高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題，共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求.）1.已知、，下列可使非零向量，，組成的集合成為空間的一組基底的條件是（）A. B.，，兩兩垂直C. D.【答案】B【解析】由基底定義可知只有非零向量，，不共面時(shí)才能構(gòu)成空間中的一組基底.對于A，，則共線，由向量特性可知空間中任意兩個(gè)向量是共面的，所以與共面，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)榉橇阆蛄?，，兩兩垂直，所以非零向量，，不共面，可?gòu)成空間的一組基底，故B正確；對于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C錯(cuò)誤；對于D，，即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D錯(cuò)誤.故選：B.2.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.與有關(guān)【答案】A【解析】由題可得，圓心為，又點(diǎn)滿足直線方程，即直線經(jīng)過圓心，所以直線與圓相交故選：A.3.在一個(gè)系統(tǒng)中，每一個(gè)部件能正常工作的概率稱為部件的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度.現(xiàn)有甲、乙、丙3個(gè)部件組成的一個(gè)如圖所示的系統(tǒng)，已知當(dāng)甲正常工作，且乙、丙至少有一個(gè)能正常工作時(shí)，系統(tǒng)就能正常工作，其中甲部件的可靠度為0.9，乙、丙部件的可靠度均為0.7，而且甲、乙、丙互不影響，則系統(tǒng)的可靠度為（）A.0.441 B.0.63 C.0.819 D.0.9【答案】C【解析】用A，B，C分別表示甲、乙、丙能正常工作，D表示系統(tǒng)能正常工作．由題意知，系統(tǒng)能正常工作時(shí)，可分為三個(gè)互斥事件：甲、乙、丙都正常工作，即；甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即；甲、乙正常工作，且丙不正常工作，即．因此．因?yàn)榧?、乙、丙互不影響，所以A，B，C相互獨(dú)立，而且．由互斥事件概率的加法公式以及獨(dú)立事件的概率公式可知．故選：C.4.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故準(zhǔn)線方程為，故選：B.5.某校要從校廣播站3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出兩人，分別做校史館的參觀路線導(dǎo)引員和校史講解員，則至少有1名女同學(xué)被選中的不同安排方法有（）A.14種 B.16種 C.18種 D.20種【答案】A【解析】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出兩人分別做校史館的參觀路線導(dǎo)引員和校史講解員，共有種情況，若從3名男生選出兩人分別做校史館的參觀路線導(dǎo)引員和校史講解員，共有種情況，故至少有1名女同學(xué)被選中的不同安排方法有種，故選：A.6.已知的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為135，則的值為（）A.2 B.2或 C.3 D.3或【答案】D【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．則，解得．故選：D.7.《九章算術(shù)》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法：“半廣以乘正從”.數(shù)學(xué)社團(tuán)制作板報(bào)向全校師生介紹這一結(jié)論，給證明圖形的六個(gè)區(qū)域涂色，有三種顏色可用，要求有相鄰邊的區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法有（）A.48種 B.96種 C.102種 D.120種【答案】B【解析】如圖，設(shè)圖中的六個(gè)區(qū)域分別為，按照是否同色，分兩類：①不同色，先給涂色，有，再根據(jù)是否用余下那種顏色分兩種情況，不用第三種顏色，即用的顏色，用的顏色，有種，有種，則有種涂法；用第三種顏色，即用第三種顏色，用的顏色，有種，有種，或用第三種顏色，用的顏色，則有種涂法，所以不同色的涂法有：，②同色，先給涂色，有，則只能用第三種顏色，有種，有種，所以同色的涂法有：，綜上，不同的涂色方法有：種.故選：B.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為劣弧上不同于，的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線，直線交拋物線于點(diǎn)，則周長的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得圓心，也是拋物線的焦點(diǎn)為，如圖，交拋物線的準(zhǔn)線于，根據(jù)拋物線的定義，可得，故的周長為，由，解得，∵，且，∴的取值范圍為，∴，∴的周長的取值范圍為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.從6名女生和8名男生中任選5人去陽光敬老院參加志愿服務(wù)，用表示所選5人中女生的人數(shù)，用表示所選5人中男生的人數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）備注：一般地，若一個(gè)隨機(jī)變量的分布列為，其中，則稱.A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由題意，從6名女生和8名男生中任選5人，則所選5人中女生的人數(shù)和男生的人數(shù)Y服從超幾何分布，即，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；又由超幾何分布的均值公式，可得:,,所以,,所以選項(xiàng)C，D正確.故選：BCD.10.如果，分別是平面，的一個(gè)法向量，設(shè)，所成角的大小為，以為方向向量的直線與平面所成角的大小為，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)?，分別是平面，的一個(gè)法向量，設(shè)，所成角的大小為，所以相等或互補(bǔ)，所以，故A正確；所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)橐詾榉较蛳蛄康闹本€與平面所成角的大小為，所以，故D錯(cuò)誤，因?yàn)?，故C正確.故選：AC.11.已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，且圓與圓外切，與軸相切，則點(diǎn)的軌跡為拋物線B.若，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支C.若，，在圓上運(yùn)動(dòng)，且，為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是圓D.若，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓【答案】ACD【解析】對于A,由于圓與圓外切，與軸相切，故,其中為圓心到軸的距離，因此圓心到的距離與到直線的距離相等，且圓心不經(jīng)過直線，故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線在拋物線，A正確，對于B，當(dāng)時(shí)，,由垂直平分線的性質(zhì)可得，如圖，當(dāng)靠近左半圓時(shí)，，當(dāng)靠近右半圓時(shí)，，因此點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，B錯(cuò)誤，對于C,連接,由于為線段的中點(diǎn)，故,又，故,設(shè)，由,即，化簡可得，即，故點(diǎn)的軌跡是圓，C正確，對于D，時(shí)，在圓內(nèi)，如圖，此時(shí),由垂直平分線的性質(zhì)可得，故，因此點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，D正確，故選：ACD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.某中學(xué)2400名學(xué)生參加一分鐘跳繩測試.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，成績近似服從正態(tài)分布，已知成績小于76的有300人，則可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績在108~140之間的人數(shù)約為________.【答案】900【解析】由題意可知，,因?yàn)槌煽兎恼龖B(tài)分布，所以所以跳繩成績在108~140之間的人數(shù)約為.13.已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，過橢圓外一點(diǎn)和右頂點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為________.【答案】【解析】因?yàn)?，，，可得為的中點(diǎn)，又，所以也是中點(diǎn)，因?yàn)?，則，代入橢圓方程可得，所以，所以，則離心率.14.有一種運(yùn)算，三個(gè)互異的數(shù)，，運(yùn)算時(shí)可以有不同的運(yùn)算方法，如，，，，，就是其中6種不同的運(yùn)算方法.設(shè)個(gè)互異的數(shù)的不同運(yùn)算方法共有種，則________，________（用數(shù)字作答）.【答案】12120【解析】此種運(yùn)算方法是在排列的基礎(chǔ)上加上括號的選擇（括號內(nèi)至少兩個(gè)數(shù)）.首先，（對一個(gè)排列，括號只有2種乘法），對于，考查一個(gè)給定的排列如，共有如下幾種此種運(yùn)算方法，，，，，，共5種相乘方法，又4個(gè)數(shù)的排列有，所以.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知拋物線與過點(diǎn)直線相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的值；（2）若的面積等于3，求直線的一般方程.解：（1）設(shè)，由題意的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程可得，，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以．（2）記為點(diǎn)，由（1）有，所以，所以，解得：，所以直線的方程為：或．16.若的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且.（1）求的系數(shù)；（2）求的值.解：（1）第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，解得，所以.所以的展開式中項(xiàng)為：，所以.（2）由（1）知，的展開式中，當(dāng)時(shí)，，由二項(xiàng)展開式可得：所以都是正數(shù)，都是負(fù)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以.17.某中學(xué)計(jì)劃舉行力“拔”千鈞，“河”作共贏——慶十一拔河比賽.共15個(gè)隊(duì)抽簽參加單淘汰制（贏得比賽就進(jìn)入下一輪比賽，否則就被淘汰）比賽，賽程如下：周一八強(qiáng)賽（有一隊(duì)輪空，直接進(jìn)入下一輪比賽），周二四強(qiáng)賽，周三半決賽，周四決賽.（1）比賽共需進(jìn)行多少場？（2）假設(shè)各隊(duì)實(shí)力相當(dāng)（每場比賽參賽雙方獲勝的概率均為），設(shè)一號隊(duì)參加比賽場數(shù)為，（i）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）求一號隊(duì)在條件下獲得冠軍的概率.解：（1）第一輪，輪空一個(gè)隊(duì)，其余14個(gè)隊(duì)，共7個(gè)組比賽7場，第二輪8個(gè)隊(duì)比賽4場，第三輪半決賽2場，第4輪決賽1場，故共有場比賽；（2）（i）隨機(jī)變量的取值為，當(dāng)，，，，所以分布列為：1234；（ii）設(shè)一號隊(duì)參加比賽的場數(shù)為3為事件，一號隊(duì)獲得冠軍為事件，則，由（i）知，，則，即一號隊(duì)在的條件下獲得冠軍的概率為.18.如圖，四邊形是正方形，四邊形是直角梯形且，，，，，，的中點(diǎn)分別為，，.（1）畫出過點(diǎn)，，的截面（不必寫出證明過程）；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若是（1）中過點(diǎn)，，的截面上一點(diǎn)，二面角的余弦值為，求滿足題意的點(diǎn)軌跡的長度.解：（1）取中點(diǎn)，連接，則五邊形為過，，的截面，理由，因?yàn)?，，的中點(diǎn)分別為，，.所以，又平面，平面，所以平面，平面，又，且平面，所以平面平面，由平面平面，所以，又的中點(diǎn).所以為的中點(diǎn)，同理可得為的中點(diǎn).（2）由（1）可知直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角，由題意可得，，平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，由，，可得，又，所以，又，所以，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，又平面，所以平面的一個(gè)法向量為，又因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以，所以，兩邊平方得，所以，解得或（舍去），?dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以滿足題意的點(diǎn)軌跡的長度為.19.已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)在點(diǎn)處曲線的切線為，若，為上兩點(diǎn)，且滿足，，（i）證明：點(diǎn)在定直線上，并求出定直線方程；（ii）是否存在點(diǎn)使成立，若存在，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（1）解：因