高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市五校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期1月期末學情調(diào)研數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.1.拋物線的焦點到其準線的距離是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】因為拋物線焦點到準線的距離為,故拋物線的焦點到其準線的距離是2.故選：C.2.已知直線與直線互相平行，則實數(shù)的值為（）A. B.2或 C.2 D.【答案】D【解析】因為直線與直線互相平行，所以，解得或，當時，兩直線重合，不符合題意，故舍去；當時，直線與直線互相平行，符合題意；.故選：D.3.以點為圓心，兩平行線與之間的距離為半徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直線方程可化為，則兩條平行線之間距離，即圓的半徑，所求圓的方程為：.故選：B.4.已知曲線C：上一點，則曲線C在點P處的切線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，則，所以曲線C在點P處的切線的斜率為，則傾斜角為.故選：B.5.在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項之和為（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】C【解析】因為，所以，所以數(shù)列的前6項之和為.故選：C.6.已知兩定點，，如果動點滿足，點是圓上的動點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，因為，所以，，因此最大值為兩圓心距離加上兩圓半徑，即為，故選：B.7.斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如圖，一座斜拉橋共有10對拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距，均為，最短拉索滿足，，若建立如圖所示的平面直角坐標系，則最長拉索所在直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故，，則，故選：D.8.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設橢圓的左、右焦點分別為，，若從橢圓右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點A和點B反射后，滿足，且，則該橢圓的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，可作圖如下：則，，即，可設，，，由，則，即，，在中，，則.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】對于A.，A錯誤；對于B.，B正確；對于C.，C錯誤；對于D.，D正確.故選：BD.10.已知橢圓為橢圓上任意一點，分別為橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的是（）A.過點的直線與橢圓交于兩點，則的周長為8B.存在點使得的長度為4C.橢圓上存在4個不同的點，使得D.內(nèi)切圓半徑的最大值為【答案】ACD【解析】對A，橢圓，則過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為，故A正確；對B，根據(jù)橢圓性質(zhì)可得，即，故，即不存在點，使得的長度為4，故B錯誤；對C，根據(jù)可得的軌跡為以為直徑的圓，即，不包括兩點，易得該圓與橢圓有四個交點，即橢圓上存在4個不同點，使得，故C正確；對D，的周長為，設的內(nèi)切圓半徑為，則，故當最大時最大，此時為上下頂點，，則，解得，故D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是公比為的正項等比數(shù)列.記，，，，則（）參考公式：.A.當時， B.當時，C. D.【答案】BD【解析】A項，由為公比為的正項等比數(shù)列，則當時，，，顯然時，，故A錯誤；B項，由數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，則，所以，解得，即，故B正確；C項，由為公比為的正項等比數(shù)列，可得，所以，故，所以，，故，當且僅當時取得等號；綜上可得，故C錯誤；D項，由題意得，，則，故，故裂項可得：，所以，故D正確；故選：BD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.12.已知數(shù)列滿足，若，則______.【答案】【解析】因為，所以，，所以，．13.若圓上恰有兩個點到直線：的距離為1，則正實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】圓，圓心為，半徑為，圓上恰有兩個點到直線距離為，則使得圓心到直線的距離大于且小于，即，解得或，又，所以，即正實數(shù)的取值范圍為.14.已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓及其蒙日圓的離心率為，點分別為蒙日圓與坐標軸的交點，分別與相切于點，則四邊形與四邊形EFGH的面積的比值為__________.【答案】【解析】由題意得蒙日圓為，則，，直線的方程為：，聯(lián)立得，，解得，，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線和圓．（1）判斷直線與圓的位置關系；若相交，求直線被圓截得的弦長；（2）求過點且與圓相切的直線方程．解：（1）由圓可得，圓心,半徑，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，直線被圓截得的弦長為.（2）若過點的直線斜率不出在，則方程為，此時圓心到直線的距離為，滿足題意；若過點且與圓相切的直線斜率存在，則設切線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以切線方程，即，綜上，過點且與圓相切的直線方程為或.16.已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的平均變化率；（2）求曲線在點處的切線方程；（3）求曲線過點的切線方程.解：（1）因為，所以在區(qū)間上的平均變化率為．（2）由，有，從而，，則切點坐標為，切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即．（3）易知直線x=2與曲線不相切，故設切點為，則由，可得，即，解得或，當時，切點為，，此時滿足題意的切線方程為，顯然它過點，當時，切點為，，此時滿足題意的切線方程為，即，顯然它過點，綜上所述，滿足題意的切線方程為或．17.已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點分別為．（1）求橢圓的方程；（2）設斜率為且過的直線與橢圓交于兩點，求的面積．解：（1）由題意可知：，則，∵，∴，∴，∴橢圓.（2），∴直線：，聯(lián)立方程組得,設，則，，，點到直線的距離，∴.18.已知等比數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列及數(shù)列的前項和.（3）設，求的前項和.解：（1）由題意得：，可得，，由，可得，由，可得，可得，可得;(2)由，可得，由，可得，可得，可得的通項公式：=，可得：①-②得：=，可得;(3)由，可得，可得：===.19.已知是雙曲線：的左焦點，且的離心率為2，焦距為4.過點分別作斜率存在且互相垂直的直線，.若交于，兩點，交于，兩點，，分別為與的中點，分別記與的面積為與.（1）求的方程；（2）當斜率為1時，求直線方程；（3）求證：為定值.（1）解：由，得，又因為，所以，所以，所以：.（2）解：由題知：，設Ax1,y1聯(lián)立，消去可得