/柳州鐵一中學2023級高二上學期數(shù)學試題一?單選題1.已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點，過作圓的切線，切點為使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.2.橢圓，（）的右頂點為，已知，若橢圓上存在點，滿足，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.3.已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的取值范圍是（）A.B.C.D.4.設(shè)分別是橢圓的左?右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為（）A.4B.C.D.5.加斯帕爾?蒙日是世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（如圖所示）.當橢圓方程為時，蒙日圓方程為.已知長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（）A.橢圓的離心率為B.若為正方形，則的邊長為C.橢圓的蒙日圓方程為D.長方形的面積的最大值為146.若橢圓：的蒙日圓為，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.7.現(xiàn)將質(zhì)點隨機投入橢圓所對應(yīng)的蒙日圓內(nèi)，則質(zhì)點落在橢圓外部的概率為？（附：橢圓的面積公式為）（）A.B.C.D.8.若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則的值為（）A.B.C.D.9.已知橢圓的蒙日圓方程為，現(xiàn)有橢圓的蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于兩點，若面積的最大值為34，則的值為（）A.B.C.D.10雙曲線的蒙日圓的面積為（）A.B.C.D.二?填空題11過雙曲線的蒙日圓上一點作的兩條切線，與該蒙日圓分別交于兩點，若，則的周長為__________.12.橢圓的左?右焦點分別為，點在橢圓上，，直線交橢圓于點，則橢圓的離心率為__________.13.已知橢圓的左?右焦點為，過作軸垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是__________.14.已知橢圓為橢圓的兩焦點，如果上存在點，使，那么離心率的取值范圍是__________.三?多選題15.如圖，正方體的棱長為是的中點，是側(cè)面內(nèi)的一個動點（舍邊界），且平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面截正方體所得截面的面積為B.動點的軌跡長度為C.的最小值為D.與平面所成角的正弦值的最大值為16.在棱長為2的正方體中，是棱的中點，在側(cè)面上運動，且滿足平面.以下命題正確的有（）A.點的軌跡長度為B.直線與直線所成角可能為C.平面與平面所成銳二面角的正切值為D.過點的平面截正方體所得的截面面積最大為四?解答題17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為的面積為，已知（1）求角；（2）若，求的取值范圍.18.中，內(nèi)角的對邊分別為，記的面積為，且.（1）求角；（2）若為的中點，且，求的內(nèi)切圓的半徑.19.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知角A為銳角，的面積為S，且滿足.（1）若，求；（2）求的最大值.柳州鐵一中學2023級高二上學期數(shù)學周周清（2）答案1.A【詳解】橢圓上長軸端點向圓外兩條切線，，則兩切線形成的角最小，若橢圓上存在滿足條件的點P，則只需，即，，解得，即，又，即橢圓的離心率的取值范圍是；2.B解：因為橢圓，所以，設(shè)點，因為，所以點滿足的軌跡方程：，即，故當時，點存在，故橢圓的離心率，又因為，所以3.D【詳解】圓的圓心，半徑為1，因為圓心到距離為2，所以圓上的點到的距離最大值為3，最小值為1，又因為，則以為直徑的圓和圓有交點，可得，所以有，4.B【詳解】點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，，設(shè)，，，在中，，，解得，在中，，所以直線的斜率為，5.B【詳解】對于A，由橢圓方程知：，則，橢圓的離心率，A正確；對于BC，由A知：橢圓對應(yīng)的蒙日圓方程為：，正方形是圓的內(nèi)接正方形，正方形對角線長為圓的直徑，正方形的邊長為，B錯誤，C正確；對于D，設(shè)長方形的長和寬分別為，長方形的對角線長為圓的直徑長方形的面積（當且僅當時取等號），即長方形的面積的最大值為D正確.6.D【詳解】如圖，分別與橢圓相切，顯然.所以點在蒙日圓上，所以，所以，即，所以橢圓的離心率.7.D【詳解】由題意知，蒙日圓的半徑為，所以，根質(zhì)點落在橢圓外部的概率為.8.B【詳解】由題意可知的蒙日圓方程為，因為圓與圓僅有一個公共點，所以兩圓內(nèi)切或外切，故圓心距等于半徑之和或者圓心距等于半徑差的絕對值，所以或，由此解得，9.A【詳解】由題意可知橢圓的蒙日圓的半徑為，因為，所以為蒙日圓的直徑，所以，所以，因為，當且僅當，時，等號成，立，所以面積的最大值為，所以，則，10.A【詳解】不妨設(shè)，則過點的雙曲線切線方程為存在且不為零，聯(lián)立，消去得，所以，整理得可知為關(guān)于的方程的兩個根，且，即，整理得，即點的軌跡方程為，即雙曲線的蒙日圓方程為，半徑為面積為.11.【詳解】由題可知，的蒙日圓方程為，半徑為，且，所以為直徑，所以.又，所以.所以的周長為.12.（也可以）【詳解】由題意知三角形為等腰直角三角形，設(shè)，則，解得，在三角形中，由勾股定理得，所以.13.【詳解】橢圓的左?右焦點為，點由為等腰直角三角形可知，，即可化為，故或（舍）14.【詳解】解：當為橢圓上下頂點時最大，所以，則，所以，因為，所以，即橢圓離心率的取值范圍為，15.BCD【詳解】如圖1，取的中點，連接，因為，所以平面截正方體所得的截面為四邊形.因為，所以A錯誤.如圖1，取的中點的中點，連接，，因為，由于平面平面，所以平面，同理可證得平面，由于平面，所以平面平面，所以點的軌跡為線段.因為，所以正確連接交于，此時最小，因為，所以C正確.如圖3，建立空間直角坐標系，則，設(shè)，則，所以.設(shè)平面的法向量為，因為，所以，令，得，設(shè)與平面所成的角為，則，當時，有最大值，所以D正確.16.ACD【詳解】解：對于A：取和的中點分別為，連接，則平面平面，所以平面平面，因為在側(cè)面上運動，且滿足平面，所以點在線段上.故點運動的軌跡長度為：，故選項A正確；對于B：因為.所以與直線所成角即為與直線所成角，則即為異面直線所成的角，在中，，因為正方體的棱長為2，在中，，若所成的角為，則，而最大為，矛盾，所以所成角不可能為，故選項B不正確；對于C：因為面面，所以下面與平面所銳二面角，即為平面與面所成銳二面角，因為面面，當為線段的中點，可得，所以即為二面角的平面角，且，所以，故選項正確：對于：當為與的交點時過點的平面截正方體所得的截面面積最大，取的中點，則截面為?形，，其面積為故選項D正確，17.（1）（2）【洋解】（1）已知，由余弦定理和三角形的面積公式，得，即，花，則，不符合題意，故，所以，由，得.（2），由正弦定理，，由，則，得，所以，即的取值范圍.18.（1）（2）【詳解】（1）因