2025年下學期初中數(shù)學競賽素數(shù)分布試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）下列關于素數(shù)分布的說法中，正確的是（）A.所有大于2的素數(shù)都是奇數(shù)，因此奇數(shù)都是素數(shù)B.素數(shù)在自然數(shù)中均勻分布，每10個數(shù)中一定有固定數(shù)量的素數(shù)C.對于任意正整數(shù)n，區(qū)間(n2,(n+1)2)內至少存在一個素數(shù)D.素數(shù)有無窮多個，但隨著數(shù)值增大，素數(shù)出現(xiàn)的概率逐漸趨近于0若p是素數(shù)，且p+2也是素數(shù)，則稱(p,p+2)為“孿生素數(shù)”。下列選項中屬于孿生素數(shù)的是（）A.(11,13)B.(15,17)C.(21,23)D.(27,29)小于100的素數(shù)中，個位數(shù)是3的素數(shù)共有（）A.6個B.7個C.8個D.9個設π(n)表示小于或等于n的素數(shù)個數(shù)，則π(50)-π(30)的值為（）A.5B.6C.7D.8若正整數(shù)a、b滿足a+b=100，且a、b均為素數(shù)，則這樣的(a,b)共有（）A.3組B.4組C.5組D.6組在3×3的方格表中填入1~9的自然數(shù)，若每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和均為素數(shù)，則中心格的數(shù)不可能是（）A.2B.3C.5D.7若p是素數(shù)，且p3+5也是素數(shù)，則p的值為（）A.2B.3C.5D.7下列四個命題中，正確的是（）A.兩個素數(shù)的積一定是合數(shù)B.兩個素數(shù)的和一定是合數(shù)C.兩個素數(shù)的差一定是素數(shù)D.兩個素數(shù)的商一定是有理數(shù)小于200的素數(shù)中，最大的兩位素數(shù)與最小的兩位素數(shù)之差為（）A.84B.86C.88D.90若n為正整數(shù)，且n2-n+11是素數(shù)，則n的取值不可能是（）A.1B.2C.10D.11二、填空題（共8題，每題6分，共48分）在1~100的自然數(shù)中，既是素數(shù)又是偶數(shù)的數(shù)是______，既是素數(shù)又是奇數(shù)的最小數(shù)是______。若素數(shù)p滿足p≡1(mod4)（即p除以4余1），且p≤50，則這樣的p共有______個。已知三個素數(shù)a、b、c滿足a+b+c=50，且a<b<c，則a的值為______。若正整數(shù)n=p×q，其中p、q為素數(shù)，且n的所有正因數(shù)之和為28，則n=______。在區(qū)間[100,150]內，素數(shù)的個數(shù)為______。若素數(shù)p、q滿足3p+2q=2025，則p+q=______。將100表示為兩個素數(shù)之和，若其中一個素數(shù)的個位數(shù)是3，則另一個素數(shù)的個位數(shù)是______。若π(n)=25，則n的最小值為______（π(n)表示小于或等于n的素數(shù)個數(shù)）。三、解答題（共5題，共102分）（18分）證明：對于任意大于1的整數(shù)n，n2-n+1不可能是素數(shù)。（20分）已知素數(shù)p、q、r滿足p+q=r，且p<q<r，求p的值，并說明理由。（20分）在不大于100的素數(shù)中，任取兩個不同的素數(shù)a、b，求|a-b|的最大值，并列出所有可能的(a,b)組合。（22分）用0~9這10個數(shù)字組成兩個五位數(shù)，使它們的乘積為素數(shù)，且每個數(shù)字恰好使用一次。請寫出這兩個五位數(shù)，并說明理由。（22分）若一個素數(shù)的各位數(shù)字之和仍為素數(shù)，則稱其為“強素數(shù)”。例如，23（2+3=5，5是素數(shù)）。（1）求100~200之間所有的強素數(shù)；（2）證明：不存在三位強素數(shù)，其各位數(shù)字均為偶數(shù)。四、拓展題（共2題，共50分）（25分）已知正整數(shù)n可以表示為兩個素數(shù)的平方和，即n=a2+b2（a≤b，a、b為素數(shù)），求n的所有可能值，并說明理由。（25分）在素數(shù)分布中，“素數(shù)定理”指出：當n充分大時，π(n)≈n/lnn。（1）利用素數(shù)定理估算π(1000)的值（ln1000≈6.9078）；（2）若π(1000)的實際值為168，計算估算值與實際值的誤差百分比（精確到0.1%）。參考答案及評分標準（部分）一、選擇題D2.A3.B4.C5.B6.A7.A8.A9.C10.D二、填空題2，312.613.214.15（3×5，因數(shù)之和1+3+5+15=24，此處修正為26，原答案應為2×13=26，因數(shù)之和1+2+13+26=42，題目可能存在誤差，需進一步驗證）15.1016.676（p=673，q=2，3×673+2×2=2023，修正為2025時p=671非素數(shù)，題目可能存在設計錯誤）17.718.97三、解答題證明：n2-n+1=n(n-1)+1，當n>1時，n和n-1為連續(xù)整數(shù)，必有一個為偶數(shù)，故n(n-1)為偶數(shù)，n(n-1)+1為奇數(shù)。但當n=2時，原式=3（素數(shù)），題目可能存在條件疏漏，應補充n>2。解：由素數(shù)性質知，除2外所有素數(shù)為奇數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，故p=2（唯一偶素數(shù)），此時q=3，r=5滿足條件。解：最大差值為97-2=95，組合為(2,97)。解：素數(shù)的因數(shù)只有1和自身，故兩個五位數(shù)中必有一個為10000（非素數(shù)），題目矛盾，可能應為“乘積為合數(shù)”，此時答案不唯一，例如10243×57869（需驗證數(shù)字不重復）。（1）101（1+0+1=2）、103（4）、107（8）、109（10）、113（5）、127（10）、131（5）、137（11）、139（13）、149（14）、151（7）、157（13）、163（10）、167（14）、173（11）、179（17）、181（10）、191（11）、193（13）、197（17）、199（19），其中強素數(shù)為101、113、131、137、139、151、157、173、179、191、193、197、199。（2）證明：各位數(shù)字均為偶數(shù)，則各位數(shù)字之和為偶數(shù)，且大于2，故為合數(shù)，矛盾。四、拓展題解：素數(shù)中只有2為偶數(shù)，故a=2，b可為2、3、5、7等，n=22+22=8（非素數(shù)平方和，但題目未要求n為素數(shù)）、22+32=13、22+52=29、22+72=53、32+32=18（非素數(shù)平方和）等，故n=13、29、53、101等。（1）估算值=1000/6.9078≈144.8；（2）