2,z2).由即2可取m=(0,7,1).由即2y可取n=(7,0,1).于是|cos<m,n>|=QUOTE|m·n||m|·|n由題意可知,所求二面角的平面角是鈍角,故二面角A1BDB1的平面角的余弦值為185.(13分)如圖,在三棱錐SABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D,E分別是AC,BC的中點(diǎn),F在SE上,且SF=2FE.(1)求證:AF⊥平面SBC.(2)在線段DE上是否存在點(diǎn)G,使二面角GAFE的大小為30°?若存在,求出DG的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)由AC=AB=SA=2,AC⊥AB,E是BC的中點(diǎn),得AE=2.因