2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)一題多解探究試卷一、選擇題（每題4分，共20分）若關(guān)于x的方程x2-4x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（）A.2B.4C.-4D.±4解法一（判別式法）：∵方程有兩個(gè)相等實(shí)根，∴判別式Δ=(-4)2-4×1×k=0，解得k=4，選B。解法二（配方法）：方程可化為(x-2)2=4-k，∵完全平方數(shù)非負(fù)且有等根，∴4-k=0→k=4。二、填空題（每題5分，共20分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，則CD=______。解法一（斜邊中線定理）：AB=√(32+42)=5，∵直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，∴CD=5/2=2.5。解法二（坐標(biāo)法）：建立坐標(biāo)系，C(0,0)、A(3,0)、B(0,4)，則D(1.5,2)，CD=√(1.52+22)=2.5。三、解答題（共60分）解方程：x2-5x+6=0（8分）解法一（因式分解法）：(x-2)(x-3)=0→x?=2，x?=3。解法二（求根公式法）：Δ=25-24=1，x=(5±1)/2→x?=3，x?=2。解法三（配方法）：x2-5x+(25/4)=1/4→(x-5/2)2=1/4→x=5/2±1/2→x=3或2。如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別為AB、CD中點(diǎn)，求證：四邊形AECF是平行四邊形（10分）證法一（邊平行且相等）：∵ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD?！逧、F為中點(diǎn)，∴AE=CF=AB/2，且AE∥CF，故四邊形AECF是平行四邊形。證法二（對(duì)角線互相平分）：連接AC交EF于O，∵E、F為中點(diǎn)，∴AO=OC，EO=OF，故四邊形AECF是平行四邊形。某商店銷售進(jìn)價(jià)為20元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天銷量y（件）與售價(jià)x（元）滿足y=-2x+100。若每天盈利150元，求售價(jià)x（12分）解法一（方程法）：利潤(rùn)=(x-20)y=150→(x-20)(-2x+100)=150整理得2x2-140x+2150=0→x2-70x+1075=0解得x?=25，x?=45（均符合題意）。解法二（函數(shù)最值法）：設(shè)利潤(rùn)為W=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2000令W=150→-2(x2-70x)=2150→(x-35)2=225→x=35±15→x=25或45。如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求△ABC的面積（12分）解法一（作高法）：作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=3，AD=√(52-32)=4，S=6×4/2=12。解法二（海倫公式法）：周長(zhǎng)p=(5+5+6)/2=8，S=√[8(8-5)(8-5)(8-6)]=√(8×3×3×2)=12。解法三（坐標(biāo)法）：以BC為x軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，B(-3,0)、C(3,0)、A(0,4)，S=6×4/2=12。已知二次函數(shù)y=x2-4x+3（18分）（1）求頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x增大而減?。浚?）求頂點(diǎn)坐標(biāo)解法一（配方法）：y=(x-2)2-1→頂點(diǎn)(2,-1)。解法二（公式法）：對(duì)稱軸x=-b/(2a)=2，y=4-8+3=-1→頂點(diǎn)(2,-1)。解法三（導(dǎo)數(shù)法）：y'=2x-4，令y'=0得x=2，y=4-8+3=-1→頂點(diǎn)(2,-1)。（2）增減性判斷解法一（圖像法）：拋物線開口向上，對(duì)稱軸x=2，∴當(dāng)x<2時(shí)y隨x增大而減小。解法二（單調(diào)性定義）：任取x?<x?<2，y?-y?=(x?2-x?2)-4(x?-x?)=(x?-x?)(x?+x?-4)∵x?-x?<0，x?+x?-4<0，∴y?-y?>0→y?>y?，故x<2時(shí)遞減。附加探究題（20分）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C運(yùn)動(dòng)，速度1cm/s；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B運(yùn)動(dòng)，速度2cm/s。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ面積為3cm2？解法一（代數(shù)方程法）：AP=t，CQ=2t，PC=4-tS=PC·CQ/2=(4-t)·2t/2=t(4-t)=3整理得t2-4t+3=0→t?=1，t?=3（t=3時(shí)CQ=6>4，舍去），故t=1。解法二（幾何動(dòng)態(tài)法）：當(dāng)t=1時(shí)，PC=3，CQ=2，S=3×2/2=3；當(dāng)t=3時(shí)，CQ=6超出BC長(zhǎng)度，故僅t=1符合條件。命題說明：試卷覆蓋《2025年初中數(shù)學(xué)大綱》核心內(nèi)容，重點(diǎn)考查方程與不等式、函數(shù)、幾何證明等知識(shí)模塊；每題設(shè)置2-3種解法，體現(xiàn)"通性通法+創(chuàng)新解法"的命題思路，如代數(shù)題兼顧公式法與配方法，幾何題融合傳統(tǒng)證明與坐標(biāo)法；附加題設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)幾何情境，滲透分類討論思想，